函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（適用新高考）

復(fù)習(xí)8函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

【知識(shí)梳理】

一、函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于函數(shù)y=/(%)，使/(%)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn).

1.方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根%0

=函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn)%0

今函數(shù)y=/(%)的圖象與x軸有交點(diǎn)且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為%0-

eg:方程2*-4=0的實(shí)數(shù)根是%=2，零點(diǎn)不是點(diǎn)：

函數(shù)/(%)=2%-4與久軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是2,

函數(shù)/(%)=2苫—4的零點(diǎn)是2,而不是(2,0).

2.方程/(%)=g(%)有實(shí)數(shù)根%0

=函數(shù)y=/(%)與函數(shù)y=g(x)有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0.

eg：%2-2X=0的實(shí)根個(gè)數(shù)

方程%2-2%=0的實(shí)數(shù)根O函數(shù)/(%)=%2與函數(shù)g(K)=2X的交點(diǎn)橫坐標(biāo)

2X

如圖，方程x-2-0實(shí)數(shù)根有3個(gè)％1C(-1,0),x2=2,%3=4.

二、零點(diǎn)存在性定理

1.如果函數(shù)y-7(%)在［a,5］上的圖象是連續(xù)不斷的，且/(a)/(b)<0，那么函數(shù)y-

/(%)在(a,5)至少有一個(gè)零點(diǎn)c，即存在cG(a,6)，使得/(c)=0，這個(gè)c也就是方

程/(x)=0的解.

說(shuō)明：

①符合該定理的條件，能確定在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),但零點(diǎn)不一定唯一.

②并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來(lái)判定.不滿足該定理的函數(shù)也可能有零點(diǎn).

函數(shù)的零點(diǎn)有“變號(hào)零點(diǎn)”和“不變號(hào)零點(diǎn)”，零點(diǎn)存在性定理只適用“不變號(hào)零點(diǎn)”.

③若y=/(%)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，且在區(qū)間(a,6)上單調(diào)，則/(%)在(a,b)內(nèi)有

唯一零點(diǎn).

④設(shè)/(%)-kx+b，若/(%)在(m,n)上有零點(diǎn)，則/(m)-f(n)<0;

⑤可借助“x—a”廣為一+8”等符號(hào)或者說(shuō)“x充分大時(shí)”，來(lái)說(shuō)明f(x)在區(qū)間端點(diǎn)

值的正負(fù).

2.二分法

對(duì)于區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷且7(a)"㈤<0的函數(shù)/⑺，通過(guò)不斷地把函數(shù)了⑴的零點(diǎn)所在

的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二

分法.求方程=0的近似解就是求函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值.

3.用二分法求函數(shù)/(%)零點(diǎn)近似值的步驟

⑴確定區(qū)間［a,司,驗(yàn)證/⑷"他)<0,給定精度￡.

(2)求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)石.

⑶計(jì)算了(%)；若〃％)=0,則玉就是函數(shù)/⑺的零點(diǎn)；

若則令6=/(此時(shí)零點(diǎn)七).

若〃。"(玉)<0,則令(此時(shí)零點(diǎn)5式工回)

⑷判斷是否達(dá)到精確度￡,

即若,-耳</則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為。(或匕)；

否則重復(fù)第(2)-(4)步.

用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算器完成.

【典例精煉】

題型1：零點(diǎn)存在定理

1.(多選)下列說(shuō)法中正確的是()

A.函數(shù)/(%)=%+1的零點(diǎn)為(-1,0)

B.函數(shù)=%+1的零點(diǎn)為-1

C.函數(shù)/(%)的零點(diǎn)，即函數(shù)/(%)的圖象與x軸的交點(diǎn)

D.函數(shù)/(%)的零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2.函數(shù)/(%)=|-ln%+2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為()

A.(l,e)B.(e,e2)C.(e2,e3)D.(e3,e4)

3.已知函數(shù)/(%)=logax+x—b(a>0,aWl).當(dāng)2<a<3<5<4時(shí)，函數(shù)/(%)

的零點(diǎn)x0E(n,n+l),nGN*,則n-__.

4.(多選)記函數(shù)/(%)=x+\nx的零點(diǎn)為久o,則關(guān)于%0的結(jié)論正確的為()

11

-x-%0

A.0<x0<-B.-<x0<1C.e°—%0=0D.e+%0=0

5.在下列區(qū)間中，函數(shù)/(%)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

題型2:零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及其應(yīng)用

6.函數(shù)＞i的圖象和函數(shù)gM=iog2%的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

x

7.函數(shù)/(%)=2|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

8.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足+1)=-/(%)，當(dāng)久C［o,,時(shí)，/(%)=

尹一1，求九(無(wú))=(%-1)/(%)-2在區(qū)間［—20212023］上所有零點(diǎn)之和？

9.已知定義在(1,e］上的函數(shù)/(%)滿足/(%)=/(；)，且當(dāng)Ht,/(%)=xlnx,

若方程/(%)-1%-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A-(_*,TB-(HWC-Ge，，后］D-H引

10.已知函數(shù)/(%)=\lnx\,g(x)=、1，則方程/(%)+9(為)=1的實(shí)根

的個(gè)數(shù)為一.

11.已知函數(shù)/(%)=1+|lnx|+(一|ln%|,則/(%)的最小值是.

若關(guān)于X的方程/(%)=2ax+2有3個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

12.函數(shù)/(%)=4cos25cosc—%)—2sin%—|lnQ+1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi).

13.設(shè)/ceR，函數(shù)/(%)=-x+tx<0,若/(久)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍

—KX,%NU.

是一。

15.設(shè)min{a,b}=心"1:，若函數(shù)/(%)=min{ex-1—x,—x2+2mx-1}有且只有三

個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.&+8)B.(|,+8)C.(l,+oo)D.

16.若函數(shù)/(%)=%2+ez—1(%<0)與g(K)-x2+In(%+a)圖象上存在關(guān)于y軸

對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(-8,0B.(-8賓)C.(一高甸D.(一四專)

17.函數(shù)f(x)=2X?|ln(x+1)|-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為一

18.已知函數(shù)/(%)=卜;一曰+2°，其中a>0且aH1,若函數(shù)/(%)圖象上

(—2%+1,%<0

存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)僅有兩對(duì),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

19.已知函數(shù)f(x)=仔產(chǎn)-0若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g(K)=/(%)-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則

a的取值范圍是_.

20.已知4CR，函數(shù)/(%)=產(chǎn)J4…當(dāng)入=2時(shí),不等式fix)<0的解集

ix5—4x+3,x<A

是—o若函數(shù)/Q)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則A的取值范圍是—o

21.已知/(%)=「2：：一"+L弋,若關(guān)于％的方程/(%)_a=0有四個(gè)實(shí)根

I|log2%|,%>0,

與,%2，%3，久4，則這四個(gè)根之積X2-X3-X4的取值范圍__.

22.已知函數(shù)/(%)=哈;1=/(%)+%+ao若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，

則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+oo)

2A/X0Vxv]

il'若關(guān)于x的方程/(%)--^x+a(aER)恰有兩

—,X

(X1.4

個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為()

口由汕口｝

題型3:嵌套零點(diǎn)

24.已知函數(shù)/(%)=(|10g^l+1%j?,則y=/(/(%))-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

1%+4%<(J'/

25.定義域和值域均為[~a,a](a>0)的函數(shù)y-7(%)和y=g(%)的圖象如圖所示，下

列四個(gè)命題中正確的結(jié)論是。

A.方程f[g(x)]=0有且僅有三個(gè)解B.方程g[/(%)]=0有且僅有三個(gè)解

C.方程/[/(%)]=0有且僅有九個(gè)解D.方程g[gM]-0有且僅有一個(gè)解

26.函數(shù)/(%)=°)，求方程產(chǎn)(%)_/(%)=o的不相等的實(shí)根個(gè)數(shù)？

27.關(guān)于x的方程(/—1)2—3I%2-11+2=0的不相同實(shí)根的個(gè)數(shù)是—.

28.已知函數(shù)/(%)=F2八，若關(guān)于x的方程/2(%)-2a/(%)+a+2-

I-—4x+l,x<0

0有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

2

(-x+6x+5fx<-1,

29.已知函數(shù)/(%)=<2(x+i)若函數(shù)9(為)=[/(%)]2-(m+2)/(%)+2m

(e%，"'

恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.(-1,2)B.(-1,0)D-&2

30.已知函數(shù)/(%)=久，若方程/(久)+焉莉=。有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為_(kāi)。

復(fù)習(xí)8函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題參考答案

【典例精煉】

題型1:零點(diǎn)存在定理

1.(多選)下列說(shuō)法中正確的是()

A.函數(shù)/(%)=%+1的零點(diǎn)為(-1,0)

B.函數(shù)/(%)=%+1的零點(diǎn)為-1

C.函數(shù)/(%)的零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)

D.函數(shù)/(%)的零點(diǎn)，即函數(shù)/(%)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

答案：BD

解析：根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)/(%)=x+1，若/(%)=%+1=0，則有x=-1,

即函數(shù)的零點(diǎn)為-1,A錯(cuò)誤，B正確；

由函數(shù)零點(diǎn)的定義，函數(shù)/(%)的零點(diǎn)，即函數(shù)/(%)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則C

錯(cuò)誤，D正確；故選：BD.

2.函數(shù)/(%)=：—In%+2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為()

A.(1,e)B.(e,e2)C.(e2,e3)D.(e3,e4)

答案：C.

解析：/(%)=：一In%+2在(0,+8)連續(xù)不斷,且單調(diào)遞減,???/(l)=3>0,

/(e)=J+1>0,/(e2)=^>0,/(e3)=^-1<0,f(e4)=^-2<0,

???函數(shù)/(%)=：-In%+2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(e2,e3)，故選：C.

3.已知函數(shù)/(%)=logax+x—b(a>0,aHl).當(dāng)2<a<3<5<4時(shí)，函數(shù)/(%)

的零點(diǎn)%0(n,n+l),nCN*,則n=__.

答案：n=2.

解析：設(shè)函數(shù)y=loga%,m=-%+b

根據(jù)2<a<3<b<4，對(duì)于函數(shù)y-logax在％=2時(shí),一定得到一個(gè)值小于1,

在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，判斷兩個(gè)函數(shù)的圖形的交點(diǎn)在(2,3)之間，

函數(shù)/(%)的零點(diǎn)x0C(n,n+1)時(shí)，九=2.

4.(多選)記函數(shù)/(%)-x+\nx的零點(diǎn)為%0，則關(guān)于%0的結(jié)論正確的為()

11

-x-z

B.0<%0<-B.-<x0<1C.e°—%。=0D.e°+%0=0

答案：BC.

解析：根據(jù)題意，函數(shù)/(%)-x+\nx，其定義域?yàn)?0,+8),

有/(習(xí)二也1+^二：—ln2<0,/(l)=l+lnl=l〉0，則有/g)/(l)<0,

若函數(shù)/(%)=%+Inx的零點(diǎn)為％(),則有|<x0<1,B正確，A錯(cuò)民

函數(shù)/(%)=x+Inx的零點(diǎn)為,即%0+濟(jì)%o=0，則lnx0=-x0/

xx

則有e~°=%o,變形可得e~0-x0=0fC正確7D錯(cuò)誤,故選：BC.

5.在下列區(qū)間中，函數(shù)/(%)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

答案：A.

解析：函數(shù)/(%)=ex+4x—3r(x)=ex+4當(dāng)%>0時(shí)，

尸(%)=ex+4>0,?,?函數(shù)/(%)=ex+4x—3在(—8,+oo)上為/(0)=e°—3=

-2<0/G)=正_1>0/G)=泥_2=粕_VB<0???/O/G)<0,

函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為O故選：A.

題型2：零點(diǎn)個(gè)數(shù)

6.函數(shù)/(%)=>1的圖象和函數(shù)9(%)=log2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

答案：B.

解析：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(%)=廣；一，的圖象和函數(shù)

U-4%+3,x>1

g(%)=log2%的圖象如下圖所示：

由函數(shù)圖象得，兩個(gè)函數(shù)圖象共有3個(gè)交點(diǎn)故選：B.

x

7.函數(shù)/(%)=2|log0.5%|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

答案：B

解析：函數(shù)/(%)=2"logo.5%|-1,令/(%)=0，在同一坐標(biāo)系中作出y-.

與y=|logo.5%l，如圖，由圖可得零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.故選：B

8.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足+1)=-/(%)，當(dāng)久C［o，］時(shí)，/(%)=

9X-1，求九(%)=(%-1)/(%)-2在區(qū)間［—20212023］上所有零點(diǎn)之和？

答案：4048.

解析：由/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(-%)=—/(%),又/(%+1)=-/(%),

所以/(%+2)=-/(%+1)=/(%)，則/(%)的周期是2,且/(%+1)=/(-%)得x=：

是其中一條對(duì)稱軸，又xE［0,|］時(shí)/(%)=9X-1，于是/(%)圖象如圖所示，

又函數(shù)九(%)-(x-1)/(%)-2零點(diǎn)，即為y=/(%)與y=看的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

由圖知：交點(diǎn)關(guān)于(1,0)對(duì)稱,每個(gè)周期都有2個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)在區(qū)間［-2023,1)和(1,2025］上各有1012個(gè)周期，故各有2024個(gè)交點(diǎn)，它們

兩兩關(guān)于(1,0)對(duì)稱，所以零點(diǎn)之和為2024X2=4048.故答案為：4048.

9.已知定義在(l,e］上的函數(shù)/(%)滿足/(%)=/(1),且當(dāng)xG1］Ht,/(%)=xlnx,

若方程/(久)~^-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

D.(5,一/

答案：D

解析：???當(dāng)％€R1］時(shí)，/(%)=xlnx戶當(dāng)％W(1,e］時(shí)，/(%)=/(：)=-jinx,綜上,

x\nx,xG1

1

——lnx,xG(Le］

當(dāng)％Ct，1］時(shí)，/(%)=1+Inx>0，則/(%)在住,1］上單調(diào)遞增，

當(dāng)xE(l,e］時(shí),r(x)=^(lnx-l)<0，則/(%)在(l.e］上單調(diào)遞減，

1?■/W-|x-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，二/(%)的圖象和直線y=|x+a有三個(gè)不同

的交點(diǎn)，作/(%)的大致圖象如圖所示，

y=——1+a

當(dāng)直線y=［x+a和/(%)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(&,%)),

???/'(&)=1+ln%0=|，可得久。=e~,yQ=-，代入y=|x+a,

可得a=-，當(dāng)y=)+a過(guò)點(diǎn)&一?時(shí)，

由圖知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-el,-引.故選：D.

10.已知函數(shù)/(%)=|仇久|,g(%)=；、1,則方程/(%)+g(%)=1的實(shí)根

U%一一乙、X>1

的個(gè)數(shù)為一.

答案：2

解析：由函數(shù)/(%)="n%|,g(%)=儲(chǔ)4>1,由/(%)+g(%)=1可得g(%)=

一/(%)+1.作出y-g(%)與y=/i(x)=-/(%)+1的圖象如圖所示，

圖象在（0,1］有一個(gè)交點(diǎn)，在（1,+8）有一個(gè)交點(diǎn).共有兩個(gè)交點(diǎn).即實(shí)根個(gè)數(shù)為2.

故答案為:2.

11.已知函數(shù)/(久)=+|lnx|+(一|lnK|,則/(%)的最小值是__.

若關(guān)于%的方程/(%)=2ax+2有3個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.

答案：2;[0,e-2).

解析：根據(jù)-與|山久|大小關(guān)系(比較-與|仇無(wú)|大小的推理見(jiàn)后附)，

XX

附：當(dāng)0<%<1時(shí),設(shè)/i(x)=|—|lnx|=|+Inx，則》(%)=裳<0,

所以/i(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,從而h(x)>八⑴=e>0，此時(shí)|>|Inx\;

當(dāng)％>1時(shí)，設(shè)m(x)=--|ln%|=--Inx/mC%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減,

XX

所以當(dāng)1<汽Ve時(shí),m(x)>m(e)=0->|lnx|;

X

當(dāng)％=e時(shí)，TH(e)=0,即芻=|Inx|;

X

當(dāng)x>e時(shí)，m(x)<m(e)=03P-X<llnxl.

可知/(%)=Il+In%|+||-Inx|=2max{：JInxIj,(%>0),

設(shè)g(%)=max{(JInx|j，注意到曲線y=與曲線y=|ln幻恰好交于點(diǎn)A{e,1)，顯

然，9(x)=<""",作出gO)的大致圖象如圖,

{Inx,x>e

可得gM的最小值是1,從而/（%）的最小值是2.

由/(x)=2ax+2,得max^,|Inx|j=ax+1.

設(shè)直線y=ax+1與曲線y=lnx(x>e)切于點(diǎn)B(%o，ln%o),y，=1,直

2-2

線y-ax+1過(guò)定點(diǎn)(0,1)，則a="如二】=—，解得x0=e，從而a=e.

%0-。XQ

由圖象可知,若關(guān)于x的方程g(%)=ax+1有3個(gè)實(shí)數(shù)解,則直線y=ax+1與

曲線g(x)有3個(gè)交點(diǎn)，則0<a<e~2，即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,e-2).

故答案為：2;(0,e-2).

12.函數(shù)/(%)=4cos21cos(^一%)—2sinx—|ln(x+1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi).

答案：2

解析：函數(shù)/(%)的定義域?yàn)椋簕%I%>—1}./(%)=4cos2；cos-2sinx—

|ln(x+1)|=2sinx^2cos2—1^—|ln(x+1)|=sin2x—|ln(x+1)|,

分別畫出函數(shù)y-sin2x,y=|ln(x+1)|的圖象，由函數(shù)的圖象可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

所以函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè).故答案為:2.

13.設(shè)keR，函數(shù)/(%)=-x+tx<0,若/(%)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍

是―。

答案：(e,+8).

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=+'啖<°,/(0)=1,

(eK.Xfxu

當(dāng)%<0時(shí)，由/(%)=0可得kx2—%+1=0，可得k=---^,

7XX2

,,,Z,X

當(dāng)%>0時(shí)，由/(x)=0可得ex—kx-0，可得k=—,

(--^,x<0_

令g(%)=*x，則直線y=k與函數(shù)g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

\—,x>0

\X

當(dāng)%<o時(shí)，g，(%)=-之+三=三3<o，此時(shí)函數(shù)g(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)%>0時(shí)，g'(%)='，由gr(x)<0可得0<%<1,

由“(%)>0可得久>1，所以，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以，函數(shù)g(x)的極小值為g(l)=e,

且當(dāng)%<0時(shí)，g(%)=|-^<0，當(dāng)%>0時(shí)，g(%)=y>0，如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)k>e時(shí)，直線y-k與函數(shù)g(%)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)/(%)有兩

個(gè)零點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(e,+8).故答案為：3+8).

15.設(shè)min{a,5}=°Q,若函數(shù)/(%)—min(e%-1—x,—x2+2mx—1)有且只有三

個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.&+8)B.(|，+8)C.(l,+oo)D.Q,+00)

答案：C.

解析：令g(%)=e*T-%，則"(%)=e*T-1,令"(%)〉0,得％〉1;

令“(%)<0,得％<1;所以g(x)在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故

g(%)min=g(l)=°，又因?yàn)閷?duì)于任意M〉0,在(一8,1)總存在x=-M，使得

g(-M)=e~M~1+M>M，在(1,+8)上由于y=ex~r的增長(zhǎng)速率比y-x的增長(zhǎng)速

1

率要快得多，所以總存在％=&,使得e^--x0>M,

所以g(x)在(-co,1)與(1,+8)上都趨于無(wú)窮大；

令h(x)——x2+2mx—1，則h(x)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x-m,所以九(%)在(―oo,m)

上單調(diào)遞增，在(m,+8)上單調(diào)遞增，故=h(m)=m2-1,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=min{e*T-x,-x2+2mx-1)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，

而g(x)已經(jīng)有唯一零點(diǎn)X=1，所以h(x)必須有兩個(gè)零點(diǎn)，則九(%)max>0，即~

1>0，解得m<—1或m>1,

當(dāng)m<—1時(shí)，h(l)——I2+2mx1—1=—2+2m<0，則/(I)—min{g(l),九(1)}—

九⑴<0,

即/(%)在％=1處取不到零點(diǎn)，故/(%)至多只有兩個(gè)零點(diǎn),不滿足題意，

當(dāng)m>1時(shí)，九(1)=—I2+2mx1—1=—2+2m>0，則/(I)—min{g(l),/i(l)}=

g(l)=0，所以f(x)在％=1處取得零點(diǎn),結(jié)合圖像又知

g(%)與/i(x)必有兩個(gè)交點(diǎn)，故/(%)在(-oo,l)與(m,+oo)必有兩個(gè)零點(diǎn)，所以/(%)

有且只有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意;綜上：m>1me(l,+8).故選：C.

16.若函數(shù)/(%)=%2+ex—|(x<0)與g(x)-x2+ln(x+a)圖象上存在關(guān)于y軸

對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(-8,㈣B.(―8心)C.(一奈，甸D.(一泥6)

答案：A.

解析：因?yàn)?(%),g(x)圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)P(x,y)(x<0)在函數(shù)/(%)上,

則P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q為(-%,y),則存在無(wú)c(-8,0),滿足%2+-1=

(―%)2+ln(—%+a),即方程ex—|=ln(—%+a)在(—oo,0)上有解，即函數(shù)F(%)=

-1與函數(shù)/i(x)=ln(-x+a)在(-oo,0)上有交點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)F(x)

和九(久)的圖象，如圖所示，

1/

......J/Bk]

當(dāng)/i(x)過(guò)點(diǎn)2(。，)時(shí)，a=Ve，由圖象可知，當(dāng)a<?時(shí)，函數(shù)F(%)與

九(%)在％<0時(shí)有交點(diǎn)，所以a的取值范圍為(-co,Ve).故選：A.

17.函數(shù)=2X?|ln(x+1)|-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為―

答案：2.

解析：由題意，函數(shù)/(%)=2x|ln(x+1)|-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)Q兩個(gè)函數(shù)y=2~x+2與y=

|ln(x+1)|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖.由圖知，兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，

故函數(shù)/(%)=2".|ln(x+1)|-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2,故答案為:2.

18.已知函數(shù)/(%)=卜;—1)2(-°，其中a>0且aH1，若函數(shù)/(%)圖象上

1—2%+l,x<0

存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)僅有兩對(duì),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(O,e-i)B.C.D.(el+oo)

答案：C.

解析：y=-2x+1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=2x+l，即y=-2x-1,

若函數(shù)/(%)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)僅有兩對(duì)，則y=ax—(久+1)2與

y=-2x-1在(0,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以方程a*-(％+1)2=-2%-1在

(0,+oo)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即ax-x2(x>0)在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

由Ina%—In%2，得Ina—，即-Ina=叱，令g(%)=—，貝!Jg'(x)—，令

x2xxxz

g'(%)=0,得％=e，所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

在3+8)上單調(diào)遞減，g(e)=：，如圖所示，所以ax=x2(x>0)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

等價(jià)于y=|lna與y-g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，

貝嗨足0<|lna<|，解得1<a</，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,-).故選：C.

19.已知函數(shù)f(x)=儼產(chǎn)-0若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g(K)=/(%)-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則

lxz,x>a

a的取值范圍是

答案：{a|a<0或a>1}

解析：???^(x)=/(%)-b看兩個(gè)零點(diǎn),??./(%)=b有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=/(%)與y=b的

圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由%3=x2可得，％=0或%=1

①當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)/(%)的圖象如圖所示，此時(shí)存在b，滿足題意，故a〉1滿足題意

②當(dāng)a=1時(shí)，由于函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增,故不符合題意

③當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)/(%)單調(diào)遞增,故不符合題意

?④a=0時(shí)，/(%)單調(diào)遞增,故不符合題意

⑤當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y-/(%)的圖象如圖所示，此時(shí)存在b使得，y-/(%)與y=匕

有兩個(gè)交點(diǎn)

二；吐/..E,,

綜上可得，a<0或a>1故答案為：{aIa<0或a>1}

20.已知2CR，函數(shù)/(%)=\X~4/]，當(dāng)入=2時(shí),不等式/(%)<0的解集

kx—4x+3,x<A

是—。若函數(shù)/(%)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則A的取值范圍是—o

答案：{%|1<%<4};(1,3]U(4,+8).

解析：當(dāng)4=2時(shí)函數(shù)/(%)=產(chǎn)2—4m/?顯然x>2時(shí),不等式%-4<0的

—4%+3,%<2

解集：{%I24％V4};%<2時(shí),不等式/(%)<0化為：%2—4%+3<0,解得1<%V

2，綜上，不等式的解集為：{%|1<%V4}.

函數(shù)/(%)恰有2個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)/(%)=產(chǎn)2-4]的草圖如圖：函數(shù)/(%)恰有

1%—4%+3,%<A

2個(gè)零點(diǎn)，則1<A<3或入>4.故答案為：{%|1<%<4};(1,3]U(4,+oo).

21.已知/(%)=一久+L弋,若關(guān)于x的方程/(%)—a=0有四個(gè)實(shí)根

(|iog2%L%>o,

XX

，則這四個(gè)根之積%1?%2,3,4的取值范圍__?

答案：晦)?

解析：方程/(%)-a=0有四個(gè)實(shí)根等價(jià)于方程/(x)=a有四個(gè)實(shí)根，

又等價(jià)于y=/O)與y=a兩函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是%I，%2，%3，%4,如圖

所示：

當(dāng)工40時(shí)，/（%）=—2%2—x+1'則/+%2=—1

其中％2W（一30]，當(dāng)％>0時(shí)，/（%）二|log2久I，則Tog/=log/nX3x4=1,

???久1?％2?％3-4=?第2=（一之一第2）?第2=-%2-|^2>第2（一]，。，

?,?/?第2，3?%4GD，故答案為：[o,卷）.

22.已知函數(shù)/(%)==/(久)+%+a。若。(久)存在2個(gè)零點(diǎn)，

則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+8)c.[―1,+8)D.[1,+8)

答案：C.

解析：由g(%)=0得/(%)=-X-a，作出函數(shù)/(%)和y=-x-a的圖象如圖：當(dāng)直

線y=-尤—a的截距—aWl，即a2—1時(shí),兩個(gè)函數(shù)的圖象都有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)

g(%)存在2個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,+8)，故選：C.

(2y[x,0<%<1,1

23.已知函數(shù)/(%)=]1若關(guān)于久的方程/(為)=一7%+a(aCR)恰有兩

I-,%>1.4

個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為()

ARB.(/C.信汕{1}D.[^]UW

答案：D

(^ATX0v%v]

解析：作出函數(shù)/(%)=h'7~'的圖象，以及直線y=的圖象，

[-.X>1.4

關(guān)于%的方程f(x)=一；％+a(aeR)恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,

4

即為y=/(%)和y=—：X+a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，平移直線y=，考慮直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

44

(1,2)和(1,1)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，可得a=：或a=J，考慮直線與y=工在％>1相切，可

44X

得ax--%2=1,由△=a2-1=0,解得a=1(-1舍去)，

4

綜上可得a的范圍是展]U{1}.故選：D.

題型3:嵌套零點(diǎn)

24.已知函數(shù)/(%)=Plog2%l+1%,則y=/(/(%))-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

1%+4%<0'/

答案：5.

解析：函數(shù)/(%)=>°的圖象如右圖所示：結(jié)合圖象分析：

(,X+4,%<0

y=/(/(%))-3=0，則/[/(%)]=3，則/(%)=-1或/(%)=：或4,

對(duì)于/(%)=-1，存在一個(gè)零點(diǎn)-5;對(duì)于/(%)=：，存在一個(gè)零點(diǎn);

44

對(duì)于/(%)=4，存在三個(gè)零點(diǎn)0,8,9.

8

綜上所述，函數(shù)y=/[/(%)]-3零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.

25.定義域和值域均為[-a,a](a>0)的函數(shù)y-7(%)和y-g(x)的圖象如圖所示，下

列四個(gè)命題中正確的結(jié)論是。

A.方程f[g(x)]=0有且僅有三個(gè)解B.方程^[/(%)]=0有且僅有三個(gè)解

C.方程/[/(%)]=0有且僅有九個(gè)解D.方程g[g(%)]=0有且僅有一個(gè)解

答案：AD.

解析：根據(jù)函數(shù)的圖象，函數(shù)/(%)的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn),g(x)的值域和的定

義域是相同，均為(-見(jiàn)。)，所以方程f[g(x)]=0有且僅有三個(gè)解；

函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以方程g[g(%)]=0有且僅有一個(gè)解.故選：AD.

26.函數(shù)/(%)=0)，求方程產(chǎn)(%)一/(%)=o的不相等的實(shí)根個(gè)數(shù)？

答案：7

解析：方程f2(x)-/(%)=0可解出/(%)=0或f(x)=1,

方程f2(x)-/(%)=o的不相等的實(shí)根個(gè)數(shù)即兩個(gè)函數(shù)/(%)=o或7(%)=1的所有不

相等的根的個(gè)數(shù)的和，方程的根的個(gè)數(shù)與兩個(gè)函數(shù)y=0,y=l的圖象與函數(shù)/(%)的圖

象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，由圖象，y=1的圖象與函數(shù)/(%)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有四個(gè)，y=0

的圖象與函數(shù)/(%)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有三個(gè),故方程f2(x)-f(x)=0有7個(gè)解.故答案

為：7.

27.關(guān)于x的方程(——1)2—3|%2-1|+2=0的不相同實(shí)根的個(gè)數(shù)是—.

答案：5.

解析：令t=|——1],方程(%2—I)2—3\x2—1|+2=0化為：t2—3t+2=0,

2

解得t=1或t=2,即I/—1|=1,或一=2,由|%-1|=1,

解得x—±V2,x=0,由|/-1|=2解得x=+V3.

關(guān)于%的方程(/—I)2-3|%2-1|+2=0的不相同實(shí)根的個(gè)數(shù)是:5.

28.已知函數(shù)/(%)=I42.，若關(guān)于%的方程/2(x)-2a/(x)+a+2