2025年湖南省長沙市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年湖南省長沙市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題

1.（5分）已知集合。="|%>-2},Q={M?+5X-24W0},則QG（CRP）=（）

A.{x\-8xW-3}B.{x|-3〈xW-2}C.{x|-3^x<-2}D.{x|--2}

TTTTTT

2.（5分）平面向量二b滿足向=a?b=l,貝Ua在b方向上的投影向量為（）

1-1T—>—>

A.—2bB.-bC.-bD.b

2

3.（5分）若（l+山）（6Z-z）>0,6ZER,則（）

A.a=\B.a=±lC.QW-1或心1D.QN1

4.（5分）1941年中國共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號(hào)召根據(jù)地軍民,自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開

展大生產(chǎn)運(yùn)動(dòng)，最終走出了困境.如圖就是當(dāng)時(shí)纏線用的線拐子,在結(jié)構(gòu)簡圖中線段45與CQ所在直

線異面垂直，E、尸分別為45、CZ）的中點(diǎn)，且斯，45,EFLCD,線拐子使用時(shí)將絲線從點(diǎn)4出發(fā),

依次經(jīng)過。、B、。又回到點(diǎn)4這樣一直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”.圖中

簡圖

A.90A/2cmB.90A/3cmC.60V6cmD.80V3cm

5.（5分）定義在R上的函數(shù)/（%）周期為4,且/（2x+l）為奇函數(shù)，則（

A./（x）為偶函數(shù)B./（x+1）為偶函數(shù)

C.f（x+2）為奇函數(shù)D./（x+3）為奇函數(shù)

6.（5分）現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師,兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求

每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為（）

A.216B.432C.864D.1080

7.（5分）函數(shù)/（x）=cos3x-4sin2x在區(qū)間［-20241T,2024n］內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（

A.0B.-2024TlC.1012KD.-1012K

8.（5分）過拋物線C：/=4x焦點(diǎn)廠且斜率為舊的直線與C交于/、3兩點(diǎn)，若尸尸為△為^的內(nèi)角平

分線，則面積最大值為（）

第1頁（共19頁）

二、多選題

（多選）9.（6分）要得到函數(shù)y=s譏（2%+與）的圖象，可將函數(shù)尸sinx的圖象（）

冗

A.向左平移2個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

6

711

B.向左平移石個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

C.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移m個(gè)單位長度

Zo

71

D.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移§個(gè)單位長度

（多選）10.（6分）質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有2,5,7,70四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄

與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件3,“數(shù)字是

7的倍數(shù)”為事件。，則下列選項(xiàng)不正確的是（）

A.事件/、B、。兩兩互斥

B.事件/U3與事件3CC對(duì)立

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

D.事件/、B、C兩兩獨(dú)立

11

（多選）11.（6分）已知數(shù)列{。篦},{bn}f￥兩足斯+i=<1+7=垢+EN*）,a\=b\=\9當(dāng)〃22

nan

時(shí)，an乎bn，貝（）

A.的2>8

1、1

B-%+i+嗝an+b^

C.。及+1+6“<為+1+斯

D.（Q〃+Q〃+I）（b〃+b〃+i）24

三、填空題

12.（5分）（/+1）（2乂一］）4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

13.（5分）若a==，b=tan器，c=Zn^|,則a,b,c的大小關(guān)系為（用號(hào)連

接）.

14.（5分）數(shù)學(xué)家Ge加〃〃用一平面截圓錐后，在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別

與圓錐側(cè)面、截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）.若

第2頁（共19頁）

圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成60°角的平面截圓錐所得橢圓的離心率

為.

15.(13分)已知函數(shù)/(x)=e"x-ex-6在x=0處的切線為x軸.

(1)求a,b的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

16.(15分)如圖所示，五面體48c￡>￡中，ABLBC,四邊形48DE為平行四邊形，點(diǎn)E在面48c內(nèi)的

投影恰為線段NC的中點(diǎn)，AE=AC=2AB=2.

(I)求五面體N3CDE體積；

(2)求平面/EC與平面夾角的余弦值.

17.(15分)過雙曲線十―y2=1的右焦點(diǎn)F作斜率相反的兩條直線八、12,人與￡的右支交與/、B

兩點(diǎn)，/2與E的右支交C、。兩點(diǎn)，若NC、相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：點(diǎn)P為定點(diǎn)；

(2)設(shè)/C的中點(diǎn)為3。的中點(diǎn)為N,當(dāng)四邊形NCAD的面積等于|卬2時(shí)，求四邊形/CAD的周

長.

18.(17分)2024年初，多地文旅部門用各種形式展現(xiàn)祖國大美河山，掀起了一波旅游熱潮.某地游樂園

一迷宮票價(jià)為8元，游客從/處進(jìn)入，沿圖中實(shí)線游玩且只能向北或向東走，當(dāng)路口走向不確定時(shí)，

用拋硬幣的方法選擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走(每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個(gè)結(jié)果)直

第3頁(共19頁)

到從X(X=1,2,3,4,5,6,7)號(hào)出口走出，且從X號(hào)出口走出，返現(xiàn)金X元.

(1)隨機(jī)調(diào)查了進(jìn)游樂園的50名游客，統(tǒng)計(jì)出喜歡走迷宮的人數(shù)如表:

男性女性總計(jì)

喜歡走迷宮121830

不喜歡走迷宮13720

總計(jì)252550

判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān)?

n(czd—be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(左三向)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

(2)走迷宮“路過路口8”記為事件瓦從“X號(hào)走出”記為事件/x，求尸。5度)和尸(為/4)的值;

(3)設(shè)每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為多少？

4

-------------------7

川IIIIII

19.(17分)已知平面內(nèi)定點(diǎn)/(0,1),P是以CM為直徑的圓C上一動(dòng)點(diǎn)(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).直線。尸與

點(diǎn)/處C的切線交于點(diǎn)2,過點(diǎn)3作x軸的垂線BN,垂足為N,過點(diǎn)尸作x軸的垂線尸。，垂足為0,

過點(diǎn)尸作8N的垂線尸垂足為

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程「；

(2)求矩形PMV0面積的最大值；

(3)設(shè)M的軌跡「，直線x=-〃，x=n(?GN*)與x軸圍成面積為入，甲同學(xué)認(rèn)為隨〃的增大，入也

會(huì)達(dá)到無窮大，乙同學(xué)認(rèn)為隨〃的增大人不會(huì)超過4,你同意哪個(gè)觀點(diǎn)，說明理由.

第4頁(共19頁)

2025年湖南省長沙市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題

1.（5分）己知集合尸={x[x>-2},。={小2+5『24W0},則QA（CRP）=（）

A.{x\-8xW-3}B.{x|-3WxW-2}C.{x|-3Wx<-2}D.{x\-8WxW-2}

【解答】解：解不等式f+5x-24W0,得-84W3,則0={x|-8WxW3},

由P={x|x>-2},得CRP={小由-2},

所以QC（CRP）={X|-8WXW-2}.

故選：D.

T—TTT->T

2.（5分）平面向量a,b滿足|b|=a?b=l,貝Ua在b方向上的投影向量為（）

1T1——T

A.—-QbB.—bC.-bD.b

22

T-

TTa-bTT

【解答】解：依題意，a在b方向上的投影向量為kb=b.

\b\2

故選：D.

3.（5分）若（1+ai）（a-z）>0,a€R,則（）

A.=1B.a=±lC.aW-1或D.

【解答】解：（l+山）（a-i）=2a+（a2-1）i,依題意，2a+（a2-1），是正實(shí)數(shù)，因此j2。〉。，

la2—1=0

所以a=L

故選：A.

4.（5分）1941年中國共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號(hào)召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開

展大生產(chǎn)運(yùn)動(dòng)，最終走出了困境.如圖就是當(dāng)時(shí)纏線用的線拐子，在結(jié)構(gòu)簡圖中線段與⑦所在直

線異面垂直，E、尸分別為N2、8的中點(diǎn)，且斯，EFLCD,線拐子使用時(shí)將絲線從點(diǎn)/出發(fā)，

依次經(jīng)過。、B、C又回到點(diǎn)/,這樣一直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”.圖中N3

=EF=CD=30cm,則絲線纏一圈長度為（）

B

簡圖

第5頁（共19頁）

A.90V2cmB.90A/3cmC.60V6cmD.80V3cm

—>—>—>—>—>—>

【解答】解：依題意EB1EF,FD1EF,EB1FD,

—>—?—>—?—>—>

所以EB-￡T=O,FD-EF^0,EB?FD=Q,

又BD=BE+EF+FD,

—>T—>—>T—>TT—>—>—>—>

所以B￡)2=(BE+EF+FD)2=BE2+EF2+FD2+2,BE-EF+2BE-FD+2EF-FD

=152+302+152=152X6,

—>—>—>—>__

所以=15V6,同理可得|4D|=\AC\=\BC\=15遍，

所以絲線纏一圈長度為4x15V6=60遍(cm).

故選：C.

5.(5分)定義在R上的函數(shù)/G)周期為4,且/(2x+l)為奇函數(shù)，則()

A.f(x)為偶函數(shù)B./(x+1)為偶函數(shù)

C.f(x+2)為奇函數(shù)D.f(x+3)為奇函數(shù)

【解答】解：因?yàn)?1(2x+l)為奇函數(shù)，所以-2x+l)=-f(2x+l),

所以/(-x+1)=-/(x+1),所以/(x+1)為奇函數(shù)，故8錯(cuò)誤；

因?yàn)槎x在R上的函數(shù)/G)周期為4,所以/(x+4)=f3,

由8選項(xiàng)可知，所以/(-x+2)=-f(x),貝U/(-x+2)=-f(x+4),

所以/(-x+3)=-/(x+3),則/(x+3)為奇函數(shù)，故。正確；

由/(-x+1)=~f(x+1),所以/(-x+1)+f(x+1)=0,則/'(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

令/(x)=sin(TIX),則/'(x+4)=sinn(x+4)=simrx=/(x),滿足函數(shù)/'(x)周期為4,

且/(2x+l)=sin(2TTX+TT)=-sin(2itr)滿足/(2x+l)為奇函數(shù)，

但是/(x)=sin(to)為奇函數(shù)，故/錯(cuò)誤；

令/'(久)=cos(梟)，貝叭%+4)=cos玲(尤+4)]=cos(^x)=/(x),滿足函數(shù)/(x)周期為4,

又/'(2久+1)=COS[^(2X+1)]=COS(兀龍+5)=-S譏(7TX)滿足f(2x+l)為奇函數(shù)，

但是/(x+2)=cos怎(x+2)]=cosfj^x+兀)=一cos?%)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤.

故選：D.

6.(5分)現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求

每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為()

第6頁(共19頁)

A.216B.432C.864D.1080

【解答】解：求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學(xué)校，有屬種方法，

再把4名語文教師按2：1：(1分)成3組，并分配到三所學(xué)校，有第用種方法，

最后把2名數(shù)學(xué)教師分配到只有1名語文教師的兩所學(xué)校，有國種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為國?《禺?度=432.

故選：B.

7.(5分)函數(shù)/(x)=cos3x-4sin2x在區(qū)間［-2024m2024n］內(nèi)所有零點(diǎn)的和為()

A.0B.-2024HC.1012TID.-1012TT

【解答】解：依題意，f(x)=cos(2x+x)-4sin2x=cos2xcosx-sin2xsiiu-8sinxcosx

=(1-2sin2x)cosx-2sin2xcosx-8sinxcosx=cosx(1-4sin2x-8sinx),

由f(x)=0,

得cosx=0或sin%=在22或sin%=號(hào)4(不符合題意，舍去)，

又函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，

則在［-2024m2024用上的所有零點(diǎn)關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，它們的和為0,

正弦函數(shù)歹=sinx的周期為2m

方程sinx=Q(OVQVI)在［0,2n］的兩根和為m在［-如，0］上的兩根和為-3n,

/~E_Q

因此s譏久=安￡在［2阮，2(KI)TT］,-1012^^1011,住Z上的兩根和構(gòu)成首項(xiàng)為-4047TT,末項(xiàng)

為404511的等差數(shù)列，共有2024項(xiàng)，

所有根的和為-2024n.

故選：B.

8.(5分)過拋物線C：/=4x焦點(diǎn)尸且斜率為舊的直線與C交于/、3兩點(diǎn)，若尸尸為△為8的內(nèi)角平

分線，則面積最大值為()

81632

A."B.—C.—D.16

333

【解答】解：拋物線C：丁=4%焦點(diǎn)廠(1,o),直線45的方程為了二遮(％-1),

1

由,=百0-1),解得3迎晨二■不妨令嗎'一竽)，g2a，

(片=4%

3

則|A8|=^+1+3+1=學(xué)，捺'=￥=3，由尸尸為△出8的內(nèi)角平分線，

第7頁(共19頁)

|P4|^PA\-\PF\sin^APFS^APF\AF\

得兩=|j麗即許=或蒜=兩=3’墳點(diǎn)尸（x,了）,

于是J。_3）2+（y_2遮）2=3卜一1+（y+竽）2,

整理得了+（y+遮）2=4,顯然點(diǎn)尸在以點(diǎn)（0,—遙）為圓心，2為半徑的圓上,

因此點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為2,

I1616

所以面積最大值為5x2x—=—.

故選：B.

二、多選題

（多選）9.（6分）要得到函數(shù)y=s譏（2乂+倒的圖象，可將函數(shù)尸sinx的圖象（）

7T

A.向左平移工個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

O

B.向左平移三個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

C.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼亩賹⑺脠D象上所有點(diǎn)向左平移g個(gè)單位長度

L6

TT

D.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移］個(gè)單位長度

【解答】解：對(duì)于/,所得解析式為y=s譏6久+看），/錯(cuò)誤；

對(duì)于8,所得解析式為y=sin（2x+《），3正確；

對(duì)于C,所得解析式為y=sin［2（x+卜）］=sin（2x+，），C正確;

對(duì)于D,所得解析式為y=s譏弓（x+Q=si7i（?+.），D錯(cuò)誤.

故選：BC.

（多選）10.（6分）質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有2,5,7,70四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄

與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件8,“數(shù)字是

第8頁（共19頁）

7的倍數(shù)”為事件C,則下列選項(xiàng)不正確的是()

A.事件/、B、C兩兩互斥

B.事件NU3與事件8AC對(duì)立

C.P(48C)=P⑷P(2)P(C)

D.事件/、B、C兩兩獨(dú)立

【解答】解：質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有2,5,7,70四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄與地

面接觸面上的數(shù)字，

記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件3,“數(shù)字是7的倍數(shù)”為事件C,

依題意拋擲一次可能出現(xiàn)的結(jié)果有2、5、7、70,

91

事件A包含的基本事件有2、70,貝皿力)=今=今

事件8包含的基本事件有5、70,貝i]P(8)U；

事件C包含的基本事件有7、70,則P(C)U；

顯然事件/與事件2,事件/與事件C,事件C與事件3均可以同時(shí)發(fā)生，

故事件/與事件事件N與事件C,事件C與事件8均不互斥，故/錯(cuò)誤；

事件NU8包含的基本事件有2、5、70,

事件8。C包含的基本事件有70,

當(dāng)出現(xiàn)70時(shí)事件AUB與事件SAC均發(fā)生，故事件AUB與事件BHC不互斥，

顯然不對(duì)立，故8錯(cuò)誤；

又事件/8C包含的基本事件有70,所以P(4BC)=J,

所以尸(ABC)WP(/)P(B)P(C),故C錯(cuò)誤；

因?yàn)槭录?C包含的基本事件有70,所以P(BC)=*=P(B)P(C),所以2與。相互獨(dú)立；

因?yàn)槭录?2包含的基本事件有70,所以PQ4B)=[=P(B)PQ4),所以2與4相互獨(dú)立；

因?yàn)槭录?C包含的基本事件有70,所以PQ4C)=*=PQ4)P(C),所以/與。相互獨(dú)立；

即事件/、B、C兩兩獨(dú)立，故。正確.

故選：ABC.

11

==

(多選)11.(6分)已知數(shù)列{劭},{6?},￥兩足冊(cè)+1=冊(cè)+7=垢+=€N*),a\bi\J當(dāng)〃三2

an

時(shí)，QnWbn，則()

第9頁(共19頁)

A.。32>8

11

B.a+-r--+T--------

n+1°n+l，n+2

C.VZ7〃+I+Q%

D.（。及+斯+1）（bn+bn+O24

11

【解答】解：由冊(cè)+i=a九+—=b+y-（nCN*）,ax=b1=1,

anDnn

111

a

所以。2=i+-=2,又a九+i=a九+—,顯然斯>0,所以a九+i—an=—〉0,

Cl-]Lt/I“71

所以｛斯｝單調(diào)遞增，則｛;｝單調(diào)遞減，

即an+\~an>an+2-斯+1，所以2斯+1>斯+2+即①，

11、11

由冊(cè)+薪="九+瓦？設(shè)"n+點(diǎn)'="n+瓦=k（k>。），

即劭、b為關(guān)于％的方程，-而+1=0的兩根，所以斯瓦=1,

即％i=2，bn+l=2/?+1比=1，則冊(cè)+1=3—，代入①得斯+1+〉冊(cè)+，故5正確;

D

nZOs十,。九+1。幾+ion+2

11

當(dāng)時(shí),a九+i=。九+—9所以成+1=成+2+運(yùn)，

所以W+1—碎=2H—2>2,

an

所以成一4_1>2,碎_1一碎_2〉2’...，慰一山二3,

所以成—>2n—1,則成>2n,

所以說2>2X32=64,所以的2>8,故4正確;

因?yàn)椋浚龁握{(diào)遞增，所以斯+1>斯，又因?yàn)楹瘮?shù)/（%）=%-紙（0,+°°）上單調(diào)遞增,

所以“+1—六

71

CLn

所以an+\-bn+\>an-b”

所以Q〃+i+b〃>a〃+b〃+i,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)椋ㄋ?即+i）Cbn+bn+O=anbn+an+1bn+anbn+1+an+1bn+1

—2+。九+18九+。71力九+1N2+2Ja九+1b九a九6九+1—4,

當(dāng)且僅當(dāng)an+ibn=anbn+i時(shí)取等號(hào)，故。正確.

故選：ABD.

三、填空題

12.（5分）（/+1）（2久一"）4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為16

第10頁（共19頁）

【解答】解：依題意，（2%-辦4展開式的常數(shù)項(xiàng)為鬣（2x）2.（一1）2=24,

含/2的項(xiàng)為或（2x）1?（—1=_*

所以（久2+1）（2%-辦4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1X24+/（-爰）=16.

故答案為：16.

13.（5分）若a=*，b=tcm器，c="蓋，則a,b,c的大小關(guān)系為c<a〈b（用號(hào)連接）.

【解答】解：令函數(shù)/（x）=tanx-x,撫（0,1）,求導(dǎo)得f我）=cMx—s叱（―sinx）_]=j_一,

COS乙Xcos￡x1>0

即函數(shù)/（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，/（X）>/（0）=0,則器）>0,即力=tan品>備>表=a,

1

令函數(shù)g（x）—In（x+1）-x,x&（0,1）,求導(dǎo)得g（x）=鈣彳—1<D,

即函數(shù)g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，g（x）<g（0）=0,則9（的;）VO，即。=Zn2^;<至'=a,

所以a,b,c的大小關(guān)系為c<a<6.

故答案為：c<a<6.

14.（5分）數(shù)學(xué)家Ge加打adZ>a"de/沅用一平面截圓錐后，在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別

與圓錐側(cè)面、截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）.若

圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成60°角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為_半_.

【解答】解：令兩個(gè)球。2分別與截面相切于點(diǎn)￡,F,在截口曲線上任取一點(diǎn)“，過點(diǎn)〃作圓錐

的母線，

分別與兩個(gè)球相切于。，P,HQ,均為球。1的切線，則同理

因此HE+HF=HP+HQ=PQ>EF,由切點(diǎn)尸，0的產(chǎn)生方式知，P。長為定值，

于是截口曲線上任意點(diǎn)H到定點(diǎn)E,尸的距離和為定值，該曲線是以點(diǎn)E,尸為焦點(diǎn)的橢圓，

作出幾何體的軸截面，如圖，設(shè)&4=2,依題意，ZS=60°,ZSAB=30°,

則NSBA=90。，SB=1,AB=W，橢圓的長軸長2a==V3,半焦距為c,

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AB+SB-SAV3-1,因此c=4,所以離心率e=￡=^.

貝Ua—c=BF=

22

?,V3

故答案為：—.

15.（13分）已知函數(shù)/（%）=/-ex-6在x=0處的切線為x軸.

(1)求a,b的值;

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）=eax-ex-b,所以，（x）=aeax-e,

依題意知，f(0)=0且/(0)=0,

X2解得｛:a—e

所以

b=1'

（2）由（1）可得/（%）=*一4―1函數(shù)的定義域?yàn)镽,

又，(x)=eex+i-e=e(eex-1),

ex+1ex+2

令g(x)=f(x)=e-ef則g'(x)=e>0,所以g(x)在定義域R上單調(diào)遞增，即，(x)

在定義域R上單調(diào)遞增,

又/'(0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí)/(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，(%)>0,

所以/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,o）,單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）.

16.（15分）如圖所示，五面體48CDE中，ABLBC,四邊形4SDE為平行四邊形，點(diǎn)￡在面45C內(nèi)的

投影恰為線段NC的中點(diǎn)，AE=AC=2AB=2.

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（1）求五面體N3CDE體積；

（2）求平面/EC與平面D3C夾角的余弦值.

【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)￡在面/8C內(nèi)的投影恰為線段NC的中點(diǎn)，作EOL/C垂足為。，則￡。，平

面/8C,

因?yàn)镹E=NC=2/8=2,所以△口（7為等邊三角形，所以E。=72一[2=舊,

又AB工BC,所以8」=7AC2一府=百,

過點(diǎn)E作AC的平行線EF,過點(diǎn)D作BC的平行線交EF于點(diǎn)F,

又四邊形/ADE為平行四邊形，所以不為三棱柱，

則匕1BC-DFE=S&ABC.EO=[XV3X1XV3=彳

1

又三棱錐C-DEF的體積是三棱柱ABC-EDF的體積的1

2

所以五面體ABCDE的體積是三棱柱ABC-EDF的體積的1

所以五面體4BCDE的體積U=掾x《=1.

（2）由（1）知EO_L平面N3C,在平面48c內(nèi)過點(diǎn)。作OM_L/C交8c于點(diǎn)M,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

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則/(0,-1,0),C(0,I,0),B(g,0),E(0,0,V3),

又AB=ED,所以。(翌，I，V3),

所以=>0),CD=>-今’V3),

又平面/EC的法向量可以為￡=(L0,0),

T->一

設(shè)平面。5c的法向量為TH=(%,y,z),則7nle81,m1CD,

(TT熱3

Im-CB=-7T-x—yy=0一_

貝MT一片；，取租=(3,V3,1-1)，

(m-CD=-^-x—2y+V3z=0

設(shè)平面NEC與平面DBC夾角為e,貝ijcose=±=4[_3_3/13

|m|-|n]-1x713-13

17.(15分)過雙曲線E；?—y2=1的右焦點(diǎn)F作斜率相反的兩條直線八、12,人與￡的右支交與/、B

兩點(diǎn)，/2與E的右支交C、。兩點(diǎn)，若4C、相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：點(diǎn)P為定點(diǎn)；

(2)設(shè)NC的中點(diǎn)為M,3。的中點(diǎn)為N,當(dāng)四邊形/CAD的面積等于|卬2時(shí)，求四邊形/CAQ的周

長.

【解答】解：(1)證明：易知雙曲線E；"―y2=1的右焦點(diǎn)/(2,0),

由人與E的右支交與/、B兩點(diǎn)，/2與￡的右支交C、D兩點(diǎn)，

設(shè)直線/1的斜率為人"W0),則直線/i：y=k(x-2),

(y=fc(x—2)

由卜2,，得(1-39)x2+120x-12廬-3=0,

匕7=1

設(shè)/(XI，yi),B(X2,>2),不妨設(shè)X1>X2,

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'1—3/40

L=144k4-4(1-3k2)(-121c2-3)>0

，2,解得孚或孚,

則《xx12kkV—k>

久1+"2_3卜2_1'U33

12k2+3

口2=蕭，>。

又/1與及斜率相反，即4與/2關(guān)于X軸對(duì)稱，又NC、3。相交于點(diǎn)尸,

則/點(diǎn)與。點(diǎn)對(duì)稱，3點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)稱，則NC與AD也關(guān)于x軸對(duì)稱,

根據(jù)對(duì)稱性可知尸點(diǎn)一定在工軸上，設(shè)尸（冽，0）,又C（X2，-"），

V-I-Vo_

所以-----=------，所以2%112+4加=（2+冽）（xi+%2）,

x1—m%2—m

即2^-1+46=（2+根）（素旨），解得小=|）

所以直線/C、8。相交于點(diǎn)P（*,0）.

（2）依題意四邊形/C2。為等腰梯形，為梯形的中位線，

設(shè)8C、與x軸的交點(diǎn)分別為G、H,則且MN與G"互相平分,

所以LCBD=04。什蜉*GH|=|MN|?|GH|=\MN\2,

所以L=|GA],則四邊形MGNH為正方形，

所以MG〃N8且斜率為1,

y=x-2

6—A/6

所以直線/1：尸X-2,則721得2》2_12X+15=0,解得比1=后或比2

巳7=13

(71.(Q2+-/6)2—^6

貝M=%i-2=—^―，y2=x2~2=—^―，

grpi(-6+A/62+布、6—762—A/6.

所以ZA(-2-,-),Bpr(_2一,-2

則。（如弁,—2—V6Ar(6-A/6-2+V6.

-2-)'"22)

\r6+^66—A/6An~_z2+^/6-2+>/^、.

所以|4C|=[L------廠)+(F-----------L)=Vio,

田。|=2(^^)=四一2,|4。|=2(^^)=灰+2,

所以四邊形/CSD的周長為2遙+2V10.

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18.（17分）2024年初，多地文旅部門用各種形式展現(xiàn)祖國大美河山，掀起了一波旅游熱潮.某地游樂園

一迷宮票價(jià)為8元，游客從/處進(jìn)入，沿圖中實(shí)線游玩且只能向北或向東走，當(dāng)路口走向不確定時(shí)，

用拋硬幣的方法選擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走（每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個(gè)結(jié)果）直

到從X（X=1,2,3,4,5,6,7）號(hào)出口走出，且從X號(hào)出口走出，返現(xiàn)金萬元.

（1）隨機(jī)調(diào)查了進(jìn)游樂園的50名游客，統(tǒng)計(jì)出喜歡走迷宮的人數(shù)如表:

男性女性總計(jì)

喜歡走迷宮121830

不喜歡走迷宮13720

總計(jì)252550

判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān)?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（笈三左0）0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

（2）走迷宮“路過路口5”記為事件-從“X號(hào)走出”記為事件求尸（在醫(yī)）和尸（回4）的值;

（3）設(shè)每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為多少？

【解答】解：（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得依=磊譽(yù)=3<3.841,

所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān)；

第16頁（共19頁）

(2)依題意當(dāng)路口走向不確定時(shí)，用拋硬幣的方法選擇，

1

所以向北與向東走的概率均為了

由4到路口B需向北走2個(gè)，向東走3個(gè)路口，則不同路線有或條，

所以P(B)=髭XG)5==,

事件表示從《出發(fā)經(jīng)過路口3最后從5號(hào)路口走出，

則P(&B)=虞X[)5X的X(1)3=演，

1q

所以P(4|B)=/黑=率=看

P(用/4)表示從4出發(fā)最后從4號(hào)路口走出的條件下經(jīng)過路口5的概率，

又P04)=心X(1)8=卷，PQ44B)=髭X(1)5X禺X?)3=磊，

所以P(8M4)=[圖'=量=*

128

(3)依題意從X(X=L2,3,4,5,6,7)號(hào)出口走出，返現(xiàn)金X元，

所以每名游客游玩一次游樂園收入可能取值為Y=8-X,

所以P(y=7)=?x(1)8+(1)7=短，

「《=6)==*(/=照,

P(Y=5)=髭X[)8=嘉p(y=4)=或X(1=70_,

P"=3)=鷹X(抄=嘉p(y=2)=既X(抄=/，

「(丫=1)=小(抄+(打=短，

所以每名游客游玩一■次游樂園收入的期望為：7x,+6x-^7+5x+4x+3x+2x

z5oZ5o256Z56256

28-94

256+1X256=4,

每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為500X4=2000元.

19.(17分)已知平面內(nèi)定點(diǎn)/(0,1),P是以04為直徑的圓C上一動(dòng)點(diǎn)(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).直線OP與

點(diǎn)4處C的切線交于點(diǎn)瓦過點(diǎn)8作x軸的垂線3N,垂足為N,過點(diǎn)尸作x軸的垂線尸。垂足為0,

過點(diǎn)尸作BN的垂線垂足為

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程r；

第17頁(共19頁)

（2）求矩形尸兒WQ面積的最大值；

（3）設(shè)M的軌跡「，直線x=-〃，x=n（〃eN*”與x軸圍成面積為入，甲同學(xué)認(rèn)為隨〃的增大，人也

會(huì)達(dá)到無窮大，乙同學(xué)認(rèn)為隨〃的增大人不會(huì)超過4,你同意哪個(gè)觀點(diǎn)，說明理由.

【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)>）,依題意，直線A3的方程為了=1,3（x,1）,顯然點(diǎn)尸與。不重合,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N不重合時(shí)，連接4P,由P是以CM為直徑的圓。上一點(diǎn)，則4P_L。尸,

由48〃x軸，得△NOBs△尸o/s0P。，則岑■=■。11P。1_IPQI

\0B\"\0B\~\A0\

1

而|OB|=V^TT'則阿|=磊’于是^^=2即”占,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)4重合時(shí)，點(diǎn)5與點(diǎn)4重合，點(diǎn)