2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之圓

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之

選擇題（共10小題）

1.（2024?沙坪壩區(qū)自主招生）如圖，A3是O。的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，弦COLOA,連接。。并延長(zhǎng)交A8

于點(diǎn)艮若/。=45°,CD=2,則AB的長(zhǎng)是（）

A.1B.V2C.2D.2V2

2.（2024?湖北模擬）如圖，在。。中，A8是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn).在A8的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)Q,CD

是O。的切線，若/ACZ）=120°,CD=2V3,則圖中陰影部分的面積是（）

C

3.（2023秋?牧野區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓，②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，

③相等的圓心角所對(duì)的弦相等，④三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，⑤長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧,

⑥圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2024?臨湘市校級(jí)開(kāi)學(xué)）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的底面直徑與高的比是（）

A.2：ITB.1：itC.1：2irD.不能確定

5.（2024?上海模擬）已知兩圓的半徑分別為一元二次方程7-7尤+12=0的二根，圓心距為2,則兩圓位

置關(guān)系為（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

6.（2024?陸豐市模擬）如圖，43是的直徑，點(diǎn)C,D,E在。。上，若/ACE=20°,則的

度數(shù)為（

E

A.90°B.100°C.110°D.120°

7.（2024?陽(yáng)泉模擬）中國(guó)古代的文人士大夫喜歡在折扇上題詞作畫(huà)，即使折扇受損失去其納涼功能，也

會(huì)被人們揭裱保存成為收藏品.如圖是一把題了字畫(huà)的折扇，折扇的骨柄OA長(zhǎng)為21c7外折扇張開(kāi)后

的扇形圓心角為150°,則麗的長(zhǎng)為（）

A.17.5m;加B.18.5ncmC.16.5m?加D.17ircm

8.（2024?寧江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C,。在上，若/ADC=130°,則/BAC

的度數(shù)為（）

C.40°D.50°

9.（2024?陽(yáng)泉模擬）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A,B的讀數(shù)

分別為85°,31°,則的度數(shù)是（）

A.27°B.31°C.30°D.54°

10.（2024?五華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于OO,AD是。。的直徑，若/。4。=70°,貝iJ/ABC

二.填空題（共5小題）

11.（2024?沙坪壩區(qū)自主招生）如圖，在矩形A8C。中，AO=1,AC=2.以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑

畫(huà)弧交AB,的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F,則圖中陰影部分的面積是.（結(jié)果不取近似

12.（2024?雙臺(tái)子區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，A8是半圓。的直徑，點(diǎn)C,。在半圓上，ZCOD=ZBOD,連接

OC,CA,OD,過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.設(shè)△OAC的面積為Si,△OBE的面積為

S2,若二=一,則tanZACO的值為.

13.（2023秋?宿遷期末）如圖，。。是△ABC的外接圓，ZA=60°,BC=4V3,則。。的半徑是

->_?->-?->

14.（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，如果向量4B=a,BC=b,那么向量CD

TT

為.（用向量a,b表示）

BC

15.（2023秋?交城縣期末）如圖，■是。。的直徑，弦平分入BAC,過(guò)點(diǎn)。作O。的切線交AC于點(diǎn)

E,若/BAD=23°,貝l|NAOE=°.

16.（2024?西城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖A8是。。的直徑，PB,PC與。。分別相切于點(diǎn)8,C,PC交的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)D,DELPO交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：ZEPD=ZEDO；

(2)若PC=6,tanZPDB=求?！甑拈L(zhǎng).

17.（2023秋?蛟河市期末）如圖，在△ABC,AC^BC,以2C為直徑的。。與底邊AB交于點(diǎn)。，過(guò)。作

DELAC,垂足為E.求證：OE為。。的切線.

A

18.（2024?田陽(yáng)區(qū)一模）如圖,O。是△ABC的外接圓，AE切。。于點(diǎn)A,AE與直徑2。的延長(zhǎng)線相交

于點(diǎn)E.

（I）如圖①，若NC=71°,求/E的大小;

圖①圖②

19.（2024?汝南縣一模）閱讀與思考

九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書(shū),他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書(shū)上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓

內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），下面是書(shū)上的證明過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成

相應(yīng)的任務(wù).

圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

已知：如圖1,OO的兩弦AB,相交于點(diǎn)P.

求證：AP'BP=CP'DP.

證明：

如圖1,連接AC,BD.

?：/C=NB,ZA=ZD.

:.△APCsADPB,（根據(jù)）

AP

—=@,

DP

：?AP?BP=CP?DP,

兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

任務(wù)：

(1)請(qǐng)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

根據(jù)：;@:

(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2,A8是。。的弦，尸是A8上一點(diǎn)，AB=10cmfPA=4cm,OP

=5cm,求。。的半徑.

C

20.(2024?新豐縣一模)如圖，在△ABC中，AB=AC,以A3為直徑的。0分別交AC、BC于點(diǎn)、D、E.

(1)求證：BE=CE；

(2)若A5=6,ZBAC=54°,求劣弧崩的長(zhǎng).

D

BEC

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圓（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?沙坪壩區(qū)自主招生）如圖，是。O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，弦CDLOA,連接OO并延長(zhǎng)交A8

于點(diǎn)B.若/。=45°,CD=2,則AB的長(zhǎng)是（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】如圖，記。4、。的交點(diǎn)為E,由AB是。。的切線，弦可得NOAB=90°=ZOED,

ED二CD=1,則。4=。。=需*，根據(jù)AB=O4?tan45°,計(jì)算求解即可.

【解答】解：如圖，記04、C。的交點(diǎn)為

TAB是OO的切線，弦COLO4,

1

：.ZOAB=90°=NOED,ED=^CD=1,

DFl

0A=0D=a

：.AB=0A-tan45°=V2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，正弦，正切等知識(shí).熟練掌握切線的性質(zhì)，垂徑定理，正

弦，正切是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?湖北模擬）如圖，在。。中，是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn).在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)。，CD

是。。的切線，若NAC0=12O°,CD=2V3,則圖中陰影部分的面積是（)

C

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】D

【分析】連接03由切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理求得N3OC=2NA=60°,在Rt

△OCZ）中，解直角三角形得0。=2,然后利用S陰影=SRtaOCO-S扇形80。即可解答.

【解答】解：連接0C,

C

???co是。。的切線，

AOCLCD,即NOCD=90°,

：.ZACO=ZACD-ZOCD=120°-90°=30°,

OC=OA,

：.ZA=ZACO=30°,

：.ZBOC=2ZA=60°,

9：ZOCD=90°,

OC—tan^DOC-CD=tan60°x2A/3=2,

2

陰影部分的面積=SMCD-S扇形BOC=Ix2V3x2-6鷺2=2A/3一:兀.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，扇形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積,

解直角三角形，熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2023秋?牧野區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓，②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，

③相等的圓心角所對(duì)的弦相等，④三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，⑤長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧,

⑥圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；中心對(duì)稱圖形；線段垂直平分線的性質(zhì)；圓的認(rèn)識(shí)；垂徑定理；圓心

角、弧、弦的關(guān)系；確定圓的條件.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】C

【分析】①根據(jù)確定一個(gè)圓的條件即可判斷.②根據(jù)垂徑定理即可判斷.③根據(jù)圓周角定理即可判斷.④

根據(jù)三角形外心的性質(zhì)即可判斷，⑤根據(jù)等弧的定義判斷，⑥根據(jù)圓的對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【解答】解：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓，錯(cuò)誤，應(yīng)該是不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；

②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，正確.

③相等的圓心角所對(duì)的弦相等，錯(cuò)誤，條件是在同圓或等圓中；

④三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，正確，

⑤長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，錯(cuò)誤，條件是在同圓或等圓中；

⑥圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，正確.

正確的有②④⑥，共3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外心，垂徑定理，圓周角定理，確定圓的條件等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握基本知識(shí).

4.（2024?臨湘市校級(jí)開(kāi)學(xué)）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的底面直徑與高的比是（）

A.2：TTB.1：TTC.1：2nD.不能確定

【考點(diǎn)】圓柱的計(jì)算；幾何體的展開(kāi)圖.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征，如果圓柱的側(cè)面沿高展開(kāi)是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的底面周

長(zhǎng)和高相等，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C=E,那么1=今據(jù)此解答.

【解答】解：這個(gè)圓柱的底面直徑與高的比是d：7td=l:IT.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓柱的計(jì)算，考查的目的是理解掌握?qǐng)A柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征，圓的周長(zhǎng)公式、比的

意義及應(yīng)用.

5.（2024?上海模擬）已知兩圓的半徑分別為一元二次方程/-7尤+12=0的二根，圓心距為2,則兩圓位

置關(guān)系為（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法.

【答案】C

【分析】先求得方程的根，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的半徑分別為R和廠，且R

Nr,圓心距為出外離，貝">R+r；外切，貝"=R+r；相交，則R-Yd<R+r；內(nèi)切，則d=R-廠；

內(nèi)含，則d<R-r.

【解答】解：解方程/-7尤+12=0,

化為（尤-3）（尤-4）=0,

解得尤1=3,X2=4.

因?yàn)?-3<2<4+3,

即xi-xi<d<xi+x\.

則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是相交，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及一元二次方程的解法，根據(jù)數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系.考

查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力及推理能力.

6.（2024?陸豐市模擬）如圖，4B是的直徑，點(diǎn)C,D,E在。。上，若/ACE=20°,則/BOE的

度數(shù)為（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】連接AD,根據(jù)圓周角定理及其推論，可分別求出/A￡>8=90°,ZADE=ZACE=20°,即

可求NBOE的度數(shù).

【解答】解：連接A。，

B

'：AB為。。的直徑，

AZADB=90°,

VZACE=20°,

/.ZADE=ZACE=20°,

Z.ZBDE=ZADB+ZADE=110°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)

的圓心角的一半.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

7.（2024?陽(yáng)泉模擬）中國(guó)古代的文人士大夫喜歡在折扇上題詞作畫(huà)，即使折扇受損失去其納涼功能，也

會(huì)被人們揭裱保存成為收藏品.如圖是一把題了字畫(huà)的折扇，折扇的骨柄。4長(zhǎng)為21cm,折扇張開(kāi)后

的扇形圓心角/AOB為150°,則砂的長(zhǎng)為（）

A.17.5ncmB.18.5ncmC.16.5ncmD.17Rem

【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到答案.

【解答】解：油的長(zhǎng)為：⑸心？1=17,5n（cm）.

180

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)公式.

8.（2024?寧江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，若/AZ）C=130°,貝U/BAC

的度數(shù)為（）

A

A.25°B.30°C.40°D.50°

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)圓周角定理，由AB是O。的直徑，可證NACB=90°,由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可求

ZB=180°-ZD=50°,即可求N8AC=90°-ZB=40°.

【解答】解：???四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，

AZAZ)C+ZJ3=180°，

：NAOC=130°,

.?.ZB=180°-130°=50°,

:AB是O。的直徑，

/.ZACB=90°,

：.ZBAC^90°-ZB=40°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)并靈

活運(yùn)用.

9.（2024?陽(yáng)泉模擬）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A,2的讀數(shù)

分別為85°,31°,則/ACB的度數(shù)是（)

A

hftM___11-|?iw?

A.27°B.31°C.30°D.54°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)圓周角定理可知：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，從而可求得/ACB的

度數(shù).

【解答】解：根據(jù)圓周角定理可知：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半，

根據(jù)量角器的讀數(shù)方法得：ZACB=85°~31°=27°.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理，熟知圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?五華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AD是。。的直徑，若/CAZ）=70°,則NABC

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NACO=/C4O=70°,求得/AOC=180°-ZOAC-ZOCA=

40°,根據(jù)圓周角定理得到結(jié)論.

【解答】M：'：OA=OC,ZCAD=10°,

.?.NACO=NCAO=70°,

AZAOC=180°-ZOAC-ZOCA=40°,

1

Z.ZABC=|zAOC=20°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定

理是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2024?沙坪壩區(qū)自主招生）如圖，在矩形A8CZ）中，AD=1,AC=2.以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑

畫(huà)弧交A3,4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F,則圖中陰影部分的面積是兀-遮.（結(jié)果不取近似值）

【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；近似數(shù)和有效數(shù)字；矩形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力.

【答案】7T-V3.

【分析】先證明,計(jì)算CD=和=百，再利用割補(bǔ)法求解即可.

【解答】解：???矩形ABC。，AD=l,AC=2.

AZADC=ZDAB=90°,AB=CD,

：.CD=yjAC2+AD2=V3,

S陰影=-3601XV3=7T-V3.

故答案為：7T-V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，扇形的面積的計(jì)算，綜合掌握以上知識(shí)點(diǎn)并熟練運(yùn)

用是解題的關(guān)鍵.

12.（2024?雙臺(tái)子區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，A8是半圓。的直徑，點(diǎn)C,。在半圓上，NCOD=NBOD,連接

OC,CA,OD,過(guò)點(diǎn)2作即，A3,交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.設(shè)△OAC的面積為Si,△OBE的面積為

Si3V15

S2,若二=則tanNACO的值為三一.

【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形；角平分線的性質(zhì)；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

V15

【答案】

3

UAcH3

2-

即

OE--可

【分析】如圖，過(guò)C作CH_LAO于H,證明NCODuNBOEuNCA。,1B4

C-B-

,CH3CHAH3

得—=證明tanNA=tanN50E,可得f—=—二一，設(shè)AH=3m,則BO=4m=AO=CO,可得

BE4BEOB4

OH=4m-3m=m,CH=V16m2-m2=V15m,再利用正切的定義及等腰三角形性質(zhì)即可得答案.

【解答】解：過(guò)C作CHLAO于H,

'：ZCOD=ZBOD,

：.CD=BD,

由圓周角定理可得/乙4。="BOC，

：.ZCOD=/BOE=ZCAO,

.?包_2

?一，

s24

-OACH3

即f---------=：

-OBBE4

2

CH3

BE~4’

?/ZA=ZBOE,

tanNA=tanZBOE,

.CHBE

??—,

AHOB

.CHAH3

即二二一，

BEOB4

設(shè)AH=3M,則30=4機(jī)=AO=CO,

0H=4m-3m—m,

由勾股定理可得：CH=V16m2—m2-V15m,

.,/*CHV15m715

??LCLTI/k-Art=n=n

AH3m3

■：OA=OC,

：.NA=NAC。,

?+XAm—J15

??tCITICO—―-9

..田田、rV15

故答案為：-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓中求三角函數(shù)值，涉及圓周角定理的應(yīng)用，比例性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的

應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

13.（2023秋?宿遷期末）如圖，是△ABC的外接圓，NA=60°,BC=4次，則。。的半徑是4.

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.

【專題】三角形；運(yùn)算能力.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】作直徑CD,如圖，連接BD,根據(jù)圓周角定理得到NCBD=90°,ZD=60°,然后利用含

30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出從而得到O。的半徑.

【解答】解：作直徑C。，如圖，連接2D

：C￡）為直徑,

：.ZCBD^90°,

'：ZD=ZA=60°,

=梟百

：.BD=4=4,

:?CD=2BD=8,

：.OC=4,

即O。的半徑是4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn),

叫做三角形的外心.也考查了圓周角定理.

—>_>—>—>—>

14.(2024?普陀區(qū)校級(jí)三模)如圖，在正六邊形43cDE萬(wàn)中，如果向量28=a,BC=b,那么向量CD為

T—T7,

b-a_.（用向量a,b表示）

BC

【考點(diǎn)】正多邊形和圓；*平面向量.

【專題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力.

T7

【答案】b-a,

―>―?—>->

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出AD//BC,AD=2BC,再根據(jù)已知條件確定2。=26,利用力。=AB+

—>—>

BC+CO變形解答即可.

【解答】解：?..A8COEF是正六邊形，

C.AD//BC,AD=2BC,

—>—>

'?AD=2b,

9

：AD=AB+BC+CDf

―>—>—>—>_)_?-?_)

?**CD=AD—AB-BC=2b—CL—b=b—a,

故答案為:b-a.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量，正六邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？?/p>

題型.

15.（2023秋?交城縣期末）如圖，AB是O。的直徑，弦AD平分入BAC,過(guò)點(diǎn)。作O。的切線交AC于點(diǎn)

E,若/BAO=23°,則67°.

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力.

【答案】67.

【分析】求出/OD4=23°,再利用切線的性質(zhì)求解.

【解答】解：連接OD,

,/過(guò)點(diǎn)D作。。的切線交AC于點(diǎn)E,

：.ZODE=90°,

又,：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD=23°,

AZADE=90°-/OZM=90°-23°=67°,

故答案為：67.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2024?西城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖是。。的直徑，PB,PC與。。分別相切于點(diǎn)8,C,PC交54的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)D,DELPO交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：/EPD=NEDO；

(2)若PC=6,tan/PDB=為求OE的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）V5.

【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得到NEPD=NEPB；根據(jù)切線性質(zhì)，得到/尸8。=/。6。=90°,結(jié)

合/DOE=NPOB,證明即可.

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，得PB=PC=6,結(jié)合tcm/PDB=*=器=翕，連接OC,利用勾股定理，三

角函數(shù)計(jì)算即可.

【解答】（1）證明：是的直徑，PB,PC與。。分別相切于點(diǎn)8,C,

：.ZEPD=ZEPB；NPBO=90°,

:DELPO,

:./PB0=NDE0=9G,

ZDOE=ZPOB,

:./EPB=NEDO,

：.ZEPD=ZEDO.

(2)解：由題意得PB=PC=6,NPBO=90°,

.tan/PDB=4=9=而

解得DB=8,

：.PD=y/DB2+PB2=10,

：.DC=PD-PC=4,

連接。C,則。3=0C,

解得。8=。。=3,

：.P0=7PB2+0B2=3A/5,

J.sinZEPB=sinDO=舒=需，

3OEOE

"3V5—DB-OB—8-3'

解得。E=V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

17.（2023秋?蛟河市期末）如圖，在△ABC,AC=BC,以為直徑的。。與底邊AB交于點(diǎn)。，過(guò)。作

DE±AC,垂足為E.求證：DE為。。的切線.

【考點(diǎn)】切線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】證明見(jiàn)解答.

【分析】連接。。，證得O￡）〃AC,可知DE_L。。，即可證得。E為O。的切線.

【解答】解：連接OD,如圖所示，

A

：.ZA=ZABC,

'：OB=OD,

：./ODB=NABC,

：.ZODB^ZA,

：.OD//AC,

又：Z)E_LAC,

：.DE±OD,

為O。的切線.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是切線的判定，準(zhǔn)確作出輔助線，證得平行是解題的關(guān)鍵.

18.(2024?田陽(yáng)區(qū)一模)如圖，。。是△ABC的外接圓，AE切于點(diǎn)A,AE與直徑BO的延長(zhǎng)線相交

于點(diǎn)￡.

(I)如圖①，若NC=71°,求/E的大?。?/p>

圖①圖②

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】計(jì)算題；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(I)52°；

(II)Z￡=30°,的半徑為2.

【分析】（I）連接。4,先由切線的性質(zhì)得NOA石的度數(shù)，求出NAO3=2NC=142°,進(jìn)而得NAOE,

則可求出答案；

（II）連接。4,由等腰三角形的性質(zhì)求出NE=30°,根據(jù)含30°解的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：（I）連接04.

圖①

TAE切。。于點(diǎn)A,

：.OA±AE,

：.ZOAE=90°,

VZC=71°,

ZAOB=2ZC=2X71°=142°,

XVZAOB+ZAOE=180°,

ZAOE=38°,

VZAOE+ZE=9Q°,

—90°-38°=52°.

(II)連接04,

設(shè)NE=x.

???A3=AE,

NABE=AE=x,

'：OA=OB,

：.ZOAB=ZABO=x,

：.ZAOE=ZAB0+ZBA0=2x.

TAE是。。的切線，

：.OAl.AEf即NOA￡=90°,

在△045中，ZAOE+ZE=90°,

即2x+x=90°,

解得％=30°,

AZE=30°.

i

在RtZ\0AE中，OA=^OE,

\"OA=OD,

：.OA=OD=DE,

,:DE=2,

：.OA=2,即。。的半徑為2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，含

30。角的直角三角形的性質(zhì)，用方程思想解決幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是熟悉掌握這些性質(zhì).

19.（2024?汝南縣一模）閱讀與思考

九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書(shū),他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書(shū)上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓

內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），下面是書(shū)上的證明過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成

相應(yīng)的任務(wù).

圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

已知：如圖1,。。的兩弦AB,C。相交于點(diǎn)P.

求證：AP-BP=CP'DP.

證明：

如圖1,連接AC,BD.

,:/C=NB,ZA=ZD.

，叢APCs叢DPB,（根據(jù)）

AP

—=@,

DP

:.AP?BP=CP?DP,

兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

任務(wù):

(1)請(qǐng)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

CP

根據(jù)：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；@:—.

(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2,是的弦，尸是上一點(diǎn)，AB^lQcm,B4=4cm,OP

—5cm,求。。的半徑.

【考點(diǎn)】相交弦定理；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

CP

【答案】(1)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；—;

BP

(2)7cm.

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；

(2)延長(zhǎng)OP交圓。于點(diǎn)。，延長(zhǎng)尸。交圓。于點(diǎn)設(shè)圓。的半徑為憶機(jī)，貝|尸尸=(5+r)cm,PD

=(r-5)cm,根據(jù)(1)中結(jié)論代入求解即可.

【解答】解：(1)連接AC,BD.

,:NC=/B,ZA=ZD.

：AAPCsdDPB,(有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似)

.APCP

??—,

DPBP

LAPBP=CPDP,

???兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

CP

故答案為：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；—;

(2)延長(zhǎng)OP交圓O于點(diǎn)D,延長(zhǎng)PO交圓O于點(diǎn)F,

D

設(shè)圓。的半徑為rem,貝lJPF=(5+r)cm,PD=(r-5)cm,

根據(jù)(1)中結(jié)論得4P?BP=DP-FP,即為4X(10-4)=(葉5)(r-5),

解得：r=7或r=-7(不符合題意，舍去)，。。的半徑為7c?i.

【點(diǎn)評(píng)】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用圓的相

交弦定理是解題關(guān)鍵.

20.(2024?新豐縣一模)如圖，在△ABC中，AB^AC,以AB為直徑的O。分別交AC、BC于點(diǎn)D、E.

(1)求證：BE=CE；

(2)若AB=6,ZBAC=54°,求劣弧崩的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算；等腰三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)如圖，連接AE,利用圓周角定理推知AE是等腰△ABC的垂線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)

證得結(jié)論；

(2)如圖，連接OD,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可以求得圓心角的度數(shù)，然

后利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行解答.

【解答】(1)證明：如圖，連接AE.

是圓。的直徑，

AZAEB=90°,

即AE1BC.

又?；AB=AC,

：.AE是邊BC上的中線,

:.BE=CE；

(2)解：：AB=6,

：.OA=3.

又：04=00,ZBAC=54°,

/.ZA0D=180°-2X54°=72°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算以及等腰三角形的判定與性質(zhì).通過(guò)作輔助線，利用圓周

角定理（或圓半徑相等）的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)是解題的難點(diǎn).

考點(diǎn)卡片

1.近似數(shù)和有效數(shù)字

(1)有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)

字.

(2)近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說(shuō)

法.

(3)規(guī)律方法總結(jié)：

“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前

者可以體現(xiàn)出誤差值絕對(duì)數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對(duì)更精確一些.

2.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩

個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一

元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得

到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

3.幾何體的展開(kāi)圖

(1)多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的.沿著棱剪開(kāi)就得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應(yīng)立體圖

形的展開(kāi)圖.同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開(kāi)，得到的平面展開(kāi)圖是不一樣的，同時(shí)也可看出，立體圖

形的展開(kāi)圖是平面圖形.

(2)常見(jiàn)幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖：

①圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形.②圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形.③正方體的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形.④三棱柱

的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形.

(3)立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖，體現(xiàn)了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系.立體圖形問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)

題解決.

從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問(wèn)題，辨析幾何體的展開(kāi)圖，通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀

念，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有

時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，

在NAOB的平分線上，C￡)_LOA,CE工OB：.CD=CE

5.線段垂直平分線的性質(zhì)

(1)定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)

垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距

離相等.

6.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

7.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見(jiàn)的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解

決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的

思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決.

8.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。，b,斜邊長(zhǎng)為C,那么/+62=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+62=02的變形有：a=Vc—b,b=7c2—及C=7$+爐.

(4)由于。2+82=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

9.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；

⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線;

對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

10.*平面向量

平面向量是在二維平面內(nèi)既有方向(direction)又有大小(.magnitude)的量，物理學(xué)中也稱作矢量，與之

相對(duì)的是只有大小、沒(méi)有方向的數(shù)量(標(biāo)量).平面向量用。，b,c上面加一個(gè)小箭頭表示，也可以用表

示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示.

11.圓的認(rèn)識(shí)

(1)圓的定義

定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓.固

定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段OA叫做半徑.以。點(diǎn)為圓心的圓，記作“O?！保x作“圓

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)。的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.

(2)與圓有關(guān)的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧，圓的任意

一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣

弧.

(3)圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性.②中心對(duì)稱性.

12.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

13.圓心角、弧、弦的關(guān)系

(1)定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其

余各組量都分別相等.

說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧

或劣弧.

(3)正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推

二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與

原圖形完全重合.

(4)在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.

14.圓周角定理

(1)圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

(2)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

推論：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

(3)在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌

握.

(4)注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角

的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”—圓心角轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同

一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一

條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.

15.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角(就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角).

(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起

來(lái).在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ).

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