422對(duì)數(shù)函數(shù)（原卷版）

4.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)1．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義一般地，形如y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的函數(shù)，我們稱為對(duì)數(shù)函數(shù)．2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)在其底數(shù)a>1及0<a<1這兩種情況下的圖像和性質(zhì)如下表所示：圖像a>10<a<1函數(shù)性質(zhì)(1)定義域(0，＋∞)；(2)值域R；(3)函數(shù)圖像過定點(diǎn)(1，0)；(4)非奇非偶函數(shù)(5)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(5)在(0，＋∞)上是減函數(shù)；(6)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0；(6)當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0.基礎(chǔ)訓(xùn)練1．已知函數(shù)f(x)＝3x－8－log2x，則f(8)＝()A．－4B．－3C．－2D．42．若a>1，則函數(shù)y＝loga(x＋3)的圖像不經(jīng)過()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．若y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是____________．4．函數(shù)y＝log0.3x的定義域?yàn)開___________，值域?yàn)開___________，在定義域上是____________函數(shù)．5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,10x，x≤0)))，則f[f(－2)]＝____________．[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念例1函數(shù)y＝eq\f(log2（x－1）,\r(2－x))的定義域是()A．(－∞，2)B．(1，2)C．(1，2]D．(2，＋∞)【解析】函數(shù)y＝eq\f(log2（x－1）,\r(2－x))有意義，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－1>0,2－x>0)))?1<x<2，故選B.反思提煉：在對(duì)數(shù)函數(shù)中求定義域，首先要保證真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1，然后再與其它限制條件結(jié)合．【變式訓(xùn)練】求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)(2)f(x)＝eq\r(log\s\do9(\f(1,2))（x－1）)例2已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－ax＋2)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，求a的范圍．【解】∵x2－ax＋2>0，x∈R，即x2－ax＋2>0的解集是R.令x2－ax＋2＝0，∴Δ＝a2－4×2<0，解得：－2eq\r(2)<a<2eq\r(2).考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)例3已知y＝ax是R上的增函數(shù)，y＝logax和y＝(1－a)x的圖像只可能是()ABCD【解析】∵y＝ax是R上的增函數(shù)，∴a>1，1－a<0，∴對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax單調(diào)遞增，圖像是在第一、四象限的曲線，函數(shù)y＝(1－a)x單調(diào)遞減，圖像是過原點(diǎn)的直線，故選D.【變式訓(xùn)練】函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的圖像是()ABCD例4已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，比較feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,15))))和f(5)的大?。窘狻坑蒮(eq\f(1,15))＝|lgeq\f(1,15)|＝|－lg15|＝|lg15|＝lg15，f(5)＝|lg5|＝lg5，∵y＝lgx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴l(xiāng)g15>lg5，即f(eq\f(1,15))>f(5)．【變式訓(xùn)練】設(shè)a＝log0.50.4，b＝0.50.4，則a，b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<bB．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)>bD．不能確定考點(diǎn)3解對(duì)數(shù)方程和對(duì)數(shù)不等式例5方程log2(x＋1)＋log2(x－2)＝2的解是()A．x＝－2B．x＝3C．x＝－2或x＝3D．x＝－1或x＝2【解析】∵log2(x＋1)＋log2(x－2)＝log2(x＋1)(x－2)＝2＝log24，∴(x＋1)(x－2)＝4，解得x＝3或x＝－2，當(dāng)x＝－2時(shí)，x－2＝－4<0，故x＝－2(舍去)，故選B.【變式訓(xùn)練】解方程lg(x2＋11x＋8)－lg(x＋1)＝1.例6解不等式：log(4x－1)>log(2x＋3)．【解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義及單調(diào)性有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4x－1>0,2x＋3>0,4x－1<2x＋3)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4),x>－\f(3,2),x<2)))，所以解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))).【變式訓(xùn)練】不等式log2eq\f(x－1,2)≥0的解集是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，3))考點(diǎn)4對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例7設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)．(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)若f(a)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解】(1)∵f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，∴函數(shù)的定義域?yàn)?－1，1)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，－f(－x)＝－lgeq\f(1－x,1＋x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，∴f(x)＝－f(－x)，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(2)f(a)＝lgeq\f(1＋a,1－a)>0＝lg1，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義及單調(diào)性有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1＋a>0，,1－a>0，,\f(1＋a,1－a)>1，)))解得0<a<1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，1)．【變式訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)＝log7eq\f(x＋3,x－1)，g(x)＝log7(x－1)＋log7(5－x)，F(xiàn)(x)＝f(x)＋g(x)．(1)求函數(shù)F(x)的定義域；(2)若F(a)＞1，求a的取值范圍．[課堂訓(xùn)練]1．下列對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)的是()A．y＝logxB．y＝logxC．y＝logexD．y＝lgx2．對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖像過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，－2)))，則a＝()A．3B．9C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,9)3．函數(shù)y＝lg(x＋1)的值域是()A．(0，＋∞)B．(－∞，＋∞)C．(－∞，0)D．(0，1)4．實(shí)數(shù)log23與log32的大小關(guān)系是()A．log23>log32B．log23<log32C．log23＝log32D．不能確定5．函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x＋3,x－3)是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)6．關(guān)于函數(shù)y＝ax和y＝logax(a>0且a≠1)的圖像位置關(guān)系正確的是()ABCD7．已知log3eq\r(x)＝2，則x＝__