2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之三角形

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之三角形

選擇題（共10小題）

1.（2024?青秀區(qū)校級開學(xué)）以下各組數(shù)據(jù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.12,15,20B.1,V3,4C.5,8,10D.3,4,5

2.（2024春?來賓期中）某校在消防主題公園周邊修了3條小路，如圖，小路8C,AC恰好互相垂直，小

路AB的中點M剛好在湖與小路的相交處.若測得8C的長為1200相，AC的長為900根，則CM的長為

（）

A.750mB.800mC.900mD.1000m

3.（2024?海淀區(qū)校級開學(xué)）如圖，△ABC中，AE是中線，A。是角平分線，AF是高，ZBAD=50°,則

A.BE=CE

B.ZC+ZCAF=90°

C.SAAEC=S/^ABE

D.當(dāng)/C=NBA。時，ZADF=10°

4.（2024?淮陰區(qū)校級模擬）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，貝U/ABC

5.（2023秋?德慶縣期末）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.△ABC的三條中線的交點

B./XABC三條角平分線的交點

C.△ABC三條高所在直線的交點

D.△ABC三邊的中垂線的交點

6.（2024春?來賓期中）如圖，某校綜合實踐小組為測量校內(nèi)人工湖的寬度A3,在岸邊選一點C,并分別

找到AC和BC的中點。，E,測得。E=16米，則人工湖的寬度48為（）

7.（2023秋?南陽期末）如圖，BD與CE交于O,AE=AD,添加一個條件，仍不能使△ABOgAACE的

是（）

A.BE=DCB.CE=BDC.Z1=Z2D.ZABC=ZACB

8.（2024春?來賓期中）在△ABC中，ZA,ZB,/C所對的邊分別是a,b,c,且/A：ZB：ZC=1：

2：3,則下列等式正確的是（）

A.b2=cr+c2B.2a2=c2C.2b2=c2D.2a=c

9.（2023秋?攀枝花期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=V2,/8AC=90°.點。、E都在邊上，Z

DAE=45°.若BD=2CE,則。E的長是（）

B

D.3-V5

10.（2024春?福田區(qū)校級期中）等腰三角形的一邊長為3%另一邊長為7cm,則它的周長為（）

A.13cmB.17cm

C.22cmD.13c〃z或17cMi

二.填空題（共5小題）

11.（2024春?南崗區(qū)校級期中）在RtAABC中，ZC=90°,斜邊AB=U,若AC=5,貝！JBC

12.（2024春?武侯區(qū)校級期中）如圖，在RtA4BC中，ZABC=90°,BD是高,E是△ABC外一點，BE

=BA,NE=NC,若。E=5,AD=12,BD>DE,則△BOE的面積為.

BC

13.（2024?海淀區(qū)校級開學(xué)）如圖，AB^AC,點。，E分別在A2與AC上，CD與BE相交于點?只填

一個條件使得添加的條件是：.

14.（2024春?灤南縣校級期末）如圖，D、E分別是△ABC邊A2、BC上的點，AD=2BD,BE=CE,連

接AE、CD交于點F,連接若△2。尸的面積為4,則陰影部分的面積=

A

15.（2024春?衡南縣校級期中）如圖，已知/B=20°,ZC=25°,若PM和QN分別垂直平分A8和

AC,則NB4Q=0.

三.解答題（共5小題）

16.（2024?汕頭一模）如圖，△A8C和△￡＞（五都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,

DC=EC,連接A。，BE.

（1）求證：AACD沿ABCE；

（2）直接寫出A。和BE的位置關(guān)系.

17.（2024春?衡南縣校級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,CD平分/ACB,交45于點

D,求證：△AC。是等腰三角形.

18.（2024春?秦都區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AC=8,點。，E分別在8C,AC上，尸是3。的中

點，連接AD和ER若EF=EC,求所的長.

19.（2024?西安校級一模）如圖，點8、E、F、。在同一直線上，BE=DF,AB//CD,AB=CD.求證:

AF//CE.

B

20.（2024春?西安校級期中）如圖，在RtzXABC中，/ABC=90°,點D在BC的延長線上，且8DAB.過

點B作BELAC,與BD的垂線DE交于點E.

(1)求證：AABC咨4BDE

(2)若AB=12,DE=5,求C￡>的長.

A

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之三角形（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?青秀區(qū)校級開學(xué)）以下各組數(shù)據(jù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.12,15,20B.1,V3,4C.5,8,10D.3,4,5

【考點】勾股定理的逆定理.

【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形的三邊關(guān)系分別對各個選項進(jìn)行判斷即可.

【解答］解：V122+152^202,

，三邊長為12,15,20的三角形不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

B、Vl+V3<4,

以1,V3,4為邊長不能構(gòu)成三角形，故此選項不符合題意；

C、V52+8M102,

...三邊長為5,8,10的三角形不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

。、：32+42=52,

，三邊長為3,4,5的三角形能組成直角三角形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理以及三角形的三邊關(guān)系等知識，如果三角形的三邊長a,b,c

滿足/+廿=°2,那么這個三角形就是直角三角形.熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2024春?來賓期中）某校在消防主題公園周邊修了3條小路，如圖，小路3C,AC恰好互相垂直，小

路AB的中點〃剛好在湖與小路的相交處.若測得8C的長為1200相，AC的長為900根，則CM的長為

（）

A.750mB.800mC.900mD.1000m

【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理求出1500加，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：小路BC,AC恰好互相垂直，

AZACB=90°,

：.AB=yjAC2+BC2=V9002+12002=1500（m）,

:點M是小路48的中點，

1

：.CM=AB=750m,

故選：A.

【點評】本題考查的勾股定理以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理以及直角三

角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?海淀區(qū)校級開學(xué)）如圖，△ABC中，AE是中線，是角平分線，AF是高，ZBAD=50°,則

下列說法錯誤的是（）

A.BE=CE

B.ZC+ZCAF=90°

C.SAAEC~S^ABE

D.當(dāng)時，NA。尸=70°

【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形的面積.

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】由中線的性質(zhì)可得BE=CE,S^AEC=SMBE,由AF是△ABC的高，可得NC+/CAF=90°,

由角平分線的定義可得當(dāng)時，根據(jù)NR4D=50°可計算出尸的度數(shù),

再計算出/ADF的度數(shù)即可.

【解答】解：???AE是中線，

'.BE=CE,S^AEC=S^ABE,

故A、C說法正確；

：A尸是△ABC的高,

AZAFC=90°,

：.ZC+ZCAF=90°,

故2說法正確；

：是角平分線，

：.ZBAD=ZCAD,

.?.當(dāng)/C=N8AO=50°時，ZCAF=40°,

：.ZFAD=ZDAC-ZFAC=50°-40°=10°,

AZADF=90°-Z￡）AF=90°-10°=80°,

故。說法錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查了三角形面積、角平分線等知識，熟記三角形面積公式、角平分線定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?淮陰區(qū)校級模擬）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則NABC

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義.

【答案】C

【分析】連接AC,根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三

角形，根據(jù)正切的定義計算即可.

【解答】解：連接AC,

由網(wǎng)格特點和勾股定理可知，

AC=Vl2+I2=V2,AB=2戊,BC=V32+l2=V10,

AC2+AB2=\0,BC2=10,

:.AC2+AB2=BC2,

:.AABC是直角三角形，

：.tanZABC^^4=

AB2V2

【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義、

掌握如果三角形的三邊長。，b,C滿足/+廿=02,那么這個三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?德慶縣期末）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.△ABC的三條中線的交點

B.△ABC三條角平分線的交點

C./XABC三條高所在直線的交點

D.△ABC三邊的中垂線的交點

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】應(yīng)用題.

【答案】B

【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點到邊的距離相等，可知是AABC

三條角平分線的交點.由此即可確定涼亭位置.

【解答】解：.??涼亭到草坪三條邊的距離相等，

/.涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點.

故選：B.

【點評】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.主要利用了利用了角平分線上的點到

角兩邊的距離相等.

6.（2024春?來賓期中）如圖，某校綜合實踐小組為測量校內(nèi)人工湖的寬度AB,在岸邊選一點C,并分別

找到AC和BC的中點Z）,E,測得。E=16米，則人工湖的寬度為（

A.30米B.32米C.36米D.48米

【考點】三角形中位線定理.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】直接利用三角形的中位線定理，進(jìn)行求解即可.

【解答】解：：。，E分別是AC和8C的中點，

DE是△ABC的中位線，

.?.A8=2OE=32米；

故選：B.

【點評】本題考查三角形的中位線定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2023秋?南陽期末）如圖，BD與CE交于O,AE^AD,添加一個條件，仍不能使△A8Z屋AlCE的

是（）

A.BE=DCB.CE=BDC.Z1=Z2D.ZABC=ZACB

【考點】全等三角形的判定.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】B

【分析】要使△ABE四△AC。，已知具備了一組邊和一組角對應(yīng)相等，還缺少邊

或角對應(yīng)相等的條件，結(jié)合判定方法及圖形進(jìn)行選擇即可.

【解答】解：AE^AD,

：.當(dāng)BE=CD時，則AB=AC,依據(jù)SAS即可得到

當(dāng)CE=BD時，則和△ACE全等條件是SSA,不能判定△ABO0AlCE；

當(dāng)/1=/2時，由于NEO8=/QOC,則/ABO=/ACE,依據(jù)ASA即可得到△ABE絲△AC。；

當(dāng)NABC=NACB時，貝!IA3=AC,依據(jù)SAS即可得到△ABE0ZkACZ）；

故選：B.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,

HL.添加時注意：A4A,SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇

條件是正確解答本題的關(guān)鍵.

8.（2024春?來賓期中）在△ABC中，ZA,/B,/C所對的邊分別是a,b,c,且/A：ZB：ZC=1：

2：3,則下列等式正確的是（）

A.tr-cr+c1B.2a1—c2C.2b1—c1D.2a—c

【考點】勾股定理；三角形內(nèi)角和定理；含30度角的直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】設(shè)/A=x,ZB=2x,/C=3x,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得△4BC是直角三角形，且c是斜

邊,從而得到/+廬=02,c=2a,即可求解.

【解答】解：設(shè)ZB—lx,NC=3x,

x+2x+3x=180°,

解得：％=30°,

ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°,

???△ABC是直角三角形，且。是斜邊，

.,.a2+b2=c2,c=2a,

故選項A,B,C錯誤，選項D正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，掌握直角三角形

的性質(zhì)是關(guān)鍵.

9.（2023秋?攀枝花期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=夜，NBAC=90°.點。、E都在邊BC上，Z

DAE=45°.若BD=2CE,則。E的長是（)

B

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】C

【分析】由等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出NABC=NC=45°,BC=2,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF

=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=ZCAE,求出/胡。=/ZME=45°,證△物△EAD,由全等

三角形的性質(zhì)可得。尸=?！?設(shè)EC=x,則8F=x,BD=2x,DF=DE=V5x,根據(jù)8c=2,列方程，

求出無即可.

【解答】解：:△ABC中，AB=AC=?ZBAC=90°,

：.ZABC=ZC=45°,

：.BC=7AB2+ac2=VT+2=2,

把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△人■?,使45和AC重合，連接。足

貝i」AP=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=ZCAE,

VZDAE=45°,

AZFAD=ZFAB+ZBAD=ZCAE+ZBAD=ABAC-ZDAE^90°-45°=45°,

：.ZFAD^ZDAE=45°,

在△物。和△EA。中，

AD=AD

Z-FAD=Z.EAD，

AF=AE

：./\FAD^/\EAD(SAS),

:?DF=DE,BF=EC,

設(shè)EC=x,貝!！BF=x,BD=2x,

：.DF=\BF2+BD2=V5,

,:BC=2,

2X+V5X+X=2,

：.DE=V5x=3*-5,

故選：C.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的應(yīng)用，添加恰當(dāng)輔助線

構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

10.（2024春?福田區(qū)校級期中）等腰三角形的一邊長為3c"2,另一邊長為7cm,則它的周長為（）

A.13cmB.17cm

C.22cmD.13c根或17cm

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3c機(jī)和7cm,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討

論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)腰為3c加時，3+3=6<7,所以不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰為7cm時,3+7>7,所以能構(gòu)成三角形，周長是：3+7+7=17（cm）.

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵.

填空題（共5小題）

11.（2024春?南崗區(qū)校級期中）在RtZVIBC中，NC=90°,斜邊AB=12,若AC=5,貝!I

【考點】勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】V119.

【分析】由勾股定理計算即可得出答案.

【解答】解：由勾股定理得：BC=7AB2—AC?=V122-52=V119,

故答案為：V119.

【點評】本題考查了勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理解決問題.

12.（2024春?武侯區(qū)校級期中）如圖，在RtA4BC中，90°,BD是高,E是△ABC外一點，BE

=BA,NE=NC,若。E=5,AD=12,BD>DE,則△BDE的面積為30.

BC

【考點】三角形的面積；垂線段最短.

【答案】30.

1

【分析】根據(jù)SAS證明△ABE與ABED全等，BF=DE=5,然后利用5"加=S^ABF=jBF-4D代數(shù)

求解即可.

【解答】解：；3。是高，

AZADB=ZBDC=90Q,

VZABD+ZBAD=ZBAD+ZC=90°,

NABD=NC=/E,

在2。上截取2尸=OE,如圖所示：

BC

在AABF與ABED中

AB=BE

4ABD=乙E,

.BF=DE

.'.△ABF冬ABED(SAS),

:.BF=DE=5,

11

；.SABDE=S^ABF=?BF?AD=x5x12=30.

故答案為：30.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線，根據(jù)SAS證明全等

是解題的關(guān)鍵.

13.（2024?海淀區(qū)校級開學(xué)）如圖，AB^AC,點、D,E分別在AB與AC上，C。與8E相交于點?只填

一個條件使得添加的條件是：NB=/C（答案不唯一）.

【考點】全等三角形的判定.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】/B=NC（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)題意，已經(jīng)有一組邊相等，一個公共角，結(jié)合圖形，根據(jù)兩個三角形全等的判定定理，添

加一組角相等，構(gòu)成ASA,即可得到兩個三角形全等.根據(jù)其他的判定定理，也可添加其他的條件.

【解答】解：?；NB=NC,AB=AC,ZA^ZA,

：.AABE^^ACD（ASA）,

故答案為：ZB=ZC（答案不唯一）.

【點評】本題主要考查的是全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件即可.

14.（2024春?灤南縣校級期末）如圖，D、E分別是△ABC邊AB、BC上的點，AD=2BD,BE=CE,連

接AE、CD交于點F,連接8尸，若△8AF的面積為4,則陰影部分的面積=3.

【考點】三角形的面積；三角形的角平分線、中線和高.

【答案】3.

【分析】根據(jù)AO=28。得到5△4。尸=2必如尸=8,SAADC=2SABDC,再由三角形中線平分三角形面積得

至!JS陰影=SABEF,SAABE—S^ACE,S陰影=S^BEF=X,則SABDC=2X+4,根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系推出S

△ACE=5尤，則5x=x+8+4,解方程即可得到答案.

【解答】解：

??S/\ADF=2sABDF=8，SAADC=2s△BOC，

■:BE=CE,

??S陰影S/\ABE=S/\ACEJ

設(shè)S陰影=SABM=X,貝！JS/\BDC=2x+4f

.'.5AACD=4X+8,

.*.SAACF=4X,

??S/^ACE=5XJ

:.5x=x+8+4,

解得x=3,

故答案為：3.

【點評】本題主要考查了三角形的面積，三角形的角平分線、中線和高，掌握等底同高的三角形面積相

等是解題的關(guān)鍵.

15.（2024春?衡南縣校級期中）如圖，己知/B=20°,NC=25°,若PM和0N分別垂直平分A8和

AC,則/B40=90°.

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；運(yùn)算能力.

【答案】90.

【分析】先由PM和QN分別垂直平分和AC,得出/2=/B,Z1=ZC,根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)

列式作答即可.

【解答】解：如圖：

,/PM和QN分別垂直平分AB和AC,

：.AP=PB,AQ=QC,

：.42=4B,N1=NC,

VZB=20°,ZC=25°,

.,.Z3=180°-2(ZB+ZC)=90°,

故答案為：90.

【點評】=本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

三.解答題(共5小題)

16.(2024?汕頭一模)如圖，△ABC和△Z5CE都是等腰直角三角形，ZACB^ZDCE^90°,AC^BC,

DC=EC,連接ADBE.

(1)求證：△AC。烏△BCE；

(2)直接寫出AO和BE的位置關(guān)系.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)AD±BE.

【分析】(1)先證明NAC￡)=NBCE,然后根據(jù)SAS即可證明△AC。絲△BCE；

(2)延長AD交BE于點R交BC于點N,由全等三角形的性質(zhì)得NC4￡>=NCBE,由NC4O+/ANC

=90°可證/CBE+N〃VF=90°,進(jìn)而可證結(jié)論成立.

【解答】(1)證明：,：ZACB=ZDCE=90°,

：.ZACB-/BCD=ZDCE-ZBCD,

：.ZACD^ZBCE,

:AC=BC,DC=EC,

：.AACD^ABCE(SAS)；

(2)解：延長AO交BE于點F,交BC于點、N,

'：△AC。空ABCE,

:.NCAD=NCBE

VZACB=90°,

：.ZCAD+ZANC^90°,

?.*/ANC=ZBNF,

/CBE+/BNF=9T,

：.ZBFN=90°,

：.AD±BE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，對頂角相等，證明

BCE是解答本題的關(guān)鍵.

17.（2024春?衡南縣校級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,CD平分/ACB,交48于點

D,求證：AACr）是等腰三角形.

【考點】等腰三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出/ACD度數(shù)，即可得到繼而得

證.

【解答】證明：NA=36°,

1

ZACB=/B”（180°-Z4）=72°.

平分NAC8,

ZACD=/DCB=^/.ACB=36°.

又：/A=36°,

ZA^ZACD,

：.CD=AD,即△ACZ）是等腰三角形.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出NAC。度數(shù)解答.

18.（2024春?秦都區(qū)校級月考）如圖，在△4BC中，AC=8,點。，E分別在BC,AC上，F(xiàn)是8。的中

點，連接和EF,若4B=A。，EF=EC,求EE的長.

BFD

【考點】直角三角形的性質(zhì)；余角和補(bǔ)角；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【答案】4.

【分析】連接AR在△ABC中，由“等腰三角形三線合一”可得NAFC=90°,由“等邊對等角”可

得/EFC=/C,由"等角的余角相等”可得由此可得E4=EF=EC=^AC,即可求

就出EF的長.

【解答】解：連接AR

"：AB=AD,廠是2。的中點，

：.AF±BD,

：.ZAFD=90°,

：.ZEAF+ZC^90°,NAFE+/EFC=90°,

；EF=EC,

：.ZEFC=ZC,

：./EAF=Z.AFE,

1

.'.EA=EF=EC==4.

【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解

題的關(guān)鍵.

19.（2024?西安校級一模）如圖，點8、E、F、。在同一直線上，BE=DF,AB//CD,AB=CD.求證:

AF//CE.

B

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力.

【答案】見解析過程.

【分析】由“SAS”可證△A87名△CDE,可得NA尸B=NCM,可得結(jié)論.

【解答】證明：??,3E=OF,

；?BE+EF=DF+EF,

；.BF=DE,

'：AB//CD,

；?/B=/D,

在AAB尸和△CDE中，

AB=CD

Z-B—Z-DJ

BF=DE

：.AABF^ACDE(SAS),

???/AFB=/CED,

J.AF//CE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

20.(2024春?西安校級期中)如圖，在Rt^ABC中，/A8C=90°,點。在8C的延長線上，且過

點8作BE±AC,與BD的垂線DE交于點E.

(1)求證：AABC咨4BDE

(2)若AB=12,DE=5,求CD的長.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)CZ)=7.

【分析】(1)根據(jù)等角的余角相等，證明再根據(jù)ASA即可證明△ABCg△BOE；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出42=。+。石，即可求解.

【解答】(1)證明：

?.ZA+ZABE=90°,

VZABC=90°,

：.ZDBE+ZABE^90°,

/A=/DBE,

在△ABC和△BOE中，

‘ZA=/DBE

-BD=AB，

^ABC=乙BDE=90°

:.△ABgABDE(ASA)；

(2)解：AB^DE+CD,

理由：由(1)證得，△ABC經(jīng)△BOE,

：.AB=BD,BC=DE,

,;BD=CD+BC,

：.AB=CD+DE.

\'AB=12,DE=5,

：.CD^AB-DE=12-5=7.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

考點卡片

1.余角和補(bǔ)角

（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角.即其中一個角是另一個角的余角.

（2）補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角.即其中一個角是另一個角的補(bǔ)

角.

（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補(bǔ)角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).

注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個角的位置沒有關(guān)系.不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它

們就具備相應(yīng)的關(guān)系.

2.垂線段最短

（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短.它是相對于這點與直

線上其他各點的連線而言.

（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩

個中去選擇.

3.三角形的角平分線、中線和高

（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做

三角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另

一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，

三條高所在直線相交于三角形外一點.

4.三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S4=筵x底義高.

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

5.三角形三邊關(guān)系

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

(2)在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短

的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

(3)三角形的兩邊差小于第三邊.

(4)在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，

容易忽略.

6.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

7.全等三角形的判定

(1)判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

(3)判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

(4)判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

(5)判定定理5：乩--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊.

8.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

9.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有

時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，

在NAOB的平分線上，C￡>_LOA,CE工OB：.CD=CE

10.線段垂直平分線的性質(zhì)

(1)定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)

垂直平分線，簡稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距

離相等.

11.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任意取出兩個

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

12.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【簡稱：等角對等邊】

說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線;

④判定定理在同一個三角形中才能適用.

13.直角三角形的性質(zhì)

(1)有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形.

(2)直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一