浙江省金磚聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

浙江省金磚聯(lián)盟2024學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：余杭第二高級(jí)中學(xué)付振凱審核：東陽(yáng)二中呂夏雯考生須知：1．本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：B．2.已知平面，，直線，且，則“”是“∥”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面關(guān)系及充分條件和必要條件的定義分析判斷.【詳解】當(dāng)，時(shí)，∥或，當(dāng)，∥時(shí)，與平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以“”是“∥”的既不充分也不必要條件.故選：D3.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，，，故選：A．4.已知，兩直線，若，則的最小值為（）A.12 B.20 C.26 D.32【答案】D【解析】【分析】由垂直關(guān)系可構(gòu)造關(guān)于a,b的方程，再結(jié)合基本不等式即可求得的最小值.【詳解】由得：，化簡(jiǎn)得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：D.5.已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為，乙罐中有三個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為，從甲罐，乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于6”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于6”，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.事件發(fā)生的概率為 B.事件相互獨(dú)立C.事件是互斥事件 D.事件發(fā)生的概率為【答案】B【解析】【分析】寫(xiě)出所有的基本事件，再選出事件，所含有的基本事件，然后根據(jù)古典概型，相互獨(dú)立，互斥事件、求出的概率依次判斷選項(xiàng)．【詳解】甲罐中小球編號(hào)在前，乙罐中小球編號(hào)在后，表示一個(gè)基本事件，有11，12，13，21，22，23，31，32，33，41，42，43，共12個(gè)，事件含有的基本事件有：43，共1個(gè)．事件含有的基本事件有：11，12，13，21，22，31，41，共7個(gè)，事件發(fā)生的概率為，故A正確；，，，，不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；事件兩者不可能同時(shí)發(fā)生，它們互斥，故C正確；事件中含有8個(gè)基本事件，共有基本事件12個(gè)，因此，故D正確.故選：B．6.當(dāng)圓截直線所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)（）A.－1 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先判斷直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M，且點(diǎn)M在圓C內(nèi)，當(dāng)直線l垂直于CM時(shí)，圓被直線截得的弦長(zhǎng)最短，計(jì)算即得.【詳解】由得，圓心坐標(biāo)，半徑為8，直線的方程化為，由，解得，所以直線l過(guò)的定點(diǎn)，且，所以點(diǎn)M在圓C內(nèi)，要使直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最短，只需與圓心的連線垂直于直線l，所以，故選：C7.八卦是中國(guó)文化的基本學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊，其中給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）A.與的夾角為B.C.D.在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可求出，對(duì)于B，利用向量的加法法則分析判斷，對(duì)于C，根據(jù)向量的減法法則結(jié)合正八邊形的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于D，根據(jù)投影向量的定義分析判斷【詳解】由八卦圖可知與的夾角為，而，故A錯(cuò)由，故B錯(cuò)；易知，又，所以，而，所以，即C錯(cuò)誤；因?yàn)?，即與的夾角為，易知在上的投影向量為，即D正確.故選：D8.已知銳角，角的對(duì)邊分別，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此求得的值，進(jìn)而求得B的大小.再利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)知，，由正弦定理得，即,又，所以，所以，得，所以，又，即，又銳角，所以，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知甲組數(shù)據(jù)為：，乙組數(shù)據(jù)為：，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這兩組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)相等B.這兩組數(shù)據(jù)的極差相等C.這兩組數(shù)據(jù)分別去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后，均值都不變D.甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)分散【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用第80百分位數(shù)、極差、平均數(shù)、方差的意義依次判斷即得.【詳解】對(duì)于A，由，得甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，由，乙組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)極差定義，極差等于最大子減去最小值，可知甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)均值定義可知甲組原數(shù)據(jù)均值為，去掉最值后均值為，乙組原數(shù)據(jù)均值為，去掉最值后均值為，故C正確；對(duì)于D，由C知甲乙兩組平均值都為，根據(jù)方差公式甲組乙組數(shù)據(jù)方差為，則，所以乙組數(shù)據(jù)分散，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知橢圓，點(diǎn)為橢圓兩焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的外角平分線，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足是.現(xiàn)有一條長(zhǎng)度為4的線段在直線上運(yùn)動(dòng)，且始終滿(mǎn)足為銳角，則（）A.點(diǎn)的軌跡方程是B.點(diǎn)有可能在以為直徑的圓上C.點(diǎn)不可能在直線上D.線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合題中條件分析出Q點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何關(guān)系，根據(jù)幾何關(guān)系可直接寫(xiě)出Q的軌跡方程，在結(jié)合Q的軌跡方程分析其與直線m的關(guān)系.【詳解】如圖所示，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于E，連結(jié).由角平分線的性質(zhì)，，所以關(guān)于Q點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以為中點(diǎn)，且，所以為中位線，所以，因?yàn)镻在橢圓上，由橢圓的定義，，所以，故Q的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓，即，故A正確；若Q在以MN為直徑的圓上，則，不符題意，故B錯(cuò)誤；又因?yàn)榕c圓相離，故不可能在m上，故C正確；如圖所示，當(dāng)線段MN在位置時(shí)，中點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)以MN為直徑的圓剛好與的軌跡相切，當(dāng)Q在切點(diǎn)位置時(shí)，，當(dāng)線段MN在位置時(shí)，中點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)以MN為直徑的圓也剛好與的軌跡相切，當(dāng)Q在切點(diǎn)位置時(shí)，，所以若要始終為銳角，則MN的中點(diǎn)E不能在線段之內(nèi)，所以MN中點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的外接球的表面積為C.直線與直線所成角的正弦值為D.若，那么點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，用空間坐標(biāo)求解A,C選項(xiàng)；對(duì)B選項(xiàng)，結(jié)合圖形即可直接求出三棱錐的外接球半徑，再由球的表面積公式即可判斷；對(duì)D選項(xiàng):設(shè)，根據(jù)條件求出滿(mǎn)足的方程,判斷其軌跡即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量，由得，令得，所以取，因?yàn)?，故，所以直線平面，故A正確;由題意得三棱錐的外接球半徑為,所以三棱錐的外接球表面積為，故B正確；因?yàn)椋?，所以，故C錯(cuò)誤；因Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），設(shè)，由得，即，在正方形內(nèi)的軌跡為以為圓心，半徑為的四分之一圓周，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】對(duì)空間幾何中的軌跡或最值問(wèn)題求解時(shí)可以建立空間直角坐標(biāo)系,幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系,可從方程上判斷軌跡形狀,從函數(shù)的角度求最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線的一個(gè)方向向量，則的傾斜角大小為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)方向向量可求得，根據(jù)直線傾斜角的取值范圍即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故答案為：.13.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圖中平面與平面所成角的余弦值為_(kāi)_______．【答案】1【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解平面與平面夾角的余弦值.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令可得，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令可得，所以因?yàn)?，所以平面平面，故平面與平面夾角為0，，故答案為：1.14.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是，左、右頂點(diǎn)分別是，過(guò)作軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【詳解】由題意可知：左、右頂點(diǎn)分別是A1（﹣a，0），A2（a，0），當(dāng)x＝c時(shí)，代入雙曲線方程，解得：y＝±，設(shè)B（c，），C（c，），則直線A1B的斜率k1，直線A2C的斜率k2，由A1B⊥A2C，則k1×k2＝﹣1，即1，則1，雙曲線的離心率e，故答案為：．【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.為提高服務(wù)質(zhì)量，某社區(qū)居委會(huì)進(jìn)行了居民對(duì)社區(qū)工作滿(mǎn)意度的問(wèn)卷調(diào)查．隨機(jī)抽取了100戶(hù)居民的問(wèn)卷進(jìn)行評(píng)分統(tǒng)計(jì)，評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：（1）求的值；（2）求這100戶(hù)居民問(wèn)卷評(píng)分的中位數(shù)；（3）若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評(píng)分在和內(nèi)的居民中共抽取6戶(hù)居民，查閱他們答卷的情況，再?gòu)倪@6戶(hù)居民中選取4戶(hù)進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查，求這4戶(hù)居民中恰有1戶(hù)的評(píng)分在內(nèi)的概率．【答案】（1）0.02；（2）77.5分；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，由頻率分布直方圖中各組矩形面積之和等1，即可求出的值.（2）結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及中位數(shù)的定義，即可求解.（3）根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，列舉法及古典概型的概率公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖，得，解得.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖，得數(shù)據(jù)落在的頻率為，數(shù)據(jù)落在的頻率為，因此中位數(shù)，有,解得，所以中位數(shù)為77.5分.【小問(wèn)3詳解】評(píng)分在對(duì)應(yīng)的頻率為0.1，0.2，從評(píng)分在和內(nèi)的居民中共抽取6人，則評(píng)分在占2人，記為，評(píng)分在占4人，記為A,B,C,D，從6人中選取4人的樣本空間，共15個(gè)樣本點(diǎn)，這4戶(hù)居民中恰有1戶(hù)的評(píng)分在內(nèi)的事件，其8個(gè)樣本點(diǎn)，所以這4戶(hù)居民中恰有1戶(hù)的評(píng)分在內(nèi)的概率.16.在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若，角的平分線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，由輔助角公式可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解（2）根據(jù)余弦定理可得，利用角平分線定理，結(jié)合向量的線性運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式求解.【小問(wèn)1詳解】由，由正弦定理可得,又，所以，所以，可得，又，所以，所以，可得，【小問(wèn)2詳解】在中，，由余弦定理得，解得（舍），或，由，得，即，故線段AD的長(zhǎng)為.17.如圖在四棱錐中，，，，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）取AB中點(diǎn)F，連接CF、QF，證明，借助直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）假設(shè)在棱AD上存在點(diǎn)M，建立空間直角坐標(biāo)系，借助向量運(yùn)算即可解答.【小問(wèn)1詳解】取AB的中點(diǎn)F，連接CF、QF，因?yàn)镼，F(xiàn)分別為AE、AB的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)椋?，且，所以四邊形QFCD為平行四邊形，所以，且平面ABC，平面ABC，所以平面，【小問(wèn)2詳解】取EB的中點(diǎn)G，連接AG、DG，因?yàn)?，所以是等邊三角形，所以，且，因?yàn)?，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，在中，，所以，，AG、BE在平面ABE中相交于點(diǎn)G，所以平面ABE，以G為原點(diǎn)，以GA、GB、GD方向分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，假設(shè)在棱上是否存在點(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為m=x,y,z，所以則，令，則，所以平面ACD一個(gè)法向量為，直線與平面所成的角，則，整理得：，解得，或，都符合題意，所以，或，故在棱上是存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或18.如圖，已知圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作圓的切線，兩條切線相交于點(diǎn)．（1）若直線的斜率為1，求的值；（2）求點(diǎn)的軌跡方程；（3）若兩條切線與軸分別交于點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑.根據(jù)直線斜率為1且過(guò)點(diǎn)寫(xiě)出直線方程，然后利用弦長(zhǎng)公式（其中為弦長(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線的距離）來(lái)計(jì)算.（2）設(shè)，，，根據(jù)圓的切線方程的求法以及點(diǎn)是兩條切線的交點(diǎn)，通過(guò)聯(lián)立方程來(lái)求點(diǎn)的軌跡方程.（3）先求出切線方程，進(jìn)而得到與軸交點(diǎn)、坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求，再利用函數(shù)最值的求法求最小值.【小問(wèn)1詳解】直線l為，圓的半徑，圓心到直線的距離，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，直線l的斜率不能為0，故可設(shè)直線l的方程為，代入圓M的方程，消去y，得：,Δ=4m2則，，過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程為：①過(guò)點(diǎn)B的圓的切線方程為：,②由①②解得,所以點(diǎn)P的軌跡是直線.【小問(wèn)3詳解】①中令,,②中令,,則.當(dāng)時(shí)，最小值為.此時(shí)直線l為，.19.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半