第6講充分條件與必要條件

第6講充分條件與必要條件【知識點梳理】知識點一：充分條件與必要條件充要條件的概念符號與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：.充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件.②如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件.知識點詮釋：對的理解：指當成立時，一定成立，即由通過推理可以得到.①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達.知識點二：充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件.從集合與集合間的關(guān)系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件.知識點詮釋：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進行：①確定哪是條件，哪是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件.知識點三：充要條件的證明要證明命題的條件是結(jié)論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）知識點詮釋：對于命題“若，則”①如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；②如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；③如果是的充要條件，則四種命題均為真命題.【典型例題】題型一：充分條件與必要條件的判斷【例1】（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業(yè)考試）“0<x<2”成立是“”成立的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】解：“0<x<2”成立時，“”一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的充分條件；“”成立時，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的非必要條件.所以“0<x<2”成立是“”成立的充分不必要條件.故選：A【例2】（2021·黑龍江大慶市）若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】充分性：若，，則，充分性不成立；必要性：若，則，由不等式的性質(zhì)可得，必要性成立.因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【例3】（2022·湖南·永州市第二中學高一階段練習）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數(shù)根”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，方程即為，解得；當時，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數(shù)根”等價于“”“”能推出“方程至少有一個實數(shù)根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一個實數(shù)根”的充分不必要條件.故選：B.【例4】（2022·廣東·化州市第三中學高一期末）已知命題p：x為自然數(shù)，命題q：x為整數(shù)，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若x為自然數(shù)，則它必為整數(shù)，即p?q．但x為整數(shù)不一定是自然數(shù)，如x＝－2，即qp．故p是q的充分不必要條件．故選：A.【例5】（2022·江蘇·高一專題練習）設甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則甲是丁的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】記甲、乙、丙、丁各自對應的條件構(gòu)成的集合分別為A，，，，由甲是乙的充分不必要條件得，B，由乙是丙的充要條件得，，由丁是丙的必要不充分條件得，D，所以D，，故甲是丁的充分不必要條件.故選：A.【例6】（2022·重慶巴蜀中學高二期末多選）已知是實數(shù)集，集合，，則下列說法正確的是（

）A．是的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件C．是的充分不必要條件 D．是的必要不充分條件【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意得到，且，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，集合，，可得，且，所以是的充分不必要條件，且是的必要不充分條件成立.故選：AD.【題型專練】1．（2022·湖北·宜昌英杰學校高一開學考試）設：實數(shù)，滿足且；：實數(shù)，滿足；則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先考查是否成立，再考查是否成立,即可得結(jié)論.【詳解】解：因為且，所以，即成立；反之若，滿足，如，但不滿足且，即不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.2.（2022·福建福州·高二期末）“”是的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，即可判斷選項.【詳解】若，則，反過來，若，只能推出，不一定，例如，此時，所以“”是的充分不必要條件.故選：A3.（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市第一中學高二期末（理））“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：因為，所以，，，或，當時，或一定成立，所以“”是“”的充分條件；當或時，不一定成立，所以“”是“”的不必要條件.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．（2021·湖南·長沙麓山國際實驗學校高一開學考試）已知是的必要不充分條件，是的充分且必要條件，那么是成立的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分，必要條件的關(guān)系，即可判斷選項.【詳解】由條件可知，，所以，，所以是的充分不必要條件.故選：C5.（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（文））設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分條件和必要條件的定義分析判斷即可【詳解】當時，，則成立，而當時，或，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選：A6.（2022·湖北·華中師大一附中高一期末）已知集合，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分、必要條件定義即可得出答案.【詳解】因為,所以“”“”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.題型二充分、必要條件的選擇【例1】（2022浙江高考模擬（多選））“”的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】設,選項對應的集合為,因為選項是“”的一個充分不必要條件，所以是的真子集.故選：BC【例2】（2022·全國·高一專題練習（多選題））下列條件中是“”的充分條件的是（

）A．B．C．D．且【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)充分條件的定義依次討論各選項即可求解.【詳解】對于A選項，因為，故，所以A選項正確；對于B選項，因為，故不成立，故B選項錯誤；對于C選項，因為，故，故C選項正確；對于D選項，因為且，故，即：，故D選項正確.所以A，C，D中的條件均是“”的充分條件，B中的條件不是“”的充分條件.故選：ACD【題型專練】1.（2022·全國·高一單元測試）一元二次方程有實數(shù)解的一個必要不充分條件為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】方程有實數(shù)解，則，解得m范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為方程有實數(shù)解，所以，解得，所以方程有實數(shù)解的一個必要不充分條件為.故選：D.題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍【例1】（2022·河南信陽·高一期末）若“”是“”的充分不必要條件，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化“”是“”的充分不必要條件為，分析即得解【詳解】由題意，“”是“”的充分不必要條件故故故選：B【例2】（2022·山東·煙臺二中高一階段練習（多選題））若不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】CD【解析】【分析】求出不等式成立的充要條件，然后根據(jù)充分條件求出參數(shù)范圍，然后判斷．【詳解】，則，．故選：CD．【例3】（2022·黑龍江·哈師大附中高一期末）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)由已知，或，所以或；(2)“”是“”的充分不必要條件，則，解得，所以的范圍是．【題型專練】1.（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)是的充分不必要條件，可得，從而可得出答案.【詳解】解：因為是的充分不必要條件，所以，所以.故答案為：.2.（2022·全國·高一單元測試）設p：x＞a，q：x＞3.(1)若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍.【答案】(1)a＜3(2)a＞3【解析】【分析】設，（1）若p是q的必要不充分條件，則，進而可得的范圍．（2）若p是q的充分不必要條件，則，進而可得的范圍．(1)設，∵p是q的必要不充分條件，∴，∴(2)∵p是q的充分不必要條件，∴，∴．3.（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學高一期中）已知集合，或．(1)當時，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）借助數(shù)軸即可確定集合與集合的交集（2）由于，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系即可求解(1)當時，集合,或，或(2)若，且“”是“”充分不必要條件，因為，則解得.故的取值范圍是:4.（2022·新疆·兵團第十師北屯高級中學高一階段練習）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|2≤x≤5}.(1)若a=3，求；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）將a=3代入求出集合P，Q，再由補集及交集的意義即可計算得解.（2）由給定條件可得，再根據(jù)集合包含關(guān)系列式計算作答.(1)因a=3，則P={x|4≤x≤7}，則有或，又Q={x|2≤x≤5}，所以.(2)“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，于是得，當a+1>2a+1，即a<0時，，又，即，滿足，則a<0，當時，則有或，解得或，即，綜上得：，所以實數(shù)a的取值范圍是.題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍【例1】（2022浙江高三模擬）已知，，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】，，且是的必要不充分條件，所以是的真子集，所以或，解得，【例2】（2022·江西·豐城九中高一階段練習）已知集合或，集合(1)若，且，求實數(shù)的取值范圍．(2)已知集合，若是的必要不充分條件，判斷實數(shù)是否存在，若存在求的范圍【答案】(1)；(2)存在，.【解析】【分析】（1）由集合交運算可得，根據(jù)集合的包含關(guān)系并討論是否為空集，列不等式組求參數(shù)范圍；（2）由題意，列不等式組求參數(shù)m范圍.(1)由題設，又，當時，，可得.當時，，可得.綜上，a的范圍.(2)由題意，而，所以，結(jié)合（1）有(等號不同時成立)，可得.故存在實數(shù)且.【題型專練】1.（2022·廣東·梅州市梅州中學高一練習）已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念可得集合A與B的包含關(guān)系，畫出數(shù)軸即可得不等式組從而求出a的范圍．【詳解】∵“”是”的必要條件，∴，當時，，則；當時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，由圖可知或，解得或，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為或．2.（2022·徐州市第三十六中學（江蘇師范大學附屬中學）高一階段練習）已知集合，，全集．(1)當時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】（1）根據(jù)補集與交集的運算性質(zhì)運算即可得出答案.（2）若“”是“”的必要條件等價于.討論是否為空集，即可求出實數(shù)的取值范圍.(1)當時，集合，或，．(2)若“”是“”的必要條件，則，①當時，；②，則且，.綜上所述，或．3.（2022·河北滄州·高一開學考試）已知或或，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】由題設、間的關(guān)系可得，根據(jù)集合A、B的描述列方程組求m的參數(shù)即可.【詳解】由是的必要不充分條件，所以，則或，解得：.的取值范圍是.題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍【例1】（2022·全國·高一專題練習）方程至少有一個負實根的充要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】【分析】按和討論方程有負實根的等價條件即可作答.【詳解】當時，方程為有一個負實根，反之，時，則，于是得；當時，，若，則，方程有兩個不等實根，，即與一正一負，反之，方程有一正一負的兩根時，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個實根，必有，此時與都是負數(shù)，反之，方程兩根都為負，則，解得，于是得，綜上，當時，方程至少有一個負實根，反之，方程至少有一個負實根，必有.所以方程至少有一個負實根的充要條件是.故選：C【例2】（2022·廣西欽州·高一期末）若“”是“”的充要條件，則實數(shù)m的取值是_________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)充要條件的定義即可求解.【詳解】，則{x|}＝{x|}，即.故答案為：0.【例3】（2022·河南·南陽中學高一階段練習）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)，屬于同一‘類’”的充要條件是“”．其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“類”的定義計算后可判斷①②④的正誤，根據(jù)集合的包含關(guān)系可判斷③的正誤，從而可得正確的選項.【詳解】因為，故，故①錯誤，而，故，故②正確.若整數(shù)，屬于同一“類”，設此類為，則，故即，若，故為4的倍數(shù)，故除以4的余數(shù)相同，故，屬于同一“類”，故整數(shù)，屬于同一“類”的充要條件為，故④正確.由“類”的定義可得，任意，設除以4的余數(shù)為，則，故，所以，故，故③正確.故選：C.【題型專練】1.（2022·全國·高一課時練習）若“”是“”的充要條件，則的值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知，由此求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，解得，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了充要條件的應用，屬于基礎題.2.（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學校高一階段練習）下列說法正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．“且”是“”的充分不必要條件C．當時，“”是“方程有解”的充要條件D．若P是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件【答案】A