中考數(shù)學(xué)試題分項匯編：動點綜合問題（共32題）原卷版+解析

專題28動點綜合問題（32題）

1.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AS=10,BC=6,AC=8,點尸為線段A3上的動

點，以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動,到達點B時停止.過點P作尸M，AC于點M、作PN±BC

于點N,連接MN,線段的長度y與點尸的運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點

E的坐標為（）

時

c8k

10*

A.（5,5）B.［知（3224、<323

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖1，在RtZXABC中，動點尸從A點運動到8點再到。點后停止,

速度為2單位/s,其中8尸長與運動時間t（單位：s）的關(guān)系如圖2,則AC的長為（）

;A”叮

BC11.5s7

圖1圖2

A.B.7427C.17D.5出

2

3.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，64=60°,AB=4,動點M,N同時從A點

出發(fā)，點M以每秒2個單位長度沿折線A-3-C向終點C運動;點N以每秒1個單位長度沿線段AD向終點

。運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動.設(shè)運動時間為X秒，AAAW的面積為y個平方

單位，則下列正確表示y與無函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

B_____0

//

A

D

4.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABC。中，AB=4,動點M,N分別從點A,B

同時出發(fā)，沿射線AB,射線的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接。暇，MN,ND.設(shè)點M運

動的路程為彳（。<*<4）,ADMN的面積為S,下列圖像中能反映S與尤之間函數(shù)關(guān)系的是（）

5.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖1,點P從等邊三角形A3C的頂點A出發(fā)，沿直線運動到三角形內(nèi)部一

點，再從該點沿直線運動到頂點反設(shè)點尸運動的路程為無，—=y,圖2是點尸運動時y隨x變化的關(guān)

系圖象，則等邊三角形A3c的邊長為（）

A.6B.3C.473D.2G

6.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xQv中，直線y=-x-2與x軸、y軸分別交

于A、8兩點，C、。是半徑為1的。。上兩動點，且cr>=血，尸為弦。的中點.當C、。兩點在圓上運

7.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）如圖是一種軌道示意圖，其中ADC和ABC均為半圓，點M,A,C,N依次

在同一直線上，且AM=OV.現(xiàn)有兩個機器人（看成點）分別從M,N兩點同時出發(fā)，沿著軌道以大小相

同的速度勻速移動，其路線分別為AfOfCfN和NfCf33Af若移動時間為x,兩個

機器人之間距離為》則y與x關(guān)系的圖象大致是（）

8.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中,點A的坐標為（9,0）,點C的坐標為（0,3）,

以O(shè)A,OC為邊作矩形OABC.動點瓦尸分別從點O,B同時出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿0A2C向終

點AC移動.當移動時間為4秒時，ACEF的值為（）

A.V10B.9MC.15D.30

9.（2023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）已知點尸是等邊AABC的邊BC上的一點，若NAPC=104。，則在以線段

AP,BP,CP為邊的三角形中，最小內(nèi)角的大小為（）

A.14°B.16°C.24°D.26°

10.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖1,正方形A8CD的邊長為4,E為8邊的中點.動點P從點A出

發(fā)沿f勻速運動，運動到點C時停止.設(shè)點尸的運動路程為X,線段PE的長為y,y與X的函數(shù)圖

象如圖2所示，則點M的坐標為（）

A.（4,273）B.（4,4）C.（4,275）D.（4,5）

11.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，。是邊8C上的點（不與點反C重合）.過點。作

交AC于點E；過點。作。/〃AC交A3于點b.N是線段即上的點，BN=2NF；M是線段DE

上的點，DM=2ME.若已知ACMN的面積，則一定能求出（）

A.幾位話的面積B.VE）產(chǎn)的面積

C.ABQV的面積D.△DCE的面積

12.（2023?安徽?統(tǒng)考中考真題）如圖，E是線段A2上一點，VADE和ABCE是位于直線A3同側(cè)的兩個等

邊三角形，點尸,尸分別是CRAB的中點.若AB=4,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.R1+PB的最小值為36B.PE+尸尸的最小值為2不

C.ACDE周長的最小值為6D.四邊形ABCD面積的最小值為36

二、填空題

13.（2023?四川達州?統(tǒng)考中考真題）在AABC中，AB=A6,NC=60。，在邊8C上有一點尸，且BP=gAC,

連接AP,則"的最小值為.

14.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，E為45邊上一點，以AE為直徑的

半圓。與BC相切于點。，連接AD,BE=3、BD=3布.尸是邊上的動點，當△位方為等腰三角形時,

AP的長為.

15.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為2的等邊AABC的兩個頂點AB分別在兩條射線OM、ON

上滑動，若OMLON,則OC的最大值是.

16.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，E,F是正方形ABCD的邊A3的三等分點，尸是對角線AC上

AP

的動點，當PE+PF取得最小值時，正的值是

17.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）矩形A3CD中，M為對角線8。的中點，點N在邊AD上，且AN=AB=1.當

以點。，M,N為頂點的三角形是直角三角形時，AD的長為

18.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=y/l,動點尸在矩形的邊上沿

CfQfA運動.當點尸不與點4B重合時，將AAB尸沿AP對折，得到連接CB',則在點P的

運動過程中，線段CB'的最小值為

19.（2023?廣西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形A8CD中，E,尸分別是3C,CD上的動點，M,

N分別是所，的中點，則時V的最大值為,

20.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZBAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

點E在線段BC上運動，點尸在線段AE上，ZADF=ZBAE,則線段B尸的最小值為.

21.（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）出入相補原理是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)

學(xué)家劉徽創(chuàng)建.“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小

圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形A3CD中，AB=5,AD=12,對角線AC與BD

交于點O,點E為2C邊上的一個動點,EFJ.AC,EGLBD,垂足分別為點F,G,則EF+EG=.

22.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在“LBC中，動點尸從點A出發(fā)沿折線四一8CfC4勻速運動

至點A后停止.設(shè)點尸的運動路程為龍，線段AP的長度為九圖2是＞與無的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，其中

點P為曲線DE的最低點，則AABC的高CG的長為.

圖1圖2

23.（2023?新疆?統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，AB=6,BC=8,/ABC=120。，點E是AO上一動

點，將ATWE沿班1折疊得到AA'BE，當點A恰好落在EC上時，DE的長為.

24.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（-8,6）,過點B分別

作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C、點A,直線y=-2x-6與AB交于點。.與y軸交于點E.動點M

在線段3c上，動點N在直線y=-2x-6上，若AAMN是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，則點〃的

坐標為________

25.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-；x+2與x軸，y軸分別交于A,2兩點，點D是線段

A8上一動點，點”是直線y=-gx+2上的一動點，動點磯根,0）,F（m+3,0）,連接BE,DF,HD.當

8E+D尸取最小值時，3BH+5nH的最小值是.

三、解答題

26.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，“1BC是邊長為4的等邊三角形，動點E,P分別以每秒1個單位長

度的速度同時從點A出發(fā)，點E沿折線Af3fC方向運動，點F沿折線AfC-3方向運動，當兩者相

遇時停止運動.設(shè)運動時間為/秒，點E,尸的距離為y.

⑴請直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達式并注明自變量t的取值范圍；

（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì);

⑶結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點E,F相距3個單位長度時/的值.

27.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標系尤0y中，直線y=%與直線相交于點A,

P&0)為線段上一動點(不與點8重合)，過點P作尸D_Lx軸交直線BC于點￡).AOR與△DP3的重疊

面積為S.S關(guān)于/的函數(shù)圖象如圖2所示.

(1)03的長為.△OAB的面積為.

(2)求S關(guān)于f的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量f的取值范圍.

28.(2023?河北?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中，設(shè)計了點的兩種移動方式：從點(x,y)移動到點

(x+2,y+l)稱為一次甲方式：從點(x,y)移動到點(x+l,y+2)稱為一次乙方式.

例、點尸從原點。出發(fā)連續(xù)移動2次；若都按甲方式，最終移動到點”(4,2)；若都按乙方式，最終移動到

點N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點E(3,3).

03691215182124273033%

⑴設(shè)直線自經(jīng)過上例中的點M,N,求人的解析式；并申談寫出將4向上平移9個單位長度得到的直線4的解

析式；

(2)點尸從原點。出發(fā)連續(xù)移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點Q(x,y).其中，按甲方式

移動了初次.

①用含機的式子分別表示x,y；

②請說明：無論必怎樣變化，點。都在一條確定的直線上.設(shè)這條直線為4,在圖中直接畫出4的圖象；

(3)在(1)和(2)中的直線4,附4上分別有一個動點A，8,C,橫坐標依次為a,b,c,若A,B,C三點始終

在一條直線上，直接寫出此時a,b,c之間的關(guān)系式.

29.(2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，菱形AOCB的邊OC在x軸上，ZAOC=60°,

OC的長是一元二次方程/一4》-12=0的根，過點C作x軸的垂線，交對角線于點直線AD分別交

x軸和y軸于點尸和點E,動點M從點。以每秒1個單位長度的速度沿0。向終點。運動，動點N從點尸

以每秒2個單位長度的速度沿FE向終點￡運動.兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為f秒.

(1)求直線AD的解析式.

(2)連接MN,求的面積S與運動時間f的函數(shù)關(guān)系式.

(3)點N在運動的過程中，在坐標平面內(nèi)是否存在一點。.使得以A,C,N,。為項點的四邊形是矩形.若

存在，直接寫出點。的坐標，若不存在，說明理由.

30.(2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題)某動力科學(xué)研究院實驗基地內(nèi)裝有一段筆直的軌道AB,長度為1m的

金屬滑塊在上面做往返滑動.如圖，滑塊首先沿A2方向從左向右勻速滑動，滑動速度為9m/s,滑動開始

前滑塊左端與點A重合，當滑塊右端到達點8時，滑塊停頓2s,然后再以小于9m/s的速度勻速返回，直到

滑塊的左端與點A重合，滑動停止.設(shè)時間為《s)時，滑塊左端離點A的距離為4(m),右端離點8的距離

為^m),記d=與/具有函數(shù)關(guān)系.己知滑塊在從左向右滑動過程中，當r=4.5s和5.5s時，與之對

應(yīng)的d的兩個值互為相反數(shù)；滑塊從點A出發(fā)到最后返回點A,整個過程總用時27s(含停頓時間).請你

根據(jù)所給條件解決下列問題：

⑴滑塊從點A到點8的滑動過程中，d的值________________;(填“由負到正”或“由正到負”)

(2)滑塊從點B到點A的滑動過程中，求d與/的函數(shù)表達式；

⑶在整個往返過程中，若d=18,求/的值.

31.(2023?天津?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中，。為原點，菱形ABCD的頂點4(6,0),3(0,1),O(26,1),

矩形EFGH的頂點《0,?

(1)填空：如圖①，點C的坐標為，點G的坐標為；

（2）將矩形EFG”沿水平方向向右平移，得到矩形E'尸'G7T,點E,F,G,H的對應(yīng)點分別為V，尸，G,

H'.設(shè)EE'=f,矩形E'產(chǎn)此印與菱形ABCD重疊部分的面積為S.

①如圖②，當邊EF與A2相交于點M、邊G7T與BC相交于點N,且矩形EFGTT與菱形ABCD重疊部分

為五邊形時，試用含有f的式子表示S,并直接寫出t的取值范圍：

②當2叵4/4兇時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

34

32.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在Rt^ABC中，ZC=90°,。為AC上一點，CD=也,動點

P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿Cf8fA勻速運動，到達點A時停止，以。尸為

邊作正方形DPEF設(shè)點尸的運動時間為、，正方形DPEF的而積為S,探究S與f的關(guān)系

圖1圖2

(1)初步感知：如圖1,當點尸由點C運動到點8時，

①當/=1時，S=.

②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為.

(2)當點尸由點8運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于f的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖

象信息，求S關(guān)于/的函數(shù)解析式及線段AB的長.

(3)延伸探究：若存在3個時刻。內(nèi)々(:<^<%)對應(yīng)的正方形DPEF的面積均相等.

①/j+=

②當6=氣時，求正方形DPEF的面積.

專題28動點綜合問題（32題）

1.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，Afi=10,BC=6,AC=8,點尸為線段A3上的動

點，以每秒1個單位長度的速度從點A向點8移動,到達點B時停止.過點P作尸M，AC于點M、作PN±BC

于點N,連接MN,線段的長度y與點尸的運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點

E的坐標為（）

D.親

【分析】如圖所示，過點C作于。，連接CP,先利用勾股定理的逆定理證明AABC是直角三角形,

2432

即NC=90。，進而利用等面積法求出CO=w，則可利用勾股定理求出AD=^；再證明四邊形CMPN是矩

2432

形，得到MN=CP,故當點P與點。重合時，CP最小，即最小，此時最小值為m，AP=^

3224

則點的坐標為

ET'T

【詳解】解：如圖所示，過點C作CDLAB于。，連接CP,

:在AABC中，AB=W,BC=6,AC=8,

/.AC2+BC2=6?+8?=100=102=AB2,

"RC是直角三角形，即ZC=90°,

C.S^^ACBC^ABCD,

.“ACBC24

AB5

.??AD=^AC2-CD2=y；

?；PM_LAC,PN±BC,ZC=90°,

???四邊形CMPN是矩形,

：.MN=CP,

...當MN最小時，即CP最小,

2432

，當點尸與點。重合時，CP最小，即MN最小，此時最小值為m，AP=AD=—

3224

???點E的坐標為

故選：C.

【點睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性質(zhì)與判斷，垂線段最短，坐標與圖形等

等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在Rt^ABC中，動點尸從A點運動到8點再到C點后停止，

速度為2單位/s,其中成長與運動時間單位：s）的關(guān)系如圖2,則AC的長為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)圖象可知/=0時，點P與點A重合，得到AB=15,進而求出點P從點A運動到點B所需的時

間，進而得到點尸從點8運動到點C的時間，求出的長，再利用勾股定理求出AC即可.

【詳解】解：由圖象可知：f=0時，點尸與點A重合，

/.AB=15,

；.點P從點A運動到點B所需的時間為15^2=7.5s；

點尸從點8運動到點C的時間為11.5-7.5=4s,

3c=2x4=8；

在RtZVLBC中：AC^yjAB2+BC2=17；

故選：C.

【點睛】本題考查動點的函數(shù)圖象，勾股定理.從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，求出的長，是解題

的關(guān)鍵.

3.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，NA=60。，AB=4,動點"，N同時從A點

出發(fā)，點M以每秒2個單位長度沿折線A-3-C向終點C運動；點N以每秒1個單位長度沿線段4。向終點

。運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動.設(shè)運動時間為％秒，AAW的面積為y個平方

單位，則下列正確表示》與無函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【答案】A

【分析】連接3。，過點B作班，AD于點E,根據(jù)已知條件得出是等邊三角形，進而證明

當0</<4時，M在AB上，當44r<8時，M在BC上，根據(jù)三

角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，

【詳解】解：如圖所示，連接3D,過點B作班，AD于點E,

當0</<4時，河在上，

菱形ABC。中，NA=60。，AB=4,

：.AB=AD,則是等邊三角形，

/.AE=ED=^AD=2,BE=6AE=26

*.*AM=2x,AN=x,

AMAB

6二族=2,又ZA=ZA

AAMNSABE

：.ZANM=ZAEB=90°

MN=4AM1-AN~=y/3x，

y=—xx^x=-x2

22

當4V，＜8時，M在BC上，

y=—ANxBE=—xx2^3=乖）x,

綜上所述，0<f<4時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當44r<8時，函數(shù)圖象是直線的一部分，

故選：A.

【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾

股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,動點M,N分別從點A,B

同時出發(fā)，沿射線A2,射線BC的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接DM,MN,ND.設(shè)點M運

動的路程為x（O<x<4）,ADMN的面積為S,下列圖像中能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

N

BC

SA

107^

8乙一1

D.

O4""x

【分析】先根據(jù)S=S正方形45CD-SVAOM-Sv℃N-SVBMN，求出S與工之間函數(shù)關(guān)系式，再判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：S=S正方形488-SVADM-SVDCN-S^BMN，

=4x4-gx4x-gx4（4一x）一;%（4一%）,

17

=—x—2%+8,

2

1

=-（X-2）912+6,

2

故S與x之間函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，圖像開口向上，x=2時，函數(shù)有最小值6,

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是求出S與x之間函數(shù)關(guān)系式，再

判斷S與x之間函數(shù)類型.

5.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖1,點尸從等邊三角形ABC的頂點A出發(fā)，沿直線運動到三角形內(nèi)部一

點，再從該點沿直線運動到頂點設(shè)點尸運動的路程為心器=，圖2是點尸運動時y隨尤變化的關(guān)

系圖象，則等邊三角形ABC的邊長為（）

圖1圖2

A.6B.3C.4A/3D.2A/3

【答案】A

【分析】如圖，令點P從頂點A出發(fā)，沿直線運動到三角形內(nèi)部一點。，再從點。沿直線運動到頂點5.結(jié)

合圖象可知，當點P在40上運動時，PB=PC,A0=25易知NB4O=NC4O=30。，當點P在上

運動時，可知點P到達點8時的路程為4百，可知AO=OB=2石，過點。作解直角三角形可得

AD=AOcos30°=3,進而可求得等邊三角形ABC的邊長.

【詳解】解：如圖，令點P從頂點A出發(fā)，沿直線運動到三角形內(nèi)部一點0,再從點。沿直線運動到頂點8.

PB

結(jié)合圖象可知，當點P在A0上運動時，—=1,

/.PB=PC,AO=26,

又,:AABC為等邊三角形，

AZfi4C=60°,AB=AC,

：.AAPB四△APC（SSS）,

ZBAO=ZCAO,

：.ZBAO=ZCAO=30°,

當點P在。8上運動時，可知點P到達點B時的路程為4A/3,

.,.08=26即AO=OB=25

ZBAO=ZABO=30°,

過點。作ODLAB,

:.AD=BD,貝?。軦P=AO-cos30°=3,

AB=AD+BD=6,

即：等邊三角形ABC的邊長為6,

故選：A.

【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是綜合利用圖象和圖形給出的條件.

6.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x-2與x軸、y軸分別交

于A、8兩點，C、。是半徑為1的。。上兩動點，且C￡>=&，尸為弦的中點.當C、。兩點在圓上運

動時，ARAB面積的最大值是（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點得出3=08=2,確定AB=2應(yīng)，再由題意得出當P0的延長線恰

好垂直A3時，垂足為點E,此時PE即為三角形的最大高，連接利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：.??直線y=-矛-2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

.?.當x=0時，y=-2,當y=0時，x=-2,

A（-2,0）,B（0,-2）,

OA=OB=2,

AB=V（M2+OB2=2A/2-

■:APAB的底邊AB=272為定值，

.,?使得AE4B底邊上的高最大時，面積最大，

點P為8的中點，當尸。的延長線恰好垂直AB時，垂足為點E,此時PE即為三角形的最大高，連接。0,

CD=72，。。的半徑為1,

/.DP=—

2

OP=ylOD2-DP2=—,

2

?/OELAB,

OE=LAB=啦,

2

PE=OE+OP=^^,

2

SJAB=gx20x^^=3,

故選：D.

【點睛】題目主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用及勾股定理解三角形，垂徑定理的應(yīng)用，理解題意，確定出高的最

大值是解題關(guān)鍵.

7.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）如圖是一種軌道示意圖，其中ADC和ABC均為半圓，點M,A,C,N依次

在同一直線上，且AM=OV.現(xiàn)有兩個機器人（看成點）分別從M,N兩點同時出發(fā)，沿著軌道以大小相

同的速度勻速移動，其路線分別為A—DfCfN和NfCf若移動時間為x,兩個

機器人之間距離為》則y與x關(guān)系的圖象大致是（）

【答案】D

【分析】設(shè)圓的半徑為R,根據(jù)機器人移動時最開始的距離為AV+OV+2R,之后同時到達點A,C,兩個

機器人之間的距離y越來越小，當兩個機器人分別沿AfD-C和。-8fA移動時，此時兩個機器人之

間的距離是直徑2尺，當機器人分別沿CfN和移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大.

【詳解】解：由題意可得：機器人（看成點）分別從M,N兩點同時出發(fā)，

設(shè)圓的半徑為R，

兩個機器人最初的距離是AM+CN+2R,

:兩個人機器人速度相同，

.,?分別同時到達點A,C,

...兩個機器人之間的距離y越來越小，故排除A,C；

當兩個機器人分別沿A-D-C和CfA移動時，此時兩個機器人之間的距離是直徑2R,保持不變，

當機器人分別沿CfN和AfM移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大，故排除C,

故選：D.

【點睛】本題考查動點函數(shù)圖像，找到運動時的特殊點用排除法是關(guān)鍵.

8.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（9,0）,點C的坐標為（0,3）,

以O(shè)AOC為邊作矩形Q4BC.動點瓦尸分別從點同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿0ABe向終

點AC移動.當移動時間為4秒時，ACEF的值為（）

A.VioB.9MC.15D.30

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，得出E（4,0）,尸（5,3）,勾股定理求得跖=布，AC=3V10,即可求解.

【詳解】解：連接AC、EF

:點A的坐標為（9,0）,點C的坐標為（。,3）,以O(shè)AOC為邊作矩形QASC.

，3（9,3）,AC=V32+92=3A/10

則OA=9,BC=OA=9

依題意，OE=4xl=4,BF=4x1=4

，AE=9-4=5,則E（4,0）,

CF=BC-BF=9-4=5

：.F（5,3）,

/.EF=^（5-4）2+32=^,

VC（0,3）,

AC?EF=3A/10xJ10=30

故選：D.

【點睛】本題考查了坐標與圖形，勾股定理求兩點坐標距離，矩形的性質(zhì)，求得瓦尸的坐標是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）已知點P是等邊的邊8C上的一點，若NAPC=104。，則在以線段

尸為邊的三角形中，最小內(nèi)角的大小為（）

A.14°B.16°C.24°D.26°

【答案】B

【分析】將AAB尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AACQ,可得以線段AP,BP,CP為邊的三角形，即△PCQ,最

小的銳角為NPQC,根據(jù)鄰補角以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NAQC=NAP8=76。，進而即可求解.

【詳解】解：如圖所示，將AAB尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AACQ,

/.AP=AQ,ZPAQ=60°,BP=CQ,ZAQC=ZAPB,

???△A尸。是等邊三角形，

，PQ=AP,

，以線段AP,BP,CP為邊的三角形，即△PCQ,最小的銳角為NPQC,

ZAPC=104°,

...ZAPS=76°

ZAQC=ZAPB=16°

：.ZPgC=76°-60°=16°,

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖1,正方形ABCD的邊長為4,E為CO邊的中點.動點尸從點A出

發(fā)沿ABfBC勻速運動，運動到點C時停止.設(shè)點P的運動路程為X,線段PE的長為y,y與X的函數(shù)圖

象如圖2所示，則點M的坐標為（）

A.（4,273）B.（4,4）C.（4,2君）D.（4,5）

【答案】C

【分析】證明AB=8C=CD=AD=4,NC=ZD=90。，CE=DE=2,則當P與A,B重合時，PE最長,

此時PE=+4?=2#＞，而運動路程為?；?,從而可得答案.

【詳解】解：：正方形A3CE）的邊長為4,E為CD邊的中點，

/.AB^BC=CD^AD^4,"="=90。，CE=DE=2,

當P與A,8重合時，PE最長，

止匕時PE=A/22+42=275，

運動路程為?；?,

結(jié)合函數(shù)圖象可得加卜,2石），

故選：C.

【點睛】本題考查的是從函數(shù)圖象中獲取信息，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，理解題意，確定函數(shù)圖

象上橫縱坐標的含義是解本題的關(guān)鍵.

11.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在“WC中，。是邊8C上的點（不與點反C重合）.過點。作

交AC于點E;過點。作小〃4。交A3于點b.N是線段上的點，BN=2NF；M是線段DE

上的點，DM=2ME.若已知ACMN的面積，則一定能求出（）

A.△AFE的面積B.V&）尸的面積

C.ABCIV的面積D.△DCE的面積

【答案】D

FBFDNFBFFDNF

【分析】如圖所示，連接ND,證明AEBDSA即。，得出受=帙，由已知得出黑=箸，則仁=黑,

EDECMEDEECME

又ZNFD=/MEC,則小NFIAAMEC,進而得出NMCD=NND3,可得結(jié)合題意得出

S^EMC=5S4DMC=5SAMNC，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接ND,

?：DE〃AB,DF//AC,

：./ECD=/FDB,/FBD=ZEDC,ZBFD=NA,NA=DEC.

???AFBD^EDC,ZNFD=ZMEC.

.FBFD

9ED~EC

?:DM=2ME,BN=2NF,

NF=；BF,ME=gDE,

.NFBF

??標一方.

.FDNF

又*：ZNFD=/MEC,

：?ANFD^AMEC.

???ZECM=ZFDN.

■:/FDB=/ECD

:.ZMCD=ZNDB.

:,MC〃ND.

?

,,"&qMNC.-°qAMDC?

?;DM=2ME,

??S^EMC=jSGMC=萬S1MNC?

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，證明是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?安徽?統(tǒng)考中考真題）如圖，E是線段A2上一點，VADE和ABCE是位于直線A3同側(cè)的兩個等

邊三角形，點尸，尸分別是CRAB的中點.若AB=4,則下列結(jié)論埼誤的是（）

A.9+PB的最小值為3百B.PE+尸尸的最小值為2石

C.ACDE周長的最小值為6D.四邊形ABCD面積的最小值為3K

【答案】A

【分析】延長AD，BC,貝IJAABQ是等邊三角形，觀察選項都是求最小時，進而得出當E點與b重合時，則

Q,尸,尸三點共線，各項都取得最小值，得出B,C,D選項正確，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

延長A￡）,5C,

依題意NQAD=ZQBA=60°

???△ABQ是等邊三角形，

??,尸是8的中點，

:.PD=PC,

丁ZDEA=ZCBA,

：.ED//CQ

：.ZPQC=/PED,ZPCQ=ZPDE,

4PDE'PCQ

??.PQ=PE,

???四邊形。EC。是平行四邊形，

則尸為的中點

如圖所示，

設(shè)AQ/Q的中點分別為G,H,

則尸

22

，當E點在AB上運動時，尸在G”上運動，

當E點與尸重合時，即AE=EB,

則。，尸，三點共線，尸廠取得最小值，止匕時A￡=￡B=；（AE+E3）=2,

則ZW?四△ECB,

...CD到AB的距離相等，

則CD〃A3,

此時尸尸=—AD=y/3

2

此時V43E和ABCE的邊長都為2,則AP,尸2最小,

PF=—x2=^,

2

PA=PB=J22+(V3)2=6

:.PA+PB=2/，

或者如圖所示，作點8關(guān)于GH對稱點E,則=則當AP,2'三點共線時，AP+PB=AB'

AEFB

此時AB'=slAB2+BB'=J?+(2百『=2幣

故A選項錯誤，

根據(jù)題意可得尸,。,尸三點共線時，最小，此時上￡=尸尸=百，則尸E+尸尸=2岔，故B選項正確;

^CDE^^z^CD+DE+CE=CD+AE+EB^CD+AB=CD+4,

即當CD最小時，ACDE周長最小，

如圖所示，作平行四邊形GDMH,連接CN,

:NGHQ=6Q°,ZGHM=ZGDM=60°,則ZCHM=120°

如圖，延長。E,龐，交于點N,

則NNGO=/QG"=60。，ZNDG=ZADE=6f)°

：.△NGQ是等邊三角形，

:,ND=GD=HM,

在ANPD與AHPC中,

ZNPD=ZHPC

</N=/CHP=62。

PD=PC

???△NPD^HPC

：.ND=CH

：.CH=MH

：.ZHCM=ZHMC=30°

CM//QF,則CM_LOM,

???△DMC是直角三角形，

在LDCM中，DC>DM

，當。C=DM時，0c最短，DC=GH^AB=2

；CD=PC+2PC

.?.△CDE周長的最小值為2+2+2=6,故C選項正確;

?：ANPD^AHPC

+

四邊形ABC。面積等于2ADE+SSBC+SQEC=S4ABE§平行四邊NEBH

...當△BGD的面積為。時，取得最小值，此時，2G重合，C,〃重合

，四邊形ABCD面積的最小值為3*q、22=3#)，故D選項正確，

故選：A.

【點睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當E

點與F重合時得出最小值是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.(2023?四川達州?統(tǒng)考中考真題)在AABC中，AB=46,NC=6O。，在邊3C上有一點P,且8尸=；AC,

連接AP,則AP的最小值為.

【答案】2岳-2

【分析】如圖，作AABC的外接圓，圓心為M,連接AM、過M作于。，過B作3NLAB,

交族的垂直平分線于N,連接AN、BN、PN,以N為圓心，BN(PN)為半徑作圓；結(jié)合圓周角定理及垂

徑定理易得A〃=E0=CM=4,再通過圓周角定理、垂直及垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理易得

ZAMC=ZPNB,從而易證可得要==即RV=：CM=2勾股定理即可求得AN=2jF在

rNPB12

△APN中由三角形三邊關(guān)系即可求解.

【詳解】解：如圖，作AABC的外接圓，圓心為連接AM、BM、CM,過M作于。，過B

作交3尸的垂直平分線于N,連接4V、BN、PN,以N為圓心，BN(PN)為半徑作圓；

VZC=60°,M為AABC的外接圓的圓心，

:.ZAMB=120°,AM=BM,

:.ZMAB=ZMBA=3O°,

:.MD=-AM,

2

.MD上AB,

AD=-AB=2y/3,

2

在Rt/XADAf中，

AM2=MD2+AD1

.-.AM2=QAM^|+(2可，

:.AM=4,

^AM=BM=CM=4,

由作圖可知BN_LAB,N在成的垂直平分線上,

:.ZPBN=ZBPN=900-ZABC,

ZPNB=180。一(NP3N+ZBPN)=2ZABC,

又為人45。的外接圓的圓心，

:.ZAMC=2ZABC,

.\ZAMC=ZPNB,

CMAM

?P/V-B2V，

:.^AMC?*NB,

.CMAC

'PN~PB1

???BP=-AC,

2

.CM