專(zhuān)題56函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)（基礎(chǔ)）

專(zhuān)題5.6函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)知識(shí)點(diǎn)一A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響1．φ對(duì)y＝sin(x＋φ)，x∈R圖象的影響2．ω(ω>0)對(duì)y＝sin(ωx＋φ)圖象的影響3．A(A>0)對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響平移變換要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移【解答】解：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，故選：．將函數(shù)的圖象向左平移后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．故選：．伸縮變換為了得到函數(shù)的圖像，需對(duì)函數(shù)的圖像所作的變換可以為A．先將圖像上所有的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位 B．先將圖像上所有的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位 C．先將圖像上所有的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位 D．先將圖像上所有的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位【解答】解：把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位，可得的圖象．故選：．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，耳向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【解答】解：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，可得函數(shù)的圖象，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象．故選：．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得；再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，所以函數(shù)．故選：．將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像對(duì)應(yīng)的解析式為A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得的圖象，再將所得的圖像向左平移個(gè)單位，得的圖像，所以對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為．故選：．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)A．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變） B．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變） C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變） D．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）【解答】解：，將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到．故選：．將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則的值為A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再把所得函數(shù)圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)，故．故選：．由圖象求三角函數(shù)的解析式已知函數(shù)的大致圖像如圖所示，將函數(shù)的圖像向右平移后得到函數(shù)的圖像，則A． B． C． D．【解答】解：由圖象可知，，故，，，又且，所以，，將函數(shù)的圖像向右平移后得到函數(shù)的圖像可得，所以．故選：．已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則A． B． C．在區(qū)間，上單調(diào)遞增 D．圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，【解答】解：由題意可知，，可知，所以，由五點(diǎn)法作圖可知，所以．所以函數(shù)．所以不正確；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，所以不正確；，可得，，，這是函數(shù)的增區(qū)間，所以正確；，可得，，所以不正確；故選：．已知函數(shù)，，，的部分圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是A．直線是圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸 B．圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為 C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像【解答】解：根據(jù)函數(shù)，，，的部分圖象，可得，，所以，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，所以，可得，令，求得，不是最值，故直線不是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故錯(cuò)誤；令，，解得，當(dāng)時(shí)，可得圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，，故正確；在區(qū)間，上，，，函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性，故錯(cuò)誤；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得到的圖象，故錯(cuò)誤．故選：．函數(shù)，的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是A．函數(shù)的解析式為 B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 C．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度 D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【解答】解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，，，因?yàn)?，所以，兩式相減，得：，解得，①因?yàn)椋?，解得，即，結(jié)合①知．因?yàn)?，所以，解得，所以，選項(xiàng)正確；令，，解得，，所以選項(xiàng)正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，即函數(shù)的圖象，選項(xiàng)正確；令，，解得，，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值．【解答】解：（1）由圖象知，，，，由圖象過(guò)點(diǎn)，得到，觀察圖象取，得，；（2）令，，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（3）因?yàn)?，所以，所以的取值范圍為，．函?shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．【解答】解：（1）由圖可知，，則，所以．由，，得，所以．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，所以．（2）因?yàn)?，所以．所以，所以．三角函?shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示，將該函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：由于函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示，故，所以；由于函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，故，所以，由于，故故，將該函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像，所得到的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故，故，，故，由于，所以當(dāng)時(shí)，則的最小值為．故選：．已知將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像，若和的圖像都關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，若和的圖像都關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則和的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，而，，所以，，即，，又，所以的最小值為故選：．已知函數(shù)，將的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)圖像，若圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則為A． B． C． D．【解答】解：已知函數(shù)，則，將的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則，又的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，即，，則，，又，則，故選：．函數(shù)向右平移個(gè)單位之后，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：函數(shù)向右平移個(gè)單位之后，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，由題意知關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，即，又因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，有最小值4故選：．記函數(shù)的最小正周期為．若，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將得到的圖象．上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在，上的值域．【解答】解：（1）函數(shù)，由，可得，整理得．由于的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，即，．當(dāng)時(shí)，，．（2）由（1）得：，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象．再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，在，上，，，，，，，即在，上的值域?yàn)椋阎瘮?shù)，，的部分圖象如圖所示，在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知．條件①：；條件②：；條件③：．（注：如果選擇多個(gè)條件組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間，上單調(diào)遞減，求的最大值．【解答】解：（1）選條件①②：因?yàn)?，所以，即，則，由圖可知，則，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以；選條件①③：因?yàn)?，所以，即，則，由題意可知，則，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，所以；選條件②③：因?yàn)?，所以，即，則，由題意可知，則，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以；?），由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間0，上單調(diào)遞減，且，此時(shí)，所以，所以的最大值是．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間，上的值域．【解答】解：（1）函數(shù)，的最小正周期為．令，，求得，，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，可得的圖象；再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，在區(qū)間，上，，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為2；故函數(shù)在區(qū)間，上的值域?yàn)椋唬x擇題（共8小題）1．用“五點(diǎn)法”作y＝2sinx的圖象時(shí)，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A．0，π2，πC．0，π，2π，3π，4π D．0【解答】解：y＝2sinx與y＝sinx對(duì)應(yīng)五點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，則五點(diǎn)法對(duì)應(yīng)五點(diǎn)的橫坐標(biāo)0，故選：A．2．將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移π3個(gè)單位，得到函數(shù)f（x）的圖象A．f(x)=sin(2x+π3) BC．f(x)=sin(2x+2π3) 【解答】解：若函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移π3個(gè)單位得到y(tǒng)＝sin2（x+π3）＝sin（2故選：C．3．函數(shù)y＝2sin（ωx+φ）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（）A．y＝2sin（2x-π4） B．y＝2sin（2x+C．y＝2sin（x+3π8） D．y＝2sin（【解答】解：由圖象可知，T2所以T＝π，由T=2πω，得ω＝所以y＝2sin（2x+φ）．∵點(diǎn)（π8，2）在函數(shù)圖象∴2＝2sin（2×π8∴φ＝2kπ+π4（k∈解得φ=π所以解析式為y＝2sin（2x+π故選：B．4．在下列四個(gè)函數(shù)，①y＝sin|x|②y＝|cos2x|③y=2sin(2x-π3)④y=2tan(x+A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④【解答】解：①y＝sin|x|的偶函數(shù)，不具備周期，不滿足條件y＝|cos2x|的周期是π2③y=2sin(2x-π3)④y=2tan(x+π10)的周期是故選：D．5．已知函數(shù)f（x）＝4cos（2x+π6）的圖象為C，為了得到函數(shù)g（x）＝4cos（4x+π6）的A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變 B．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變 D．縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍【解答】解：把C上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝4cos（2×2x+π6）＝4cos（4故選：B．6．為了得到函數(shù)y＝cos（x-13）的圖象，可以將函數(shù)y＝cosx的A．向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移π3個(gè)C．向左平移13個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移13【解答】解：把函數(shù)y＝cosx的圖象向右平移13個(gè)單位可得到y(tǒng)＝cos（x-13故選：D．7．函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A．y＝f（x）的遞增區(qū)間為(2kπ-5π12，2kπ+B．f(x)=cos(xC．f(x)≤-22D．y＝f（x）其中一條對(duì)稱(chēng)軸為x=【解答】解：對(duì)于B，由圖可知，T4=π12-（-π6）=π4當(dāng)x=π12時(shí)，f（x）＝1，可得cos（2×π12∴2×π12+φ＝0+kπ，k∈Z，∴不妨取∴求f（x）的解析式為：f（x）＝cos（2x-π6），故對(duì)于A，∵2kπ﹣π≤2x-π6≤2kπ，k∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12∴y＝f（x）的遞增區(qū)間為[kπ-5π12，kπ+π12]，k∈對(duì)于D，∵y＝cosx的對(duì)稱(chēng)軸為x＝kπ，k∈Z，∴2x-π6=kπ，k∴x=π12+kπ2∴y＝f（x）對(duì)稱(chēng)軸為x=π12+kπ2，k對(duì)于C，cos（2x-π6）≤-22，即2kπ+3π4≤2x-π6∴kπ+11π24≤x≤kπ+17π24，k故選：C．8．已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，A．A＝4 B．ω＝1 C．B＝4 D．φ=【解答】解：由圖象知，最大值為4，最小值為0，則A+B＝4，﹣A+B＝0，得A＝2，B＝2，函數(shù)的周期T＝4（5π12-π6）＝4×3π12=π，即由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得2×π6+φ=π故只有D正確，故選：D．二．填空題（共4小題）9．用“五點(diǎn)法”做正弦函數(shù)y＝sinx（x∈[0，2π]）的簡(jiǎn)圖時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是（0，0）、（π2，1）、（π，0）、（3π2，﹣1）、（2π，0【解答】解：由正弦函數(shù)圖象可知，關(guān)鍵的五個(gè)點(diǎn)為（0，0），（π2，1），（π，0），（3π2，﹣1），（2π，故答案為：（0，0），（π2，1），（π，0），（3π2，﹣1），（2π，10．用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的簡(jiǎn)圖時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是：（0，0），（π2，1），（π，0），（3π2，﹣1），（2π，0）；其中最高點(diǎn)坐標(biāo)是（π2，1），最低點(diǎn)坐標(biāo)是（3π2【解答】解：函數(shù)y＝sinx，當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，正好是函數(shù)的一個(gè)周期，令sinx＝0，則求得x＝0或π或2π，這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），（π，0），（2π，0）令sinx＝1，則x=π2，此點(diǎn)坐標(biāo)為（π2，1），函數(shù)與x軸交點(diǎn)（π令sinx＝﹣1，則x=3π2，此點(diǎn)坐標(biāo)為（3π2，﹣1），函數(shù)與x軸交點(diǎn)（3π故五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：（0，0），（π2，1），（π，0）（3π2，﹣1），（2π，0），函數(shù)最高點(diǎn)坐標(biāo)為（π2，1），最低點(diǎn)坐標(biāo)為（3π故答案為：（0，0），（π2，1），（π，0）（3π2，﹣1），（2π，0），（π2，1），（3π11．若將函數(shù)y＝tan（ωx-π4）（ω＞0）的圖像向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)y＝tan（ωx-π3）的圖像重合，則ω的最小值為【解答】解：因?yàn)閥＝tan（ωx-π4）（ω＞0）的圖像向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)y＝tan（ω（x-π12）-π4）＝tan（ω又因?yàn)槠揭坪蟮膱D與函數(shù)y＝tan（ωx-π3）的圖像重合，所以-πω12-π4解得ω＝1+12k，k∈Z，又因?yàn)棣兀?，所以當(dāng)k＝0時(shí)，ω取最小值ω＝1．故答案為：1．12．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的部分圖形如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為【解答】解：（1）由函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，0＜解得ω=2π又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(5π所以Asin(2×所以2×5π12+φ=π+2kπ，（所以φ=π6+2kπ，（k又因?yàn)?＜所以φ=又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），所以Asinπ解得A＝2，所以f(x)=2sin(2x+π故答案為：f(x)=2sin(2x+π三．解答題（共3小題）13．已知函數(shù)f（x）＝1﹣sinx．（1）用五點(diǎn)法作圖作出f（x）在x∈[0，2π]的圖像；（2）求f（x）在[π4，5π4【解答】解：（1）根據(jù)五點(diǎn)作圖法列表如下：x0π2π3π22πsinx010﹣101﹣sinx10121對(duì)應(yīng)的圖象如圖：（2）∵f（x）＝1﹣sinx，且x∈[π4，5π4]，結(jié)合圖象知f（x）max＝1+22；f（x）14．用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1﹣2sinx，x∈[﹣π，π]的簡(jiǎn)圖，并回答下列問(wèn)題：（1）觀察函數(shù)圖象．寫(xiě)出滿足下列條件的x的區(qū)間，①y＞1；②y＜1．（2）若直線y＝a與y＝1﹣2sinx，x∈[﹣π，π]有