人教版中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：有理數(shù)混合運(yùn)算的八種技巧（解析版）

專(zhuān)題L7有理數(shù)混合運(yùn)算的八種技巧

【人教版】

?題型梳理

【技巧1巧用湊整法計(jì)算】.......................................................................?

【技巧2運(yùn)用拆項(xiàng)法計(jì)算】......................................................................2

【技巧3巧妙組合法計(jì)算】......................................................................4

【技巧4相互轉(zhuǎn)化法計(jì)算】......................................................................6

【技巧5裂項(xiàng)相消法計(jì)算】......................................................................8

【技巧6巧用分配律計(jì)算】.....................................................................11

【技巧7巧用倒數(shù)法計(jì)算】.....................................................................13

【技巧8變形相加法計(jì)算】.....................................................................16

＞舉一反三

【技巧1巧用湊整法計(jì)算】

【例1】（重慶市20232024學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：

1Q2

-87.21+53--12.78+43—；

2121

【答案】-3

【分析】原式交換再結(jié)合后，相加即可得到結(jié)果；

【詳解】解：-87.21+53^-12.78+43^-

/192\

=（-87.21-12.78）+儼五+43元）

=-100+97

=-3；

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式11］（2023秋?黑龍江齊齊哈爾?七年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：

13

3——1——2

65

【答案】-4

【分析】先去括號(hào)，計(jì)算同分母加減法，再計(jì)算；

【詳解】解:31-l|-4|-f+15

655\6/

1321

36-15_45-16

1132

=36-16~1—+4—

55

=2-6

=—4；

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，正確掌握有理數(shù)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式12](2023秋?七年級(jí)單元測(cè)試)計(jì)算：

2+(+5)+(-+(+1.125)+(+

【答案】5

【分析】先根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律簡(jiǎn)便計(jì)算即可；

【詳解】解：(―2：)+(+5)+(―3目+(+1.125)+(+4?)

/1\11

=(-2—)+5—3—+1.125+4—

\8/22

=1\((~281\)+181]1+5-[321~4211]

=-1+5+1

=5；

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【變式13】(2023秋?廣西崇左?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算：

0.125+3—+(-3—+(-0.25)；

【答案】0

【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的簡(jiǎn)便計(jì)算法則求解即可；

【詳解】解：原式=(0.125-33+(3:0.25)

=-3+3

=0；

【點(diǎn)睛】有理數(shù)的加法計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

【技巧2運(yùn)用拆項(xiàng)法計(jì)算】

【例2】(2023秋?全國(guó)?七年級(jí)期末)閱讀下面的計(jì)算過(guò)程，體會(huì)“拆項(xiàng)法”

計(jì)算:-51+(-9|)+17|+(-31)

解：原式=(一5-9+17-3)+(-1-1+；-=。+(一0)=一0

啟發(fā)應(yīng)用，用上面的方法完成下列計(jì)算：(―34)+(―11)+(2()

【答案】—4卷

【分析】將原式利用“拆項(xiàng)法”得出原式=(—3—1+2—2)+(-V一]+|),再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算

法則計(jì)算可得.

【詳解】解：(-3日+(一吟)+2,-(2。

【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，理解題干中的“拆項(xiàng)法”是解題關(guān)鍵.

【變式21】(2023秋?山東德州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算：(―51)+(—9|)+(17習(xí)+(—3目

【答案】原式=[(—5)+(-1)]+[(-9)+(-0]+[(17)+6)]+[(-3)+(-0]

=[(-5)+(-9)+(17)+(-3)]+[(-()+(-1)+(|)+(-1)]

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握題目給出的“拆項(xiàng)法”是解答本題的關(guān)鍵.

【變式22】(2023秋?山東濟(jì)寧?七年級(jí)統(tǒng)考期中)計(jì)算：

(-20211)+(-2020|)+40421+(-1|)

【答案】-g

【分析】將-2021:、-2020：、40421、-1濟(jì)分，然后再運(yùn)用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解:原式=[(-2021)+(-3)]+[(—2020)+(—。]+(4042+：)+卜1+(—T)]

52+21\

=(-2021-2020+4042-1)+

4

3

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算及方法拓展，解題關(guān)鍵是看懂題目，并根據(jù)題目所給示例進(jìn)行正確拆分.

【變式23】(2023秋?山東德州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算：

(1)(+35^)+(-231)；

(2)(-2018|)+(-2017|)+(-1目+4036.

【答案】⑴12(

(2)-2

【分析】(1)依據(jù)“拆項(xiàng)法”計(jì)算即可;

(2)依據(jù)“拆項(xiàng)法”計(jì)算即可.

【詳解】(1)(+359+(-233

=(35)+0+[(一23)+(一就

=〔(35)+(-23)]+[6)+(一[

(2)(一20181)+(-2017|)+(-1目+4036

2018)+(-+(—2017)+(—§)]+[(一1)+(—')]+4036

=[(-2018)+(-2017)+(-1)+4036]+[(-1)+(一|)+(—1)]

=0+(—2)

=—2.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握題目給出的“拆項(xiàng)法”是解答本題的關(guān)鍵.

【技巧3巧妙組合法計(jì)算】

[例3](2023秋?全國(guó)?七年級(jí)期末)計(jì)算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-2019-2020

值為()

A.0B.-1C.2020D.2020

【答案】D

【分析】根據(jù)加法的結(jié)合律四個(gè)四個(gè)一組結(jié)合起來(lái)，每一組的和都等于4,共505組，計(jì)算即可.

【詳解】解：1+234+5+678+9+101112+...+2017+201820192020

=(1+234)+(5+678)+(9+101112)+...+(2017+201820192020)

=(4)+(4)+(4)+(4)+...+(4)

=(4)*505

=2020.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，觀察出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式31](2023秋?河南洛陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末)計(jì)算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-

2019—2020+2021的值為()

A.1B.0C.2021D.-2021

【答案】A

【分析】從第二項(xiàng)開(kāi)始，利用加法的結(jié)合律每相鄰兩項(xiàng)結(jié)合相加，結(jié)果依次為一1和1循環(huán)，而其和為0,

且共有1010個(gè)0,最后可求得和的值.

【詳解】1+2-3-4+5+6-7-8+---+2017+2018-2019-2020+2021

=1+(2-3)+(-4+5)+(6-7)+(-8+9)+…+(2018-2019)+(-2020+2021)

=1-1+1—1+1+——1+1

=1+(-1+1)+(-1+1)+---+(-1+1)

1010個(gè)(-1+1)

=1

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算及加法的結(jié)合律，關(guān)鍵是運(yùn)用加法的結(jié)合律，抓住相鄰兩項(xiàng)的和為1

或一1的特點(diǎn)，從而問(wèn)題得以解決.

【變式32](2023?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))1一3-5+7+9—11—13+15+…+2009-2011-2013+

2015=.

【答案】0

【分析】通過(guò)觀察，每四項(xiàng)結(jié)合在一起，每一項(xiàng)結(jié)果為0,然后將原式利用加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】原式=(1-3-5+7)+(9-11-13+15)+-■■+(2009-2011-2013+2015)

=0,

故填：o.

【點(diǎn)睛】本題考查了加法中的巧算問(wèn)題，熟練應(yīng)用加法結(jié)合律是關(guān)鍵.

【變式33](2023?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))計(jì)算：1一2-3+4+5-6-7+8+....+2020+2021結(jié)果

為.

【答案】2021

【分析】根據(jù)運(yùn)算式子歸納類(lèi)推出一般規(guī)律，由此即可得.

【詳解】觀察式子可知，1—2—3+4=0,

5-6-7H-8=0,

歸納類(lèi)推得：從第1個(gè)數(shù)開(kāi)始，每4個(gè)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果都等于0,

???505x4+1=2021,

1—2—3+4+5—6—7+8+.…+2020+2021,

=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+....+(2017-2018—2019+2020)+2021,

=505X0+2021,

=2021,

故答案為：2021.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算的規(guī)律性問(wèn)題，正確歸納出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【技巧4相互轉(zhuǎn)化法計(jì)算】

【例4】(2023春?上海?七年級(jí)上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)(-0.375)

【答案】一"

64

【分析】先統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)，再算乘除即可.

【詳解】原式=(-9x*g=4x|x*一||.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式41】(2023?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè))計(jì)算：

(1)(-3)((-0)x0.75+(-Dx(-6)；

⑵(-9)*(--上義(-10)；

【答案】(1)18

(2)-5

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序計(jì)算即可得到答案.

【詳解】(1)解：(—3)+1：)x0.75+X(-6)

437

=3x-x-x-x6

743

=18；

(2)解：X(-0.1)+6X(-10)

=-Qx^x25X10)

=—5；

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式42](2023秋?貴州銅仁?七年級(jí)校考階段練習(xí))乘除計(jì)算：

1

1.25+(-0.5)+(—2—)x1

【答案】1

【詳解】1.25+(-0.5)+(—2()x1

個(gè)(-2)x(令1

=1；

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，按照從左至右的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算與乘法分配律的應(yīng)用是解

本題的關(guān)鍵.

【變式43】(2023秋?全國(guó)?七年級(jí)期末)計(jì)算：

”(Y)x(T2.5)x(一§；

【答案】-60

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】原式=8x(-x(-128)x(-§

34

=-8x12.5x-x—■

45

=-60.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【技巧5裂項(xiàng)相消法計(jì)算】

【例5】（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料:

計(jì)算.+---1---

1x22x33x42021x2022

解：原式=1一-1+9-1+???+表一施=1一施=卷

這種求和方法稱(chēng)為“裂項(xiàng)相消法”，請(qǐng)你參照此法計(jì)算：上+22+…+

Z—13—14—11（J（J—1

【卷案】14949

【口茶」10100

【分析】先計(jì)算分母，再根據(jù)“裂項(xiàng)相消法”計(jì)算可得答案.

【詳解】解：號(hào);+言+言+…+/T

2222

:—I----1-------F...H-------

38159999

」+二+3++_^

1x32x43x599x101

―1111111

=1-------1-------------1--------+...H---------------

3243599101

=1+:占一?

14949

10100

故答案為：黑

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，正確理解題意掌握解題的方法是解此題的關(guān)鍵.

【變式51】（2023秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算:

(1忌+++*+*=

⑵計(jì)算+-^―+-^―++--1---------------

'71x22x33x44x52020x2021

【答案】聯(lián)

Q篇

【分析】（1）根據(jù)題中所給式子進(jìn)行變形求解即可;

（2）結(jié)合（1）中的計(jì)算方法求解即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得:

1111

Ix2+2x3+3x4+4x5

11111111

=---------1----------1----------1---------

12233445

1

=1-5

_4

一5?

故答案為：g

(2)—+—+—+—+???H-------------

1x22x33x44x52020x2021

_1111111111

=------------------------------------------r--------------------

1223344520202021

1

=1----------

2021

_2020

—2021,

【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算及乘法運(yùn)算，找出相應(yīng)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算求解是解題關(guān)鍵.

【變式52](2023秋?山東淄博?七年級(jí)統(tǒng)考期中)計(jì)算：義+3；

1XZZXoJX4XoU

1111I

(3)--——I——-——I——-——I——-——I---1----------------

''-1x3-3x5-5x7-7x9-2021x2023,

【答案Ml嘮

GI。1】

（）2023

【分析】（1）,把每一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行裂項(xiàng)，由有理數(shù)的加減法則即可完成計(jì)算;

（2）先變形,再把每個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行裂項(xiàng)，最后進(jìn)行加減乘運(yùn)算即可.

【詳解】（1）

+!」+工_工++2_____1

2233499100

=1一卷

99

100；

⑵表+短+*+，+…

1011

2023

【變式53】(2023秋?廣東佛山?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))閱讀第①小題計(jì)算方法，再類(lèi)比計(jì)算第②小題.

⑴①一5,9§+17升(—3；)

解：原式=[(-5)+(-1)]+[(-9)+(-1)]+(17+|)+[(-3)+(-1)]

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-|)+(-|)+|+(-1)]

=0+

上面這種方法叫做拆項(xiàng)法.

②計(jì)算：(—2022g+(-20221^)+(-10+4045.

(2)①一表=卜|，「今="$一…，上面這種方法叫做裂項(xiàng)法.

②計(jì)算：(1—*)x(1

_/)x…義

【答案】(1)②一2(2)②"

4044

【分析】(1)②仿照前面解法求解即可.

(2)②仿照前面解法求解即可.

【詳解】(1)②(-2022g+(-2022§+(-+4045

=[(-2022)+(-1c).]+[(-2022)+(-|2)]+[(-1)+(~|1)]+4045

=[(-2022)+(-2022)+(-1)+4045]+[(-1S)+(-12)+(-71)]

=0+(—2)

=-2.

⑵②因?yàn)?一強(qiáng)=興|,l-/=|x$1一*=*x*

w#1324352020202220212023

以JM^Xj:=-X—X—X—X—X—…X-------X--------X--------X--------

2233442021202120222022

120232023

:-X------

220224044

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的特殊運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵.

【技巧6巧用分配律計(jì)算】

【例6】(2023秋?廣東惠州?七年級(jí)校考階段練習(xí))計(jì)算：一24-24xU—：+》.

\364/

【答案】-22

【分析】先根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算和乘法分配律的乘法運(yùn)算，再加減運(yùn)算即可求解.

【詳解】解：—24—24xQ

\3o4/

/153\

―16-24X--24X-+24X-

=-16-(8-20+18)

=—16—6

=-22.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解答的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)

便計(jì)算.

【變式61】(2023春?浙江衢州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算題，要求寫(xiě)出具體計(jì)算過(guò)程：

(1詒義(-9)+看*(-18)+春；

(2)(-6)2xg-|)-23；

【答案】⑴-14

(2)-14

【分析】(1)利用乘法分配律合并計(jì)算；

(2)先算乘方和括號(hào)內(nèi)的，再算乘法，最后算減法；

【詳解】⑴看x(—9)+/義(-18)+看

7

=^x(—9—18+1)

7

=—x(-26)

=-14；

(2)(—6)2x0|)一23

=36x(1-1)-8

12

=36x——36x——8

23

=18-24-8

=—14；

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算首先弄清運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后算加

減，有括號(hào)先算括號(hào)里邊的，同級(jí)運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行計(jì)算，然后利用各自運(yùn)算法則計(jì)算，有時(shí)可以利

用運(yùn)算律來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【變式62】(2023秋?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?七年級(jí)統(tǒng)考期末)⑴-9啜X198

【答案】-19798

【分析】利用乘法分配律計(jì)算即可；

【詳解】原式=(-100+￡)x198

1

=-100x198+一x198

99

=一19800+2

=一19798；

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算是解題的關(guān)鍵，也需要注意有理數(shù)混合

運(yùn)算的運(yùn)算順序.

【變式63】(2023春?上海寶山?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算下列各題：

(1)(-24)x(-|+1-^)；

⑵(-S'l)x(-2)+(-5.6)x7-4x(-5卷)；

【答案】⑴13

⑵-59

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)乘法分配律求解即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)四則混合計(jì)算法則求解即可；

【詳解】(1)解：原式=(―24)x(-亮)+(―24)x'+(-24)x(―七)

=20-9+2

=13

(2)解：原式=(-5-|^X(―2+7—4)

=(-23*5l)xl

=-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

【技巧7巧用倒數(shù)法計(jì)算】

【例7】(2023春?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)統(tǒng)考期中)閱讀下面材料，然后回答問(wèn)題.

計(jì)算(一9)+6一方+A2,

解法一:

原式=(一卷)號(hào)-(一京)，[+(--)+>(一-)小

1111

=-----1-------1---

203512

_1

~6

解法二：

原式=(-4)+[(泊)+島-?！?/p>

==-x5

30

_1

~~6

解法三：原式的倒數(shù)為(|一親+A0+(-*)

2112

=-x(-30)--x(-30)+-x(-30)--x(-30)

31Uo5

=-20+3-5+12

=-10

故原式=一卷

(1)上述得出的結(jié)果各不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，但是三種解法中有一種解法是正確的，請(qǐng)問(wèn)：正確的解法

是解法;

(2)根據(jù)材料所給的正確方法，計(jì)算：(-2)+C-得+1

【答案】⑴三

【分析】(1)根據(jù)除法運(yùn)算法則，正負(fù)號(hào)變化規(guī)則，倒數(shù)的定義和乘法運(yùn)算法則判斷即可；

(2)根據(jù)解法三，先求倒數(shù)，將除法化為乘法，再求倒數(shù)即可；

【詳解】⑴解:解法一中原式(一/)十|

將除數(shù)(I-a+3-1)分開(kāi)計(jì)算是錯(cuò)誤的；

解法二中原式=(-￡)+[(|-￡)+島-1)]是錯(cuò)誤的，將除數(shù)結(jié)合后應(yīng)為原式=(-￡)+(^+

濟(jì)

解法三中先化為倒數(shù)，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法分配律計(jì)算后再求倒數(shù)是正確的；

故正確解法是三；

(2)解：解：原式的倒數(shù)為(，—卷+：—+(―專(zhuān))

1322

=1x(-42)——X(—42)+—x(—42)——x(—42)

61437

=-7+9-28+12

=-14

故原式=一5；

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則，利用一個(gè)非零數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)是自身是解題關(guān)鍵.

【變式71](2023?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè))計(jì)算：(一劫+：一3+卷一?)

【答案】5

【分析】根據(jù)題意的算法進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果.

【詳解】解：原式的倒數(shù)是(―[—g+弓—g)+(―《)

1293\、

——-+---------x(-20)

45102/v)

=5+8-18+30

二25

故原式=套

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意，正確運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵.

【變式72］（2023秋?重慶墊江?七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：（一白++

o4o12

【答案】一|

【分析】可以先求出所求式子的倒數(shù)的結(jié)果，然后再寫(xiě)出所求式子的結(jié)果即可.

【詳解】原式的倒數(shù)為：（1J—（+白）+（-3）

4o1Zo

787878

4I718I7）12I7，

2

=-2+1+（--）

_5

一3’

'8，、481275

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

【變式73］（2023秋?河南南陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算”:（一

小華的解法：（-/G_滬_a十（_如?=_抬一.

大白的解法：原式的倒數(shù)為《一|）+（-七）...............第一步

=（；Y）x（T2）...................................第二步

=-4+10........................................................第三步

=6..................................................................第四步

所以（一白+（11）

反以?xún)晌煌瑢W(xué)的解法，請(qǐng)你回答下列問(wèn)題：

（1）兩位問(wèn)學(xué)的解法中，同學(xué)的解答正確；

（2）大白解法中，第二步到第三步的運(yùn)算依據(jù)是.

(3)用一種你喜歡的方法計(jì)算：(一￡)+