立體幾何中的建系設(shè)點(diǎn)問題-高考數(shù)學(xué)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展28立體幾何中的建系設(shè)點(diǎn)問題（精講+精練）

、知識點(diǎn)梳理

一、建系有關(guān)的基礎(chǔ)儲備

與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論

（1）線面垂直

①如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直

②兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個平面垂直

③兩個平面垂直，則其中一個平面上垂直交線的直線與另一個平面垂直

④直棱柱：側(cè)棱與底面垂直；

⑤有一條側(cè)棱垂直于底面的椎體。

⑥正三棱柱、正四棱柱：頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心。

⑦側(cè)面與底面所成角均相等或側(cè)棱長均相等可得頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心。

（2）線線垂直（相交垂直）

①正方形，矩形，直角梯形

②等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）

③菱形的對角線相互垂直

④勾股定理逆定理：^AB~+AC2=BC2,貝ijAB，AC

二、建立直角坐標(biāo)系的原則

1.Z軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即Z軸要與坐標(biāo)平面xOy垂直，在幾何體中也是很直

觀的，垂直底面高高向上的即是，而坐標(biāo)原點(diǎn)即為z軸與底面的交點(diǎn)

2.x,y軸的選取：此為坐標(biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個原則值得參考：

（1）盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于％y軸上

（2）找角：軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件

（3）找對稱關(guān)系：尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對稱特點(diǎn)

3.常用的空間直角坐標(biāo)系滿足x,y,z軸成右手系，所以在標(biāo)龍,y軸時要注意。

4.同一個幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會對應(yīng)不同。但是通過坐標(biāo)所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）

是一致的。

5.解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直（即一個線面垂直+底面兩條線

垂直），這個過程不能省略。

三、坐標(biāo)的書寫

1.能夠直接寫出坐標(biāo)的點(diǎn)

（1）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，例如在正方體（長度為1）中的AC。'點(diǎn)，坐標(biāo)特點(diǎn)如下：

x軸：（x,0,0）y軸：（0,y,0）z軸:（0,0,z）

（2）底面上的點(diǎn)：坐標(biāo)均為（羽又0）,即豎坐標(biāo)z=0,由于底面在作立體圖時往往失真，所以要快速正

確寫出坐標(biāo)，強(qiáng)烈建議在旁邊作出底面的平面圖進(jìn)行參考：以下圖為例：

OC

則可快速寫出/點(diǎn)的坐標(biāo)，位置關(guān)系清晰明了H[1,g,0）,/1g,1,0）

2.空間中在底面投影為特殊位置的點(diǎn)

如果4（%,％,z）在底面的投影為4（%,%，°），那么占=/，%=%（即點(diǎn)與投影點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同）

這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點(diǎn)時，可看下在底面的投影點(diǎn)，坐標(biāo)是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱

坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點(diǎn)到底面的距離。例如：正方體中的8'點(diǎn)，其投影為8,而8（1,1,0）所以月（1,1,z）,

而其到底面的距離為1,故坐標(biāo)為月（1,1,1）

以上兩個類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點(diǎn)，但總還有一些特殊點(diǎn)，那么就要用到第三個方法：

3.需要計(jì)算的點(diǎn)

①中點(diǎn)坐標(biāo)公式：4（玉,%，4）,5（%2，%，22），則A3中點(diǎn)五手，”衛(wèi)，幺

②利用向量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算（先設(shè)再求）：向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出

一些位置不好的點(diǎn)的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值，

例如：求A’點(diǎn)的坐標(biāo)，如果使用向量計(jì)算，則設(shè)4（x,y,z）,可直接寫出4（1,0,0）1（1,1,0）,月（1』」）,

x-1=0

觀察向量通=1N,而荏=（0,1,0）AB=(x-1,y-l,z-l)—1=1=><y=0

z—l=0z=l

.?.A（1,0,1）

四、空間直角坐標(biāo)系建立的模型

（1）墻角模型：已知條件中有過一點(diǎn)兩兩垂直的三條直線，就是墻角模型.

建系：以該點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以兩兩垂直的三條直線為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Z,當(dāng)然條

件不明顯時，要先證明過一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直（即一個線面垂直十面內(nèi)兩條線垂直），這個過程不能省

略.然后建系.

⑵垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個平面，就是墻角模型.

情形1垂下（上）模型：直線豎直，平面水平，大部分題目都是這種類型.如圖，此情形包括垂足在平面圖

形的頂點(diǎn)處、垂足在平面圖形的邊上（中點(diǎn)多）和垂足在平面圖形的內(nèi)部三種情況.

第一種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，平面圖形的一邊為x軸或y軸，在平面圖形

中，過原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn)）建立空間直

角坐標(biāo)系.如圖1-1

第二種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，垂足所在的一邊為x軸或y軸，在平面圖形

中，過原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn)）建立空間直

角坐標(biāo)系.如圖1-2

第三種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，連接垂足與平面圖形的一頂點(diǎn)所在直線為為

無軸或j軸，在平面圖形中，過原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形

的另一頂點(diǎn)）建立空間直角坐標(biāo)系.如圖1-3

B

圖IT

圖1—2

圖1—3

情形2垂左（右）模型：直線水平，平面豎直這種類型的題目很少.各種情況如圖，建系方法可類比情形

1.

情形3垂后（前）模型：直線水平，平面豎直這種類型的題目很少.各種情況如圖，建系方法可類比情形

1.

X

圖3—1圖3-2圖3-3

二、題型精講精練

【典例1］如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZABC=60°,CF±平面

ABCD,且Cb=l,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)。

方案一：（選擇為軸），連結(jié)AC

可知ZADC=120°在AADC中

|AC|2=|AD|2+1DC|2-21AD||Z）C|cosADC=3.\|AC|=V3

由=G,忸C|=1,ZABC=60°可解得AB=2,ZACB=90"

:.ACLBC?.?CF，平面ABC。

:.CF±AC,CF±BC,以AC,為坐標(biāo)軸如圖建系：

以0,1,0）,A（60,0）,。4，-；，0，網(wǎng)0,0,1）

方案二（以為軸）：過。作CD的垂線CM

.?.以CD,",CM為坐標(biāo)軸如圖建系：（同方案一）計(jì)算可得：CM=VJ3,A3=2

2

...A電期1,-,0,D（0,-l,0）,F（0,0,l）

【典例2］如圖：已知P0,平面ABC。，點(diǎn)。在A5上，且E4〃P0,四邊形ABC。為直角梯形,

AD//BC,BC1AB,BC=CD=BO=PO=2,EA=AO=-CD,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求出各點(diǎn)坐標(biāo)

2

解：?.?POL平面ABC。，EA//PO

E4,平面ABC。

:.EA±AB,EA±AD

?：AD//BC,BCLAB:.AD±AB

，A瓦AD,AB兩兩垂直，如圖建系：

￡A=；CD=1.-.E（0,0,l）

昭AAOB中：AB=《OB°-Od=6

Ani

cosAOB=——=—nZAOB=60°

BO2

AD//BCZBOC=ZAOB=60°

.BC=BO.hBOC為等邊三角形

：.OC=BC=CDZOCB=60°

ZDOC=60°.,△COD為等邊三角形

,-.OD=CD=2

.?.網(wǎng)6,0,0）,0（0,1,0）,0（0,3,0）,。（百2,0）

P在底面ABC。投影為。且PO=2.-.P（0,l,2）

綜上所述：B（A/3,0,0）,0（0,1,0）,D（0,3,0）,C（A/3,2,0）,P（0,1,2）,E（0,0,1）

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、解答題

1.（2023?重慶九龍坡?重慶市育才中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖所示，在三棱柱■-OCE中，點(diǎn)G、M分別是

線段A。、BE的中點(diǎn).

（1）求證：AM〃平面BEG；

（2）若三棱柱/M-OCE的側(cè)面ABC。和AOEF都是邊長為2的正方形，平面ASCD1平面ADEF,求二面

角b的余弦值；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進(jìn)行證明

即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）取BE中點(diǎn)N,

則平行且等于3小，AG也平行且等于;BC,而2C平行且等于所，

所以平行且等于AG,

因此四邊形AAWG為平行四邊形，AM//GN,

又AW平面BEG,G/Vu平面5EG,

所以A"http://平面BEG；

（2）由已知易證A尸，AD,4尸，AB,ABLA。建立以4為原點(diǎn)，以福亞，亞的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正

方向的空間直角坐標(biāo)系，

z

貝()40,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),E(0,2,2),F(0,0,2),G(0,l,0),M(1,0,1),

所以屜二(-2,2,2),BG=(-2,1,0),

設(shè)石=（陽y,z）為面BEG的法向量，則

n?BE=—2x+2y+2z=0

=>n=(-l,-2,l),

n-BG=-2x+y=0

同理可求平面BFG的法向量為正二（-1,-2,-1）,

7

所以二面角E-BG-F的余弦值為：.

2.（2023?海南省直轄縣級單位?嘉積中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，AABC為等邊三角形，平面ABC,EA//BD,

AB=BD=2,AE=1,M為線段A3上一動點(diǎn).

⑴若M為線段AB的中點(diǎn)，證明：ED1MC.

（2）若=求二面角0-00-E的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

220

【分析】（1）根據(jù)線面垂直可得再證明CM,平面43DE,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為。，連接OC,在平面ABDE內(nèi)，過點(diǎn)。作ON_LAB交ED于點(diǎn)N,以。為原點(diǎn)建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，

且“1BC為等邊三角形，所以J.四，

因?yàn)镋4_L平面ABC,CMu平面ABC,所以￡A_LCM,

因?yàn)镋A//BD,所以A,B,D,E四點(diǎn)共面，

因?yàn)锳Bu平面ABDE,AEu平面ABC\AE=A,

所以CM_L平面ABDE,

因?yàn)镈Eu平面ABDE,所以即_LMC；

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為0,連接0C,

在平面A5DE內(nèi)，過點(diǎn)。作0NJ_AB交班）于點(diǎn)N,

由（1）可得0cON,A3兩兩垂直,

分別以02,OC,ON所在直線為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

因?yàn)锳B=3￡>=2,AE=l,AM=3MB,

所以M[,O,O],C（0,73,0）,E（-1,O,1）,D（L0,2）,

30,1],加J：,0,21.,

所以碇ME=

3'

設(shè)平面MCE的法向量為根=（芯,％,zj,

m-MC=--xl+^yl=0

；,令％=2g,得必=1,

則zt=3A/3,

in-ME=~~xi+zi=0

所以平面MCE的一個法向量為而=（2后1,3⑹,

設(shè)平面MCD的法向量為“=（&,%*2），

n-MC=--x2+s/3y2=0

則12，令％=2A/3,得當(dāng)=1，V3

n?MD=—x2+2Z2=0

所以平面MCD的一個法向量為"=273,1,-

17

-一\m-n~2__17A/22

所以cos（m,n

四-220

砸740X

所以二面角CM-E的余弦值為嗜.

3.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體ABCDE尸中，四邊形ABCD是邊長為4的菱形,

/BCD=60°,AC與BD交于點(diǎn)O,OE，平面ABCD,EF//AB,EF=2.

（1）求證：平面R?C_L平面A5CD；

（2）若AE=3應(yīng)，點(diǎn)。為AE的中點(diǎn)，求二面角。-3C-A的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵題

11

【分析】（1）取BC中點(diǎn)G,連接PGOG,則由三角形中位線定理結(jié)合已知條件可證得四邊形EfGO為平

行四邊形，所以O(shè)E//GF,再由OEL平面A5CD,結(jié)合面面垂直的判定定理可證得結(jié)論,

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，8。所在直線為y軸，OE所在直線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，取BC中點(diǎn)G,連接尸G,OG,

因?yàn)镺，G分別為AC,3c中點(diǎn),

所以O(shè)G〃AB,OG=-AB,

2

因?yàn)镋F=JA2,EP〃AB,

2

所以EF//OG,EF=OG,

所以四邊形所GO為平行四邊形，則OE〃G尸，

因?yàn)镺E_L平面ABCD,所以GP_L平面ABCD.

又G/u平面叫C,所以平面F3C_L平面ABCD.

(2)因?yàn)镺E_L平面ABCD,AC,8。u平面ABCD,所以。E_LAC,OE_L,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC13。，

所以AC,3￡),0E兩兩垂直，

所以以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，8。所在直線為＞軸，OE所在直線為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

因?yàn)樗倪呅蜛3CD是邊長為4的菱形，/3CD=60。，

所以△BCD是正三角形，則8￡?=4,4。=口7=2石，

因?yàn)锳E=3夜，所以O(shè)E=JA^—AO2=J18_12=#，

所以A(2后0,0),2(0,2,0)，4-2后0,0)閭0,0,網(wǎng),0后0,

所以反=卜26,-2,0),麗=A-2,

設(shè)平面QBC的法向量為m=(x,y,z),

m-BC=-2邪!x-2y=0

則m-BQ=s/3x-2y+^-z=Q，令則而=(1,-若,一30卜

取平面A5c的法向量w=（0,0,1）.

設(shè)二面角。-8C-A的平面角為（9,由圖可知。為銳角,

n-m303而

所以cosO=

n^mJl+3+1811

所以二面角Q-BC-A的余弦值為斗.

4.（2023?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，三棱柱ABC-A由G的底面ABC是正三角形，側(cè)面ACGA是菱

形，平面ACC0，平面ABC,瓦尸分別是棱A￡,BC的中點(diǎn).

（1）證明：砂〃平面ABBM；

__.2__.

⑵若AC=AG=2,GG=-qC,求直線Bq與平面EFG所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵①

53

【分析】（1）欲證明一條直線平行于一個平面，只需證明該直線平行于平面內(nèi)的一條直線即可;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量計(jì)算線面角.

取4q的中點(diǎn)連接ME,MB,因?yàn)橥呤謩e是棱4G，的中點(diǎn)，

則ME//BCJ/B尸,ME=^BlCl=^BC=BF,二四邊形VERB為平行四邊形,

所以EF//MB,；E/O平面ABB14,MBu平面ABBiA，

EF〃平面；

（2）在平面ACGA中過點(diǎn)G作GO^AC于0,連接。8,

,平面ACC]A11■平面ABC,平面ACGAPI平面ABC=AC,二G。_L平面ABC,

由菱形AC￡A，AC=ACt=2,得CG=2,ZACq=60。，0C=l,CQ=6,

因?yàn)辄c(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，.?.O3_LAC,故以。為原點(diǎn)，OB、0C、。6分別為％y，z軸建立如圖所示的空間

則B（也,0,0）,C（0,1,0）,G（。,。,/），A（0,-2,道），E（0,-1,6），尸

筌可G

3廠）一.」一叵

所以可盤=配=卜石,1,0）,而=,-,-V3,GF=

2J%F

設(shè)平面EFG的法向量為n=（x,y,z）,

x+-y-石z=0r

22'艇殂42V3

則有l(wèi),解得x=-z,y=-----z令z=5,得〃=（4,2石,5）,

V31V355

——x——y------z=0n

[26-3

設(shè)直線qG與平面屏6所成角為巴

,46+2國

則sin0=|cos（〃,耳￡17159

716+12+25.^+153

綜上，直線gG與平面跳G所成角的正弦值為亨.

5.（2023?四川南充?模擬預(yù)測）如圖所示，在圓錐。。中，。為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面圓圓心，A3是圓。的

直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形AODE是矩形.

⑴若點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，求證：。///平面ACE；

IT

（2）若AB=2,ABAC=ZACE=-,求三棱錐A-CDE的體積.

【答案】⑴證明見解析；

1

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定、面面平行的判定性質(zhì)推理作答.

（2）證明平面ABC,再利用等體積法求解作答.

【詳解】（1）依題意，連接OF,O、尸分別是AB、3c中點(diǎn)，則37/AC,

OfV平面ACE,ACU平面ACE,則37/平面ACE,

四邊形AODE是矩形，OD//AE,同理有8//平面ACE,

又。尸08=。，。尸,ODu平面OD尸，于是平面。￡旅〃平面ACE,又。尸u平面ODP,

所以。///平面ACE.

C

（2）在圓錐。。中，￡>O_L平面ABC,OOu平面ABDE,則平面ABDE_L平面ABC,

平面平面ABC=AB,在平面⑷5c內(nèi)過點(diǎn)C作CGLAB于點(diǎn)G,

則CG_L平面ABDE,在RtABC中，AB=2,ZBAC=-,則AC=1,BC=7^,CG=立，

32

顯然AE_L平面ABC,ACu平面ABC,則AE_L4C,又AC=1,ZACE=,因此AE=G，

v_v31A/3>/3_1

VA-CDE=VC-ADE=§°§乂彳X耳=7.

6.（2023?吉林長春凍北師大附中?？家荒＃╅L方形ABCD中，AB=2AO=2后，點(diǎn)E為CO中點(diǎn)（如圖1）,

將點(diǎn)。繞AE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)尸處，使平面PAE,平面ABCE（如圖2）.

PA

（1）求證：PA±PB；

jr

（2）點(diǎn)/在線段尸3上，當(dāng)二面角F-AE-P大小為了時，求四棱錐尸-ABCE的體積.

4

【答案】（1）證明見詳解

（2）t

【分析】（1）由已知條件，先證明再利用平面PAE，平面ABCE,可證鹿，平面R4E,得到

PALBE,又PALPE,可得PA_L平面尸BE,從而可證R4_LPB；

（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出平面E4E和平面P4E的法向量，進(jìn)而求出廠點(diǎn)坐標(biāo),

確定F點(diǎn)位置,求出四棱錐尸-ABCE的體積.

【詳解】（1）證明：在長方形ABCD中，AB=2AD=2y/2,E為8中點(diǎn)，

AE=BE-2,

:.AE±BE,

?平面尸AE_L平面ABCE,平面PAEpI平面ABCE=AE,

BEu平面ABCE,

平面R4E,APu平面P4E,

:.BE±PA,又BEu平面尸BE,PEu平面PBE,

PEcBE=E,

,以_1_平面尸BE,依＜=平面產(chǎn)砥，

:.PA±PB.

如圖，取AE的中點(diǎn)0,AB的中點(diǎn)G,連接OP,OG,

由題意可得OP,OG,0A兩兩互相垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)G,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),￡(-1,0,0),5(-1,2,0),P(0,0,l),

設(shè)麗=2萬，貝!|尸（-22/1,1_孫

設(shè)平面FAE的一個法向量為m=（x,y,z）,

m-AE=0=0

則

m-AF=0—l)x+22y+(1—2)z=0，

令y=i,得2=興,

/I—1

/.m=

m-n2

?cos(/一7TZn一、/——

又BE,平面E4E,.i=^=(O,2,O)是平面E4E的一個法向量，…\'/一422

X

HH2AC

22-22+1

_______2_______上J

令I(lǐng)4^2，解得2）或無=一1（舍）.

2x.1+^^—3

V22-2A+l

即產(chǎn)為網(wǎng)的靠近P的三等分點(diǎn)時，二面角尸-鉆-P的平面角為;，

4

..尸平面他CE,且PO=1,

尸到平面ABCE的距離為g,又四邊形ABCE的面積為3,

1122

...四棱錐產(chǎn)—ABCE的體積力.CE=-SABCE-h=-x3x-=^-

7.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）如圖，在圓錐。。中，D為圓錐頂點(diǎn)，A8為圓錐底面的直徑，。為底面圓

的圓心，C為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形。4匹為矩形，且AC=1,BC=6

（1）若P為BC的中點(diǎn)，求證：〃平面ACE；

（2）若CE與平面04匹所成角為30。，求二面角A-DE-C的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵出

11

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行和面面平行的判定定理進(jìn)行證明即可;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）連接DR0F,

在中，。、尸分別為AB、BC的中點(diǎn)，所以av/ac,

因?yàn)锳Cu平面ACE,OFU平面ACE,所以0P//平面ACE,

在矩形。4ED中，0D//AE,

同理可得0D〃平面ACE,y.OFC\OD=O,。尸,O￡>u平面0DP,

所以平面ODFH平面ACE,

因?yàn)镈Fu平面0￡不，所以〃平面ACE；

（2）過點(diǎn)C做〃±AB交AB于前M,連接ME

由題可知ODL平面ABC,豆ODIIAE,所以平面ABC

則AE_LCA/,又A3C|AE=A,AB,AEu平面OAED,

所以CM,平面。4即，

/.CE在平面OAED內(nèi)射影為ME,

則NCEM即為CE與平面Q4ED所成的角，所以NCEM=30。

在AABC中，由可知CW=3

222

貝（ICE=G,AE=拒,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、3c所在直線為X、y軸，

過點(diǎn)C垂直于平面A3C為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C（0,0,0）,A（-1,O,O）,D,E（-l,0,>/2）,

\7

AE=（0,0,V2）,ED=；，一#,0,CE=（-l,O,^j,

Zk

設(shè)平面ADE的法向量為4=a，%,zj,

4=0

AE-=0

則，即1V3.

ED?勺=0—X----必=0

12121

令y=l,則不=6,所以1=(6,1,0),

設(shè)平面CUE的法向量為%=（%2，%*2），

_入2+A/2Z2=0

令為=1,貝Z2=￥，所以區(qū)=（6」,半

2.

因?yàn)橐籢面角A-OE-C為銳一面角，

所以二面角A-DE-C的余弦值為復(fù)H.

11

8.（2023?新疆?統(tǒng)考一模）如圖，在平面四邊形A3C0中，AB=AD=1,BC=CD=—,且5CLCD,以

2

為折痕把和△CBQ向上折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且E,尸不重合.

D

⑴求證：EF±BD；

⑵若點(diǎn)G為△AB。的重心(三條中線的交點(diǎn))，EG，平面A3。，求直線與平面4狙所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵遮

3

【分析】(1)通過證明3D1平面EFH來證得

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線8。與平面山汨所成角的正弦值，再轉(zhuǎn)化為余弦值.

【詳解】(1)由題知EB=ED=1,BF=DF=—,

2

設(shè)BD的中點(diǎn)為H,連接EH,FH,因?yàn)镋B=ED,所以EH_LBD,

又因?yàn)?所以FHLBD,且酬,尸〃u平面EFH,EHCFH=H,

所以5D工平面又￡Fu平面EFH,所以BDLEF.

(2)

△BCD中，由勾股定理得，BD=1,所以為等邊三角形.

連接AG并延長交BD于H,AWL即.過G作Gx//BD,

以G為原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.

在△AB。中，AG=-AH=—,GH=-AH=—,

3336

A[O￡O],E[O,O當(dāng),一g,o],

BD=(1,0,0),BA=；，與,0,BE=去當(dāng)'，

設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,y,z),

由BA-沆=0,BE-m=—x+^-y+^-z=Q,不妨取沅=

2226-3

設(shè)BD與平面ABE所成角為a,

7T

9.（2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱ABC-A瓦G中，側(cè)面4人呂丹是菱形，＞ZBA41=j,

側(cè)面B^BCCi是邊長為2的正方形，側(cè)面BMC,1側(cè)面A.ABB,,D為&蜴的中點(diǎn).

（1）求證：平面3CD；

（2）求平面Cg與平面CDB所成的銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵W

【分析】（1）由菱形和等邊三角形性質(zhì)可證得AB，8￡＞；根據(jù)面面垂直和線面垂直性質(zhì)可證得AB

由線面垂直的判定可證得結(jié)論；

（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法可求得結(jié)果.

【詳解】（1）連接AB,

?.?側(cè)面4A84是菱形，且/&14=；,.44叫是等邊三角形，

又。為A耳的中點(diǎn)，瓦，B。，

???A8//A4，.-.AB±BD；

側(cè)面B.BCC,是邊長為2的正方形，二BC±BBt,

又側(cè)面BlBCCl±側(cè)面AABB,,側(cè)面BiBCCln側(cè)面AiABBl=BB,,BCu側(cè)面B{BCCX,

.,.3C_L側(cè)面,又ABu平面442片，

QBCIBBt=B,BC,58]u平面BC￡),ABI平面BCD

(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗，麗，南正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則3(0,0,0)、4(2,0,0)、￡>(0,73,0),C(0,0,2)、40,6,0)、￡卜1,亞2),

.-.Dq=(-1,0,2),CQ=(-1,73,0),

設(shè)平面C￡?G的法向量〃=(無,y,z),

-n=-x+2z=0「「一/l

則,令y=2,解得：》=26，z=6，"=2"2,g

?力=_：c+&y=01'

平面CDB，x軸，.?.平面CDB的一個法向量正=(1,0,0),

|/--\|一|加"|_2百_2屈

一回佃成一區(qū)“12+4+3一

二.平面CDC,與平面CDB所成的銳二面角的余弦值為葦^.

10.(2023?福建?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖所示，三棱柱ABC-A瓦G的所有棱長均為1,/人用C為

2

直角.

(1)證明：平面ABC1平面43月4；

(2)設(shè)點(diǎn)P是棱BBt的中點(diǎn)，求直線BC與平面\PC所成角0的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)通過證明平面ABC來證得平面ABCS平面4230.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線BC與平面APC所成角。的正弦值.

【詳解】(1)如圖，取A3的中點(diǎn)。，連接8,BtD.

由于，三棱柱ABC-A4G的所有棱長均為1,故底面AASC是正三角形，

因此AB_LC。，BD=~,CD=—.

22

由于/A4c為直角，故A片，用c,所以A8L8c.

于是451平面片CD,由此得AB，BQ.

在直角△8BQ中，耳/)=卜_出2=#.

在ACBQ中，由耳C?=4￡>2+Cr>2=],故CZ)_L8Q.

又AB,CDu平面ABC,AB^\CD=D,

所以21￡>_L平面ABC,面耳。u平面ABB]A，

故平面ABC1平面A84A.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

于是A[O,；,O],B]O,-；,O],cf^,o,ol牛0,0,1

尸I卜廠4;44J

由AB=AB1,得,所以

有=[岑1，用，前=國,。

設(shè)而是平面ACP的法向量.

-m=O

,可取而=@,-6,5).

g-m=0

m-BC6_vm

由此得sin。=

J9+3+25-37

即直線3C與平面4cp所成角e的正弦值為回.

37

H.（2023?廣西南寧?南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，在多面體ABCDE尸中，底面A8CD為直角梯形,

AD//BC,AB.LBC,側(cè)面為菱形，平面"平面ABCD,M為棱8E的中點(diǎn).

⑴若點(diǎn)N為。E的中點(diǎn)，求證：施V||平面A5CD；

（2）^AB=BC=^AD,ZEBA=60°,求平面M4D與平面EFD夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵也,

19

【分析】（1）連接8。，MN,證得MN/ABD,利用線面平行的判定定理，即可證得MN//平面ABCD.

（2）根據(jù)題意，證得平面A5CD,以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面MAD和平面EED

的一個法向量行=（。，1，6）和元=卜，。，46），結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）證明：連接8。，MN,

因?yàn)镸,N分別為8E,DE的中點(diǎn)，所以MN為△￡?￡＞的中位線，所以MN//BD,

又MNU平面ABCD,虞）u平面ABCD,所以肱V//平面ABCD.

（2）解：取的中點(diǎn)O,連接。E,

因?yàn)閭?cè)面/WEF為菱形，且/EB4=60。，

所以在AEBO中，EO2=BO2+EB2-2BO-EBcos60°,解得EO=6BO,

所以石。2+OB?=EB2',即OE_LAB,

又因?yàn)槠矫鍭BEF_L平面ABCD,平面ABEFc平面ABCD=AB,OEu平面ABEF,

所以平面ABC。，

過O作A3的垂線，交8。于H并延長，

分別以O(shè)H,OA,OE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-邙,

如圖所示，設(shè)AD=4,則AB=3C=；AO=2,

故網(wǎng)0,0,6）,0（4,1,0）,A（0,l,0）,F（0,2,V3）,B（0,-l,0）,

則M0,一；,*（）3"=4_

,MA='W[T4,而=（0,2,0）,ED=（4,1,-73）,

I11）22

m?MA=—y.-z,=0

11%=0

設(shè)平面肱的法向量為分=（占,，貝卜22Hn

IDMzJ,「，即彳

—?3J3Z[=扃'

m-MD=4玉+—^———Z]=0

取％=1,可得肩=（0」,百）,

為?EF

設(shè)平面EFD的法向量為。=（孫％烏），，=2y2=0%=0

_—,r，即＜

m?ED=4%+%—Y3Z1=04X2=y/3z2'

令Z2=4，5,貝！）％2=3,所以〃=9,。，46）,

/一八m-n2A/57黑后

則cos伊1*=MH=,故平面MAD與平面EFD夾角的余弦值為包i.

12.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）在圖1中，四邊形A5CD為梯形，AD//BCfZABC=^f

o

TT

ZBCD=-,AD=CD=2,過點(diǎn)A作AELAB,交BC于E.現(xiàn)沿AE將△ABE折起，使得BCLDE,得

到如圖2所示的四棱錐3-A￡CD,在圖2中解答下列兩問:

圖2

(1)求四棱錐B-AECD的體積;

3

⑵若尸在側(cè)棱8C上,BF^-BC,求二面角C—EF—D的大小.

【答案】(1)4

(2)90°

【分析】(1)在圖1中，證明出平行四邊形AECD為菱形，作出輔助線，得到OE1AC,進(jìn)而得到DE工平

面ABC,得到證明出AB上平面AECD,利用棱錐體積公式求出答案；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面的法向量，得到兩法向量垂直，得到二面角大小為90。.

【詳解】（1）在圖1中，VZABC=^,AELAB,

O

TTTT

/.ZAEB=~,又/BCD=—,：.AE//CD,

33

又AD/ABC,.?.四邊形AECD為平行四邊形.

：AD=CD,...平行四邊形AECD為菱形.

在圖2中，連接AC,則OE1AC,

又BCLDE,AC,BCu平面ABC,ACC\BC^C,

二DE2平面ABC,

平面ABC,；.AB工DE,

VAE±AB,AEC\DE=E,AE,DEu平面AECD,

平面AECD,

其中菱形AECD的面積為￡=AD-AEsin'=2x2x3=2若,

132

%-AECD=]S[xAB=§x20x（AEtan§）=4.

z

B\

A

y

（2）在圖2中，以A為原點(diǎn)，以AD所在的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

則5（0,0,2⑹,￡＞（0,2,0）,E（A/3,1,0）,C（后3,0）,

方=麗+麗=麗+；南=（—百,—1,2石）+:（石,3,—2月）=—

設(shè)面CEF的一?個法向量為4HHWZJ,EC=(0,2,0),

^-EC=(x1,y1,z1)-(O,2,O)=2y1=0

由一/65A/3,5」6_n'

z

.EF=(x1,^1,z1)----=---xl+-^+—i=°

解得M=0,令4=1,則為=2,取E=(2,0,1),

設(shè)面DEF的一個法向量為0=(%，%，Z2)，又麗=(-A/3,1,0),

->/3X

n2-ED=(x2,^2,z2)-卜石,1,0)=2+%=0

由^-EF=(x2,y2,z2y-^-,|,y-^|=-^-x2+|y2+^z2=0

令犬2=1，則%=石，Z2=-2,取%=(1,6,-2),

所以“?%=0,

故二面角C-E產(chǎn)-D為90。.

13.（2023?陜西寶雞?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BC=2,E,尸分別為A3,8的中點(diǎn)，且沿AF,

3尸分別將△AFD與△BFC折起來，使其頂點(diǎn)C與。重合于點(diǎn)尸，若所得三棱錐尸-尸的頂點(diǎn)尸在底面

ABF內(nèi)的射影。恰為￡■廠的中點(diǎn).

p

（1）求三棱錐P-ABF的體積；

（2）求折起前的△3CV與側(cè)面瓦獷所成二面角的大小.

【答案】（1）迪；

3

⑵竺

3

【分析】（1）根據(jù)題意，證得尸尸，平面得到MLPE,結(jié)合防，得到！P斯是斜邊所=2的

等腰直角三角形，根據(jù)錐體的體積公式，即可求解；

（2）以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面尸班'和平面3c尸的一個法向量，結(jié)合向量的夾角

公式，即可求解.

【詳解】（1）解：因?yàn)锳5CD為矩形，在折疊過程中，可得尸PLPA,尸產(chǎn)，依，

又因?yàn)樯?。尸3=「且上4,28<=平面上鉆，所以尸P_L平面上4B,

因?yàn)镻Eu平面R4B,所以PFLPE,

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在底面AB尸內(nèi)的射影。，且0為所的中點(diǎn)，所以尸OLE尸，

所以！P即是斜邊跖=2的等腰直角三角形，

所以PO=1,PE=PF=6,且AB=DC=2PF=2&，

因?yàn)锳BC。為矩形，且E,尸為邊AB,8的中點(diǎn)，可得

所以/.尸O=；x2&xl=竿,

即三棱錐P-AB尸的體積述.

3

（2）解：以。為原點(diǎn)，以。旦所在的直線分別為x軸，z軸，以過點(diǎn)。垂直于平面的直線為y軸,

x

可得尸(0,0,1),A(l,-V2,0),5(1,72,0),E(l,0,0),F(-l,0,0),

則麗=(-2,-0,。),P