專題61概率（必修）（精講精析篇）-新高考高中數(shù)學核心知識點全透視（原卷版）

專題6.1概率（必修）（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.結合隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性實驗，考查對概率意義及基本性質的理解，凸顯數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．2．結合概率的意義及事件的概念，考查事件的關系及運算，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．理解古典概型及其概率計算公式，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．4．結合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率計算公式，凸顯數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.事件與概率(1)了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別.(2)了解兩個互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率計算公式.(2)會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

3.了解事件的獨立性.三、主干知識梳理1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫相對于條件S的不可能事件隨機事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機事件2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱為A的概率．3．事件的關系與運算定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．事件與集合間的對應關系事件集合必然事件全集不可能事件空集(?)事件B包含于事件A(B?A)集合B包含于集合A(B?A)事件B與事件A相等(B＝A)集合B與集合A相等(B＝A)事件B與事件A的并事件(B∪A)集合B與集合A的并集(B∪A)事件B與事件A的交事件(B∩A)集合B與集合A的交集(B∩A)事件B與事件A互斥(B∩A＝?)集合B與集合A的交集為空集(B∩A＝?)事件A的對立事件集合A的補集(?UA)5．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．(6)對于事件A與事件B,有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)P(A∩B)6．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．7．古典概型(1)古典概型的特點①有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)).8.事件的獨立性(1)對于事件、，若的發(fā)生與的發(fā)生互不影響，則稱、是相互獨立事件．(2)若與相互獨立，則與，與，與也都相互獨立．(3)若，則與相互獨立．二、真題展示1.（2021·江蘇高考真題）邏輯表達式等于（）A． B． C． D．2.（2021·全國高考真題（文））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8考點01隨機事件間的關系

【典例1】（2021·全國高一課時練習）在200件產(chǎn)品中，192有件一級品，8件二級品，則下列事件：①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是一級品；④在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，至少一件是一級品．其中的隨機事件有（）A．①③ B．③④ C．②④ D．①②【典例2】（2021·全國高一課時練習）把紅、黃、藍3張卡片隨機分給甲、乙、丙三人，每人1張，事件：“甲得紅卡”與事件：“乙得紅卡”是（）A．不可能事件 B．必然事件C．對立事件 D．互斥且不對立事件【典例3】（2021·全國）有下列說法：（1）某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結果都是出現(xiàn)6點，他認為這枚骰子的質地是均勻的．（2）某地氣象局預報，明天本地下雨概率為70%，由此認為明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨．（3）拋擲一枚質地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是．（4）圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，認為一定有一次會摸到黑子．其中正確的個數(shù)為（）A．0 B．2 C．3 D．1【總結提升】1.判斷一個事件是隨機事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件)．2.列舉試驗的所有可能結果的方法(1)結果是相對于條件而言的，要弄清試驗的結果，必須首先明確試驗的條件；(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗，按照一定的順序列舉所有可能的結果．可應用畫樹形圖、列表等方法，這樣才能不重不漏地列舉出所有可能結果．3.判斷互斥事件、對立事件的2種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件（2）集合法：=1\*GB3①由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．=2\*GB3②事件A的對立事件A所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集考點02隨機事件的頻率與概率【典例4】（2021·全國）下列說法正確的是（）A．任何事件的概率總是在，之間B．頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關C．隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率一般會穩(wěn)定于概率D．概率是隨機的，在試驗前不能確定【典例5】（2021·全國高一課時練習）下列說法正確的是________.(填序號)①頻率反映事件出現(xiàn)的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大小；②做n次隨機試驗，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率P(A)＝；③含百分比的數(shù)是頻率，但不是概率；④頻率是不能脫離n次隨機試驗的試驗值，而概率是脫離隨機試驗的客觀值；⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.【總結提升】1.隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復試驗的情況下，隨機事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計的角度，通過計算事件發(fā)生的頻率去估算概率．2.隨機事件的頻率與概率的常見題型及解題策略(1)補全或列出頻率分布表．可直接依據(jù)已知條件，逐一計數(shù)，寫出頻率．(2)由頻率估計概率．可以根據(jù)頻率與概率的關系，由頻率直接估計概率．(3)由頻率估計某部分的數(shù)值．可由頻率估計概率，再由概率估算某部分的數(shù)值．考點03互斥事件與對立事件的概率【典例6】（2018年全國卷Ⅲ文）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【典例7】【多選題】（2021·山東萊西·高一期末）甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，若甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則下列結論正確的為（）A．兩人都中靶的概率為0.72B．恰好有一人中靶的概率為0.18C．兩人都脫靶的概率為0.14D．恰好有一人脫靶的概率為0.26【典例8】（2020·天津一中高一期末）擲一枚骰子的試驗中，出現(xiàn)各點的概率均為，事件表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，則一次試驗中，事件（表示事件的對立事件）發(fā)生的概率為______.【典例9】（2020·全國高一課時練習）某商場有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為，求：(1)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．【總結提升】求復雜的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)間接法(正難則反)考點04古典概型

【典例10】（2021·山東高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點中任選一處，那么甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率是（）A． B． C． D．【典例11】（2019年高考全國Ⅱ卷文）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為（）A． B．C． D．【規(guī)律方法】(1)一個試驗是否為古典概型，在于是否具有兩個特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的試驗都是古典概型，下列三類試驗都不是古典概型；①基本事件個數(shù)有限，但非等可能．②基本事件個數(shù)無限，但等可能．③基本事件個數(shù)無限，也不等可能．【易錯提醒】確定基本事件空間可以采用“樹圖法”、“列表法”，要注意確定的基本事件不重不漏.考點05古典概型與統(tǒng)計相結合【典例12】(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動．(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？(2)設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；②設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．【典例13】（2018年文北京卷）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；（Ⅲ）電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大？（只需寫出結論）【典例14】(2017·北京文，17)某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．【典例15】（2019·天津高考真題（文））2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調查專項附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；（ii）設為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件發(fā)生的概率.【典例16】（2020·湖北荊門外語學校）2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢嚴峻，避免外出是減少相互交叉感染最好的方式.全國大?中?小學生都開始了網(wǎng)上學習.為了了解某校學生網(wǎng)上學習的情況，從該校隨機抽取了40位同學，記錄了他們每周的學習時間，其頻率分布直方圖如下：（1）求的值并估計該班學生每周學習時間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.（2）在該樣本中每周學習時間不少于50小時的同學中隨機的抽取兩人，其中這兩人來自不同的組的概率是多少？1.（2021·全國）下列敘述隨機事件的頻率與概率的關系中哪個是正確的（）A．隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率B．頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關C．概率是隨機的，在試驗前不能確定D．頻率就是概率2．（2020·山東高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教室的概率是（）A． B． C． D．3．（2019·福建高一期末）已知隨機事件中，與互斥，與對立，且，則（）4.（2021·全國高一課時練習）甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若，就稱“甲、乙心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A． B． C． D．5.（2020·山東高三其他）寧波古圣王陽明的《傳習錄》專門講過易經(jīng)八卦圖，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“—”表示一根陽線，“——”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為（）A． B． C． D．6．（2020·貴州高二學業(yè)考試）若A，B為對立事件，則下列式子中成立的是（）A． B． C