專題61概率（必修）（精講精析篇）-新高考高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)全透視（原卷版）

專題6.1概率（必修）（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.結(jié)合隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)，考查對(duì)概率意義及基本性質(zhì)的理解，凸顯數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合概率的意義及事件的概念，考查事件的關(guān)系及運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．理解古典概型及其概率計(jì)算公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．4．結(jié)合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率計(jì)算公式，凸顯數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.事件與概率(1)了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別.(2)了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率計(jì)算公式.(2)會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

3.了解事件的獨(dú)立性.三、主干知識(shí)梳理1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫相對(duì)于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫相對(duì)于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A發(fā)生的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．事件與集合間的對(duì)應(yīng)關(guān)系事件集合必然事件全集不可能事件空集(?)事件B包含于事件A(B?A)集合B包含于集合A(B?A)事件B與事件A相等(B＝A)集合B與集合A相等(B＝A)事件B與事件A的并事件(B∪A)集合B與集合A的并集(B∪A)事件B與事件A的交事件(B∩A)集合B與集合A的交集(B∩A)事件B與事件A互斥(B∩A＝?)集合B與集合A的交集為空集(B∩A＝?)事件A的對(duì)立事件集合A的補(bǔ)集(?UA)5．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．(6)對(duì)于事件A與事件B,有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)P(A∩B)6．基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．7．古典概型(1)古典概型的特點(diǎn)①有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).8.事件的獨(dú)立性(1)對(duì)于事件、，若的發(fā)生與的發(fā)生互不影響，則稱、是相互獨(dú)立事件．(2)若與相互獨(dú)立，則與，與，與也都相互獨(dú)立．(3)若，則與相互獨(dú)立．二、真題展示1.（2021·江蘇高考真題）邏輯表達(dá)式等于（）A． B． C． D．2.（2021·全國(guó)高考真題（文））將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8考點(diǎn)01隨機(jī)事件間的關(guān)系

【典例1】（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在200件產(chǎn)品中，192有件一級(jí)品，8件二級(jí)品，則下列事件：①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級(jí)品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級(jí)品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是一級(jí)品；④在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，至少一件是一級(jí)品．其中的隨機(jī)事件有（）A．①③ B．③④ C．②④ D．①②【典例2】（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）把紅、黃、藍(lán)3張卡片隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人1張，事件：“甲得紅卡”與事件：“乙得紅卡”是（）A．不可能事件 B．必然事件C．對(duì)立事件 D．互斥且不對(duì)立事件【典例3】（2021·全國(guó)）有下列說(shuō)法：（1）某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)6點(diǎn)，他認(rèn)為這枚骰子的質(zhì)地是均勻的．（2）某地氣象局預(yù)報(bào)，明天本地下雨概率為70%，由此認(rèn)為明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨．（3）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是．（4）圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機(jī)摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，認(rèn)為一定有一次會(huì)摸到黑子．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．2 C．3 D．1【總結(jié)提升】1.判斷一個(gè)事件是隨機(jī)事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機(jī)事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件)．2.列舉試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的方法(1)結(jié)果是相對(duì)于條件而言的，要弄清試驗(yàn)的結(jié)果，必須首先明確試驗(yàn)的條件；(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，按照一定的順序列舉所有可能的結(jié)果．可應(yīng)用畫(huà)樹(shù)形圖、列表等方法，這樣才能不重不漏地列舉出所有可能結(jié)果．3.判斷互斥事件、對(duì)立事件的2種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件（2）集合法：=1\*GB3①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．=2\*GB3②事件A的對(duì)立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集考點(diǎn)02隨機(jī)事件的頻率與概率【典例4】（2021·全國(guó)）下列說(shuō)法正確的是（）A．任何事件的概率總是在，之間B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率一般會(huì)穩(wěn)定于概率D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定【典例5】（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是________.(填序號(hào))①頻率反映事件出現(xiàn)的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大??；②做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率P(A)＝；③含百分比的數(shù)是頻率，但不是概率；④頻率是不能脫離n次隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是脫離隨機(jī)試驗(yàn)的客觀值；⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.【總結(jié)提升】1.隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，隨機(jī)事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計(jì)的角度，通過(guò)計(jì)算事件發(fā)生的頻率去估算概率．2.隨機(jī)事件的頻率與概率的常見(jiàn)題型及解題策略(1)補(bǔ)全或列出頻率分布表．可直接依據(jù)已知條件，逐一計(jì)數(shù)，寫(xiě)出頻率．(2)由頻率估計(jì)概率．可以根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，由頻率直接估計(jì)概率．(3)由頻率估計(jì)某部分的數(shù)值．可由頻率估計(jì)概率，再由概率估算某部分的數(shù)值．考點(diǎn)03互斥事件與對(duì)立事件的概率【典例6】（2018年全國(guó)卷Ⅲ文）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【典例7】【多選題】（2021·山東萊西·高一期末）甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，若甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則下列結(jié)論正確的為（）A．兩人都中靶的概率為0.72B．恰好有一人中靶的概率為0.18C．兩人都脫靶的概率為0.14D．恰好有一人脫靶的概率為0.26【典例8】（2020·天津一中高一期末）擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率均為，事件表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則一次試驗(yàn)中，事件（表示事件的對(duì)立事件）發(fā)生的概率為_(kāi)_____.【典例9】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為，求：(1)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．【總結(jié)提升】求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)間接法(正難則反)考點(diǎn)04古典概型

【典例10】（2021·山東高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點(diǎn)中任選一處，那么甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．【典例11】（2019年高考全國(guó)Ⅱ卷文）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）A． B．C． D．【規(guī)律方法】(1)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于是否具有兩個(gè)特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型，下列三類試驗(yàn)都不是古典概型；①基本事件個(gè)數(shù)有限，但非等可能．②基本事件個(gè)數(shù)無(wú)限，但等可能．③基本事件個(gè)數(shù)無(wú)限，也不等可能．【易錯(cuò)提醒】確定基本事件空間可以采用“樹(shù)圖法”、“列表法”，要注意確定的基本事件不重不漏.考點(diǎn)05古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合【典例12】(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．【典例13】（2018年文北京卷）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（Ⅱ）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；（Ⅲ）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫(xiě)出結(jié)論）【典例14】(2017·北京文，17)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．【典例15】（2019·天津高考真題（文））2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件發(fā)生的概率.【典例16】（2020·湖北荊門(mén)外語(yǔ)學(xué)校）2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢(shì)嚴(yán)峻，避免外出是減少相互交叉感染最好的方式.全國(guó)大?中?小學(xué)生都開(kāi)始了網(wǎng)上學(xué)習(xí).為了了解某校學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，從該校隨機(jī)抽取了40位同學(xué)，記錄了他們每周的學(xué)習(xí)時(shí)間，其頻率分布直方圖如下：（1）求的值并估計(jì)該班學(xué)生每周學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）在該樣本中每周學(xué)習(xí)時(shí)間不少于50小時(shí)的同學(xué)中隨機(jī)的抽取兩人，其中這兩人來(lái)自不同的組的概率是多少？1.（2021·全國(guó)）下列敘述隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系中哪個(gè)是正確的（）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定D．頻率就是概率2．（2020·山東高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽(tīng)課，則恰好全都進(jìn)入同一間教室的概率是（）A． B． C． D．3．（2019·福建高一期末）已知隨機(jī)事件中，與互斥，與對(duì)立，且，則（）4.（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若，就稱“甲、乙心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A． B． C． D．5.（2020·山東高三其他）寧波古圣王陽(yáng)明的《傳習(xí)錄》專門(mén)講過(guò)易經(jīng)八卦圖，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“—”表示一根陽(yáng)線，“——”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為（）A． B． C． D．6．（2020·貴州高二學(xué)業(yè)考試）若A，B為對(duì)立事件，則下列式子中成立的是（）A． B． C