宿州市重點中學2024-2025學年高考壓軸考試數(shù)學試題（含解析）

宿州市重點中學2024-2025學年高考壓軸考試數(shù)學試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何

體的表面積是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.160+16乃

B.16后+8萬

C.80+16乃

D.8夜+8萬

2.已知雙曲線二-二=13〉。〉0）的焦距為2c,若M的漸近線上存在點T,使得經(jīng)過點T所作的圓

ab

（九-。）2+y2=〃2的兩條切線互相垂直，則雙曲線"的離心率的取值范圍是（）

A.（1,A/2]B.（6,5C.（0,行]D.（AV5]

3.一個陶瓷圓盤的半徑為10.，中間有一個邊長為4cm的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形

花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計圓周率乃的值為（精確到0.001）（）

A.3.132B.3.137C.3.142D.3.147

勺1—tan—

37r7

4.已知sin。—2cos。=1,ae(TV.——),則-------=()

21a

I+tan一

2

II

A.----B.—2C.-D.2

22

5.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果y=2,則輸入的X值為()

A.3B.-2

C.3或-3D.3或-2

6.已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個面中，最大面積為()

△也

-<-242-?

A.2血B.273C.4D.2娓

7.已知全集為R,集合A=(xy=(x—l)2',3={X|X2—2X<0},貝］(\A)p|5=()

A.(0,2)B.(1,2]C.[0,1]D.(0,1]

8.在關(guān)于x的不等式依2+2x+l>0中，“。>1”是“依2+2%+1>0恒成立”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知平面向量J,B滿足;=(1,一2),B=(—31),且+則帆=()

A.3B.V10C.273D.5

10.已知小，〃是兩條不重合的直線，a,夕是兩個不重合的平面，則下列命題中錯誤的是()

A.若機〃a,aHp,則機〃/或機u尸

B.若機〃〃，mHa,nga,則〃〃e

C.若加_L〃，m±a,n±)3,則。_1_萬

D.若m_L〃，m±cr,則"〃。

H.如圖所示程序框圖，若判斷框內(nèi)為“i<4"，則輸出S=()

A.2B.10C.34D.98

12.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC與BD交于點。，且荏=2詼，則前=()

1-2——2—.1—

A.-AD——ABB.-AD+-AB

3333

2—1—.1—.2—.

C.-AD——ABD.-AD+-AB

3333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

TT______

13.如圖，已知扇形A03的半徑為1,面積為則礪.通=.

li

y<x

14.已知實數(shù)x,y滿足x—4y—3W0,則目標函數(shù)z=x+2y-1的最小值為.

2x+y-6<0

15.一個村子里一共有九個人，其中一個人是謠言制造者，他編造了一條謠言并告訴了另一個人，這個人又把謠言告

訴了第三個人，如此等等.在每一次謠言傳播時，謠言的接受者都是在其余〃-1個村民中隨機挑選的，當謠言傳播

左(4??2)次之后，還沒有回到最初的造謠者的概率是.

16.若(x-2)"展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式各項系數(shù)和為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(力=6加一1(aGR,e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+爾+1.

(1)若/(%)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵當4=1時，(尤)+%]?g(x)對任意的xe(o,”)恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/(力=依依+優(yōu)。力為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為y=x-1.

(1)求實數(shù)。力的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=〃x)+l,證明g(%)=g(%2)(%<%)時，X1+X2>2.

19.(12分)已知中心在原點。的橢圓C的左焦點為月(—1,0),C與y軸正半軸交點為A,且乙4耳0=(.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點A作斜率為《、&(空2w0)的兩條直線分別交。于異于點4的兩點知、N.證明：當左2=占時，直

/C]I

線過定點.

20.(12分)已知點P(l,|),￡=(x—l,y),B=(x+l,y),且|可+|同=4,滿足條件的。(x,y)點的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)是否存在過點(0,-1)的直線/,直線/與曲線C相交于A,8兩點，直線PAP6與y軸分別交于兩點，使

得1PMi=|PN|?若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)=-12一(。一16)為，g(x)=alnx,。wR.函數(shù)/?(力=以義―g(x)的導函數(shù)〃⑺

在|,4上存在零點.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若存在實數(shù)。，當％e[0,可時，函數(shù)/(%)在x=0時取得最大值，求正實數(shù)b的最大值；

⑶若直線/與曲線y=/(x)和y=g(x)都相切，且/在y軸上的截距為-12,求實數(shù)。的值.

22.(10分)一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對一塊地的”(“eN*)

個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為5，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言，

如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.

(1)當〃取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？

(2)當〃=4時，用X表示要補播種的坑的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為

—4,4A/2H——yr,2,6=8A/2+87r，故選D.

222

2.B

【解析】

由匕〉?？傻胑>JL由過點T所作的圓的兩條切線互相垂直可得|7F|=&。,又焦點F(c,O)到雙曲線漸近線的距離

為b，則\TF\=42a^b，進而求解.

【詳解】

?.吻>a,所以離心率e

又圓(x-c)2+V=/是以F(c,O)為圓心，半徑r=a的圓,要使得經(jīng)過點T所作的圓的兩條切線互相垂直，必有

\TF\=42a,

而焦點"c,O)到雙曲線漸近線的距離為。，所以=即，〈后，

所以e=￡=+W石，所以雙曲線M的離心率的取值范圍是(、歷,道］.

故選:B

本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.

3.B

【解析】

結(jié)合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可

【詳解】

7rsi

如圖，由幾何概型公式可知：%=47合71103」37.

3圓兀,1U1UUU

故選：B

本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎(chǔ)題

4.B

【解析】

結(jié)合sin?a+cos?a=1求得sina,cos。的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.

【詳解】

(sina—2cosa=13萬34

由〈.22」以及?！?肛一),解得sina=一-,cosa=——.

sinor+cosa-\255

.a

sin—

1——2

aaa(OL.6Zaa

cos—cos-----sin—COS--SU1-l-2cos-sin-

222[22)=22

ia.aa.aa.aYa.ay2a.2?

1+tan—sin—cos——Fsin—cos-----sin—cos——l-sin—cos------sin一

2l+「2222人22)22

a

cos—

2

?3

1+-

1—sina」:一2

cosa4.

5

故選：B

本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.

5.D

【解析】

根據(jù)逆運算，倒推回求x的值，根據(jù)尤的范圍取舍即可得選項.

【詳解】

1

因為y=2,所以當（x+甲=2,解得x=3>0,所以3是輸入的尤的值；

當2一廠|=2時，解得％=-2<0,所以—2是輸入的x的值，

所以輸入的x的值為-2或3,

故選：D.

本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖，其中底面ABC是等腰直角三角形，PC，平面ABC,結(jié)合三視圖求出每個面的面積即

可.

【詳解】

由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：

其中底面ABC是等腰直角三角形，PC,平面ABC,

由三視圖知，PC=2,AB=2^2,

因為PC，8C,PC，AC,AC=3C,AC，CB,

所以AC=3C=2,PA=PB=AB=20,

所以^APAC=S"CB=^MCB=-X2x2=2,

因為為等邊三角形，

所以=^-AB2=^X（2V2）2=2A/3,

所以該三棱錐的四個面中，最大面積為20.

故選：B

本題考查三視圖還原幾何體并求其面積；考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;

屬于中檔題、?？碱}型.

7.D

【解析】

1

對于集合A，求得函數(shù)y=(X-lp的定義域,再求得補集；對于集合瓦解得一元二次不等式，

再由交集的定義求解即可.

【詳解】

A=卜=(X—1)2j=|xp=-1={x|x〉1},，={x|x41},

3={x|x2—2x<0}={x|x(x—2)<0}={x[0<x<2},，aA)nB=(0,l].

故選:D

本題考查集合的補集、交集運算，考查具體函數(shù)的定義域，考查解一元二次不等式.

8.C

【解析】

討論當。>1時，依2+2%+1>0是否恒成立；討論當依2+2》+1>0恒成立時，。>1是否成立，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當。>1時，A=4-4a<0,由y+2%+1開口向上，則公2+2%+1>。恒成立；

當0?+2%+1>0恒成立時，若。=0,則2x+l>0不恒成立，不符合題意，

a>0

若awO時，要使得依2+2x+l>0恒成立，貝1，八，即。>1.

A=4-4a<0

所以“a>1”是'a?+2%+1>o恒成立”的充要條件

故選:C.

本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時，一般分成兩步，若。=4,則推出。

是q的充分條件；若q=p,則推出。是q的必要條件.

9.B

【解析】

先求出J+B，再利用7(￡+可=0求出L再求件

【詳解】

解：?+^=(l,-2)+(-3,Z)=(-2,r-2)

由+所以a-(a+B)=O

lx(-2)+(-2)x(?-2)=0,

t=l,^=(-3,1),|^|=7io

故選：B

考查向量的數(shù)量積及向量模的運算，是基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理,可判斷B；C中可判斷a,0所成的二面角為90°;

D中有可能〃ua,即得解.

【詳解】

選項A：若機〃e,e〃￡,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有mUp或mu/3,故A正確；

選項B：若相〃“，mHa,nsa,由線面平行的判定定理，有〃〃a,故B正確；

選項C：若加_L〃，m_La,nL/3,故a,6所成的二面角為90°，則。，，，故C正確；

選項D,若加_1_〃，m±a,有可能〃ua,故D不正確.

故選：D

本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.

11.C

【解析】

由題意，逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況，即可得解.

【詳解】

由題意運行程序可得：

z<4,J—lx2=2,5=0+1X2=2,z=1+1=2；

z<4,/=2x2=4,5=2+2x4=10,z=2+l=3；

z<4,J=4x2=8,5=10+3x8=34,,=3+1=4；

i<4不成立，此時輸出s=34.

故選：C.

本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

畫出圖形，以荏,而為基底將向量前進行分解后可得結(jié)果.

【詳解】

畫出圖形，如下圖.

選取旗，而為基底，則頒=|挺=:就=!(題+礪)，

：.ED=AD-AE=AD——(AB+AD\=-AD——AB.

3、>33

故選C.

應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題

(1)只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時，合理選擇基底會

給解題帶來方便.

(2)利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數(shù)乘運算.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13.——

2

【解析】

根據(jù)題意，利用扇形面積公式求出圓心角NAO3,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出|A8|=G，利用向量的數(shù)量積公式求

UUU1UUU1

出。

【詳解】

JT1

設(shè)角NAOfi=e,則一=—8x12,

32

/.0-------,

3

所以在等腰三角形AQ45中，|A5|=g,

貝AB=lx石xcosl50°.

2

3

故答案為:

2

本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.-1

【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值.

【詳解】

yVx,

作出實數(shù)尤，y滿足（x-4y-3V0,對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示；

2x+y-6<0,

,1z1

由z=x+2y-1,侍y=xH1—,

222

1z11z1

平移直線>=x-\1—，由圖象可知當直線x-\---1—經(jīng)過點A時,

222222

1z1

直線y———?—的縱截距最小，此時z最小.

222

y=%

由1%_今_3=0得A(-l,-1),

此時z的最小值為z=-l-2-l=-l,

故答案為-1.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，是基礎(chǔ)題

【解析】

利用相互獨立事件概率的乘法公式即可求解.

【詳解】

第1次傳播，謠言一定不會回到最初的人；

1

從第2次傳播開始，每1次謠言傳播，第一個制造謠言的人被選中的概率都是一-

n—1

沒有被選中的概率是1-——

n-1

k-\k-\

n-2

女-1次傳播是相互獨立的，故為--—

\n-1n-1

k-\

n-2

故答案為:

n-1

本題考查了相互獨立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.1

【解析】

由題意得展開式的二項式系數(shù)之和求出n的值，然后再計算展開式各項系數(shù)的和.

【詳解】

由題意(x-2)"展開式的二項式系數(shù)之和為64,即2"=64,故〃=6,令x=l,則展開式各項系數(shù)的和為(1-2)6=1.

故答案為：1

本題考查了二項展開式的二項式系數(shù)和項的系數(shù)和問題，需要運用定義加以區(qū)分，并能夠運用公式和賦值法求解結(jié)果,

需要掌握解題方法.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)0,—)；(2)(—co,l]

【解析】

In1*Inx

(1)將/(%)有兩個零點轉(zhuǎn)化為方程。=—有兩個相異實根，令G(x)=——求導，利用其單調(diào)性和極值求解；

"In丫11nv1

(2)將問題轉(zhuǎn)化為加《爐--------對一切xe(O,”)恒成立，令E(x)="--------(x>0),求導，研究單調(diào)性,

XXXX

求出其最值即可得結(jié)果.

【詳解】

(1)/(%)有兩個零點o關(guān)于X的方程e"*=工有兩個相異實根

由6“*>0，知x>0

]n

.??/(%)有兩個零點O。=——x有兩個相異實根.

X

令G(x)=g,則G'(x)=^^,

XX

由G'(x)>0得：0<x<e,由G(x)<0得：x>e,

.?.G(x)在(O,e)單調(diào)遞增，在(e,a)單調(diào)遞減

?,?GO*=G(e)=J

又「GOO

二當0<X<1時，G(x)<0,當x>l時，G(x)>0

當x—>H~oo時，G(龍)一,0

???/(X)有兩個零點時，實數(shù)°的取值范圍為

(2)當a=l時，f(x)=ex-x,

???原命題等價于xex>lnx+mx+l對一切%e(0,+x))恒成立

[nx]

<--------------------=>m<ex---------對一切%e(0,+8)恒成立.

xx

令*x)=e<比

XX

(

:.m<F\x\zrm.n

令/?(%)=表"+1nX，X￡(0,+oc),則

hf(x]=2xe+x2ex+—>0

x

/z(x)在(0,+。)上單增

又/z(l)=e>0,f廠―l<e?！?=0

3x0ef—,1L使力(％)=0即+Inx0=0@

當X￡(O,%o)時，/l(x)＜o,當X￡(Xo，+oO)時，＞0,

即下(%)在(。,3)遞減,在(天,+°0)遞增,

”(6一W/)=6'。-

xoAo

由①知x：e"=-lnx0

%0%不)I冗0/

函數(shù)二在(0,+8)單調(diào)遞增

?1

%()=ln一即%)=-lnx0

%o

.-.F(x),=e“-口」」+1」=1,

701111

、AYoAYoAYoAXo

:.m<\

二實數(shù)〃Z的取值范圍為(f。/].

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，考查學生轉(zhuǎn)化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.

18.(1)a=\,b=Q;函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為]o,j,單調(diào)遞增區(qū)間為1，+，|;(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：⑴由題得了'(%)=a(1+lux),根據(jù)曲線〃龍)在點。，/⑴)處的切線方程，列出方程組，求得a,6的值,

得到了(九)的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵由⑴得g(x)=ln%+，根據(jù)由g(%)=g(9)，整理得&^=ln王＞0,

X石工2玉

設(shè)三=t?〉l),轉(zhuǎn)化為函數(shù)u(t)=t—21皿的最值，即可作出證明.

玉t

試題解析：

(1)由題得，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+。)，?i(x)=a(l+lnx),

因為曲線f(x)在點(1,f(l))處的切線方程為y=x-1,

所以《/、解得a=1,b=。.

“l(fā))=a/Hl+b=O,

令?i(x)=l+lnx=O,得x=L

e

當0<x<：時，h,(x)<0.f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當x〉工時，h'(x)>0,f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1,J,單調(diào)遞增區(qū)間為+s

(2)由(1)得，g(x)=〈?——=Inx+—.

「XX

由g(xJ=g(X2)(X]＜乂2),得Inx#—=lnx2+一,即二一

XXX

X]X2121

/\X廠X[?XXX,?X)

要證v,?I、>2，需證(xi+x?)------>21n一9,即證--9------>21n一,

x1x2x1X]x2x1

xXXX1

設(shè)二=t(t>D,則要證----L>21n-,等價于證：t一一>21nt(t>l).

X[X]x2X]t

令u(t)=t―；-21nt,則u'(t)=]+；_2=(1—1)>0>

u(t)在區(qū)間(l,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增，U(t)>U(l)=0,

即故X]+X2>2.

22

19.(1)—+^-=1；(2)見解析.

43

【解析】

(1)在放AA￡O中，計算出|A制的值，可得出。的值，進而可得出力的值，由此可得出橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)點”(&%)、N(x2,y2),設(shè)直線MN的方程為，=區(qū)+機，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理,

根據(jù)已知條件得出匕&=匕+&,利用韋達定理和斜率公式化簡得出機與人所滿足的關(guān)系式，代入直線的方程，

即可得出直線所過定點的坐標.

【詳解】

（1）在R/AA￡O中，|OA|=b,|C）G|=C=1,司=』04『+|0娼2=q,

?.?NA片。=g,/。4耳=￡,.?.a=|A周=2|。周=2,..2=7777=6，

3o

22

因此，橢圓C的標準方程為—+^=1；

43

（2）由題不妨設(shè)肱V:y=區(qū)+7%，設(shè)點”（七,%）,N（%,%）

[22

工J=[

聯(lián)立143一，消去y化簡得（4左2+3）尤2+86nx+4療—12=0,

y=kx+m

口8km4m2-12

且%+%2—77^—-，%1%2=------9----------'

-4左2+31-4F+3

,,k=匕-kk~k+k.%-百x%-石—y「出?%一百

,幾2j1，■■"]"2-"]'"29,?X-I,

化I-1七％%%2

2

???代入y-kxt+m（z=1,2）,化簡得（42-2左）中2+（左一1）（加一百）（玉+x2）+m-2y/3m-\-3=0,

化簡得8限（加—百）=3（加一

?.,加w6，「?左=3（m—g）,「.m=8,%+W,

直線MN:y=Ax+包史+JL因此，直線MN過定點一學，厲.

3I3）

本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中直線過定點的問題，考查計算能力，屬于中等題.

2215

20.（1）---FJ―=1（2）存在，y=—X—1或丁=—x—1.

43-22

【解析】

（1）由向+|可=4得"1）2+/+J（x+i）2+y2=4看成。（羽y）到兩定點耳（一1,0）,工（L0）的和為定值，滿足橢圓

定義，用定義可解曲線。的方程.

（2）先討論斜率不存在情況是否符合題意，當直線/的斜率存在時，設(shè)直線點斜式方程y=Ax-1,由|PAf|=|PN|,

可得即4+即B=。，再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判別式得到關(guān)于左的一元二次方程求解.

【詳解】

解：⑴設(shè)￡(-1,0),鳥(1,0),

由a=(x-l,y),B=(x+1,y),|a|+|S|=4,

可得J(x-9+J(x++9=4,即為|Q片|+|QR|=4,

由4>卜1|,可得。的軌跡是以耳(—1,0),E(1,0)為焦點，且2a=4的橢圓,

________22

由c=l,a=2,可得6=5可得曲線。的方程為?+1_=1；

(2)假設(shè)存在過點(0,-1)的直線I符合題意.

當直線/的斜率不存在，設(shè)方程為D,可得M,N為短軸的兩個端點，

1PMi=|PN|不成立；

當直線/的斜率存在時，設(shè)方程為丁=丘-1,A(Xj,kxx-1),B(X2,A%2-1)

由1PM=|/W|,可得kpM+kpN=0,即左9+原8=0，

^_5^_5

可得12?"2=0,化為2而1/_（左+_）（為+/）+5=0,

%）-1X2-1一

y=kx-l,,

由<,,可得（3+442）/一8Ax-8=0,

3%2+4y=12

由(0,-1)在橢圓內(nèi)，可得直線/與橢圓相交,

8k8

…=工5=一工'

Q5xk

則2k(——J)—(左+己)(」^)+5=0

3+4/23+4/

化為一16左一8左(左+』)+5(3+4/)=0,即為4尸—12左+5=0,解得左=」或左=上，

222

所以存在直線/符合題意，且方程為y=gx-l或y=gx-1.

本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題.(1)定義法求軌跡方程的思路:應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在

于由已知條件推出關(guān)于動點的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標準方程，用待定系數(shù)

法求解；(2)解決是否存在直線的問題時，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，

利用判別式得出是否有解.

21.(1)[10,28]；(2)4；(3)12.

【解析】

⑴由題意可知，/z(x)=x2-x-alnx-a+16,求導函數(shù)〃'(x),方程2/一工一”=。在區(qū)間1,4上有實數(shù)解，求

出實數(shù)。的取值范圍；

(2)由/(￡)=13—*—(。―16)%,則/'(x)=3d—2x—a+16,分步討論，并利用導函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，

得出正實數(shù)力的最大值；

(3)設(shè)直線/與曲線y=/(%)的切點為(下,^—_(a—16)玉)，因為/(%)=3x2-2x-(a-16),所以切線斜率

左=3%?一2七一(。一16),切線方程為y=(24—a)x—12,設(shè)直線/與曲線y=g(x)的切點為(超，。111%)，因為

g'(x)=@，所以切線斜率左=.，即切線方程為>=2(x—々丹。111々,

-x々々

a,—=24-a、5,/X11龍豆，則

整理得>=一x+aln%-a.所以《%2,求得％2之一，設(shè)G（冗）=lnxd---------

々-72%2

ahi/一。=-12

廠，/11_2x-l

G（H丁才==>0,

+8)上單調(diào)遞增，最后求出實數(shù)。的值.

所以G(x)在

【詳解】

。)由題意可知，/z(x)=x2-x-alnx-a+16,則〃(x)=2x—l-幺=生二

XX

即方程2f—x—a=o在區(qū)間1,4上有實數(shù)解，解得。?10,28］；

(2)因為/(%)=J—%?—(〃_］6)%,則r(%)=3%2—2x—a+16,

47

①當A=4—12(—a+16)<0,即10<Q4式時，/'(x)20恒成立，

所以/(%)在［?；厣蠁握{(diào)遞增，不符題意；

47、

②當三<a<16時，令/'(%)=312一21一〃+16=0,

解得：2±J"12(—a+16)_］±)3a-47.

63

(1__47)

當％￡0,-------------時，/(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

I3)

所以不存在>>0,使得了(%)在［0,可上的最大值為了⑼，不符題意；

f2

③當16<Q<28時，/(x)=3x—2x—(2+16=0,

解得：X1=i;47<0,47〉0

且當時，/，(x)<0,當尤?%，"°)時，/'(尤)>°，

所以/(%)在(0，々)上單調(diào)遞減，在伍，+8)上單調(diào)遞增，

若。<6<々，則/(%)在