切線問題（學生版） -2025年高考數(shù)學壓軸大題

專題10切線問題

考情分析

函數(shù)與導數(shù)一直是高考中的熱點與難點，用導數(shù)研究曲線的切線是一個主要命題點，如2024年高考全國卷II

卷及2023年全國卷乙卷在解答題中都考查了曲線的切線問題，曲線的切線問題主要涉及求曲線的斜率與方

程、曲線切線的條數(shù)、公切線問題，確定切線滿足條件的切線是否存在或由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍

等.

解題秘籍

(一)求曲線在某點處的切線

求以曲線上的點(xo4xo))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)段)的導數(shù)/(X);

②求切線的斜率/(xo);③寫出切線方程y—/(xo)=Axo)(x—Xo),并化簡.

【例1】(2024屆北京市西城區(qū)北師大附屬實驗中學高三下學期6月熱身練)已知函數(shù)〃x)=x"lnx,其中

a為常數(shù)且awO.

(1)求曲線V=/(%)在x=1處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶當。=1時，若在點J6))[%>：]處的切線/分別與x軸和了軸于，A,3兩點，。為坐標原點，記

的面積為S,求S的最小值.

【解析】(1)f\x)=1Inx+xa~l,x>0.

因為八1)=1,/(l)=0,所以切線方程為>=x-l.

(2)定義域為(0,+8),/'(x)=(alnx+l)婷,令八x)=0,解得…生

11

當。>0時,xe(0,e百，/(x)<0n/(x)的減區(qū)間為(0,「司；

1,1

X6(”,+00)，/(X)>0=/(X)的增區(qū)間為⑹展,+00).

當a<0時，xe(o,e3)，/'(x)>0n〃x)的增區(qū)間為(。，”)；

xe，/'(X)<°="外的減區(qū)間為(屋；+對)?

(3)當。=1時，/(x)=xlnx,/(x)=l+lnx.切線/：y=(lnx0+l)(x-x0)+x0lnx0,

%lnx。一x

r八0—/\J

令x=0,%=f<0；令y=0,xA

Inx0+1Inx0+1

5=—||||=-----——.

2'812lnx0+l

,幾/、/12x(lnx+l)-xx(2Inx+1)

設g(')=7^------KgOO二F一-^T-

2(lnx+1)e2(lnx+l)2(lnx+l)2

xe(-,e-?),g'(x)<0ng(x)在(Le^)單調(diào)遞減;

ee

Xe（eW+oo），g'（x）＞°ng（』在仁士+⑹單調(diào)遞增?

-1111

所以g（x）》g（e2）=-.所以當x=”時，S的最小值為一.

e°e

（二）求曲線過某點的切線

yo-f（xo），

求曲線過某點的切線，一般是設出切點（xoM）,解方程組卜1一次一、得切點（XOM）,進而確定切線方程.

—J（X0）,

XI—X0

【例2】（2024屆江蘇省南通市高三下學期模擬預測）設。＞0,函數(shù)/（x）=ax3-2x+l.

（1）3a=1時,求過點（0,-1）且與曲線y=f（x）相切的直線方程:

（2）和三是函數(shù)“X）的兩個極值點，證明：/'（xj+/（x2）為定值.

【解析】（1）當。=1時，f（x）=x3-2x+1,則導數(shù)（無）=3/-2.

設切點為卜0/；-2%+1）,則/'〈Xo）=3x；-2,

所以切線方程為＞-（器-2%+1）=（3"一2）（》-%）.

又切線過點（0,T）,貝卜1一卜；-2/+1）=（3京-2）（0-%）,

整理得，1x1=2,解得%=1.

所以過點（。,T）且與曲線＞=〃x）相切的直線方程為y=x-l.

(2)證明：依題意，f'(x)=3ax2-2(a>0),令/'(x)=0,得)=土,

X-工舟8)

/'（X）

+0-0+

/W/極大值極小值/

不妨設再<%2，則再=-J--,X?2

V3a3a

x=ax-28I

/(占)+f(2)\一2再+1+axl-2X2+1

所以/(xj+)(x2)為定值.

(三)求曲線的切線條數(shù)

求曲線切線的條數(shù)一般是設出切點化/(。)，由已知條件整理出關于t的方程，把切線條數(shù)問題轉化為關于t

的方程的實根個數(shù)問題.

【例3】(2024屆陜西省西安市第一中學2024屆高三下學期模擬)已知函數(shù)

/(x)=x2+3x+3,g(x)=2ex+1-x-2.

⑴判斷g(x)的零點個數(shù)；

⑵求曲線V=與曲線>=g(x)公切線的條數(shù).

【解析】(1)解：由函數(shù)g(x)=2e同-X-2,可得其定義域為(7,+8),且g，(x)=2尸-1,

令g'(x)>。，得無>—1—ln2；令g(x)<0,得x<—1—ln2,

可知g(x)在(-8,T-ln2)上單調(diào)遞減，在(-1-如2,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(-l-ln2)=ln2>0,故g(x)的零點個數(shù)為0.

(2)解：因為/(x)=x2+3x+3,g(x)=2e，M-x-2,所以/'(尤)=2；￡+3若'0)=26川-1,

所以曲線N=/(x)在點(占,才+3%+3)處的切線方程為：

y+3X]+3)=(2再+3)(x-xJ,即y=(2元]+3)x-x；+3,

+1

曲線尸g。)在點卜2,2e*w-％-2)處的切線方程為：y-(2e^-x2-2)=(2e0-l)(x-x2),

2*1-1=2%+3e'H=占+2

即y=(2e*+i_1)x+(2—2%)e*+i_2,令，

(2—2%)6強+1-2=-%2+3'可得'l2+1,

(2-2x2)e-2=-x^+3

消去乙，整理得片一5+[4-21n(%+2)](再+2)=0,

令%+2=/(/>0),可得「一2八n/—l=0,等價于f-21n/-l=0,

設〃⑺=f-21n—[Q>0),貝!]〃《)=包?20,所以〃⑺在(0,+勸上單調(diào)遞增，

tt

又因為她)=0,所以為/)在(0,+CO)上有唯一的零點XI,

由網(wǎng)+2=1,得玉=-1,所以曲線y=/(x)與曲線y=g(x)有且僅有一條公切線.

(四)曲線的公切線

研究曲線的公切線，一般是分別設出兩切點，寫出兩切線方程，然后再使這兩個方程表示同一條直線.

【例4】(2024屆湖南省長沙市第一中學高三上學期月考)已知函數(shù)/(x)=ek",g(x)=ln(x+l),aeZ.

⑴若a=T.求證：/(x)>g(x)；

(2)若函數(shù)〃x)與函數(shù)g(x)存在兩條公切線，求整數(shù)。的最小值.

【解析】(1)當°=-1時，〃x)=ei,

1

令〃(x)=/(x)-g(x)=ex-1-ln(x+l),x>-l,則=e"T

x+1

0

令加(x)=e--二y,因為加(x)=e'T+(二)2>，

所以加(x)在區(qū)間(T+8)上單調(diào)遞增，Mm(0)=1-l<0,m(l)=l-1=|>0,

所以存在x°e(O,l),滿足e'i=占,

工0十1

當xe(T,x())時,刃(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減;當無時，加(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增;

則當X=Xo時，刀⑺取得最小值,

1,1「Jr")-2=0,

可得人(x())=e"-ln(x()+J=-----Fxn-1=----F+1—222

x0+l°x0+l°

因為x°e(O,l),所以一^=%+1不成立，故等號不成立，則〃(%)>(),

%+1

所以當a=T時，/(x)>g(x).

(2)設公切線/與兩函數(shù)的圖象分別相切于點/(再?*)和點2(無2，也優(yōu)+1)),

因為/'(x)=e?,g'(x)=!，

所以直線/的方程可表示為了一戶+"=卜+"(》一七)或了一山(工2+1)=占(》-%),

則有於*=匕，①

x2+1

(If)丁

A~)i~1X,"T-J.

代入②可得［。+1+山(12+1)］」^=皿工2+1)+」^-1

由①可得再=-ln(x+l)-tz

2I1I1

即a=x2ln(x2+l)-(x2+1),令/=/+1/w(。,+“)，則Q=,

令0?)=?-1)1皿一￡,則卬?)=1皿一1,/e(0,+oo),

所以由復合函數(shù)的單調(diào)性可知w'⑺在區(qū)間(0,+旬上單調(diào)遞增，

又M(l)=_l<0,M(2)=ln2一;>0,

根據(jù)零點存在定理知，存在小e(l,2),使得叫=；,

所以W”)=?-1)In/T在區(qū)間(0/)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(％,+8)上單調(diào)遞增.

因為>="+；在(1,2)上單調(diào)遞增，所以2</。+；<］,

貝UW⑺mm=卬(%)=&T)1叫一。=1-％+：

又。為整數(shù)，所以a?-l,故所求整數(shù)。的最小值是T.

(五)確定滿足條件的切線是否存在或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍

此類問題或判斷符合條件的切線是否存在，或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍，求解思路是把切線滿足

條件轉化為關于斜率或切點的方程或函數(shù)，再根據(jù)方程根的情況或函數(shù)性質(zhì)去求解.

【例5】(2024屆重慶市南開中學校高三第九次質(zhì)量檢測)已知函數(shù)/(x)=ae，,g(x)=Inx+仇a,6eR).

(1)當6=1時，/(尤)之g(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)已知直線卜4是曲線>=g(x)的兩條切線，且直線4、4的斜率之積為1.

(i)記％為直線4、4交點的橫坐標，求證：/<1；

(ii)若［、4也與曲線y=/(x)相切，求的關系式并求出6的取值范圍.

【解析】(1)由于ae，21nx+l,貝

ex

設歹(x)=與)，則尸，(同=上=1，/⑴=0,旦尸］_瓦_1在(0,+功上單減，

令F(x)>0得0<x<l,令尸'(x)<0得x>l,

所以尸(x)在(0,1)單調(diào)遞增,。,+⑹單調(diào)遞減,所以尸1)厘=尸⑴,則尸⑴=L

e

(2)(i)設兩條切線在g(x)上的兩個切點橫坐標分別為演,乙,

有g'(xJg'(X2)=『F=l,BPxtx2=1,

此時，切線為：y-(lnxI+b)^—(x-xI),y-(lwc2+b)=：—(x-x2),

lnx2-InXjlnx2+lnx221nx2

相減得皿_皿=(x2-xt)x,所以

71

設左(x)=21nx-,^(x)=--l-4<0,所以左⑺在(0,+動上單調(diào)遞減.

XX

故當xe(O,l)時,左(x)>左(1)=0,所以0>2lux>

21nx),

r<i

當xe(l,+e)時,左(x)〈女(1)=0,所以0<21nx<x,則為

%2--------

-X]

(ii)由題意得：存在實數(shù)S",使〃尤)在x=s處的切線和g(x)在x=t處的切線重合,

所以/'(S)=g'⑺="s)]g("，即皿'=1=竺±女=七空，

STts-ts-t

貝s-t=1—/In/—bti5=1—/In%—{b—1)￡,

又因為ae，=-=>Ina+s=-In/,所以lnQ=—ln，-s=-lm-l+〃n/+(b-l)/,

題目轉化為〃⑺=-ln^-1+tint+伍-1"=Ina有兩個不等實根，且互為倒數(shù),

不妨設兩根為加,工，

m

貝[J由h(m)=|得一In加一1+加Inm+(b—1)冽=-In——1+—In—+(6-1)—,

\m)mmmm

"(5)=(1)山

化簡得lira=]

m+1—2冽\—m

mH----2

m

所以In。=(m-1)Inm-l=9一1)(一1—加)—1+9-1)加=—b,

所以6=-lna,(也可寫為a=e-〃

代入〃0中得：=Tnt-1+tint+(b-i)t=-b有兩個不等實根,

(7-l-lmju+l)—(1—f)lm-—z—21nz

即6一1=7/皿,設G⑺=3/皿6(。=

("1)2("Ip

由于8（。=；7-1m在（0,+。）上單調(diào)遞減且〃⑴=0,

所以G⑴在（0,1）單調(diào)遞增，（1,+8）單調(diào)遞減，

而f無限趨近于0時，G（f）無限趨向于負無窮大，，無限趨近于正無窮大時，G。）無限趨向于負無窮大，

G⑴=0,所以6-1<0,即8<1.

（六）圓錐曲線中拋物線的切線問題

V2

拋物線x?=2刀（p/0）,可以化為函數(shù)了=~，所以我們可以利用導數(shù)研究拋物線的切線問題。

【例6】（2024屆江蘇省南通、揚州、泰州七市高三第三次調(diào)研）已知拋物線C：/=2抄5>0）的焦點為

F,直線/過點尸交C于43兩點，C在43兩點的切線相交于點的中點為0,且尸。交C于點

E.當/的斜率為1時，|/同=8.

（1）求C的方程；

（2）若點尸的橫坐標為2,求|。目；

⑶設C在點E處的切線與尸4P8分別交于點,求四邊形28MW面積的最小值.

【解析】（1）由題意，直線/的斜率必存在.

設直線/的方程為y=履+,/（再,必,

pA>0,

y—_|__

聯(lián)立，2得一2〃而一,2=0,（*）,所以<再+工2=22左

2

X?=2py[Xlx2^-p.

當左=1時，&+x2=2p,

此時|/卻=必+%+0=（再+5）+[2+5]+0=（%+/）+20=8,

所以"=8,即。=2.所以C的方程為/=46

（2）由（1）知,X1+x2=2pk=4k,

則％=2左，代入直線>=船+1得及2=2獷+1,則NB中點。（2左,2/+1）.

因為丁=47，所以>=T，

則直線尸/方程為尸乂=5（x-xJ,即”;網(wǎng)x-3；,

同理，直線m方程為了=:”-:*，所以舂=4?4?邃=21,

24*-切2

x?+xj—或班=_],所以P（2人,一1）.

P444

因為馬=2,24=2,即左=1,此時0（2,3）,尸（2,-1）,

所以直線尸。的方程為x=2,代入/=外，得y=l,所以E（2,l）,所以1。?=2.

（3）由⑵知。（2左,2/+1）,尸（2左,-1）,所以直線產(chǎn)。方程為x=2鼠

代入x2=4y,得y=^,所以5（2￡/），所以￡為尸。的中點.

因為C在E處的切線斜率了=；*2后=后，

所以C在E處的切線平行于AB,

3

又因為E為尸。的中點，所以S四邊形又如?

由⑴中（*）式得/一4質(zhì)-4=0,所以再+9=4k,

因為直線AB方程為夕=履+1,

所以\AB\=yx+y2+P=（^i+1）+（狂2+1）+2=左（玉+々）+4=4k2+4.

|2^2+2|r--

又尸（2人,一1）到直線AB的距離h=1,1=2+1,

11____J

所以S"P=5|48卜〃=5-（4左2+4）?2"71=4（左2+1）三4,

（當且僅當后=0時取“=”）

3

所以S四邊形3VM=-^5P>3,所以四邊形ABNM的面積的最小值為3.

典例展示

【例1】(2024屆廣東省汕頭市潮南區(qū)高三下學期高考考前測試)已知函數(shù)/(x)=x(e，-a/).

⑴若曲線V=/(x)在x=-l處的切線與V軸垂直，求y=/(x)的極值.

(2)若/(x)在(0,+8)只有一個零點，求生

【解析】⑴函數(shù)/(x)=x(e'-ax2)的定義域為R,求導得=(尤+1押-3a/,/'(-1)=-3”，

依題意，/'(T)=。，則。=0,f(x)ex=(1+x)ex.

當尤<—1時，f\x)<0,當x>-1時,f(x)>0,

因此函數(shù)/(X)在(-項-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(X)在x=-1處取得極小值/(-1)=--,無極大值.

e

(2)函數(shù)/(x)=x(e“-"2)在(0,+oo)只有一個零點，等價于歹二^-。/在(0,+8)只有一個零點,

設ga)=e“-a/,則函數(shù)g(x)在(0,+8)只有一個零點，當且僅當g(x)=0在(0,+8)只有一解，

即在(0,+?0只有一解，于是曲線尸晨x>0)與直線y只有一個公共點，

XX

令夕(工)==(工>0),求導得=(%)=??),當工<2時，(p{x)<0,當x>2時，^?(%)>0,

XX

因此函數(shù)0(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

2

函數(shù)o(x)在X=2取得極小值同時也是最小值9(2)=—e,

當X-0時，°(x)f+8；當Xf+8時，°(x)f+8,

2

所以/(%)在(0,+8)只有一個零點口寸，a=Je.

4

【例2】(2024屆陜西省安康市高新中學高三下學期模擬考試)已知函數(shù)/(x)=〃eX(〃wO),g(x)=x2,g，(x

為g(x)的導函數(shù).

⑴證明：當0=1時，Vxe(0,+oo),/(x)>g,(x)；

⑵若/(x)與g(x)有兩條公切線，求a的取值范圍.

【解析】(1)當°=1時，f(x)=eT,g'(x)=2尤，

Vxe(O,+8)J(x)>g'(x)等價于證明Vxe(O,+⑹,e*>2x,

令〃(x)=e*-2x(x>0),〃(x)=e*-2,

當0<x<ln2時,/z,(x)<0,在(0,ln2)上單調(diào)遞減,

當x>ln2時，"(x)>0,〃(力在(ln2,+oo)上單調(diào)遞增，所以Mx"http://(ln2)=2-21n2>0,

所以Vxe(0,+8),e*>2x,即Vxe(0,+co),/(%)>(x)；

(2)設一條公切線與/3=湛名("=》2切點分別為(而,°巧,12，后)，

x,x,

則/'(x)=ae\g'(x)=2x,可得切線方程為y-ae=ae(x-xj,y-x^=2x2(x-x2),

fQe』=2x

因為它們是同一條直線，所以X2

[-x^e1+ae'=-x^

可得。=勺/，令P(x)=。^，

若/■(X)與g(x)有兩條公切線，則7=竺=與y=。的圖象有兩個交點，

e

則//(0=下巴當x<2時，p'(x)>0,p(x)在(-8,2)上單調(diào)遞增，

當x>2時，p'(x)<0,p(x)在(2,+s)上單調(diào)遞減，所以p(x)4P(2)=，，

且當x>l時，p(x)>0,當x<l時，p(x)<0,可得p(x)的大致圖象如下圖，

【例3】(2024屆天津市和平區(qū)高三三模)已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=nx2+mx(n,meR),

，(x)=/(x)+g(x).

(1)若"=o,函數(shù)a(無)存在斜率為3的切線，求實數(shù)機的取值范圍;

(2)若〃=；,試討論函數(shù)〃卜)的單調(diào)性；

⑶若分0,設函數(shù)/(x)的圖象。與函數(shù)g(x)的圖象。2交于兩點43，過線段48的中點〃作x軸的垂

線分別交G、于點E,問是否存在點a,使q在。處的切線與在E處的切線平行？若存在，求

出點打的橫坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】(1)因為"=0，所以力(x)=lnx+"ix,//(x)=-+m,

因為函數(shù)〃(x)存在斜率為3的切線，所以“(》)=1+加=3在(0,+8)有解，

所以g=3-加＞0,得加＜3,所以實數(shù)機的取值范圍為(-嗎3).

(2)因為〃=g,所以〃(x)=Inx+gx?+/MX(X＞0),h'[x)=—+x+m=X+mx+^

令〃'(x)=0,gpx2+/nx+l=0,A=m2-4,

(i)當A=m2-4vo時，即一24加工2^(%)＞o,M、)在(°，+")上單調(diào)遞增?

(ii)當A=m2—4＞0時，即加＜一2,或加〉2,

一加+J加2-4

x2+mx+1=0有兩根再，%，玉=———三——，x

22

①當加〉2時，項＜、2＜。，%￡(0,+8)時，〃(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

②當冽＜一2時，0＜西＜X2，]￡(0,再)時，xe(x1?x2)時，//"(%)<0,X￡(%2，+8)時,

/z'(x)>0,

〃(x)在(0,再)，(/，+。)上單調(diào)遞增，在(再,/)上單調(diào)遞減.

綜上，當加“2時，函數(shù)〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

f1

-m-ylm-4F+?2—4,+S上單調(diào)遞增，在

當沈＜-2時，函數(shù)力(X)在0,

2

/

-m—ylm1-4-m+ylm1-4

上單調(diào)遞減.

22J

(3)

設點A,B的坐標為（國,必）,（9，%），JL0<%]<x2,

y1=In%]="x；+mxl,y2=lax,=nx1+mx2,

則點。與點￡的橫坐標均為五產(chǎn)，/，（x）=-,g'（x）=2〃x+"?,

乙X

所以C1在點。處的切線斜率為K=-^―，。2在點E處的切線斜率為k2=2n-3/+m=n^+x2）+m,

Xi十幺

假設Q在點。處的切線與C2在點E處的切線平行，則有k\=h，

即-----=?（x1+x2）+m,則有下式成立：

再十%

2（"——=n（x；_X；）+加（12一%）=[nx2+mx2）_（"X；+加再）

i-l

=%-乂=-111^1=In"，即In七=2億一%)=5____,

西‘一司再+%21+邃

再

設匹=/>i,有1皿=止9,設4）=1皿-止D?>i）,

再1+/1+t

14

貝1]/。）=-一7~萬=4~q>°，所以在（1，+8）上單調(diào)遞增，

t（Z+1）/（/+1）-

故廠（。>r（1）=0,即加>鼻/,與1皿=差?矛盾，所以假設不成立，

所以不存在點〃使。在點。處的切線與。2在點石處的切線平行.

【例4】（2024屆上海市七寶中學高三三模）若曲線C的切線/與曲線C共有"個公共點（其中“eN,

n>l）,則稱/為曲線C的“切線”.

⑴若曲線了=/（x）在點（1,-2）處的切線為心-切線，另一個公共點的坐標為（3,4）,求/'⑴的值；

⑵求曲線y=V-3/所有7；-切線的方程；

（3）設〃x）=x+sinx,是否存在小（0,方，使得曲線y=〃切在點?，/⑴）處的切線為『切線？若存在,

探究滿足條件的/的個數(shù)，若不存在，說明理由.

【解析】(1)依題意，該切線的斜率為?義=3,因此/(1)=3.

(2)由》=/一3%2,求導得￡=3%2_6X，

貝!J曲線>3—在(鵬,其一3焉)處的切線方程為：》一(只一3片)=(3*一6x0)(x—%),

32

令h(x)=%—3工2—(3x；-6XQ)X+3XQ-6x；-xj+3XQ,=(x—x0)(x+2x0-3),

此切線為4-切線，等價于方程以x)=0有且僅有一個根，即X°=3-2%,即％。=1,

所以曲線>的(一切線僅有一條，為>=_3x+l.

(3)由(x+sinxy=l+cosx,得曲線歹二/(%)在點?,[?))處的切線方程為：

y-￡-sin￡=(l+cos￡)(x-。,gpj；=(1+cost)x+sinZ-Zcost,

令g(x)=(x+sinx)-[(1+cost)x+sint-tcost]=sinx-xcos，-sin，+，cos，，

兀

求導得g'(x)=COSx-cost,由fe(0,5),得coste(0,1),

對后eZ,當xw(2hr7,2E+/)時，g'(x)=cosx-cosf>0/=g(x)為嚴格增函數(shù)；

當xe(2hr+1,2hr+2n-t)時，g'(x)=cosx-cos?<0,y=g(x)為嚴格減函數(shù)，

函數(shù)>=g(x)所有的極大值為g(2hi+0=-2fercosf,

當左=0時，極大值等于0,即g?)=0,

當上為正整數(shù)時，極大值全部小于0,即尸g(x)在9+功無零點，

當上為負整數(shù)時，極大值全部大于0，

函數(shù)〉=g(x)所有的極小值為g(2hc-?)=(2Z-2fat)cosZ-2sint,

當人=0時，極小值g(~t)=2fcosf-2sinf=2cost(t-tan/)<0,

且隨著k的增大，極小值(2/-2版)cosf-2sinf越來越小，

TT

因此V=/(X)在點(t,f(t))(O<t<5)處的切線為4一切線，

等價于>=g(x)有三個零點，等價于(2/+2兀)cosf-2sinf=0,即tant-蚱兀有解，

令/z(f)=tanf-f,則〃?)=—4——1=tan2/>0,

COSt

因此y=h(t)為(0,1o上的嚴格增函數(shù)，因為〃(0)=0<71,/?(-|)~12.6>71,

JT

于是存在唯一實數(shù)t€(0,萬)，滿足tanf-蚱兀，

jr

所以存在唯一實數(shù)/e(%),使得曲線y=在點億出)處的切線為T3-切線.

【例5】（2024屆福建省泉州第五中學高三下學期適應性監(jiān)測）已知拋物線C-.x2=2py（p>0）的焦點為F,

。為坐標原點，拋物線C上不同兩點￡8同時滿足下列三個條件中的兩個：?\FA\+\FB\^AB\.②

|OA|=|OS|=|AB|=8百；③直線AB的方程為歹=6。.

（1）請分析說明/，8滿足的是哪兩個條件？并求拋物線C的標準方程；

⑵若直線4?經(jīng)過點”（0,俏）（">0）,且與（1）的拋物線C交于4,2兩點，N（0,n）,若

AMNA=ZMNB,求一的值；

n

⑶點B,E為（1）中拋物線C上的不同三點，分別過點aB,￡作拋物線C的三條切線，且三條切線

兩兩相交于M,N,P,求證：△加、P的外接圓過焦點發(fā)

【解析】⑴若同時滿足①②：由舊|+照|=|叫，可得過焦點尸口身，

當時，|Z8|=2p而|0/|=|08|=9〃刃/5|=20,所以①②不同時成立

若同時滿足①③由①\FA\+\FB\^AB\,可得AB過焦點

因為直線N8的方程為y=6p,不可能過焦點,所以①③不同時成立

只能同時滿足條件②③，因為②|OA|=|OB|=|AB|=873；

7T

且直線的方程為y=6p,所以6P=|O4|sing=12,解得p=2.

所以拋物線C的標準方程為x2=4y.

（2）如圖:

設直線48的方程為y=h+"z（左#0）,/（國,%）,3（/，%），

y=kx+m

聯(lián)立方程組x2=4y，整理得d-i=0,

則占+%=4hxjx?=-4優(yōu).因為NMNA=NMNB,直線/N,8N的斜率之和為0,

即的、+JN=g+口=\（必-〃）+機-〃）=0,

再x2xrx2

所以馬（%一〃）+玉（%—/（何+m-n）+xx[kx2+m-n）=2kxxx2+（m-H）（^+x2）=0,

即2kxix2+（加一〃）（再+%）=2左?（-4m）+（m-n）（4k）=0,

所以一4人（加+〃）=0,gp—=-1.

n

(3)設過點/,B,E的三條切線分別為，傾斜角分別為%，。2，%，

令

,-X111,112

zpt=x

由）=5得：tanax^i^tana2=—x2,tana3=—x2i：y=-xxx-—xx

所以4：y-~x\x~~xi；12：J7-X2X-X2?,3：y~^X3X~~^X3?

聯(lián)立44直線方程可得后衛(wèi),

聯(lián)立454直線方程可得N(223

11

一再X?

tan/MPN-tan（a,-a?]=—2——4—=2?——上一

1+H/匹+4

演工3]x2x3]

4_xx—4

x3k~4=X2X3-4

又'''^MF=，?NF

%1+工32（西+%3）工2+工32（々+X3）’

22

xxx3-4x2x3-4

2（$+%）2（%+%）=2（網(wǎng)一切卜；+4）=之,x,-x

tanZMFN=k^-k^2

1+^MF,《NFI1（』三一4）（不巧-4）（4+2乂W+4）4+X1X2

4（/+1）（工2+W）

所以tan/〃PN=tan/AffNn/MPN=NMFN.

所以：",尸,P,N四點共圓，即△〃△力的外接圓過焦點尺

跟蹤檢測

1.(2024屆北京市陳經(jīng)綸中學高三下學期三模)已知〃x)=24-alnx-辦-1.

⑴若〃=-1,求曲線V=/(x)在點P(L2)處的切線方程；

(2)若函數(shù)y=/(x)存在兩個不同的極值點外,三,求證：/(^)+/(^2)>0.

2.(2024屆山東省青島第五十八中學高三下學期二模)已知函數(shù)"X)=lnx+ax2-x+a+1.

⑴證明曲線V=/(x)在x=l處的切線過原點；

(2)討論/(x)的單調(diào)性;

3.(2024屆四川省成都市樹德中學高三下學期適應性考試)已知函數(shù)/(x)=x-alnx,aeR.

(1)當。=2時，曲線了=/(“與曲線/3=-d+加恰有一條公切線了=-x+t,求實數(shù)機與/的值；

(2)若函數(shù)〃(%)=》-。山龍-^有兩個極值點再,％2(無1<%)且/7(%)-刀(西)2-：,求。的取值范圍.

4.(2024屆建省泉州市高中畢業(yè)班5月適應性練習)已知函數(shù)/(xbGJzxZ-Zx+MaNO).

⑴當。=1時，若直線>=-3》+6與曲線y=/(x)相切，求。；

(2)若直線y=-2x-2與曲線7=/(力恰有兩個公共點，求。.

5.(2024山東省青島市高三第三次適應性檢測)己知O為坐標原點，曲線/(x)=alnx在點P(1,O)處

的切線與曲線g(x)=e，+6在點0(0,1+6)處的切線平行，且兩切線間的距離為行，其中b>0.

⑴求實數(shù)a,b的值；

⑵若點"，N分別在曲線y=f(x),j=g(