浙江省金華市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題 含解析

金華十校2024年11月高三模擬考試數(shù)學(xué)試題卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題卷上.2.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦干凈.3.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫在本試題卷上無效.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：A.2.在復(fù)平面中，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的計(jì)算化簡得到復(fù)數(shù)，再求模長.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D.3.若，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件概念，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】考慮條件.這意味著a和b要么相等，要么互為相反數(shù).考慮等式.由于是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b.如果a=b，那么必然成立.但是，如果，a和b可以互為相反數(shù)，此時(shí)不一定成立.因此，我們得出結(jié)論：是的必要不充分條件.故選：B.4.已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合已知條件，求得，即可求得拋物線方程.【詳解】根據(jù)題意，連接，過作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，作圖如下：由拋物線定義可知，解得，故拋物線方程為：.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可得的值，再將弦化切，即可求解.【詳解】由得，即，解得，所以，故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則以下可能成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由圖象可知：在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的正根，結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，由圖象可知：在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的正根，則，可得，對(duì)比選項(xiàng)可知：ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.7.某高中高三（15）班打算下周開展辯論賽活動(dòng)，現(xiàn)有辯題A、B可供選擇，每位學(xué)生都需根據(jù)自己的興趣選取其中一個(gè)作為自己的辯題進(jìn)行資料準(zhǔn)備，已知該班的女生人數(shù)多于男生人數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，則（）A.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)B.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)C.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)D.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的女生人數(shù)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及簡單的邏輯推理，找出正確的選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)選辯題A的男生有x人，選辯題A的女生有y人，選辯題B的男生有m人，選辯題B的女生有n人.已知該班女生人數(shù)多于男生人數(shù)，即；又知選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，即.將這兩個(gè)不等式相加得到：，兩邊同時(shí)消去得到，即.這就意味著選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù).故選：A.8.已知正方體的棱長為，為正方體內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，球?yàn)檎襟w內(nèi)切球，過點(diǎn)作直線與球交于，兩點(diǎn)，若的面積最大值為4，則滿足條件的點(diǎn)形成的幾何體體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何性質(zhì)可得，則，從而可得滿足條件的點(diǎn)形成的幾何體，根據(jù)幾何體的體積計(jì)算即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長為，則正方體內(nèi)切球球的半徑，所以，因?yàn)?，則，若的面積最大值為4，即，由于在上，則，則滿足條件的點(diǎn)形成的幾何體為正方體去掉以為球心，2為半徑的球體，故其體積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】運(yùn)用平面向量的模長計(jì)算公式計(jì)算，根據(jù)向量平行或垂直列等式求參數(shù)即可求解．【詳解】解：向量，A．，故正確，符合題意；B．，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，正確，符合題意；C．若，則，解得，故錯(cuò)誤，不符合題意；D．若，則，解得，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：AB．10.設(shè)函數(shù)，則（）A.的圖象有對(duì)稱軸 B.是周期函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)由偶函數(shù)得到軸是其中一條對(duì)稱軸；B選項(xiàng)用周期的定義找到其中一個(gè)周期為；C選項(xiàng)通過兩個(gè)特殊點(diǎn)函數(shù)值的大小判定函數(shù)在區(qū)間不是單調(diào)遞增；D選項(xiàng)由中心對(duì)稱的定義驗(yàn)證是否成立即可.【詳解】∵，∴是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；∵，∴是函數(shù)的一個(gè)周期，故B正確；，∵，，顯然，故在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.故選：ABD.11.從棱長為1個(gè)單位長度的正四面體的一頂點(diǎn)出發(fā)，每次均隨機(jī)沿一條棱行走1個(gè)單位長度，設(shè)行走次時(shí)恰好為第一次回到點(diǎn)的概率為，恰好為第二次回到點(diǎn)的概率為，則（）A. B.C.時(shí)，為定值 D.數(shù)列的最大項(xiàng)為【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意計(jì)算判斷A選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律求出和的關(guān)系判斷C選項(xiàng)，根據(jù)規(guī)律求出判斷B選項(xiàng)，尋找規(guī)律求出，求出數(shù)列的最大項(xiàng)判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意得對(duì)于任意一次行走，到達(dá)其他三個(gè)點(diǎn)概率均為，，，第三次行走時(shí)，若第二次行走在點(diǎn)，那么第三次行走不可能到點(diǎn)，若第二次行走不在點(diǎn)，那么第三次行走到點(diǎn)概率為，所以，故A選項(xiàng)正確；第四次同理，均滿足，所以不為定值，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)榈谝淮涡凶卟豢赡芑氐近c(diǎn)，所以第二次行走最多即第一次到點(diǎn)，所以，若第二次行走到了點(diǎn)，則第三次行走不可能到點(diǎn)，假設(shè)第二次行走沒到點(diǎn)，則第三次行走是第一次行走到點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以只能是第次和第次行走到點(diǎn)，所以，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，從開始尋找規(guī)律，第和第次行走到點(diǎn)，第和第次行走到點(diǎn)，第和第次行走到點(diǎn)，則為第和第次行走到點(diǎn)，第和第次行走到點(diǎn)，第和第次行走到點(diǎn)，第和第次行走到點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)樵谛∮?，所以在恒成立，所以為最大值，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解題意找出規(guī)律求出和的關(guān)系和.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則______.【答案】11【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公式求解公差，即可得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得，所?故答案為：11.13.從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有______種【答案】16【解析】【分析】由組合數(shù)公式計(jì)算出所有選法，減去三個(gè)數(shù)都不相鄰的選法即可.【詳解】從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)，共有種選法，其中三個(gè)數(shù)都不相鄰的，有135，136，146，246這4種，所以至少有兩個(gè)數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有20-4=16種.故答案為：1614.已知雙曲線：，為右焦點(diǎn)，斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，其中，過且斜率為的直線與過且斜率為1的直線交于點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，，根據(jù)題意可得直線，的方程，從而得.設(shè)中點(diǎn)為，則，從而知三點(diǎn)共線，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，，，則直線：，直線：，兩直線聯(lián)立，解得即.設(shè)中點(diǎn)為，則，因?yàn)椋匀c(diǎn)共線.因?yàn)?，且，所以，所?同理知，即，設(shè)，則，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為等腰三角形且腰長為2，求的底邊長.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角化簡可得；（2）分別討論當(dāng)為頂角和為底角時(shí)的底邊長即可.【小問1詳解】，由正弦定理得：，∵，∵，小問2詳解】當(dāng)為頂角，則底邊，，當(dāng)為底角，則該三角形內(nèi)角分別為，，，則底邊為故的底邊長為或.16.如圖，三棱錐中，平面，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連，利用三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.（2）根據(jù)給定條件，作出三棱錐底面上的高，利用幾何法求出線面角的正弦.【小問1詳解】連，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，得，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】設(shè)，由平面，平面，得，則，取中點(diǎn)，則，又平面，則平面，又平面，于是平面平面，又平面面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，于是平面，連，則為直線與平面所成的角，在中，，，，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值.17.已知函數(shù)，.（1）若，求單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）代入?yún)?shù)值，求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)函數(shù)大于0的不等式，得出增減區(qū)間；（2）求導(dǎo)函數(shù)，得到增減區(qū)間，求得最小值；由題意建立不等式，構(gòu)建對(duì)應(yīng)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)求得單調(diào)區(qū)間得最小值再建立不等關(guān)系，得到范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，f′x<0，x∈1,+∴fx的單調(diào)增區(qū)間為1,+∞【小問2詳解】時(shí)，f′x<0，時(shí)，又，令則，顯然單調(diào)遞減，且，必然存在唯一使得當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減由于時(shí)，，成立當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，因此成立綜上，成立的范圍為18.已知和為橢圓：上兩點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不在軸上）.（i）若的面積為，求直線的方程；（ii）直線和分別與軸交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的點(diǎn)A和B在橢圓上，以及橢圓的離心率公式求出橢圓的離心率；（2）（i）借助韋達(dá)定理和面積公式計(jì)算即可；（ii）可借助韋達(dá)定理和圓的弦長公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由可知，求出，代入，得，，則，，可知橢圓的離心率為.【小問2詳解】（i）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)，，過點(diǎn)的直線為，與聯(lián)立得：.恒成立.所以，得，所以，直線的方程為：.（ii）由（i）可知，直線的方程為，令，得直線的方程為，令，得，記以為直徑的圓與軸交于，兩點(diǎn)，由圓的弦長公式可知，所以，為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時(shí)，要將問題合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成易于計(jì)算的方向.19.已知正邊形的每個(gè)頂點(diǎn)上有一個(gè)數(shù).定義一個(gè)變換，其將正邊形每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)變換成相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的平均數(shù)，比如：記個(gè)頂點(diǎn)上的個(gè)數(shù)順時(shí)針排列依次為，則，為整數(shù)，，，.設(shè)（共個(gè)，表示次變換）（1）若，，，求，，，；（2）對(duì)于正邊形，若，，證明：；（3）設(shè)，，，證明：存在，使得不全為整數(shù).【答案】（1），，，.（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）涉及到根據(jù)給定的變換規(guī)則進(jìn)行多次變換的計(jì)算，按照變換公式逐步計(jì)算即可.（2）需要利用假設(shè)和變換公式進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)公式，證明所有數(shù)相等.（3）運(yùn)用反證法，要結(jié)合整數(shù)整除性質(zhì)來證明存在這樣的.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，的變換如下：所以，，，.【小問