軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬）重難點題型專訓（學生版）-初中數(shù)學

軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬等）重難點題型專訓

值題型目錄

題型一將軍伏馬殛段和最值

題型二將軍飲馬之線段差量值

題型三將軍飲馬之兩定一動?值

題型四三點共線最大值

題型五雙對稱關系求周長最小值

題型六兩定兩動型最值

題型七兩動一定最值

題型八費馬點最值問題

緊知識梳理

將軍飲馬中最短路徑問題四大模型

一兩定點在直線的異側(cè)

問題1作法圖形原理

'A

.4

L連接AB,與直線，的--------------1------------/兩點之間，線段最短，此

B

交點P即為所求。時P4+PB的和最小。

在直線1上找一點R使得PAB

+PB的和最小。

二兩定點在直線的同側(cè)

問題2：將軍飲馬作法圖形原理

4.

?B化折為直；

-----------------------------/作B關于直線/的對稱點1

XB兩點之間，線段最短，止匕

。，連A。,與直線/的交

在直線Z上找一點P,使?-/時Q4+PB的和AC最

點P即為所求。(

得小。

PA+PB的和最小。

三兩動點一定點問題

問題3：兩個動點作法圖形原理

作P關于。力的對稱點兩點之間，線段最短，

P1,作P關于OB的對稱止匕時PC+PO+CD

4

/

/

-------------?

點P2,連接P1P2。的和最小。

點P在銳角乙4OB的內(nèi)部，

在OA邊上找一點C,在OBoD'M

邊上找一點。,，使得*p2

PC+PD+CD的和最小。

四造橋選址問題

問題4：造橋選址作法圖形原理

A

Mm

A

將點A鄉(xiāng)向下平移

nXMm兩點之間，線段最短，止匕

NMN的長度得4,連

B時4M+MN+BN的最

交加于點N,過N

口小值為4B+上W。

直線ntHn,在m,n上分別作7W_L小于河。NX

求點Af、N,使MN_Lm,B

MN_L幾，且AM+MN+

BN的和最小。

注意:本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學可以學習完第3章后再完成該專題訓練.

勾股定理公式：&2+/=02

篋經(jīng)典例題

A【經(jīng)典例題一將軍飲馬江段和最值】

1.如圖，在△ABC中，AB=AC,分別以點4B為圓心，以適當長為半徑畫弧,兩弧分別交于E、尸，畫直

線即，。為的中點，河為直線EF上任意一點，若BC=5,△4BC的面積為15,則BM+MD的最小

長度為（）

_____________眇

區(qū)變式訓練

2.如圖，在電△ABC中，乙408=90°,AC=6,BC=8,AB=W,40平分/R4C,若P、Q分別是40

和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

A.1.2B.2.4C.4.8D.9.6

3.如圖，在△4BC中，48=/。=10,8。=12,AD=8,AD是NR4c的角平分線，若E,F分別是4D

和AC上的動點,則EC+EF的最小值是.

4.唐朝著名詩人李頒的代表作品《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含

著一個有趣的數(shù)學問題.如圖1,詩中將士在觀望烽火之后從山腳下的4點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到

B點宿營.請問在何處飲馬才能使總路程最短？我們可以用軸對稱的方法解決這個問題.

⑴如圖2,作點B關于直線I的對稱點B',連接AB'與直線，交于點。，點。就是所求的位置.

理由：如圖3,在直線Z上另取不同于點。的任一點O,連接40,BC,B'C,

因為點B、9關于直線Z對稱，點C、。在直線Z上,

所以CB=,C'B=,

所以AC+CB=AC+CB'=,

在AACB，中，依據(jù),

可得

所以

即AC+CB最小.

（2）遷移應用：如圖4,ZVIBC是等邊三角形，N是AB的中點，4D是邊上的中線，40=6,河是

4D上的一個動點，連接BM、MV,則BM+MN的最小值是.

圖4

A［經(jīng)典例題二將軍伏馬之線段差最值】

5.如圖，在△ABC中，AB=CB,ZB=100°.延長線段BC至點。，使CD=BC,過點。作射線DP//

AB,點E為射線OP上的動點，分別過點。作直線EC的垂線⑷11,ON.當\AM-DN\的值最大

時，NACE的度數(shù)為.

區(qū)變式訓練

6.如圖，AB〃DP,E為OP上一動點，4B=CB=CD,過/作4VLEC交直線EC于N,過。作

交直線EC于點若NR=114°,當4V—ZW的值最大時，則/ACE=.

_________0

7.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點.已知

△ABC的頂點均在格點上.

（1）畫出格點三角形48。關于直線DE對稱的；

（2）ZWB。的面積是

（3）在直線DE上找出點P,使|1%—最大，并求出最大值為.（保留作圖痕跡）

8.如圖，已知△4BC的三個頂點在格點上.

（1）畫出△4BG，使它與△ABC關于直線對稱；

（2）在直線上畫出點。，使ABDM=NCDN.

（3）在直線MN上畫出點P,使\PA-PC\最大.

A【經(jīng)典例MH將軍飲馬之兩定一動量值】

9.小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)提供牛奶，要使兩小區(qū)到送奶站的距離之和

最小，則送奶站C的位置應該在（）.

居民區(qū)4/

居民區(qū)3

口街道

居民區(qū)W

X居民區(qū)5

街道d

區(qū)變式訓練

10.（2023春?黑龍江齊齊哈爾?八年級校考階段練習）如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位

于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所

走的最短路程是多少？

小河

:匕

牧童個八

----A東

3----------8小屋

11.（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，正△ABC的邊長為2,過點8的直線4B,且△4BC與

/XA'BC關于直線2對稱，。為線段BC上一動點，則AD+CD的最小值是

12.（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）如圖，在4ABC中，48=AC,ABAC=120°,4B邊的垂直平分線DE交

AB于點。，若AE=3,

（1）求的長；

（2）若點P是直線DE上的動點,直接寫出巴4+PC的最小值為.

【經(jīng)典例題四三點共線最大值】

13.如圖，在△48。中，4B=AC,AC的垂直平分線交AC于點N,交4B于點m，48=12cm,的

周長是20cm，若點P在直線MN±.,^\PA-PB的最大值為.

A

14.如圖，AC,8。在AB的同側(cè)，AC=2,BD=8,AB=W,M為4B的中點，若/CM。=120°,則CD

A.12B.15C.18D.20

15.如圖，△ABC為等腰直角三角形，乙4cB=90°,Af在△ABC的內(nèi)部，,P為射線CW

上一點，當|R4—PB\最大時，4cBp的度數(shù)是.

16.如圖,方格圖中每個小正方形的邊長為1,點4B、C、M、N都在格點上.

⑴畫出△4BC關于直線對稱的△ABiG.

（2）若以N點為原點建立平面直角坐標系,點B的坐標為（0,5）,則△ABC關于①軸對稱△4場。2，寫出

點4,G的坐標.

（3）在直線MN上找點P使24|最大，在圖形上畫出點P的位置，并直接寫出Ml的最大值.

【經(jīng)典例題五雙對稱關系求周長最小值】

17.如圖，在五邊形ABCDE中，/歷出=120°,/B=NE=90°,AB=BC,=在8C、0E上分別找

到一點雙、N,使得△4W的周長最小，則N4W+N4W的度數(shù)為（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

區(qū)變式訓練

18.如圖，在四邊形4BCD中，ZA=ZC=90°,N8=32°,在邊48,上分別找一點E,F使△￡￡尸的周

長最小，此時/EDF=（）

C.114°D.116°

19.如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=9cm,AB的垂直平分線交AB于點Af,交AC于點N,在

直線MN上存在一點P,使P、B、。三點構(gòu)成的△尸的周長最小,則4PBC的周長最小值為.

20.在草原上有兩條交叉且筆直的公路OA、,在兩條公路之間的點尸處有一個草場，如圖，AAOB=

30°,OF=6.5.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動放牧，分別記為M、N,若存在Af、N使得

△PMV的周長最小，則周長的最小值是.

_________0

B

N.

O

M

【經(jīng)典例題六兩定兩動型最值】

21.幾何模型:條件:如圖LA、B是直線Z同旁的兩個定點.

問題:在直線I上確定一點P,使PA+PB的值最小.

解法:作點A關于直線I的對稱點A/，連接48,則A8與直線Z的交點即為P,且上4+PB的最小值為

線段A8的長.

（1）根據(jù)上面的描述,在備用圖中畫出解決問題的圖形；

（2）應用：①如圖2,已知30°,其內(nèi)部有一點P,OP=12,在ZAOB的兩邊分別有C、。兩點

（不同于點O）,使APCD的周長最小，請畫出草圖，并求出APCD周長的最小值；

②如圖3,AAOB=20°,點M、N分別在邊04上，且OM=ON=2,點P,Q分別在OB、OA上,

則M尸+PQ+QN的最小值是.

區(qū)變式訓練

22.如圖，在四邊形4BCD中，N_BAD=NB=NO=90°,AD=AB=^,E是AD中點，Af是邊上的一

個動點，N是邊CD上的一個動點，則AM+MN+EN的最小值是.

23.如圖，在等邊△ABC中，AC=12,4D是8C邊上的中線，點P是AD上一點，且AP=5.如果點M、N

分別是AB和AD上的動點，那么PM+MN+NB的最小值為

A【經(jīng)典例題七兩動一定量值】

24.如圖,在銳角三角形ABC中，AB=6,/\ABC的面積為18,BD平分N4BC,若E、F分別是BD、BC上

的動點，則CE+EF的最小值為.

區(qū)變式訓練

25.如圖所示，在等邊△4BC中，點。、后、尸分別在邊8C、AB,AC上，則線段+。尸的最小值是

A.8c邊上高的長B.線段EF的長度C.8c邊的長度D.以上都不對

26.如圖，在△4BC中，ZABC=90°,BC=8,AC=10,點P、Q分別是邊BC、AC上的動點，則4P+PQ

的最小值等于（）

24

RC.5

B-T5

27.如圖，在等腰△ABC中，AB=47=8,乙4cB=75°,AD，BC于。，點M、N分別是線段AB、AD上

的動點，則MN+BN的最小值是.

【經(jīng)典例題八費馬點最值問題】

28.【問題提出】

⑴如圖1,四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點,將

r繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、4W,CM.若連接MN,則"MN的形狀是.

（2）如圖2,在RtZVIBC中，/BAC=90°,AB+AC=10,求的最小值.

【問題解決】

⑶如圖3,某高新技術開發(fā)區(qū)有一個平行四邊形的公園ABCD,AB+BC=6千米，乙48。=60°,公園

內(nèi)有一個兒童游樂場E,分別從人、B、C向游樂場E修三條AE,BE,CE,求三條路的長度和（即AE+

BE+CE）最小時，平行四邊形公園ABCD的面積.

區(qū)變式訓練

29.已知點P是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點

（Fermatpoint）.已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當乙4P8=/APC=/BPC=120°

時，P就是△ABC的費馬點.若點P是腰長為6的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF

A.6B.3(V2+V6)C.6V3D.9

30.定義:若P為△ABC內(nèi)一點,且滿足/APB=ZBPC=ZCPA=120°，則點P叫做4ABC的費馬點.

BC

圖3

(1)如圖1,若點O是等邊△ABC的費馬點，且。4+OB+OC=18,則這個等邊三角形的高的長度為

⑵如圖2,已知△ABC,分另U以AB.AC為邊向外作等邊△ABO與等邊△ACE,線段CD、BE交于點

P,連接4P,求證:點P是△ABC的費馬點；

(3)應用探究：已知有A、B、。三個村莊的位置如圖3所示，能否在合適的位置建一個污水處理站Q,使

得該處理站分別連接這三個村莊的水管長度之和最??？如果能，請你說明該如何確定污水處理站Q的

位置，并證明該位置滿足設計要求.

31.定義:若P為/\ABC內(nèi)一點,且滿足ZAPB=ABPC=ACPA=120°，則點P叫做4ABC的費馬點.

(1)如圖1,若點O是高為3的等邊4ABC的費馬點，則04+08+0。=；

⑵如圖2,已知P是等邊AABD外一點，且ZAPB=120°,請?zhí)骄烤€段PA,PB,之間的數(shù)量關系,

并加以證明；

⑶如圖3,已知△ABC,分另U以AB.AC為邊向外作等邊△ABO與等邊△ACE,線段CD、BE交于點

P,連接AP,求證：

①點P是△ABC的費馬點；

②PA+PB+PC=CD.

32.若一個三角形的最大內(nèi)角小于120°,則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為120°,此時該點叫做

這個三角形的費馬點.如圖1,當AABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在4ABC內(nèi)部，此時AAPB

=ZBFC=ACPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

___________F

（1）如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點/,B,C的距離分別為3,4,5,求AAPB的度

數(shù).為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想,將AABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP處,連接PP',此時

△ACP篤A4BP,這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段出，PB,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出

AAPB=.

（2）如圖3,在圖1的基礎上延長BP,在射線BP上取點。，及連接AE,AD.使4D=AP,ZDAE=

ZR4。,求證：BE=PA+PB+PC.

（3）如圖4,在直角三角形ABC中,AABC=90°,乙4cB=30°,48=1,點P為直角三角形48。的費

馬點，連接CP,請直接寫出_R4+PB+PC的值.

普提優(yōu)訓練

33.（2024八年級上?浙江?專題練習）如圖，△48。中，點。在邊上，過。作交于點E,P

為。C上的一個動點，連接B4、尸及若E4+PE最小，則點P應該滿足（）

A.PA=PCB.PA=PEC.NAPE=90°D.AAPC=ADPE

34.（24—25八年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，BC〃4D,CDLAD,P是CD邊上的一

動點,要使上4+的值最小，則點P應滿足的條件是（）

CB

A.PA=PBB.PC=PDC.ZAPS=90°D.NBPC=NAPD

35.（23—24八年級下.四川巴中.期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,分別以點A、B為圓心，以適當長為半

徑畫弧,兩弧分別交于E、尸,畫直線EF,。為8C的中點，河為直線EF上任意一點，若5,/\ABC

的面積為15,則MD的最小長度為（）

36.（23—24八年級下?河南關B州?階段練習）如圖，四邊形ABCD中，ABAD=120°,=90°,在

BC,CD上分別找一點M,N,使△4W周長最小，則N4W+/⑷W的度數(shù)為（）

A.60°B.120°C.90°D.45°

37.（23—24八年級上?湖南湘西?期末）在某草原上，有兩條交叉且筆直的公路04、OB,如圖，=

30°,在兩條公路之間的點P處有一個草場，OP=4.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動放牧，分別

記為M、N,存在河、N使得△「阿的周長最小.則周長的最小值是（）.

___________F

A.4B.6C.8D.12

38.（22-23八年級下?福建漳州?期中）如圖，在/\ABC中，AB=AC,8。=6,SAABC=18,。是中點，

即垂直平分AB,交AB于點E,交47于點尸，在E尸上確定一點P,使PB+PD最小，則這個最小值為

（）

A.3B.6C.9D.12

39.（23-24八年級上?福建福州?期中）在平面直角坐標系xOy中，4（0,4）,動點B在非軸上，連接48,將線

段46繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°至47,連接OC,則線段OC長度最小為（）

B.1C.2D.3

40.（22—23七年級下?山東濟南?階段練習）如圖，在五邊形ABCEE中，ABAE=120°,NB=/E=90°,AB

=BC,=在BC、DE上分別找到一點M、N,使得△4W的周長最小，則乙4MN+NA7W的

度數(shù)為（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

41.（21—22八年級上.四川廣元.期末）如圖所示，在四邊形4BCD中，40=2,乙4=/。=90°,48=60°,

BC=2CD,在AD上找一點P,使PC+PB的值最小;則PC+P8的最小值為（）

DC

C.5D.6

42.（21-22八年級上?廣東廣州?期中）在R力△ABC中，ZC=90°,/A=30°,點P是邊上一定點，此時

分別在邊AB,BC上存在點河，N使得△/射周長最小且為等腰三角形,則此時常的值為（）

43.（2024七年級下?全國?專題練習）如圖，ZVIBC中，48=AC,BC=5,S0BC=15,4D，于點O,

EF垂直平分AB,交AC于點斤，在EF上確定一點P,使PB+PD最小，則這個最小值為

44.（23—24七年級下.陜西西安.階段練習）如圖，在四邊形48co中，/口=/。=90°,在BC,GD上分別

找一點M,M使AAAW周長最小,此時乙MAN=80°，則ABAD的度數(shù)為

45.（23-24七年級下.山東濟南.期末）在草原上有兩條交叉且筆直的公路04、08,在兩條公路之間的點尸

處有一個草場，如圖，乙406=30°,OP=6.5.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動放牧，分別記為

M、N,若存在M、N使得△尸AW的周長最小,則△PMN周長的最小值是.

46.（22-23七年級下?廣東河源?期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°,/8=36°,在邊48、8c

上分別找一點E、斤，使△DEF周長最小，此時ZEDF=.

47.（22-23八年級上?廣東東莞?期中）如圖，點4（—2,1）,8（2,3）,點尸是在c軸上，且使PA+PB最小，寫

出點P的坐標

48.（22-23八年級上?湖南岳陽?期中）如圖，直線Z垂直平分△4BC的48邊,在直線Z上任取一動點O,連

結(jié)OA、OB、OC.若04=5,則03=.若AC=9,8。=6,則根。。的最小周長是

49.（22-23八年級上?四川綿陽?期中）在平面直角坐標系xOy中，點人的坐標是（0,2）,點B在工軸的負半

軸上且NABO=30°,點P與點O關于直線AB對稱，在“軸上找到一點使PM+的值最小，則

這個最小值為.

50.（22-23八年級上?海南?？?期中）如圖，在四邊形ABCD中，NA=/C=90°,=36°,在邊AB,BC

上分別找一點E,斤使△DEF的周長最小.此時NEER的大小是.

51.（22-23八年級上?湖北黃石?期末）如圖，已知乙403=30°,OC平分乙406，在。4上有一點OM

=Kk后cm,現(xiàn)要在OCQA上分別找點Q,N,使QW+QN最小,則其最小值為cm.

52.（21-22八年級上?福建廈門?期末）小河的兩條河岸線a〃b,在河岸線a的同側(cè)有A、B兩個村莊,考慮

到施工安全,供水部門計劃在岸線b上尋找一處點Q建設一座水泵站，并鋪設水管PQ,并經(jīng)由上4、P8

跨河向兩村供水，其中QP，a于點P為了節(jié)約經(jīng)費，聰明的建設者們已將水泵站Q點定好了如圖位

置（僅為示意圖），能使三條水管長PQ+24+的和最小.已知B4=L6km,=3.2km,PQ=

0.1km,在A村看點P位置是南偏西30°,那么在入村看B村的位置是

53.（22—23八年級上?云南昆明?期末）如圖，ZVLBC的三個頂點坐標分別為4（2,3）,8（1,1）,C（5,3）.

yk

（1）作出A4BC關于y軸對稱的圖形△ABCi.

（2）求△48G的面積；

（3）在刀軸上找一點P,使得PC+PB最小,請直接寫出點P的坐標.

54.（24-25八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知4（—3,4）,B（—1⑵,

0（1,3）.

⑴在平面直角坐標系中畫出△ABC,將△4BC平移得到△HB。，已知A（l,—1），則坐標是

（2）求出△ABC的面積；

（3）在x軸上有一點尸，使得PA+PB的值最小，保留作圖痕跡.

55.（23-24八年級下?廣東深圳?期末）【綜合實踐活動】

【問題背景】如圖1,4B表示兩個村莊，要在4B一側(cè)的河岸邊建造一個抽水站P,使得它到兩個村莊

的距離和最短，抽水站P應該修建在什么位置？

村莊3B

村莊^

*

三三三三三三三三二河流

圖1

【數(shù)學建?！啃±ぐl(fā)現(xiàn)這個問題可以用軸對稱知識解決，他先將實際問題抽象成如下數(shù)學問題：

如圖2,48是直線I同側(cè)的兩個點，點P在直線I上.P在何處時，上4+P8的值最小.

畫圖:如圖3,作口關于直線Z的對稱點8,,連結(jié)48,與直線Z交于點P,點P的位置即為所求.

證明：：口和曰關于直線Z對稱

/.直線Z垂直平分

：.PB=,

：.PA+PB=PA+PB'

根據(jù)“"（填寫序號:①兩點之間，線段最短;②垂線段最短;③兩點確定一列條直線.）可得B4+

PB'最小值為（填線段名稱）,此時P點是線段AB'和直線I的交點.

【問題拓展】如圖4,村莊口的某物流公司在河的對岸有一個倉庫。（河流兩側(cè)河岸平行，即GD//EF）,為

了方便渡河,需要在河上修建一座橋AW（橋的長度固定不變，等于河流的寬度且與河岸方向垂直）,請問

橋修建在何處才能使得B到C的路線最短？請你畫出此時橋的位置（保留畫圖痕跡,否則不給

圖4

【遷移應用】光明區(qū)某濕地公園如圖5所示，四邊形4EDC為花海景區(qū)，/CDE=/E=90°,AE=80

米，。E=50米,長方形CRS歸為人工湖景區(qū),為了方便市民觀景，公園決定修建一條步行觀光路線（折

線AM-MN-BN）,A為起點，終點B在即上，8。=30米，AW為湖邊觀景臺，長度固定不變（MN

=40米）,且需要修建在湖邊所在直線CF上，步行觀光路線的長度會隨著觀景臺位置的變化而變化，請

直接寫出步行觀光路線的最短長度.

眇

56.（2023九年級?四川成者B?專題練習）在△ABC中，AC=BC,點E在是AB邊上一動點（不與重合）,

連接CE,點P是直線CE上一個動點.

⑴如圖1,乙4cB=120°,4B=16,E是AB中點，EM=2,N是射線CB上一個動點,若使得NP+

MP的值最小，應如何確定M點和點N的位置？請你在圖2中畫出點雙和點N的位置，并簡述畫法；直

接寫出N尸+M尸的最小值；

⑵如圖3,乙4cB=90°,連接BP,NBPC=75°且BC=BP.求證：PC=B4.

57.（23-24七年級下?廣東深圳?期末）【背景材料】對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被用于建筑、

器物、繪畫、標識等作品的設計上，比如圖1.同時,對稱在解決生活中的實際問題時,也往往有很大的作

用.

圖（2）

【問題提出】某小區(qū)要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A,B提供牛奶,奶站應建在什么地方,才能使

口到它的距離之和最短？該問題給牛奶公司造成了困擾，現(xiàn)向居民們征求意見.

【問題解決】小明同學將小區(qū)和街道抽象出的平面圖形，并用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題.

如圖2,作人關于直線m的對稱點Ar,連接與直線山交于點。，點。就是所求的位置.

⑴請你在下列閱讀、應用的過程中，完成解答并填空：

證明：如圖3,在直線山上另取任一點。，連結(jié)40,40,80,

?.?直線小是