2023-2024學(xué)年遼寧省錦州市高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試卷+答案解析

2023-2024學(xué)年遼寧省錦州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.cos870°=（）

2.已知7?為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足z（l+，）=3K貝！］閆=（）

B.V2D.2y2

34

3.已知sina=—百，cosa=三，則a的終邊與以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

55

A.(-4,3)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(4,—3)

4.已知/,加為兩條不同的直線，Q,戶為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若。〃0,l//a,l_Lm,則

B.若/_Lm,,m_La，則/〃a

C.若/ua,mGa,1///3,m〃/3,貝〃/?

D.若/〃a,m_La，則/_Lm

5.如圖，一種工業(yè)部件是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐所制成的.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2,且

7T

圓臺(tái)的母線與底面所成的角為Q,圓錐的底面是圓臺(tái)的上底面，頂點(diǎn)在圓臺(tái)的下底面上，則該工業(yè)部件的

0

體積為（）

7片

B.2岳D.4通不

3

6.已知在△48。中，NBA。的角平分線/。與邊3c相交于點(diǎn)。，且47=2,48=3，ABAC=60°，

則/。的長(zhǎng)為（）

3\/313\/3

10

7T

7.將函數(shù)=sin/的圖象先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)

的工（3〉0）倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（乃的圖象，若函數(shù)g（乃在（-『0）上單調(diào)遞增，則”的取值范圍

是（）

第1頁(yè)，共16頁(yè)

BC.(0,|D.(0,1]

A(T(。，1

AC=6,前=；加+；就，則△ARC的面積為()

8.已知。為△ABC的外心，AB=4,

A.5B.3MC.6D.673

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+，漱，則下列命題中正確的是()

A.z的虛部是V3i

B.z+z=\z\

C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

D.若z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程/+近+c=0的一個(gè)根，則b=—2,c=4

10.關(guān)于函數(shù)/(①)=sin|W+|sin?有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()

A.f⑺是偶函數(shù)

B./⑶在區(qū)間(看公)上單調(diào)遞增

C./(2)的最大值為2

D./(2)在［-20247T,2024TT］有4047個(gè)零點(diǎn)

11.棱長(zhǎng)為2的正方體—出場(chǎng)。山1中，點(diǎn)E,F,G分別是棱AiBi，CG的中點(diǎn).則下列說(shuō)

法正確的有()

A.CDJ平面ABiD

B.小。與AG所成的角為60°

C.點(diǎn)尸在平面BBiGC內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且CP〃平面凡則3尸的最小值為

D.平面EFG截正方體ABCD-的截面形狀是五邊形

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量為=(3,5),不=(2,力)，若萬(wàn),小則f的值為.

13.己知tana+tan。=4,tan(a+0)=/,則隨/士4；的值為_(kāi)_______.

3cos(a-p)

14.在銳角三角形48c中，角的對(duì)邊分別為出仇以已知acosB-bcos4=b,則一^一的取值范圍

a+c

是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

第2頁(yè)，共16頁(yè)

已知向量1,3的夾角為屋同=W=3.

(1)求方在8上的投影的數(shù)量；

⑵求談(萬(wàn)一行)的值；

⑶求慳―q的值.

16.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC—4bBic1中，D,￡分別是BC,的中點(diǎn)，若AB=2,ACxLArB.

(2)求為到平面AG。的距離：

(3)求二面角Ci-DA-E的大小.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2sinipsinxcosx+2cos(flsirrx—cos,且f(----1z)+/(—z)=0.

26

⑴求函數(shù)/(2)的解析式；

(2)求函數(shù)/(乃的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

7T1ITT

⑶若函數(shù)g⑸=2/(2乃+a在區(qū)間—?—上恰有3個(gè)零點(diǎn)如物的(為<於<的)，求。的取值范圍和

o24

sin(/i+a；2)的值.

18.(本小題17分)

如圖，在三棱錐V—ABC中，和△48。均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，yc=2\/5.

V

(1)證明：AB1VC；

第3頁(yè)，共16頁(yè)

(2)已知平面。滿足VA〃a,40〃a,且平面aC平面=/，求直線/與平面/8C所成角的正弦值.

19.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形/BCD中，已知4D=1,CD=2,△48。為等邊三角形.記/ADC=a.

7T人，

(1)若。=可，求△/口。的面積；

O

7F

(2)若aeq”)，求△AB。的面積的取值范圍.

第4頁(yè)，共16頁(yè)

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】直接使用誘導(dǎo)公式求解.

【詳解】cos8700=cos(-30°+180°+360°+360°)=-cos(-30°)=-cos30°=—

故選：A.

2.【答案】C

【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)z,即可計(jì)算出闿.

%3z(l-i)3E+33,3E

【詳解】???2(1+〃)=&,「.2=.(1+z)(l-?)=2=2+7

1+2

所以⑶=虐)2+百=發(fā)，

故選：C.

3.【答案】D

【解析】【分析】設(shè)交點(diǎn)為儂,沙)，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到方程組，解得即可.

.y3

sma=-/=--

Vx2+y25

【詳解】設(shè)交點(diǎn)為(工用)，則|…―”—4,解得(y=~3,

x=4

coba—‘,力2+"2=--5II

2+g2-5

所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3).

故選：D

4.【答案】D

【解析】【分析】由線面平行、垂直的判定、性質(zhì)定理與面面平行的關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)/：若a〃/3,〃/a,Um,則加工依m(xù)//(3,或mu(3,則/錯(cuò)誤；

對(duì)8：若l_Lm，mVa則，〃a或Zua，則3錯(cuò)誤；

對(duì)C：若/Ua,mca,〃/0,m//(3,若2,m相交時(shí)，則a〃必

若〃/m時(shí)，a〃0不一定成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：若/〃a,?7iJ_a，貝U/Ln，故。正確.

故選：D

5.【答案】B

第5頁(yè)，共16頁(yè)

7T

【解析】【分析】由題知該圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，進(jìn)而得圓臺(tái)、圓錐的高均為

再計(jì)算體積即可.

【詳解】根據(jù)題意，該圓臺(tái)的軸截面/BCD為等腰梯形，如圖，

7T

所以即為圓臺(tái)母線與底面所成角，即乙043=市

分別過(guò)點(diǎn)C、。在平面內(nèi)作OELAB，CFLAB，垂足分別為點(diǎn)￡、F,

因?yàn)?。則四邊形CD所為矩形，且EF=CD=2,

7T

因?yàn)?0=3。，NDAE=NCBF,^AED=ABFC=-,

所以△ADEgABCF,所以4E=BF，且4E=BF=",=一=1,

因?yàn)镹_DAE=—,則。E=AEtan—=v^,

33

所以圓臺(tái)、圓錐的高均為OE=，W，

所以該工業(yè)部件的體積為

V=V|g臺(tái)一嗡錐=；X\/3X(17T+\/1nX47r+4元)—X7FXI2X通=2V^開(kāi).

故選：B.

6.【答案】C

【解析】【分析】利用等面積列出方程求解即得.

【詳解】依題意，設(shè)AD=x,ZBAD=ACAD=j^BAC=30°,

由S/\BAD+S/\CAD-S^BAC，可得工x3①sin30°+-x2xsin30°=-x2x3sin60°，

222

解得c=

5

7.【答案】B

第6頁(yè)，共16頁(yè)

【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)變換規(guī)律求出g(乃，然后求出gQ)的單調(diào)遞增區(qū)間，再由函數(shù)g(/)在

>0

27r2fc?r

(―7T,0)上單調(diào)遞增，得｛—五+丁<一”,從而可求出3的取值范圍.

7T2k穴c

?-+——20

【詳解】將函數(shù)/(，)=sinx的圖象先向左平移,個(gè)單位長(zhǎng)度，得片sin(2+,

再把所得函數(shù)圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的工(3>0)倍，縱坐標(biāo)不變，得

V=sin(3Z+，)，

6

7T

所以g(x)=sin(s;+-)(w>0),

6

7T7T7T

由----\~2卜歡Wg力—<—2k?r,keZ,

262

27r7T

得———F2/c7r4<jjx(萬(wàn)+2k?r,k￡Z,

oo

27r2k7rTT2kzr「

所以———I----w/—I-----,7kez,

MCJMUJ

因?yàn)楹瘮?shù)gQ)在(-7F,0)上單調(diào)遞增，

a;>0

27r2/CTT

7r

所以《—五+丁〈—(keZ),

7T2A；7T八

—+—2o

MCL)

s〉0

2-6k

即｛“W飛一(卜eZ),

k》——

6

解得—:(k

63

2

因?yàn)閗ez,所以k=o,所以o〈s〈示

o

故選：B

8.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)外心求出血.前，利用條件得出sin/BACug，結(jié)合面積公式可得答案.

【詳解】設(shè)/C的中點(diǎn)為。，由。為的外心可得，ODLAC，

Ad-Ad=(9+虎).前=口.就=3x6=18,

第7頁(yè)，共16頁(yè)

又就?=（蟲+押）.AS=-A5+軟2=./+16,

所以池?就=12，

又-A（^=|A^|?卜4'cosABAC=4x6xcosABAC=12,可得cosZ.BAC=

/o

故sinZBAC=J，

2

則△ABC的面積為||4B|.\AC\sinABAC=|x4x6x^=6y3.

9.【答案】BD

【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算就可以作出判斷.

【詳解】由z=l+，^，可知所以z的虛部為，3,即N是錯(cuò)誤的；

由2=1+，京，可知2=1—四〃，則z+Z=2，⑶=0+3=2,所以z+Z=|z|,即3是正確的；

由z=1可知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,通)在第一象限，即。是錯(cuò)誤的；

由已知可得方程;T2+6/+C=0的根為1士，所以6=1+通1+1-，^=2,

c=(l+V3i](1-V^i}=1+3=4,即D是正確的；

故選：BD.

10.【答案】AC

【解析】【分析】用定義法判斷奇偶性處理/,在給定區(qū)間內(nèi)得到具體函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求

解單調(diào)性判斷3,利用不等式的性質(zhì)判斷C,舉反例判斷。即可.

【詳解】由題意得/(一/)=sin|—?jiǎng)?|—sin/|=sin|/|+卜in?=f(x),

所以/([)是偶函數(shù)，故/正確，當(dāng)/e(：vr)時(shí)，/(x)=2sin^,

此時(shí)/(z)在區(qū)間(看不)上單調(diào)遞減，故8錯(cuò)誤，

第8頁(yè)，共16頁(yè)

因?yàn)閟in|/|W1，|sinz|W1，所以sin|a?|+卜也引W2,且

所以/(①)的最大值為2,故C正確，

當(dāng)zC阮2對(duì)時(shí)，f(x)=sina;-sinrc=0,所以此區(qū)間上/(，)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，

故f⑸在［-20247T,20247T］不可能只有4047個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.【答案】AD

【解析】【分析】對(duì)于/,利用。。1〃4山再證4口，平面4場(chǎng)。即可；

對(duì)于8,首先要利用平行線作出異面所成的角，再進(jìn)行求解即可；

對(duì)于C,首先利用CT〃平面B即，確定點(diǎn)P位置在線段上，再作出垂線S,根據(jù)相似三角形定理即可求

得.

對(duì)于。，通過(guò)增補(bǔ)兩個(gè)正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)，可以作出截面圖；

【詳解】對(duì)于/，如下圖，連接4/,易得又4?？?呂1=4「.416，平面481。，

又CDi〃小平面43。，故/正確.

對(duì)于3,如下圖，取BQLCG*。的中點(diǎn)N，M°，連接ON,OM,MN,

則OMIIAG、MN//BiC,又B1C//A1D,MN//A^D,

則/NNO或其補(bǔ)角為41。與4Q所成的角.又正方體棱長(zhǎng)為2,

易求得MN=V2,OM=V3,ON=v^,ON2=MN2+OM2,，

第9頁(yè)，共16頁(yè)

對(duì)于C,如下圖，連接RD,E。,取得中點(diǎn)T,連接CT,過(guò)8作

?.?CT〃DE,CTC平面BEF,所以CT〃平面BEF,則點(diǎn)尸在線段CT上，AP最小值即為

又dCCiTz△BCH,所以黑=壽=2,又呂。=2,二88="1。錯(cuò)誤；

ric515

對(duì)于。，如下圖，增補(bǔ)兩個(gè)正方體，取的中點(diǎn)z,y,

連接zy,則G為zy的中點(diǎn)，KEF//ZY

連接廠y交8場(chǎng)于“，連接￡Z交DD1于N,連接NG,AfG,

則得到截面為五邊行EK0GN,故。正確.

12.【答案】―2或—1.2

5

【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，由萬(wàn)工3,得數(shù)量積為0,即可求得實(shí)數(shù)1的值

【詳解】因?yàn)槌琠3，所以向量有.3=3x2+5力=0,

所以力=一，

5

口田士生6

故答案為：—二.

5

13.【答案】1或0.5

【解析】【分析】由兩角和的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.

■、“e■八，/小tana+tanB2,八

【詳解】tana+tan/?=4,tan(a+0)=-------------=——,貝!Jtanatan07,

1—tanatanp3

第10頁(yè)，共16頁(yè)

sin(a+0)sinacos(3+cosasin(3tana+tan041

WT,----------------------------------------------一.

COS(Q—/?)cosacos/3+sinasin(31+tanatan(31+72

故答案為：I

14.【答案】(2-A\/2-1)

【解析】【分析】由正弦定理邊化角得到A=23,由銳角三角形求出然后將上的取值范

64a+c

圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題求解即可.

【詳解】因?yàn)镼COS_B—bcos4=b,所以由正弦定理得：sinAcosB—sinBcosA=sinB,

即sin(4—B)=sinB,所以A—6=8,即4=26,又4+石+。=”，所以。=7r—3A

7T

0<A<|0<2B<-

7T7T7T

因?yàn)殇J角三角形/3C,所以《0<B<^,即<。<6<W,解得2<B<

264

7T

0<C<|0<7T-3B<-

、2

bsinBsinBsinB

a+csinA+sinCsin2B+sin(7r—3B)sin2B+sin3B

sinB1

2sinBcosB+sin2BcosB+cos2BsinB2cosB+2cos2B+2cos2B—14cos2B+2cosB—1

令cosB=t,因?yàn)?、?＜彳，所以1e（避,差），

64v227

貝!|上=^~^在te（迎，遞）單調(diào)遞減，所以一^e(2-\/3,\/2—]).

a+c4i2+2i-1k227a+c

故答案為：（2-\/3,V2-l）.

15.【答案】解：（1）1在加上的投影的數(shù)量為：回xcos；=■/2x=1;

2

⑵因?yàn)橄蛄咳f(wàn)，3的夾角為:，且同=血，q=3，

所以方?芯=|同乂忖乂cos:=A/2x3x-3.

所以逢（3-6）=a2-a-6=2-3=-1.

（3）2a-,=（2a-5）2=4a2-4a-*+廬=4x（松7一

4義3+9=5,

所以2萬(wàn)一q=西.

【解析】（1）根據(jù)投影的數(shù)量公式求解即可；

第11頁(yè)，共16頁(yè)

(2)根據(jù)平面向量的運(yùn)算結(jié)合數(shù)量積公式求解即可；

(3)根據(jù)忸—j=(2a-4求解即可.

16.【答案】解：(1)連接41C,交ACi于點(diǎn)。，連接OD,

因?yàn)樗倪呅蜛CG4為平行四邊形，所以。為4。中點(diǎn)，

又D為BC中點(diǎn),所以。?！◤纳剑?/p>

又4汨u平面4GO,00c平面4G。，

所以45〃平面4。1。；

⑵設(shè)41到平面ACXD的距離為d,

因?yàn)镈0//AxB,所以4C1L0O,

又。為&G中點(diǎn)，所以40=06，

因?yàn)椤?BC為等邊三角形，

所以AD=y/AB2-BD2=/22_D=73，

所以。G=VCCi2+I2=V3>所以CCi=瓜

S/^ADCi=|xODxACi=|x噂xA/6=|>

因?yàn)閂DT41G==^x|xix2xv/2xv/3=萼,

乙ZD/0

所以VAX-ACXD=VD-AAXCX=乎'所以^S^ACrD?d=造，即=乎，

Oo

解得d=變，

3

即4到平面ACrD的距離為遺；

3

第12頁(yè)，共16頁(yè)

(3)由已知正三棱柱ABC-中，D,E分別是BC,8/中點(diǎn)，

所以CCU面NBC,A0Q平面N2C,

所以CCJAD,又ADJ_B。，BCcCC\=C,RC,。。1C平面BBi。,

所以4。，面881。，G_D,EDu面BBQ,

所以AD1ED，

所以/。。石為二面角CX-DA-E的平面角，

連接CiE,在LBDE中,DE=^BD2+BE2=J1+；=，，

在△BQiE中，&E=+B?=/+；=呼，

由(2)知。a=通，所以+

所以GZUOE,

所以二面角Ci-DA-E的大小為90°.

【解析】(1)連接小。，交ACi于點(diǎn)。，根據(jù)四邊形ACG4為平行四邊形得。。〃小口，再由線面平行的

判定定理可得答案；

(2)利用等體積轉(zhuǎn)化可得答案；

(3)利用線面垂直的性質(zhì)定理得/COE為二面角Ci-DA-E的平面角，求出三角形邊長(zhǎng)由勾股定理可得

答案.

17.【答案】解：(l)f(x)=2sin<psinxcosx+2cos^sin?x—cos(p

第13頁(yè)，共16頁(yè)

=sin2xsincp+cosqQsi/x—1)

=sin2xsin3—cos2xcos3

=—cos(2J:+9)

由《4+7+以-x)=0知，/⑺的圖像關(guān)于點(diǎn)(―看。)對(duì)稱，

7T、7T27r

所以75)+8=5+k汗，k￡Z,得3=可+卜不，keZ.

JLZ//J

117r7T

因?yàn)榘ⅲ?，所以8=一司,

即函數(shù)/(力)=—cos(2力-g

—cos(21——J,所以7=學(xué)=開(kāi)

(2)因?yàn)椤?)=

7TTT27r

由2kllW2力——2kir+7T,kGZ得k7r+/(kvrH——,kGZ

o63

7T27r

所以函數(shù)/(/)的單調(diào)遞增區(qū)間是k7T+-,k7r+—,kez.

0o

(3)g(力)=2/(2力)+Q=—2cos卜力一力+Q=—2sin(4力+3)+Q，

F7T117T-|,7TI-7T

當(dāng)一露方1時(shí)'—Q，27r.

o0O

(7r\「7r

函數(shù)gQ)=—2sin4力+9+Q在區(qū)間—Q▽上恰有3個(gè)零點(diǎn)，

7T「7T

令1=4①+左則2sint—Q=0在—下27r上有3個(gè)不相等的根.

63

7F

即9=。與4=2sin力在力e2TT的圖像上恰有3個(gè)交點(diǎn),

O

作出沙=2sint與沙=a的圖像，如圖所示,

由圖可知，\Q<a<0，

且12+11=7，

1/7T7f\7T1

所以sinQi+a7)=sin-ti--+i2-7=sin-=

24\66)02

故a的取值范圍為[-73,o],sinRi+22)的值為；.

第14頁(yè)，共16頁(yè)

【解析】⑴利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求得/(工)=—cos(2/+g),由已知可得了⑶的圖像關(guān)于點(diǎn)卜卷0)對(duì)

7T

稱得出？=—即得函數(shù)解析式；

O

(2)由公式可求得/(乃的最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式求解，即可得出單調(diào)遞增區(qū)間;

7T117r-l「7T

(3)在區(qū)間一石,石T上恰有3個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為U=a與9=2輸1力在力€-不2亓的圖像上恰有3個(gè)交點(diǎn)求參

d6

數(shù)即可，再數(shù)形結(jié)合根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸即可計(jì)算求值.

18.【答案】解：(1)如圖，設(shè)N8的中點(diǎn)為D,連結(jié)。匕

因?yàn)楹虯ABC均為等邊三角形，所以VD1AB,CDLAB,

又因?yàn)閂DHCD=D,VDU平面VCD,CDc平面VCD,

所以48,平面VCD,

又因?yàn)閂CU平面FCD,所以

V

出因?yàn)?4〃。,丫?！ǎヘ?0/。=口且匕4,4。U平面VAC,

所以平面a〃平面VAC,

又平面an平面MB。=/,VBC=VC?所以

所以直線/與平面48C所成角等于直線W與平面/8C所成的角.

在平面VCD內(nèi)作V。，。。于點(diǎn)O,則由⑴知，48,平面VCD,

又V。U平面VCD,所以VOL4R

又因?yàn)?8nCD=D,ABC平面ABC,CDC平面ABC,

所以VO,平面/8C,所以NUCD是直線FC與平面/8C所成的角.

因?yàn)椤鱒AB和△ABC均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以V。=CD=2，9,

又因?yàn)閺S。=2遙，在等腰△UCD中，方—嚴(yán)—通

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