甘肅省張掖市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省張掖市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以.設(shè)Ex,y，又，所以，即解得即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.2.盒中有3個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.則恰好摸出一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記1個(gè)白球?yàn)椋?個(gè)紅球分別為，，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則可能結(jié)果有，共6個(gè)，其中恰好摸出一個(gè)紅球一個(gè)白球的有，共4個(gè)，所以恰好摸出一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率，故C正確.故選：C.3.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，平方可得:，解得.故選：C.4.在等差數(shù)列中，若，則（）A.10 B.5 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，因?yàn)?，所以，解得?選B.5.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這些節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，則小滿日影長(zhǎng)為（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】B【解析】從冬至日起，依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為，由題意得：，解得，又冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺：，所以，所以，所以，故選：B.6.從1，2，3，4中任取2個(gè)數(shù)，設(shè)事件“2個(gè)數(shù)都為偶數(shù)”，“2個(gè)數(shù)都為奇數(shù)”，“至少1個(gè)數(shù)為奇數(shù)”，“至少1個(gè)數(shù)為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A.與是互斥事件 B.與是互斥但不對(duì)立事件C.與是互斥事件 D.與是對(duì)立事件【答案】A【解析】根據(jù)題意樣本空間，，，，，則，所以與是互斥事件，正確；，，所以與是互斥且對(duì)立事件，錯(cuò)誤；，所以與不是互斥事件，C錯(cuò)誤；，所以與不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.故選：A.7.已知三棱錐中，平面，，，，則此三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在三棱錐中，平面，，，，設(shè)底面的外接圓的半徑為，三棱錐外接球的半徑為，由正弦定理得，可得，所以，則外接球的表面積為.故選：D.8.在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，且點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，即，，三點(diǎn)共線，所以，解得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的虛部是 B.C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 D.是純虛數(shù)【答案】BC【解析】由，易知的虛部是3，故A錯(cuò)誤；，故B正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故C正確；，是實(shí)數(shù)不是純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.下列各式的值為的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD.11.如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.三棱錐的體積是定值B.過，，三點(diǎn)平面截正方體所得的截面是六邊形C.存在唯一的點(diǎn)，使得D.與平面所成的角為定值【答案】AC【解析】因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，而且，所以的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離為定值，，所以三棱錐的體積是定值，A正確；過作分別交，的延長(zhǎng)線于，，連接，，如圖，為，的交點(diǎn)，為，的交點(diǎn)，所以截面為五邊形，B錯(cuò)誤；在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，而為中點(diǎn)，所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，故存在唯一的點(diǎn)使得，C正確；由，平面，平面，則平面，所以到平面的距離一定，而長(zhǎng)度隨運(yùn)動(dòng)會(huì)變化，故與平面所成的角不為定值，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，則該圓錐的體積為____.【答案】【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，它的側(cè)面展開圖為半圓，半圓的弧長(zhǎng)為：，即圓錐的底面周長(zhǎng)為：，設(shè)圓錐的底面半徑是r，高為，則得到，解得：，這個(gè)圓錐的底面半徑是1，所以圓錐的高.所以圓錐的體積為：.13.在中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，，，則______.【答案】【解析】由是線段的中點(diǎn)，得.在中，由余弦定理得，從而，所以所以，即.14.______．【答案】【解析】由四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的最小值及取最小值時(shí)n的值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列an公差為，因?yàn)椋?，可得，記得，所以?shù)列an的首項(xiàng)為，公差為．（2）由（1）知，可得，因?yàn)?，所以或時(shí)，取得最小值．16.一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去200天的日銷售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間50,60，60,70，…，90,100分成5組，得到下圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中a的值；并估計(jì)該水果店過去200天蘋果日銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）若一次進(jìn)貨太多，水果不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求．店長(zhǎng)希望每天的蘋果盡量新鮮，又能地滿足顧客的需要（在100天中，大約有85天可以滿足顧客的需求）．請(qǐng)問，每天應(yīng)該進(jìn)多少水果？解：（1）由直方圖可得，樣本落在，，…，的頻率分別為，，0.2，0.4，0.3，由，解得．則樣本落在，，…，頻率分別為0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，該蘋果日銷售量的平均值為:（2）為了能地滿足顧客的需要，即估計(jì)該店蘋果日銷售量的分位數(shù)．方法1：依題意，日銷售量不超過的頻率為，則該店蘋果日銷售量的分位數(shù)在，設(shè)為，則，解得．所以，每天應(yīng)該進(jìn)蘋果．方法2：依題意，日銷售量不超過的頻率為，則該店蘋果日銷售量的分位數(shù)在，所以日銷售量的分位數(shù)為．所以，每天應(yīng)該進(jìn)蘋果．17.某校團(tuán)委舉辦“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.（1）從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.解：（1）記事件表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件表示“甲在第二輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第二輪比賽中勝出”，所以表示“甲贏得比賽”，，表示“乙贏得比賽”，，因?yàn)椋耘梢覅①愙A得比賽概率更大；（2）記表示“甲贏得比賽”，表示“乙贏得比賽”,由（1）知，，所以表示“兩人中至少有一個(gè)贏得比賽”，所以，所以兩人至少一人贏得比賽的概率為.18.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面.，是中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求二面角的正切值.解：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為中點(diǎn).又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，且平面，所以點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以?設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，代入得，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）連接，為的中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫云矫妫制矫妫?，，連接，，為的中點(diǎn)，則，由已知，所以，又平面，，所以平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，，，所以，所以二面角正切值?19.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.（1）求，的值（2）若是線段上的一點(diǎn)，，，且內(nèi)角，求的最小值.解：（1）由余弦定理，，得.又，所以，即.由正弦定理，得，整