遼寧省聯(lián)盟2025屆高三年級(jí)上冊(cè)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

遼寧省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合/={1,2},3={2,3},C={2,4},則(/c8)uC=()

A.{1,2}B.{2}

C.{2,4}D.{1,2,3,4}

2.已知1+i是關(guān)于x的方程％2一"+6=0的一個(gè)根，aR,貝！］〃+/?=()

A.0B.2C.1D.4

3.已知向量葡不共線，AB=Aa+b,AC=a+^ib,其中丸〉0,〃〉0,若4民。三點(diǎn)共線,

則；1+4〃的最小值為()

A.5B.4C.3D.2

4.“sina=3"是"sin4-cos4=L'的()

4222

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.設(shè)函數(shù)/(x)=|x-l|+|x—2|+|x-3|+…+|x-40|,則/(x)的最小值為()

A.780B.390C.400D.200

6.已知sin(a—0=2cos(a+，),tan(a—，)=g,則tana—tan/?=()

47-74

A.—B.—C.—D.一

7465

7.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.它的

具體內(nèi)容是：已知M是VN8C內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,AAMC,A/八四的面積分別為,邑，/，

且邑?&3+邑?荻+品?標(biāo)=°?若”為V4BC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，貝U

cos/4MB=()

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A

A.--B.--C.—D.—

3663

8.VxeR,用M(x)表示用x),g(x)中的較小者,記為M(x)=min{/(x),g(x)},設(shè)函數(shù)

f(x)=e1,-1+x-2,g(x)=-x2+(a-l)x-a,若VxeR,M(x)40,則a的取值范圍為()

A.(-oo,3+2A/2]B.(-℃,6]

C.[3-2倉(cāng)3+2偽D.[3-2V2,+oo)

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=2sin(3x-T，則()

A.

B.f^-^-x^=f(x)

2兀

C.〃x)在y,7T上為增函數(shù)

3it

D.函數(shù)y=〃x)+；在-于。上有且只有2個(gè)零點(diǎn)

10.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是()

A.已知點(diǎn)4瓦C是直線/上三個(gè)不同的點(diǎn)，。為直線/外一點(diǎn)，且反尤方+0.4歷,

貝!Jx=0.6

B.已知向量力=(1,2)3=(1,1),且&與)+4的夾角為銳角，則彳的取值范圍是

C.已知點(diǎn)G為V/8C三條邊的中線的交點(diǎn)，則有+方+品=6

D.已知萬(wàn)=(2石,2),就=(-1,-6),則萬(wàn)在％上的投影的坐標(biāo)為(6,3)

11.設(shè)函數(shù)/(x)=/,g(x)=logd，a>0且awl,貝I]()

A.函數(shù)/⑺和g(x)的圖像關(guān)于直線kx對(duì)稱

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

B.函數(shù)f(x)和g(x)的圖像的交點(diǎn)均在直線y=x上

C.若。=6,方程/(x)+x=8的根為芯，方程g(x)+x=8的根為/,貝!JX|+Xz=8

(1、

D.已知a>l,若/(/(尤))>x>g(g(x))恒成立，則。的取值范圍為ee,ee

\7

三、填空題

12.已知函數(shù)〃》)=$“3-曾(0>0)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為1,若“X)在

(-見⑼上是增函數(shù)，則正數(shù)m的取值范圍是.

13.設(shè)函數(shù)/(x)=&77-冰，若〃X)在(-8,+8)上是減函數(shù)，則。的取值范圍為.

14./=｛zeC|z=a+6i,aeN,6eN,|z|=1｝,B=｛zwC|z=x+yi,xeZ,ywZ,|x|V1,|引V1｝,

若定義Ne>8=｛zeC|z=Z]+z2,ZjEA,Z2e,則工十8中的元素有個(gè).

四、解答題

15.已知公差d不為0的等差數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為=6言=.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)令，=2%+12,記(為數(shù)列｛6n｝的前〃項(xiàng)和，若7；22024,求〃的最小值.

16.已知函數(shù)/■(無(wú))=x2e“\aeR.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，若x41,求/(x)的極值點(diǎn)和極值、最值點(diǎn)和最值；

⑵討論/(x)在[0,1]上的單調(diào)性.

17.已知函數(shù)/'(x)=sinx-cosx.

⑴求方程/(a)=cos2a在[0,2可上的解集；

⑵設(shè)函數(shù)尸(x)=/(x)+51nx；

5兀

(i)證明：>=產(chǎn)(、)在(0,二)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

4

211

(ii)在⑴的條件下，記函數(shù)丁=廠(%)的零點(diǎn)為％,證明：-]<lnxo+]sin2/<].

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

18.已知函數(shù)/'(x)=2sin120x+《J+l.

7171

(1)若0>O,1(x)在上為增函數(shù)，求切的值范圍；

(2)已知0<。<5J(x)的圖像向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖像.且x=g是

63

g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，若g(x)在[0,〃)(〃>0)上恰好有6個(gè)零點(diǎn)，求〃的最大值；

⑶已知函數(shù)〃(x)=qcos(2x-1]-2a+3(a>0),在第(2)問(wèn)的條件下，若對(duì)任意罰e0,6,

存在0,；,使得MxJ=g(xj成立，求°的取值范圍.

19.已知函數(shù)f(x)=xef.

ln(1+X)

(1)若0<x<l,證明：</(x)<ln(l+x);

X+1

⑵記數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為S,.

e

(i)若。"=/(〃)，證明：S,<小_產(chǎn).

(ii)已知函數(shù)g(x)=3x-l+ln(/(x)),若a”1==3,%>1,證明：Sn<3"+n-l.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CDBBCDBAABDACD

題號(hào)11

答案AC

1.C

【分析】根據(jù)集合的交集、并集運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)楣?{1,2},8={2,3},C={2,4},

所以(418)UC={2,4},

故選：C

2.D

【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程根的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即

可.

【詳解】因?yàn)?+i是關(guān)于x的方程--冰+6=0的一個(gè)根，。海*R,

所以l-i是關(guān)于x的方程/一辦+6=0的一個(gè)根，

1+i+l—i=〃=2

于是有.、,=>1,=^a+b=4,

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)?8,C三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)左，使刀=上二，即熱+3=左(@+〃3),

_一{A.=k

又向量6不共線，所以<=

[1=〃左

由2>0,〃>0,所以彳+4〃22=4,

當(dāng)且僅當(dāng)彳=4〃時(shí)，取“=”號(hào)，

故選：B

4.B

(yn1

【分析】先利用二倍角公式對(duì)題中已知條件進(jìn)行變形，對(duì)sin胃-cos?=:進(jìn)行平方化簡(jiǎn)變

222

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

形，然后再判斷兩個(gè)條件的邏輯關(guān)系即可得解.

【詳解】必要性：由sin"-cosq=',可得sin24—2sin4cos4+cos?幺=’,

22222224

aa33

貝!J2sin—cos—=—,即sincr=—.

2244

3aa]

所以“sina=-"是“sin——cos—=-的必要條件；

4222

充分性；由sina=±3,可得2sina4cosa巴=三3，

4224

.2?.aa2a1

即Bnsm----20sin—cos-I-cos—=—,

22224

rm/.a。丫1汨.a?laa1

則sm——cos—二一，得sm——cos—=_或sm——cos—=——.

(22J4222222

所以，!1￡=3，不是，3吟-31=1的充分條件；

4222

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，累加并注意等號(hào)成立的條件即可得解.

【詳解】因?yàn)閨尤-1+|尤-40以(x-l)-(x-40)|=39,當(dāng)且僅當(dāng)1W40時(shí)取等號(hào);

|x-2|+|x-39|>|(x-2)-(x-39)|=37,當(dāng)且僅當(dāng)2VxV39時(shí)取等號(hào)；

|x-3|+|x-38|>|(x-3)-(x-38)|=35,當(dāng)且僅當(dāng)3Vx438時(shí)取等號(hào);

以此類推，直到|尤-20|+x-21閆(尤-20)-(x-21)|=l,當(dāng)且僅當(dāng)204x421取等號(hào),

所以/(力21+3+5+…+37+39=也與叫=400,當(dāng)且僅當(dāng)204x421時(shí)取等號(hào).

故選：C.

6.D

【分析】由兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)系、

兩角差的正切公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由sin(a—，)=2cos(a+y0)=>sinacosP-cosasin/3=2cosacos/?-2sincrsin/

sinacosB-cosasinB2cosacosB-2sinasinB__

=>------------------------------=----------------------------------otana-tan2-2tanatanp,

cos<7cosPcosacos/?

,,c、1tana-tan61-”為

由tan(a一/)=—n-----------=——tanatanp=2tana-tanB,

21+tan。tan/?2

,4

于是有tana-tanp=2-2|_r2(tana-tan尸)一1」ntana-tanp,

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

故選：D

7.B

【分析】根據(jù)、?而+%-MB+品?MC=0和3&3+4筱+5就=0得邑：：Sc=3:4:5,

ADAT

從而可以得出——=4,—上=3,設(shè)〃。=x,MF=y,得4M=3x,BM=2y,再結(jié)合垂心

MDBF

和直角三角形余弦值即可求解.

【詳解】

如圖，延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)。，延長(zhǎng)8M交NC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CM交48于點(diǎn)E.

由W為VA8C的垂心，3MA+4MB+5MC=0-S.SA-MA+SB-MB+SC-MC=Q,

45

得邑：SR:5°=3：4:5,所以邑=§S〃,Sc=，

又S“BC=SJ%+SC，則/=4,同理可得丁=3,所以黑=4,整=3,

、SBMDMF

設(shè)=MF=y,則/M=3x,BM=2y,

22

所以(：05/皿0=二=＜；0$//〃^=x，gp3x=2y,-=

2y3xy3

所以cos/8MD=^="

2y6

V6

所以cosZAMB=cos(7i-ZBMD)=-cos^BMD=-

6

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用“奔馳定理”得到與：%：斗=3:4:5,從而利

用對(duì)頂角相等得到±=逅，由此得解.

y3

8.A

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)y(x)的單調(diào)性，結(jié)合題中函數(shù)w(x)的定義，利

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

用基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〉=/7/=彳-2都是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以/(X)在R上為增函數(shù)，

所以當(dāng)xWl時(shí)，/(%)</(1)=0,所以當(dāng)xWl時(shí)，M(x)40成立.

同時(shí)因?yàn)楫?dāng)x>l時(shí)，/(x)>/(l)=O,所以當(dāng)x>l時(shí)，g(x)40恒成立，

2

即當(dāng)x>l時(shí)，?(x-l)<x2+x,即aV”設(shè)，=%-1>0,

x—1

mA%2+x+3Z+22I2-rr

則-----=--------=?+-+3>3+2.r-=3+2A/2,

x-1ttVt

當(dāng)且僅當(dāng)/時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)/=血時(shí)取等號(hào)，所以.43+2VL

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)/(X)的性質(zhì)，運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解.

9.ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期判斷A,根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸判斷B,根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷

C,根據(jù)數(shù)形結(jié)合判斷D.

【詳解】由題意得函數(shù)〃x)=2sin13x-：|的最小正周期為午，所以/［-］卜〃》)成

立，A項(xiàng)正確；

因?yàn)?(一11)=2$山,2=-2,所以是“X)的最小值，

所以直線》=-展是/(x)圖象的一條對(duì)稱軸，所以，-/［=小)成立，B項(xiàng)正確；

當(dāng)時(shí)，4號(hào)］當(dāng)3尤_9鳥,字］時(shí)，仆)為減函數(shù)，C項(xiàng)錯(cuò)誤;

由題意知sin(3x-』=-。在［-Ro］有兩個(gè)不等實(shí)根，

I4J4L2J

設(shè)f=-二，一:，由函數(shù)y=siw,fe-7,一：的圖象，如圖，

44444

3

易知與直線>=-:有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，D項(xiàng)正確.

4

故選：ABD

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

10.ACD

【分析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角坐標(biāo)公式、三角形重心的性質(zhì)、投影

的定義逐一判斷即可.

【詳解】A：因?yàn)辄c(diǎn)4民C是直線I上三個(gè)不同的點(diǎn),O為直線/外一點(diǎn)，且雙=xOA+0,405，

所以有x+0.4=1=>x=0.6,正確；

B：2+花=（1+九2+彳），當(dāng)&與篇共線且同向時(shí)，早=等=彳=0,

此時(shí)萬(wàn)與）+25的夾角為零，而不正確；

C：設(shè)8C邊上的中線為4D,

于是房+濟(jì)+岳=房+伊+式）=M+痂，

因?yàn)辄c(diǎn)G為VN3C三條邊的中線的交點(diǎn)，

所以點(diǎn)G是三角形的重心，因此有G/=2G。，

于是有由+荏+數(shù)=由+俾+沅）=由+痂=6,正確;

D：因?yàn)榈?(26,2),就=(-1,-6),

所以方在就上的投影的坐標(biāo)為:

AB-AC

所以本選項(xiàng)正確,

故選：ACD

11.AC

【分析】對(duì)于A：根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于B：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于C：整理可

得9+西=8,心小+8-％=8,同構(gòu)函數(shù)Mx）=e'+x,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析證明；對(duì)于D：

根據(jù)題意分析可得Ina>媽，構(gòu)建函數(shù)d（x）=典,x>0,利用導(dǎo)數(shù)分析其最值，結(jié)合恒成

xx

立問(wèn)題即可得結(jié)果.

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?(X)和g(x)互為反函數(shù)，可知其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故A

正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：例如。=二，則=,g(x)=log[X,

16U6J而

可知〃X)和g(x)的圖像有交點(diǎn)和均不在直線〉=x上，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可得：e~+再=8,ln%2+工2=8，

g|^jliix2=S-x2,可得g一“2=工2，即e"巧+8—%2=8，

設(shè)函數(shù)〃(x)=e"+x,

因?yàn)榇?e",y=x在R上單調(diào)遞增，可知>=〃(%)在R上單調(diào)遞增，

又因?yàn)椤?項(xiàng))=〃(8-％2)，則芭=8-％2，即再+%=8,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)Q>1時(shí)，/(x)為增函數(shù)，

若〃x)4x,則/(/⑺b/⑺"，與/(/(x))>x矛盾，舍去，所以〃x)>x,

x

若/(/卜))>尤>8缶(尤))恒成立，則x>0,BPa>x>0,

lr>y

兩邊取對(duì)數(shù)可得Ina'Alnx,即ln〃>——，

x

同理可得：x〉g(g(x))等價(jià)于x>g(x),即lno>當(dāng)，

令d(x)=蛔,x>0,則d，(x)=l

當(dāng)0<x<e時(shí)，d'^x)>0；當(dāng)x>e時(shí)，d'^x)<0；

則〃x)W"(e)=L可得lna>L解得〃>￡，

ee

所以。的取值范圍為ee,+co；

例如q=e3>e?>1，可得優(yōu)>x>log?x,

BP/(x)>x>g(x),且〃x),g(x)為增函數(shù)，

符合題意，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C：根據(jù)題意整理可得e~+再=8,產(chǎn)%2+8—%=8,進(jìn)而可同構(gòu)

函數(shù)M%)=e"+%;

對(duì)于D：根據(jù)題意分析可知：1曲＞螞，解得。的取值范圍為ee,.進(jìn)而取反例說(shuō)明.

x

12.

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)對(duì)稱軸與周期的關(guān)系，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃吁出(5-外0＞0)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

所以=[解得0=2,即/(x)=sin[2x_g],

co22\3J

因?yàn)?(x)在(一"M上是增函數(shù)，貝冽＞0,

所以函數(shù)"X)=sin(2xT的增區(qū)間包含0,

人兀，c兀,兀/口715兀

令——<2x——<—,得---<%<—,

2321212

m落

兀5兀12

所以(-加,加)口，所以故加的取值范圍為0,二

12512

12

故答案為：

13.[1,+?)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行求解即可.

【詳解】由/(x)=J1+X2-GO/'(X)=,

Vl+x

因?yàn)?(x)在(-°o,+°o)上是減函數(shù),

xX

所以/'(X)VO在(-8,+8)上恒成立，即/,

\1++Xx41+x

設(shè)g("=”

當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=0,

(、X\x21

當(dāng)%>0時(shí),g(x)=7w=^7=

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

3>0n二+1>1=>

因?yàn)閤>0,所以XX

因此當(dāng)x〉0時(shí)，o<g(x)<l,

3>0n二+1>1=>

因?yàn)閤<0,所以XX

因此當(dāng)x<0時(shí)，一l<g(x)<0,

因止匕有T<g(x)<l,于是有a?l,

故答案為：［1,+°°)

14.14

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，結(jié)合題中定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?={訂},5={-1,01,-1+覃，1+>1——,1-4,

所以/十3={-l+i,i,l+i,-l+2i,2i,l+2i,-l,0,l,2,2+i,-i,l-i,2-i},

/十3共14個(gè)元素.

故答案為：14

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題中定義.

15.(l)a?=2n

⑵6

【分析】(1)利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求基本量，即可寫出通項(xiàng)公式；

4〃+14

(2)由(1)及題設(shè)。=2即+12,應(yīng)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式、分組求和得北=三-+12〃-

結(jié)合不等式能成立及(單調(diào)性求正整數(shù)〃的最小值.

6(4+4)

【詳解】⑴由題設(shè)土嬴=%,

2

所以13q+50d=74+56d而〃3=%+24=6=%=4=2,

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

所以%=2n

(2)由題設(shè)￡=2"”+12=4"+12,

4(l-4")4"+14

則7；=(4+不+43+…+4")+12〃=:4，+12〃=亍+12〃一§，

4〃+144〃+14

所以q=亍+12〃-]22024,又1=亍+12〃-§在〃eN*上單調(diào)遞增，

464

當(dāng)〃=5時(shí)，7：=—+12x5一一=1424<2024,

533

474

當(dāng)〃=6時(shí)，北=一+12x6--=5532>2024,

所以7；22024,求〃的最小值6.

16.(1)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值點(diǎn)、極值、最值點(diǎn)、最值的定義進(jìn)行求解即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)，并分類討論參數(shù)。研究函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】(1)當(dāng)°=1時(shí)，fix)=x2exf(x)=2xex+x2ex=x(x+2)e\

令/''(>)〉0，解得x>0，或x<-2,而xVl,所以0<xWl,或x<-2,

令f(x)<0>解得-2<x<0,

所以函數(shù)〃x)在(-*-2)上單調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0』上單調(diào)遞增，

因此x=-2是函數(shù)/(無(wú))的極大值點(diǎn)，極大值為4e\

x=0是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，極小值為0；

因?yàn)?'(l)=e>4e<,當(dāng)x->-8時(shí)，y-0,

所以函數(shù)在時(shí)，x=l是函數(shù)/(x)的最大值點(diǎn)，最大值為e,沒(méi)有最小值點(diǎn)，無(wú)最小值;

(2)由f(x)=x2e"nf'[x)=2xQax+ax1e,m=(ox+2)xeaA,

當(dāng)。20時(shí)，在[0,1]上，-(久)>0,因此函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)°<0時(shí)，令r(x)=0,解得x=_W,或x=0,

a

2

若一一<1時(shí)，即〃<—2時(shí)，

a

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

在［0'一5］上’因此函數(shù)/（X）單調(diào)遞增，

在卜上，r（x）＜o(jì),因此函數(shù)〃x）單調(diào)遞減;

2

若一一時(shí)，即一2Va＜0時(shí)，

a

在［OH上，r（x）＞o,因此函數(shù)〃x）單調(diào)遞增,

綜上所述：

當(dāng)。2-2時(shí)，在［0,1］上函數(shù)/（X）單調(diào)遞增，

當(dāng)aV-2時(shí)，在［。,二］上函數(shù)/（x）單調(diào)遞增，在（二,1］上函數(shù)〃x）單調(diào)遞減;

17.⑴匕f7i，兀，干5兀了3?！?

（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析

【分析】（1）利用余弦二倍角公式化簡(jiǎn)方程，再結(jié)合輔助角公式即可;

（2）（i）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)分區(qū)間研究函數(shù)的性質(zhì)，利用零點(diǎn)存在定理可證明；（ii）然

后利用換元法求值域即可證明.

【詳解1(1)sina—cosa-cos2a=cos2a-sin2a

所以(cosa-sina)(sina+cosa+1)=0.

所以cosa-sina=0或sina+cosa=-\

當(dāng)sina—cosa=0時(shí),cosawO,則tana=l,又a?0,2兀］,所以。=：或。=T,

.(兀、V2d「八c1?！肛?兀

當(dāng)sina+cosa=-l,n則itsmaH—=----,又a￡[0,2可,a+1￡—

v4J24_44

所以a+^=學(xué)或?，所以?；騛=^,

4442

所以方程/⑻=cos2a在［0,2月上的解集為［“jr無(wú),7Si,r了37r卜

（2）⑴設(shè)尸（x）=sinx—cosx+glnx=+￡（0,+功.

、r,（八3萬(wàn)］e兀/兀兀

當(dāng)工￡0,丁,則X-丁w-■,

I4」4142」

此時(shí)j；=V2sinL-在區(qū)間（0,二上單調(diào)遞增，

又y=|lnx在區(qū)間，，個(gè)上也單調(diào)遞增，所以"x）在區(qū)間（0,與上單調(diào)遞增,

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

71兀兀

又FV2sin5響=匕咱（

4哈了~2~~4

（3%

所以尸（X）在xe[o,不時(shí)有唯一零點(diǎn),

713

,V2sinX-->0,—Inx>0,所以T7。）〉。，

當(dāng)n

3兀5兀

所以尸（X）在xe

T'T上沒(méi)有零點(diǎn),

綜上，F(xiàn)(x)=sinx-cosx+gInx在10,571

有唯一零點(diǎn)x0.

（ii）記函數(shù)V=b（x）的零點(diǎn)為%,

32

,所以。

所以sinxQ-cosx0+—Inx0=0,且/E14,2Inx=y(cosx0-sinx0)

12

1.2x0=^-(cosx0-sinx0)+sinx0cosx0,

所以In/+§sin2x0=y(cosx0-sinx0)+-—sin

3

7171

令％=cosx-sinx=c:ios,因?yàn)樘臁辏?/p>

00k+:452

[-2

又r=l-2sinx0cosx0,貝|sin/cos/,

匚匚[、][].c22]—/122

所以lnxo+,sm2xo=./+.?—^—=一,?_1)+—e14?

【點(diǎn)睛】

18.(l)0<^<|；

⑵兀;

⑶年?

兀<兀

【分析】（1）由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可列3°2,從而解得。的值范圍.

兀兀

晶一萬(wàn)

（2）由g1）=0,0<。<5,可得。=3,從而知g（x）的解析式，再由正弦函數(shù)的零點(diǎn),

分析即可;

（3）原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為〃（占）的值域是g（￡）值域的子集，再根據(jù)正余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),

分別求得〃（占）與g（%）在對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)的值域，列出關(guān)于。的不等式組，解之即可.

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

jrjr

【詳解】(1)因〉=sinx在區(qū)間2k7i--,2k7i+-9cZ)上單調(diào)遞增,

故/(x)=2sin|2cox+—j+1,6y>0在區(qū)間—F”+春(丘Z)上單調(diào)遞增,

v6/o360(Dhco

.,.,7T7TklL7LkjL7L_.

故由題意知一個(gè)彳U———+—，貝！U=o,

_22J\_(t)3①①6G

兀<兀

3口2

于是<解得。W],故。的值范圍為0<。.

?！地?/p>

6CD2

C.(c兀兀)3

(2)由題意知g(x)=/2sin2+——CD|+1

I63J

因?yàn)閤=:是g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，所以8(：]=25出口0+(-：0)+1=0,

.?7T71?1.-j-./口兀717兀_j__d7T7T1171_

BnrPisin—coH—=,斛傳——/~1—=----1-2E,或——coH—=------\~2左T兀，keZ

v36J2366366

解得①=3+6左，或。=5+6左，keZ,

又0<G<5,所以。=3,

所以g(x)=2sin[6x-7]+l,

若g(x)在[(),〃)(〃>0)上恰好有6個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=sin(6x-與y=-g恰好有6個(gè)交點(diǎn),

令/=6x-型，xe[0,n)(n>0),貝心€[一決,6〃一包)，

666

冗

即尸sin/,”?57r,6"-5?)與歹=-19合好有6個(gè)交點(diǎn)，

662

所以4兀一=7T<6〃一5與7r45兀+7=T=7:7r<〃"兀，故幾的最大值為兀.

6669

(3)由(2)知g(x)=2sin16x--—+1,

若對(duì)任意再€0,；,存在0,；,使得〃(xj=g(尤2)成立，

則〃(為)的值域是g(%)值域的子集,

、[,八兀r>，3兀5712兀ll,..?,J71j「1ii

當(dāng)馬￡時(shí)，6x——G-,所以sm6工/c[—1,1],

4663I6)

即g(%)￡[T3],

、r,^71,兀7171G口，

當(dāng)馬￡0,一時(shí)，2x----G---,一所以

4663

即力(演)￡--a+3,-a+3

2

答案第12頁(yè)，共14頁(yè)

。>0

因?yàn)镸xJ的值域是g(z)值域的子集，所以一

—u+3W3

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為，,|.

19.(1)證明見解析

⑵(i)證明見解析(ii)證明見解析

【分析】(1)先構(gòu)造函數(shù)證明e、>x+l,ln(x+l)>]匚，再由〃x)的單調(diào)性得出