高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：立體幾何初步練習(xí)

第六章立體幾何初步

一、選擇題

1.若棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4,16,高為3,則該棱臺(tái)的體積為（）

A.26B.28C.30D.32

2.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角

形，SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為（）

A*B.且C.巫D.叵

6632

3.已知兩條不同的直線機(jī)，〃和平面a,且〃ua,則“機(jī)//“”是“加〃口”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.《九章算術(shù)》涉及算術(shù)、代數(shù)、幾何等諸多領(lǐng)域，書中有如下問題：“今有圓亭，

下周三丈，上周二丈，高二丈，問積幾何？”其意思為：“有一個(gè)圓臺(tái)，下底周長(zhǎng)為3

丈，上底周長(zhǎng)為2丈，高為2丈，那么該圓臺(tái)的體積是多少？”已知1丈等于10尺，

圓周率約為3,估算出這個(gè)圓臺(tái)體積約有（）

A.4‘立方尺B.527」立方尺C.427^立方尺D.1055士立方尺

4949

5.如圖1,球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圓面是底，圓的半徑記為民垂直于

截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高，記為H,則球冠的曲面面積S=2兀7陽.球。是棱

長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A'3'C力'的棱切球，則球。在正方體ABCD-A'3'C'。'外面部

分曲面的面積為（）

A.2(A/2-1)7IB.4(0—1)兀C.6(72-1)71D.3(V2-l)7i

6.已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為3兀、1271,高為6,則該圓臺(tái)的體積為

A.36兀B.40兀C.42兀D.45兀

7.用斜二測(cè)畫法得到一個(gè)水平放置的四邊形Q4BC的直觀圖為如圖所示的直角梯形

O'A'B'C,已知O'AUC'B',O'A±A'B',O'A=3C'B'，四邊形OABC的面積為3?,則

A.lB.叵C.正D.1

232

8.已知兩條不同的直線a,6及兩個(gè)不同的平面a,p,則下列說法正確的是（）

A.若M//7,aua,bu（3,則a〃0

B.若M/尸，aua,bu/3,則a與6是異面直線

C.若all0,aua,bu8,則a與6平行或異面

D.若尸=匕，aua,則。與/?一定相交

二、多項(xiàng)選擇題

9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為菱形，ZDAB=6Q°,側(cè)面以。為正

三角形，且平面R4D，平面A3CD,則下列說法正確的有（）

A.在線段AD上存在一點(diǎn)使平面

B.異面直線AD與PB所成的角為90。

C.二面角P—5C—A的大小為45。

平面PAC

10.下列說法中不正確的是（）

A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱

C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形D.棱柱的各條棱都相等

11.在正方體4用GA的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，則這4個(gè)頂點(diǎn)可

能構(gòu)成()

A.矩形

B.每個(gè)面都是等邊三角形的四面體

C.每個(gè)面都是直角三角形的四面體

D.有三個(gè)面是直角三角形、一個(gè)面是等邊三角形的四面體

三、填空題

12.底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為..

13.已知水平放置的四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖為矩形A8CO,已知

A'B'=3,EC=之,則四邊形ABCD的面積為________.

2

14.水平放置的A4BC的直觀圖如圖所示，已知AC'=3,B'C=2，則AB邊上的中線的

實(shí)際長(zhǎng)度為.

四,解答題

15.如圖，在三棱錐A-BCD中，平面平面BCD,AB=AD,。為3。的中點(diǎn).

(1)證明：Q41CD；

(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA,且二面角

E-3C-。的大小為45。，求三棱錐A-BCD的體積.

16.正四棱臺(tái)AG的高是17cm，兩底面的邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm，求這個(gè)棱臺(tái)側(cè)棱的長(zhǎng)

和斜高.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是平行四邊

形,NABC=120。，45=1,30=4,24=厲,MN分別為3cpe的中

點(diǎn)、,PDLDC,PMLMD.

(1)證明:ABLPM；

(2)求直線A7V與平面所成角的正弦值.

18.如圖，已知平面a、B，且。。用=/，設(shè)梯形A3CD中，AD//BC,且

ABcza>CDu0,求證：AB,CD,/共點(diǎn).

19.如圖，在正三棱柱ABC-A用G中，AB=2,相=2,由頂點(diǎn)3沿棱柱側(cè)面經(jīng)過

棱A4到頂點(diǎn)G的最短路線與棱M的交點(diǎn)記為M,求：

(1)三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)；

(2)該最短路線的長(zhǎng)及4絲的值；

AM

(3)平面與平面A5C所成二面角(銳角)的大小.

參考答案

1.答案：B

解析：所求棱臺(tái)的體積為V=gx(4+16+^^M)x3=28

故選：B.

2.答案：A

解析：在Rt^ASC中，AC=1,ZSAC=90°,SC=2,所以SA=6T=&；同

理，SB=^3,過A點(diǎn)作SC的垂線交SC于。點(diǎn)，連接。3,因?yàn)椤鱏AC四△SBC,

故301.SC,故SC1_平面A3D,且為等腰三角形.因?yàn)镹ASC=30。，故

ADSA,則△AB。的面積為:xlx小02一\回=乎

=^=4,則三棱錐的體積為

'正x2=也

346

3.答案：D

解析：如圖,取平面A5CO為平面a,直線CD為",

不妨取直線AB為，冤,顯然有機(jī)//〃,此時(shí)mua，即帆//“推不出血/a,

不妨取直線BJCJ為直線"%顯然有mHa，此時(shí)機(jī)_1_〃,即mlla推不出機(jī)//”,

故選：D.

4.答案：D

解析：如圖所示,

設(shè)圓臺(tái)上底半徑為彳，下底半徑為馬，則2?！?30,2叫=20,

解得：々=5,

即：下底半徑為5尺，上底半徑為W尺，

3

設(shè)S，S2分別為上下底面面積，

所以圓臺(tái)的體積為：,(S1+S2+鄧瓦)丸=工—7i+25K+J—X25TI2義20=1055』立

33、9丫9,9

方尺.

故選：D.

5.答案：D

解析：如圖1,正方體與正方體的棱切球形成六個(gè)球冠，且“=叵。，尺=工,所以所求曲

22

面的面積為：S=6x2x7TX—x^^-=3(0—1)71,故選D,

22

6.答案：C

解析：該圓臺(tái)的體積為V=gx(37r+127r+，37rxl27r)x6=42x.

7.答案：D

解析：如圖所示，根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則,得到原四邊形

Q4BC,設(shè)O'A=x，則O'B'=岳廁OB=2O'B'=242x，

3C=BC=f,OA=O0=x，且08為原圖形中梯形的高，

3

故S.ABC=L(X+2]X2岳=30，解得％=故C'U=2=L,

213J232

故選：D.

8.答案：C

解析：若M/尸，aua,bu/3，則直線a,b沒有交點(diǎn)，故。與人平行或異面，故

A,B錯(cuò)誤，C正確；若尸=b,aua,當(dāng)。〃。時(shí)，a與/?平行，故D錯(cuò)誤.故選

C.

9.答案：ABC

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，取AD的中點(diǎn)連接PM,BM,

設(shè)AC與3。交于點(diǎn)?！?jìng)?cè)面以。為正三角形，.?.9,4).又底面A3CD是菱形，

ZZMB=60°,是等邊三角形，BM±ADXPMC\BM=M,平

面尸MB,二仞，平面故A正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，?.?ADL平面尸MB,Pfiu平面PMB,:.AD±PB,即異面直線AD與

P3所成的角為90。，故B正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，'：BC//AD,.?.3。_1_平面尸加8.：/＞5,3河＜=平面尸聞8,:.BC±PB,

3。，3河.又：平面尸8?？谄矫?38=3。，.?.NPBM是二面角P—BC—A的平面角.

設(shè)AB=1,則且，PM=@.在RtZiP而中，tanNPBM=^=l,即

22BM

NPBM=45。,故二面角P-3C-A的大小為45。，故C正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，易得.?.應(yīng)＞與B4不垂直，；.50與平面必C不垂直，故D錯(cuò)

誤.故選ABC.

10.答案：ACD

解析：棱柱的側(cè)面都是四邊形，A不正確；正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱，B正確；不是所有

幾何體的表面都能展開成平面圖形，球不能展開成平面圖形，C不正確；棱柱的各條棱并不是都相

等，應(yīng)該為棱柱的側(cè)棱都相等，D不正確.故選ACD.

11.答案：ABCD

解析：對(duì)于A,如圖四邊形A3G2為矩形，所以A正確，

Dyc

小

人——

D

A

B

對(duì)于B,四面體A4c2的每個(gè)面都是等邊三角形，所以B正確,

對(duì)于C,如圖四面體A43D的每個(gè)面都是直角三角形，所以C正確,

對(duì)于D,如圖四面體的三個(gè)面是直角三角形、一個(gè)面是等邊三角形，所以D正

確,

故選：ABCD.

12.答案：28

21

解析：方法一：由于一=一，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以原正四棱錐的體積為:x(4x4)x6=32,截去的正四棱錐的體積為

1x(2x2)x3=4,所以棱臺(tái)的體積為32-4=28.

方法二：由方法一可知，棱臺(tái)的體積為；*3*(16+4+"瓦耳)=28.故答案為28.

13.答案：9夜

解析：

14.答案：-

2

解析：根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則，由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，

且AC=AC=3,BC=2B'C=4,AC±BC,

所以聞?2=4。2+8。2=9+16=25,

所以AB=5,

故A3邊上中線長(zhǎng)為坦=?.

22

故答案為：2.

2

15、

(1)答案：證明見解析

解析：因?yàn)锳B=AD,。為3。的中點(diǎn)，

所以。4,6￡),

又平面ABDL平面BCD,且平面48￡>。平面88=3￡>,。4<=平面43。，所以

。4_1_平面BCD,

又CDu平面BCD,所以。4LCD.

(2)答案：昱

6

解析：因?yàn)椤鱋CD是邊長(zhǎng)為1的正三角形，且。為3。的中點(diǎn)，

所以O(shè)C=Q5=OD=1,

所以△58是直角三角形，且48=9。。，BC<，所以

如圖，過點(diǎn)E作瓦7/Q4,交BD于F,過點(diǎn)R作FG_LBC,垂足為G,連接EG.

因?yàn)镺AJL平面BCD,

所以平面BCD.

又BCu平面BCD,所以EFL5C.

又FG上BC,且跖。八7=/，M,bGu平面ERG,

所以平面EFG,

則NEG尸為二面角E-3C—￡)的平面角，

所以NEGF=45。，則GE=￡F.

因?yàn)镈E=2E4,所以E戶=*。4,DF=2OF,所以々=2.

3FD

因?yàn)?G_LBC,CD±BC,所以GF//CD,

則包=2,所以G/=2

CD33

所以所=GP=—,所以Q4=l,

3

所以匕A><XL

A—￡)CAD7=-c^ZAA￡?CZJ-0=-C—C=—/?

B3BCT326

16.答案：棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm，斜高為5而cm

解析：如圖所示，設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是。1和0,4G和3C的中點(diǎn)分別是耳和E,

連接0。,EXE,OiB「OB,0昌,0E,則四邊形OBBR和OEEQ］都是直角梯形.

4月=4cm,AB=16cm,

E[=2cm,OE=8cm,QB,=2拒cm,OB=8后cm-

:.BB=O。+3-0禺丫=361,

石E=o02+(oE_q耳J=325.

B&=19cm,E[E=5713cm.

即棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm,斜高為5而加.

17.答案：證明見解析；

(2)姮

6

解析：(1)由題意知。以=2,CD=l,NDCN=60。,

易得CD工DM.

又PDLOC,且。?？??！?。,尸。,。河＜=平面PDM,

所以CD，平面PDM.

因?yàn)锳B//CD，所以AB，平面PDM.

又PMu平面PDM所以

（2）由（1）知AB，平面PDM所以NB4N為直線AN與平面所成角的余角.

連接AM,因?yàn)閷?duì)/,PM，DC,

所以尸M，平面ABCD,^以？M，AM.

因?yàn)閆ABC=120o,AB=l,5A/=2,

所以由余弦定理得AM=a,

又如=后,所以9=2四，

所以PB=PC=26,

連接3N,結(jié)合余弦定理得BN=Jii.

連接AC,則由余弦定理得AC=721,

在APAC中，結(jié)合余弦定理得PA2+AC2=2AN-+2PN2，所以AN=岳.

AB?+W_BM1+15-11而

所以在AABN中,cos/BAN

2AB-AN-2715~~6~

設(shè)直線AN與平面PDM所成的角為0,

、后

則sin6=cos/BAN=--.

18.答案：證明見解析

解析：證明如圖，?.?在梯形ABCD中，AD//BC,

與