蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材同步練習(xí)：實(shí)數(shù)章末重難點(diǎn)題型（原卷版+解析）

專(zhuān)題復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)章末重難點(diǎn)題型

旨【題型目錄】

考點(diǎn)一求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

考點(diǎn)二根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

考點(diǎn)三平方根的應(yīng)用

考點(diǎn)四求一個(gè)數(shù)的立方根

考點(diǎn)五立方根的應(yīng)用

考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的大小比較

考點(diǎn)七新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算

考點(diǎn)八與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題

【考點(diǎn)一求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根】

x+2y=k

【例題1】已知方程組的解滿(mǎn)足x+y=2,則左的算術(shù)平方根為（)

2x+y=2

A.±2B.2C.-2D.4

【變式1T】若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為3、4、尤，則使此三角形是直角三角形的x的值是（）

A.5B.6C.6或夕D.5或近

【變式1-2］若x,y滿(mǎn)足（彳一5）2+5乙=0,則X，的算術(shù)平方根為.

【變式「3】若單項(xiàng)式-5/y2…1與2022》時(shí)，2可以合并成一項(xiàng)，則m-7〃的算術(shù)平方根是

【變式1-4】已知“的平方根為±3,的算術(shù)平方根為2.

（1）求4，6的值；

⑵求。+26的平方根.

【考點(diǎn)二根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】

【例題2］已知而^+|b-1|=0,那么（。+6）2°22的值為（）

A.-1B.1C.32022D.-32022

【變式2-1］若實(shí)數(shù)尤滿(mǎn)足?^?卜+1歸0,則（）

A.x=2或一1B.2>x>—1C.x=2D.x=-1

【變式2-2］已知：>/』+/+4'+4=0,那么x+y的值等于.

【變式2-3］若x,y為實(shí)數(shù)，且Ix—21+77+3=0-則（x+y）刈'的值為

【變式2-4］己知：|a+2|+揚(yáng)=1=0,

⑴求a,6的值；

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：a（<7+3Z?）-（a-2/j）2+4b2

【考點(diǎn)三平方根的應(yīng)用】

【例題3】如圖，面積為7的正方形A8CQ的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1,若點(diǎn)E在數(shù)軸上（.點(diǎn)E

在點(diǎn)A的右側(cè)），且A8=AE,則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）

B.2

A.77c.1+V7D.77+2

2

【變式3T】已知755名心4.858,5/236^1.536,則-J2360001()

A.-485.8B.-48.58C.-153.6D.-1536

【變式3-2】一個(gè)正數(shù)的平方根分別是-x+l和2x+5,則這個(gè)正數(shù)是

【變式3-3］如圖，在3x3的方格紙中，有一個(gè)正方形A5CD,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是

【變式3-4］如圖，用兩個(gè)邊長(zhǎng)為夜cm的小正方形拼成一個(gè)大的正方形.

(1)求大正方形的邊長(zhǎng):

(2)若沿此大正方形邊長(zhǎng)的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：3,且面積為

48cm°?

【考點(diǎn)四求一個(gè)數(shù)的平方根】

【例題4】如表是李小聰?shù)臄?shù)學(xué)測(cè)試答卷，他的得分應(yīng)是()

姓名：李小聰?shù)梅郑海?/p>

填空(每小題20分，共120分)

①-0.5的絕對(duì)值是(萬(wàn)).

②2的倒數(shù)是(-2).

③-0.8的相反數(shù)是(0.8).

④-1的立方根是(-1).

⑤算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是(1).

⑥府的算術(shù)平方根是(8).

A.120分B.100分C.80分D.60分

【變式4-1］按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的x的值是64,則輸出的)的值是()

是無(wú)理數(shù)

輸Ax---4取算術(shù)平方根|是有理數(shù)」是無(wú)理數(shù)輸出7

-----------1取立方根H--------

是有理數(shù)

A.aB.6C.^2D.1/3

【變式4-2］如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為x,則d-13的立方根是

【變式4-3］據(jù)說(shuō)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有

一道智力題：一個(gè)數(shù)是59319,希望求它的立方根.華羅庚脫口而出：39.鄰座的乘客十分驚奇，忙問(wèn)計(jì)算

的奧秘.華羅庚給出了如下方法：(1)由103=1000,10()3=1000000,確定秘9319是兩位數(shù);(2)由59319

個(gè)位上的數(shù)是9,確定」59319個(gè)位上的數(shù)是9；(3)劃去59319后面的三位319得到59,而3,=27,43=64,

由此確定病殺十位上的數(shù)是3.請(qǐng)你類(lèi)比上述過(guò)程，確定21952的立方根是.

【變式4-4］如圖，a,b,c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).

(1)將。，b,c,0由大到小排列(用“>”連接)

(2)a-Z>0；—______o(填寫(xiě)“>"，"="，“<”)

(3)試化簡(jiǎn)：一5_耳+,(“+/_

【考點(diǎn)五立方根的應(yīng)用】

【例題5］有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下:

是

無(wú)

理

輸入x數(shù)

是有理數(shù)

當(dāng)輸入的x值為64時(shí)，輸出的y值是（）

A.4B.72C.2D.蚯

【變式5-1］已知癥了=1_/,則。的值為（）

A.±0B.0或±1C.0D.0,±1或±0

【變式5-2］如圖1,這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64.把正方形ABCD放到數(shù)軸上,

如圖2,使點(diǎn)A與-2重合，那么點(diǎn)。在數(shù)軸上表示的數(shù)為.

A

圖1圖2

【變式5-3】我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾巧解開(kāi)立方的智力題：一個(gè)數(shù)是59319,希望求它的立方根.

解答：：103<59319<10()3,#59319是兩位整數(shù);

,整數(shù)59319的末位上的數(shù)字是9,而整數(shù)0至9的立方中，只有干=729的末位數(shù)字是9,.,.肉59319的末

位數(shù)字是9；

又???劃去59319的后面三位319得到59,而3c軻<4,

二059319的十位數(shù)字是3；

#59319=39；

【應(yīng)用】3(2x-l)3+59049=0,其中x是整數(shù)則x的值為.

【變式5-4］你知道怎樣迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出195112的立方根是多少嗎？請(qǐng)按照下面的問(wèn)題試一試：

(1)由1()3=1000,1003=1000000,推出*195112是______位數(shù)；

(2)由195112的個(gè)位數(shù)是2,推出4195112的個(gè)位數(shù)是；

(3)如果劃去195112后面的三位112,得到195,而53=125,63=216,推出V195112的十位數(shù)是，

所以，小195112=.

【考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的大小比較】

【例題6】已知外,“2，"3'…,。2022均為負(fù)數(shù)，則---H/gX%+O3H----^的位)，

1

N=(<ai+a2+ai-i-------"%122)(%----------^2021)?則M與N的大小關(guān)系是()

A.M=NB.M>NC.M<ND.無(wú)法確定

【變式6-1］如圖1和2,兩個(gè)圓的半徑相等，0八。2分別是兩圓的圓心，圖1中的陰影部分面積為N，

圖2中的陰影部分面積為S2,那么Si與8之間的大小關(guān)系是()

C.S1>S2D.不能確定

【變式6-2】比較大?。骸?填“”或“<”)

【變式6-3]已知加加{。，瓦。}表示取三個(gè)數(shù)中最小的數(shù).例如：當(dāng)x=-2時(shí)，min{|-2|,(-2)2,(-2)3)=-8,

當(dāng)min{,尤,尤?}=w時(shí)，貝ijx=

【變式6-4】閱讀材料：小明對(duì)不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)，他發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)。和6比

較大小，有如下規(guī)律：若a-6>0,則a>6；若a-b=O,則a=6；若a-b<0,貝!Ja<6,上面的規(guī)律，反過(guò)來(lái)

也成立.課上，通過(guò)老師和其他同學(xué)的交流，驗(yàn)證了上面的規(guī)律是正確的.參考小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決問(wèn)

題：

⑴比較大?。?.3+V5V10+V5;(填“<"，"="或">")

(2)已知無(wú)+2〉-2=0,且犬20,若4=支-5個(gè)+1,B^-5xy+2y,試比較A和B的大小.

【考點(diǎn)七新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】

-\a(a>b\{b(a>b}

【例題7】對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b定義兩種運(yùn)算：。十6=Ja?b=\\」、,并且定義運(yùn)算順序仍

然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如(-2)十3=3,(-2)03=-2,[(-2)?3]02=2,那么(山十2)(8)區(qū)的值為()

A.2B.乖C.3D.375

【變式7-1】規(guī)定不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱(chēng)為尤的整數(shù)部分,記作國(guó)，例如[9.85]=9,[3]=3,[VI可=3.下

列說(shuō)法：①[4一應(yīng)]=2；②[6]+[&]+[6]+…+[&?]+[而]=54；③（°為正整數(shù)）；④若〃為正整

數(shù)，且[“]=炳，則〃的最小值為6,其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式7-2]對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,可用同表示不超過(guò)。的最大整數(shù)，如[4]=4,[0]=1,則-1]=.

【變式7-3]如果無(wú)理數(shù)加的值介于兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)之間，即滿(mǎn)足。<根〈匕（其中。、b為連續(xù)正整數(shù)），

我們則稱(chēng)無(wú)理數(shù)加的“雅區(qū)間”為（〃,6）.例：2〈石<3,所以逐的“雅區(qū)間”為（2,3）.若某一無(wú)理數(shù)的“雅

區(qū)間”為（。,6）,且滿(mǎn)足3<6+6V13,其中x=b,y=6是關(guān)于x、V的二元一次方程組法+0=p的一

組正整數(shù)解，則。=.

【變式7-4】閱讀下列材料，并回答問(wèn)題：

人們把形如a+b而與4-方加（a,b為有理數(shù)且6不等于0,機(jī)為正整數(shù)且開(kāi)方開(kāi)不盡）的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)為共

物實(shí)數(shù)

（1）請(qǐng)你舉出一對(duì)共輾實(shí)數(shù)

（2）3五與26是共朝實(shí)數(shù)嗎？-2班與2君是共輾實(shí)數(shù)嗎？

（3）共朝實(shí)數(shù)a+匕而與a-方向是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)?

（4）你發(fā)現(xiàn)共軌實(shí)數(shù)“+匕而與a-/）向的和，差是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)？

【考點(diǎn)八與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題】

【例題8】有一列數(shù)%,a3,a4,an,從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于1與它前面那個(gè)數(shù)的倒

數(shù)的差，若q=2,則%>21的值為（）

A.2B.-1C.1D.2021

【變式8T】若4=1+產(chǎn)+至，%=1+/+?，/=1+￥+不，%=1+不■+#…，則

+…+J%°22的值為（）

202120222022

A.2021B.2023C.2022D.222

202220232023。黑

【變式8-2】觀察下列各式：

卜"，J，J""；"之，Jl+$+：l+占,……

請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算Jl+,+*+J+*+"+,+"+"+.......+J1+20；F+20；22，其結(jié)果為

【變式8-3】將1、6、&、布按如圖方式排列.若規(guī)定（加，〃）表示第m排從左向右第"個(gè)數(shù)，則（5,

4）與（12,3）表示的兩數(shù)之和是.

【變式8-4】已知7A7==1_]_

1XZXJLJJX43-4

11

（1）觀察上式得出規(guī)律,則礪而=--------------，而可=

(2)若y/a-1+-jab-2=0,求。、b的值.

,1111

⑶由(2)中“、"的值’求焉+(.+1)他+1)+(.+2)9+2)*.,+(4+2014)0+2014)的值，

4【亮點(diǎn)訓(xùn)練】

i.五君、q的大小關(guān)系為（）

A.V2<V3<1|B.1|<V2<V3

C.V2<1|<V3D.V3<1|<V2

2.下列運(yùn)算中，①理=±±,②眄?=2,③F-后7,@J-4+-=-+-=--錯(cuò)誤的有

V14412、V164424

()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.下列說(shuō)法：（1）任何一個(gè)數(shù)都有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；（2）數(shù)。的平方根是土&；（3）T的算

術(shù)平方根是2；（4）負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方；（5）±764=8,其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入尤的值為16時(shí)，輸出的y的值為（）.

A.4B.&C.2D.1

5.如圖，OP=1,過(guò)點(diǎn)P作尸《1。尸且咫=1,得以=及；再過(guò)點(diǎn)1作且6鳥(niǎo)=1,得0￡=指；

又過(guò)點(diǎn)鳥(niǎo)作鳥(niǎo)且HA=i,得。A=2…依此法繼續(xù)作下去，得。鳥(niǎo)。19等于（）

A.V2017B.72018C.72019D.J2020

6.若m-l)2+|b—9|=0,則A

7.已知土―27=0.

（1）X的值為；

（2）x的算術(shù)平方根為.

8.南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是一種用程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法.其理論依據(jù)

是：設(shè)實(shí)數(shù)尤的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為2和?（即有其中a,b,c,d為正整數(shù)），則*

acaca+c

15722

是x的更為精確的近似值.例如：已知"〈?！慈?，則利用一次“調(diào)日法'’后可得到兀的一個(gè)更為精確的近

似分?jǐn)?shù)1為57+不22==179,,由于1f79"3.1404〈兀，再由17三9〈?！?彳2，可以再次使用“調(diào)日法”得到兀的更為

50+75757577

精確的近似分?jǐn)?shù)得.現(xiàn)已知（〈丘則使用兩次“調(diào)日法”可得到后的近似分?jǐn)?shù)為-

9.若符號(hào)團(tuán)，切表示a,。兩數(shù)中較大的一個(gè)數(shù)，符號(hào)(a,b)表示a,6兩數(shù)中較小的一個(gè)數(shù)，則計(jì)算

23一

。，-2)-的結(jié)果是.

10.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被公認(rèn)的世界最著名的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的

“高斯函數(shù)”：函數(shù)產(chǎn)印，也稱(chēng)為取整函數(shù)，即印表示不大于x的最大整數(shù)，如[-2.5]=-3,[3.14]=3,根據(jù)這

個(gè)規(guī)定：

(1)[-A/5+1]=；

(2)若[言]=2022,則x的取值范圍是.

11.實(shí)數(shù)。，b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，其中。是原點(diǎn)，且同=上|;

化簡(jiǎn)：后-血-嚀-、a+c\+J(c_〃)2

baOc

12.(1)已知=6=2,z是9的算術(shù)平方根，求2x+y-5z的值；

(2)已知J2a-1=3,3a+b-l的平方根是±4,。是而的整數(shù)部分，求a+b+3c的平方根.

13.如圖，ZBAD=ZCAE=90°fAB=ADfAE=AC,AFLCB,垂足為E

⑴求證：A

(2)求/剛E的度數(shù)；

⑶若。E=a,CD=b,并且^/^^=-^/^二^,求。8的長(zhǎng)度.

14.閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家都知道0是無(wú)理數(shù)，而且&＜0＜4,即1(應(yīng)＜2,無(wú)理數(shù)是無(wú)

限不循環(huán)小數(shù)，因此血的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，于是小明用拒-1來(lái)表示血的小數(shù)部分，你

同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理，因?yàn)?的整數(shù)部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整

數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.

又例如：①有即1＜班＜2,；.6的整數(shù)部分為1,小數(shù)部分為(石-1).②?：R〈亞〈也，

即2〈逐＜3,...逐的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為心-2).

請(qǐng)解答：

如果血的小數(shù)部分為“，內(nèi)的整數(shù)部分為6,求a+6-而的值;

15.閱讀材料，并解答問(wèn)題：

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖①，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=3,

BC=4,?.,32+42=52,；?斜邊AB=5,為了比較石+1與碗的大小，小伍和小陸兩名同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題分

①②

(1)小伍同學(xué)利用計(jì)算器得到了右a2.236,5/10?3.162.故斯+1____加.(填“>”“〈”或“=”)

(2)小陸同學(xué)受到前面學(xué)習(xí)在數(shù)軸上用點(diǎn)表示無(wú)理數(shù)的啟發(fā)，構(gòu)造出如圖②所示的圖形，其中NC=90。，

BC=3,點(diǎn)。在8C上，且班>=AC=1.請(qǐng)你利用此圖進(jìn)行計(jì)算與推理，幫小陸同學(xué)比較斯+1和的

大小.

《講亮點(diǎn)》2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材同步配套講練《蘇科版》

專(zhuān)題復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)章末重難點(diǎn)題型

旨【題型目錄】

考點(diǎn)一求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

考點(diǎn)二根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

考點(diǎn)三平方根的應(yīng)用

考點(diǎn)四求一個(gè)數(shù)的立方根

考點(diǎn)五立方根的應(yīng)用

考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的大小比較

考點(diǎn)七新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算

考點(diǎn)八與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題

【考點(diǎn)一求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根】

【例題1】已知方程組的解滿(mǎn)足x+y=2,則上的算術(shù)平方根為（）

[2x+y=2

A.i2B.2C.—2D.4

【答案】B

【分析】把兩個(gè)方程相加可得3x+3y=2+k,兩邊同除以3可得無(wú)+尸三=2,解得仁4,因

此上的算術(shù)平方根為2.

【詳解】]尤+尸2②，

①+②得，3x+3y=Z+2,

.2+k

：x+y=2,

：.k=4,

=s[4=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組，一元一次方程，算術(shù)平方根，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是

熟練掌握用適當(dāng)方法解二元一次方程組，一元一次方程的一般解法，算術(shù)平方根的定義與求

一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根.

【變式1T】若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為3、4、x,則使此三角形是直角三角形的x的值是

A.5B.6C.6或?qū).5或"

【答案】D

【分析】由于此題中直角三角形的斜邊不能確定，故應(yīng)分4是直角三角形的斜邊和直角邊兩

種情況討論.

【詳解】解：???這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,尤，

①當(dāng)4是此直角三角形的斜邊時(shí)，由勾股定理得到：

X="2_32=幣,

②當(dāng)4是此直角三角形的直角邊時(shí)，則斜邊為x,由勾股定理得到：

12

x=yj4+3=5-

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是用勾股定理解三角形，解答此題時(shí)注意要分類(lèi)討論，不要漏解.

【變式「2】若x,y滿(mǎn)足（》-5）2+由工=0,則爐的算術(shù)平方根為.

【答案】1##0.2

【分析】根據(jù)平方和算術(shù)平方根的非負(fù)性，可求出x和y的值，再求出犬的算術(shù)平方根即可.

【詳解】5『+77^=0,

x-5=0,y+2=0,

解得：x=5，y=-2,

故答案為：!.

【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和算術(shù)平方根.掌握平方和算術(shù)平方根的非

負(fù)性是解題關(guān)鍵.

【變式「3】若單項(xiàng)式-5/y2m+”與2022下”-。2可以合并成一項(xiàng)，貝7〃的算術(shù)平方根是

【答案】4

【分析】根據(jù)題意可知兩個(gè)單項(xiàng)式是同類(lèi)項(xiàng)，根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義可得：吁片4,2m+n=2,聯(lián)

立求出相和"的值，最后將相和w的值代入m-7n并求出算術(shù)平方根即可.

【詳解】丁-5/丁旭+"與2022/-"/可以合并成一項(xiàng)，

/.-5x4y2m+"與2022尤"5是同類(lèi)項(xiàng)，

\m-2

將《仁代入加一7〃得：2-7x(-2)=16,

[n=-2

二川-7九的算術(shù)平方根是：J話=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類(lèi)項(xiàng)的定義，解二元一次方程以及求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，熟練

掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【變式「4】已知。的平方根為±3,6的算術(shù)平方根為2.

⑴求。，6的值；

⑵求a+26的平方根.

【答案】(1)。=9,6=5；

(2)±719

【分析】(1)運(yùn)用平方根和算術(shù)平方根的定義求解即可；

(2)先將a、b的值代入求值，然后再根據(jù)平方根的定義即可解答.

(1)

解：的平方根為±3,

a=9,

???a-8的算術(shù)平方根為2,

a-b=4,

a=9,

：.b=5,

(2)

解：a=9,b=5,

：.符含嶺9+2?

：.a+2b的平方根為士M.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根、算術(shù)平方根，根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義求得a、b

的值是解答本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)二根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】

【例題2]己知而I+|b-1|=0,那么(a+b>°22的值為()

A.-1B.1C.32°22D.-32022

【答案】B

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出4、6的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】解：VV^+2+|Z7-l|=0,V^2>0,|^-1|>0

\ja+2=0,1=0

/.a+2=0,b-1=0,

解得a=-2,b=l,

：.(a+6嚴(yán)

=(-2+1)2022

=(-1)2022

=1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的和為0,涉及了絕對(duì)值和算數(shù)平方根等相關(guān)知識(shí)，掌握并熟練

使用相關(guān)知識(shí)，同時(shí)注意解題中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵.

【變式2-1］若實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足與?卜+1歸0,則()

A.x=2或一1B.2>x>—1C.x=2D.x=~l

【答案】A

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：VV^-2-|x+l|<0,

又y/x-2>0,|x+l|>0,

.,.x-2=0或x+l=0,

解得：x=2或x=-l,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握算術(shù)平方根的非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值的非負(fù)數(shù)是解題的

關(guān)鍵.

【變式2-2】已知：G斤+/+4丁+4=0,那么的值等于.

【答案】-1

【分析】將原等式化為Gl+(y+2『=0,根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性及偶次方的非負(fù)性求

出x=l,y=-2,再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：vVx-1+y2+4y+4=0

二>/^+(丫+2)2=0

.*.x-l=0,y+2=0,

解得%=Ly=-2f

.*.x+y=l-2=-l,

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，算術(shù)平方根的非負(fù)性及偶次方的非負(fù)性，已知字母的值

求代數(shù)式的值，正確掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］若x,y為實(shí)數(shù)，且Ix—2|+6有=0,貝U(x+>)刈'的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)絕對(duì)值以及算術(shù)平方根的非負(fù)性，可以求出x和y的值，再求出x+y的值，即

可求出答案.

【詳解】解：：Ix—2|+Jy+3=0,

.*.x-2=0,y+3=0,

?\x=2,y=-3,

x+y=2+(-3)=—1,

：.(x+y)2015=(-l)2015=-l

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值以及根式，熟悉其性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-4】已知:\a+2\+4b^i=O,

⑴求a,6的值;

(2)先化簡(jiǎn)，再求值：a(6z+3Z?)-(a-2Z?)2+4^2

［答案］⑴。=-2,6=1

(2)lab；-14

【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得。+2=0且6-1=0,即可求解；

(2)根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，然后將(1)中的“力的值代入即可

求解.

(1)

根據(jù)非負(fù)數(shù)得：a+2=0且6-1=0,

解得：a--2,b=l；

(2)

原式=a2+3ab-a2+4ab-4b2+4b2，

=lab,

當(dāng)a=-2,b-1時(shí)，

原式=7?(-2)?=—14.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，整式乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三平方根的應(yīng)用】

【例題3】如圖，面積為7的正方形ABC。的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1,若點(diǎn)E在

數(shù)軸上(點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè))，且則點(diǎn)E所表示的數(shù)為()

A.幣B.XLC.1+V7D.幣+2

2

【答案】C

【分析】因?yàn)槊娣e為7的正方形ABCD邊長(zhǎng)為近，所以而得AE=布,

A點(diǎn)的坐標(biāo)為1,故E點(diǎn)的坐標(biāo)為"+L

【詳解】???面積為7的正方形A8C。為7,

：.AB=-fi,

'：AB=AE,

:.AE=y/y,

A點(diǎn)表示的數(shù)為b

點(diǎn)表示的數(shù)為⑺'+1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)、平方根的應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合題意求出A8=AE=g.

【變式3T】已知7^%心4.858,A/236?1.536,則-4236000q()

A.-485.8B.-48.58C.-153.6D.-1536

【答案】A

【分析】根據(jù)平方根小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律解答.

【詳解】解：236000是由23.6小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)4位得到，則-V236000=-485.8；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了平方根小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右每移動(dòng)兩位，則平

方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位；當(dāng)被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左每移動(dòng)兩位，則平方根的小數(shù)點(diǎn)向左

移動(dòng)一位.

【變式3-2】一個(gè)正數(shù)的平方根分別是-*+1和2x+5,則這個(gè)正數(shù)是

【答案】49

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平方根的性質(zhì)列出方程，求解方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，

???由一個(gè)正數(shù)的平方根分別是-x+1和2尤+5,可知(r+l)+(2x+5)=0,

即x+6=0,解得x=-6,

(-X+1)2=72=49,

故答案為：49.

【點(diǎn)睛】本題考查平方根的性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式3-3］如圖，在3x3的方格紙中，有一個(gè)正方形A3CD,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是

【答案】6

【分析】求出正方形的面積即可求出正方形的邊長(zhǎng).

【詳解】解：由題意得：S正方形.8=3*3-4、3X1、2=5,

設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為x,

2

X=5J

x=+\/5，

又：%>0,

x=A/5，

故答案為：非.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的應(yīng)用，正確求出正方形的面積是解題的關(guān)鍵.

【變式3-4］如圖，用兩個(gè)邊長(zhǎng)為反cm的小正方形拼成一個(gè)大的正方形.

(1)求大正方形的邊長(zhǎng)：

(2)若沿此大正方形邊長(zhǎng)的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：

3,且面積為48cm2?

【答案】(1)大正方形的邊長(zhǎng)為8cm

(2)沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：3,且

面積為48cm2

【分析】(1)根據(jù)已知正方形的面積關(guān)系即可求出大正方形的邊長(zhǎng)；

(2)先求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，再判斷即可.

(1)

解：大正方形的邊長(zhǎng)為acm,則/=2x(厄丁=64,

a>0,

?'?a=8.

答：大正方形的邊長(zhǎng)為8cm.

(2)

解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為4xcm,寬為3%cm,則4斗3%=48,

解得f=4,

Vx>0,

x=2,

4x=8cm,3%=6cm,

..?大正方形的邊長(zhǎng)為8cm,符合.

所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：3,

且面積為48cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的實(shí)際應(yīng)用，能根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四求一個(gè)數(shù)的平方根】

【例題4】如表是李小聰?shù)臄?shù)學(xué)測(cè)試答卷，他的得分應(yīng)是()

姓名：李小聰?shù)梅郑海?/p>

填空(每小題20分，共120分)

①-0.5的絕對(duì)值是(萬(wàn)).

②2的倒數(shù)是(-2).

③-0.8的相反數(shù)是(0.8).

④-1的立方根是(-1).

⑤算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是(1).

⑥洞的算術(shù)平方根是(8).

A.120分B.100分C.80分D.60分

【答案】D

【分析】根據(jù)絕對(duì)值，倒數(shù)，相反數(shù)，立方根，算術(shù)平方根的概念判斷即可.

【詳解】解：①-0.5的絕對(duì)值是(!)，正確；

②2的倒數(shù)是(-2),錯(cuò)誤；

③-0.8的相反數(shù)是(0.8),正確；

④-1的立方根是(-1),正確；

⑤算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是(1),錯(cuò)誤；

⑥扃的算術(shù)平方根是(8),錯(cuò)誤；

李小聰?shù)脑嚲泶饘?duì)了3題，共得分60分.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值，倒數(shù)，相反數(shù)，立方根，算術(shù)平方根，掌握其各自定義是解

題的關(guān)鍵.

【變式4-1］按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的x的值是64,則輸出的>的值是()

是無(wú)理數(shù)

是有理數(shù)

A.V2B.V3C.次D.為

【答案】A

【分析】根據(jù)圖中的流程依次進(jìn)行計(jì)算和判斷，得到最后的輸出>=夜，從而得到答案.

【詳解】當(dāng)輸入x=64

得y/x=^64=8

:8是有理數(shù)

???計(jì)算8的立方根得強(qiáng)=2

：2是有理數(shù)

，再次計(jì)算2的算數(shù)平方根得0

V夜是無(wú)理數(shù)

所以輸出y=3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根、立方根、有理數(shù)、無(wú)理

數(shù)的相關(guān)知識(shí).

【變式4-2］如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為無(wú)，則尤2一13的立方根是.

【分析】先利用勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，即知表示O的點(diǎn)和A之間的線段的長(zhǎng)，進(jìn)而可推

出點(diǎn)A所表示的數(shù)，然后代入Y-13計(jì)算即可.

【詳解】解：=

點(diǎn)A表示的數(shù)為：-石

X2-13=(->/5)2-13=5-13=-8

二/一13的立方根是4=-2

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的就是數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)，解答本題的關(guān)鍵就是求出圓弧的長(zhǎng)度,

求出點(diǎn)A在數(shù)軸上所表示的數(shù).

【變式4-3］據(jù)說(shuō)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客

閱讀的雜志上有一道智力題：一個(gè)數(shù)是59319,希望求它的立方根.華羅庚脫口而出：39.鄰

座的乘客十分驚奇，忙問(wèn)計(jì)算的奧秘.華羅庚給出了如下方法：(1)由lO3=iooo,

1003=1000000,確定W59319是兩位數(shù);(2)由59319個(gè)位上的數(shù)是9,確定朗59319個(gè)位

上的數(shù)是9；(3)劃去59319后面的三位319得到59,而3?=27,43=64,由此確定059319

十位上的數(shù)是3.請(qǐng)你類(lèi)比上述過(guò)程，確定21952的立方根是.

【答案】28

【分析】首先由1。3=1000,10()3=1000000,確定任21952是兩位數(shù),再由21952個(gè)位上的

數(shù)是2,確定煙痂個(gè)位上的數(shù)是8,然后劃去21952后面的三位952得到21,而2?=8,

33=27,由此確定標(biāo)五十位上的數(shù)是2,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：V1000<21952<1000000

/.10<^/21952<100

用21952是兩位數(shù)

又..?只有個(gè)位上是8的數(shù)的立方的個(gè)位上的數(shù)是2

，#21952的個(gè)位上的數(shù)是8

:劃去21952后面的三位952得到21,W23=8,33=27

?，.421952十位上的數(shù)是2

二W21952的值為28

故答案為：28

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)的立方根，理解一個(gè)數(shù)的立方根的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)的立方

的個(gè)位數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-4］如圖，a,b,c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).

(1)將a,b,c,0由大到小排列(用““連接):

(2)a-b0；_o(填寫(xiě)“>"，"="，“<”)

(3)試化簡(jiǎn)：_,_闿+'(4+<?)3_'(0_3)2

【答案】(l)c>0>a>人

(2)>，<

⑶26

【分析】(1)數(shù)軸上，越往左數(shù)字越小，越往右數(shù)字越大，據(jù)此即可作答;

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可作答；

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)果去絕對(duì)值和根號(hào)，即可得解.

(1)

根據(jù)數(shù)軸上各數(shù)的位置，有：c>0>a>b,

故答案為：c>0>a>b；

(2)

在(1)中有c>0>a>。，

d>b,c>b,

a-b>0,c-bX),

b—c<0,

故答案為：>,V;

(3)

?a—b>Q,c—b>0,

一卜一可+'(〃+0)3_j(c_b)2

=一(a—6)+(a+c)—(c—Z?)

=—a+b+a+c—c+Z?

=2b,

故答案為：2b.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小，不等式的性質(zhì)，求一個(gè)數(shù)的立方根以及二次

根式的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)據(jù)得到c>0>a>6,再根據(jù)不等式的性質(zhì)得到a-b>0,c-bX),

是解答本題的關(guān)鍵.

不等式的基本性質(zhì)

①不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變,

即：若a>b,那么。土〃土加；②不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)

的方向不變，即：若d>b,且小>0,那么或③不等式的兩邊同時(shí)乘以(或

mm

nh

除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即：若人，且/Z0,那么/或一<2.

mm

【考點(diǎn)五立方根的應(yīng)用】

【例題5】有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下:

是

無(wú)

理

輸入X數(shù)

是有理數(shù)

當(dāng)輸入的x值為64時(shí)，輸出的y值是()

A.4B.J2C.2D.蚯

【答案】B

【分析】依據(jù)運(yùn)算程序進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：扃=8,是有理數(shù)，8的立方根是2,是有理數(shù)，2的算術(shù)平方根是0.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了立方根、算術(shù)平方根的定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1】已知m二/=則。的值為（）

A.±7?B.0或±1C.0D.0,±1或土行

【答案】D

【分析】根據(jù)已知推導(dǎo)出一個(gè)數(shù)的立方根是它本身這個(gè)條件，進(jìn)而得出這樣的數(shù)有0,-b

1三個(gè)，求解即可.

【詳解】?.?羽二/=即一個(gè)數(shù)的立方根是它本身，

這樣的數(shù)有0,-1,1三個(gè)，

1—a2=1,l—a2=~l>l—（i2=0>

<2=0,。=±1或。=±&；

故答案為：D

【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知條件推導(dǎo)出一個(gè)數(shù)的立方根是它本身這個(gè)

條件是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］如圖1,這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64.把正方形ABCD

放到數(shù)軸上，如圖2,使點(diǎn)A與-2重合，那么點(diǎn)O在數(shù)軸上表示的數(shù)為.

圖1圖2

【答案】-2-20

【分析】設(shè)每個(gè)小立方體的棱長(zhǎng)為。，由題意易得8a3=64,則有。=2,根據(jù)圖形可得正方

形ABCD的面積為8,然后根據(jù)正方形的面積公式可得AD=2后，進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】解：設(shè)每個(gè)小立方體的棱長(zhǎng)為。，由題意得：8a3=64,

??。=2,

4x4

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)AD=x,由圖形可得正方形ABCD的面積為%2=——=8,

2

x=Vs=2^/2,

??,點(diǎn)A與-2重合，

???點(diǎn)。在數(shù)軸上表示的數(shù)為-2-2近；

故答案為-2-20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查立方根和算術(shù)平方根的應(yīng)用，熟練掌握求一個(gè)數(shù)的立方根和算術(shù)平方

根是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3】我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾巧解開(kāi)立方的智力題：一個(gè)數(shù)是59319,希望求它

的立方根.

解答：：IO?<59319<10。3,#59319是兩位整數(shù);

:整數(shù)59319的末位上的數(shù)字是9,而整數(shù)0至9的立方中，只有T=729的末位數(shù)字是9,

#59319的末位數(shù)字是9；

又：劃去59319的后面三位319得到59,而3〈病<4,

?1?第59319的十位數(shù)字是3；

459319=39；

【應(yīng)用】3(2x-l)3+59049=0,其中尤是整數(shù)則尤的值為.

【答案】-13

【分析】先運(yùn)用學(xué)到的方法，進(jìn)行估算，再解一元一次方程即可.

【詳解】：3(2x-l)3+59049=0,

/.(2x-l)3=-19683,

V103<19683<1003，

，W19683是兩位整數(shù);

..?整數(shù)19683的末位上的數(shù)字是3,而整數(shù)0至9的立方中，只有73=343的末位數(shù)字是3,

比9683的末位數(shù)字是7；

又：劃去19683的后面三位683得到19,

而2<曬<3,

「9683的十位數(shù)字是2；

二班9683=27；

2x-l=-27,

解得產(chǎn)-13,

故答案為：-13.

【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟練掌握估算方法，靈活解方程

是解題的關(guān)鍵.

【變式5-4］你知道怎樣迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出195112的立方根是多少嗎？請(qǐng)按照下面的問(wèn)題

試一試:

(1)由1()3=1000,1003=1000000,推出M195112是______位數(shù)；

(2)由195112的個(gè)位數(shù)是2,推出機(jī)95112的個(gè)位數(shù)是；

(3)如果劃去195112后面的三位112,得到195,而53=125,63=216,推出第195112的

十位數(shù)是,所以，#195112=.

【答案】(1)2；(2)8；(3)5；58

【分析】分別根據(jù)題中所給的分析方法先求出這幾個(gè)數(shù)的立方根都是兩位數(shù)，然后根據(jù)第(2)

和第(3)步求出個(gè)位數(shù)和十位數(shù)即可.

【詳解】解：(1)1/103=1000，1003=1000000,

又1000<195112<1000000，

95112是一個(gè)兩位數(shù);

故答案為：2；

(2)根據(jù)題意，：師=8,則個(gè)位上的數(shù)字是8,

.1.比9592的個(gè)位數(shù)是8；

故答案為：8；

(3)由題意,V125