2024-2025學(xué)年冀教版初中數(shù)學(xué)八年級（上）教案 第14章 實數(shù)

第十四章實數(shù)

14.1平方根

第1課時平方根

教學(xué)目標教學(xué)反思

1.了解數(shù)的平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的平方根；

2.探究平方根的性質(zhì)，并能靈活運用；

3.了解開平方與平方互為逆運算，會利用這個互逆運算關(guān)系求非負數(shù)的平方

根.

教學(xué)重難點

重點：了解開平方與平方互為逆運算，會利用這個互逆運算關(guān)系求非負數(shù)

的平方根；

難點：探究平方根的性質(zhì)，并能靈活運用.

教學(xué)過程

舊知回顧

1.會計算一個數(shù)的平方.

2.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的平方有什么特點？

導(dǎo)入新課

1.平方根

問題情境：小明家有面積為100itf的正方形花圃，花圃周圍要用護欄圍起來，則需

要護欄多少米？你能幫小明解決這個問題嗎？

教師引導(dǎo)，學(xué)生分析：要求出護欄的長，需要知道正方形花圃的邊長，即找到一個

平方等于100的數(shù).

師：這里涉及平方運算，那我們先來練習(xí)一下吧.

問題1：2和-3的平方等于多少？io和-io的平方等于多少？

55

Q

問題2：平方等于二的數(shù)有哪些？平方等于100的數(shù)呢？

25

問題3：滿足/=25的x的值是多少？

學(xué)生自主完成，教師評價.

答案：

師：那么我們把之，--,10-10,5,-5叫做什么呢？

55

定義：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于即/=。，那么這個數(shù)x就叫做a

的平方根，也叫做a的二次方根.

你能舉例嗎？

QQ3

如16的平方根為4和-4,—的平方根為-和--，100的平方根為10和T0.

2555

練習(xí)：1.判斷下列說法是否正確.

(1)49的平方根是7；()

(2)2是4的平方根；()

(3)-5是25的平方根；()

(4)64的平方根是±8；()

(5)-16的平方根是-4.()教學(xué)反思

教師引導(dǎo)，學(xué)生分析：一個正數(shù)的平方根有兩個；負數(shù)沒有平方根.

答案：(1)X(2)V(3)V(4)V(5)X

2.填空.

(=4,(()2=虱)2=025

教師引導(dǎo)，學(xué)生分析：一個正數(shù)的平方根有兩個.

4

答案：±2,±—,0,±0.5

9

2.平方根的性質(zhì)

填表

X_33

-3-1013

~22

X2

學(xué)生自主完成.

觀察填寫后的表格，探究：

(1)正數(shù)的平方根有幾個，它們之間有什么關(guān)系？

(2)0有平方根嗎？如果有，它是什么數(shù)？

(3)負數(shù)有平方根嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察會發(fā)現(xiàn)：

平方根的性質(zhì)：

一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).

0只有一個平方根，是0本身.

負數(shù)沒有平方根(非負數(shù)才有平方根).

一個非負數(shù)的平方根怎樣表示呢？

平方根的表示方法：

正數(shù)。的正的平方根記作后，負的平方根記作.這兩個平方根合起來可以記

作士8，讀作"正、負根號其中，。稱為被開方數(shù).

根號］

Ja被開方數(shù)

讀作:根號a

練習(xí)：1.判斷下列語句是否正確.

①3是9的平方根.

②9的平方根是3.

③-9的平方根是-3.

④(-3)2的平方根是-3.

答案：①J②X③X@X

2.已知正數(shù)x的兩個平方根分別為a+2和2a-8,求x的值.

學(xué)生分析：一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù).

解：根據(jù)題意，得a+2+2a-8=0,解得a=2.

所以x=(a+2)2=(2+2)2=42=16.

1.求平方根

觀察框圖，說一說求一個數(shù)的平方運算和求一個數(shù)的平方根運算具有怎樣的

關(guān)系.

底數(shù)一=%2一一指數(shù)根節(jié)一~￡/不》——被開方數(shù)

___I-a=x2x-±Ja-H____教學(xué)反思

\a為方的平方g為a的平方根|

暴@的平方）a的平方根

教師指導(dǎo)學(xué)生觀察：它們互為逆運算.

定義：求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.

例求下列各數(shù)的平方根：

（1）81；（2）—；（3）0.04.

121

(1)V(±9)2=81,81的平方根為±9,即土a=±9.

??也的平方根為土色，即土

(2)V=±

12111JBn

(3)V(±0.2『=0.04,004的平方根為±0.2,±^/a04=±0.2.

81

練習(xí):1.的平方根是（)

16

B2C±D

411

2.±Jx+5表示.，被開方數(shù)是

注勺取值范圍是

3.若a?=4,"=9,且ab>0,貝!Ja-b=.

學(xué)生獨立完成，教師評價答案.

答案：1.C2.x+5的平方根，x+5,%2-53.±1

課堂練習(xí)

1.“土的意義是（）

A.。的平方根B.當a20時，土&是。的平方根C.以上均不正確

2.下列說法正確的有（）

①-2是-4的一個平方根；②a2的平方根是a；

③2是4的一個平方根；④4的平方根是-2.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.若2%-4與3mT是同一個數(shù)的平方根，則機的值是（）

A.-3B.-1C.1D.-3或1

4.計算下列各式的值：

⑴方；（2）-7049

參考答案

1.B2.A3.D

4.(1)^=3,(2)-<49=-0.7,(3)±=±1.

Vol9

課堂小結(jié)

1.平方根的定義；

2.平方根的性質(zhì)；

3.求平方根.

布置作業(yè)

完成教材第62頁練習(xí).

板書設(shè)計

14.1平方根

教學(xué)反思

第1課時平方根

定義：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于

a,即x=a,那么這個數(shù)x就叫做a

的平方根，也叫做。的二次方根

性質(zhì)：（1）正數(shù)有兩個平方根，它們互

平方根

為相反數(shù).（2）0的平方根還是

0.（3）負數(shù)沒有平方根.

開平方及相關(guān)運算

第十四章實數(shù)

14.1平方根

第2課時算術(shù)平方根

教學(xué)目標教學(xué)反思

1.了解數(shù)的算術(shù)平方根的概念，并會求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根；

2.知道后表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根，并理解算術(shù)平方根的雙重非負性；

3.探究的化簡，并能簡單運用.

教學(xué)重難點

重點：會求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根，并理解算術(shù)平方根的雙重非負性；

難點：探究J戶的化簡，并能簡單運用.

教學(xué)過程

舊知回顧

L平方根的定義；

2.平方根的性質(zhì).

導(dǎo)入新課

1.算術(shù)平方根

問題情境：學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小美想裁出一塊面積為9dm2的正方形畫布,

臨摹自己最喜歡的作品參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？

學(xué)生回答：因為3?=9,所以這個正方形畫布的邊長應(yīng)取3dm.

我們知道3是9的一個平方根，在這里它還有另外一個名字-----算術(shù)平方根，今

天我們就來學(xué)習(xí)算術(shù)平方根.

活動一：填表

正方形的194

1636

面積/dn?25

正方形的

邊長/dm

學(xué)生分析：

上面的問題，實際上是已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題.

算術(shù)平方根的定義：正數(shù)。有兩個平方根±&,我們把正數(shù)”的正的平方根夜,

叫做。的算術(shù)平方根.

算術(shù)平方根的記法：a（。20）的算術(shù)平方根記為夜,讀作“根號。叫

做被開方數(shù).

算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)的算術(shù)平方根為正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0;

負數(shù)沒有算術(shù)平方根；

算術(shù)平方根具有雙重非負性：a^O.

活動二：做一做

求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)144；(2)0.01；(3)白；(4)(-13)2；(5)(-16)2；

學(xué)生自主完成，教師規(guī)范步驟._

答案：(1)144的算術(shù)平方根是&石，即5/1萬="=12；

(2)o.oi的算術(shù)平方根是VooT,即向所二血正二。1；

(3)汽的算術(shù)平方根是、巨，即"=舟=2；

49V49V49V77

(4)(-13)2的算術(shù)平方根是"(-是)2,即,(-13)2=的；

(5)(-16『的算術(shù)平方根是"(-16)2,即"(-16)2=16.

對此你有什么發(fā)現(xiàn)？

2.病的化簡

當心。時,=a；

當a<0時——Q.

因此合起來就是"=同=]"竟

-a(a<0).

這是算術(shù)平方根的一個性質(zhì)，常用于算術(shù)平方根的化簡.

例1計算下列各式：

(1)71?69；(2)-V225；(3)±,

教師指導(dǎo)，學(xué)生分析:可以先把血化為萬的形式，然后開方.

教師提示：注意式子前面的符號，結(jié)果符號應(yīng)與式子前的符號是一致的.

W：(l)7L69=713r=1.3.

3

(4)-'(-17)2=-T177=-17.

例2某小區(qū)有一塊長方形草坪，為了加強保護，小區(qū)管理人員準備用籬笆沿草坪

邊緣將其圍起來.已知該長方形草坪的長是寬的4倍，草坪的面積是900m2.求所需

籬笆的長度.

教師指導(dǎo)，學(xué)生分析:可設(shè)寬為羽則長為4x從而得到方程4/=900,即求史2的算

術(shù)平方根.

解：設(shè)這塊長方形草坪的寬為xm,則長為4xm.由題意得

4xgx=900,x2=225.

'：x>0,：.x=y/225=15.

4x=60,2(15+60)=150(m),

答：所需籬笆的長度為150m.

練習(xí)：1.求下列各式的值：(步驟要規(guī)范)

(1)7256；(2)^^；6)土伸；0)-A/0?16；(5),2500；(6)-10.0049.

解：(1)A^=A/^=16.

⑵底

教學(xué)反思

(4)-A/0?16=-A/O4T=-0.4.

(5)72500=A/507=50.

(6)-V0.0049=-A/0.072=-0.07.

2.木工師傅把兩個小的正方形木板，拼成了一個面積為169dn?的大正方形桌面,

已知一個小正方形木板的邊長為5dm,則另一個小正方形木板的邊長是多少？

解：設(shè)另一個小正方形木板的邊長是xdm.由題意可得

X2+52=169,

x2=144.

Vx>0,

.>>%=Vi44=12.

答：另一個正方形的邊長為12dm.

3.拓展

(1)如果y=Jx-5+j5-x+16,求4x+y的算術(shù)平方根.

展一

教師引導(dǎo)，學(xué)生分析：由被開方數(shù)20,可得L5、20八，解得，x=5,y=16,

[5-

J4x+y=/4x5+16=底=6.

(2)一個數(shù)的算術(shù)平方根為2x-4,平方根為土(x-1),求這個數(shù).

教師引導(dǎo)，學(xué)生分析：一個數(shù)的正的平方根是它的算術(shù)平方根；由于不能確定

(xT)和-(k1)的正負，，分兩種情況.

解：①2x-4=x-l,

解得尤=3,

2x—4=2,

這個數(shù)=2?=4.

②2x-4=-(xT),

解得尤=9,

3

2x-4=--<0,

3

由于算術(shù)平方根不能為負，因此這種情況不成立.

師：還有其他解法嗎？

思路二：一個數(shù)的算術(shù)平方根為非負數(shù)，2『420,解得尤22.

/.%-1>0(即為這個數(shù)的算術(shù)平方根)，

2x-4=x-l,解得x=3,2x-4=2.

二這個數(shù)=22=4.

課堂練習(xí)

1.填一填

(1)9的算術(shù)平方根是;

(2)次的算術(shù)平方根是;

(3)0.01的算術(shù)平方根是;

(4)10一6的算術(shù)平方根是；

(5)(-4)2的算術(shù)平方根是；

(6)10的算術(shù)平方根是.

2.若若<a<M，則下列結(jié)論中正確的是()

A.l<a<3B.l<a<4C.2<a<3D.2<a<4

3.若C+J"=O,求苫289+>2。2。的值.

教學(xué)反思

4.如圖，長方形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別為4和9,那么

圖中陰影部分的面積為—.

參考答案__

1.(1)3(2)A/3(3)0.1(4)10-3(5)4⑹麗2.B

3.解：V4^^0,4y+i^0,4x^+y/y+i=0,

??x—1—0,y+1=0,??x—y——1,

A%2019+372020=12019+(_1)2020=Z

4.2

課堂小結(jié)

1.算術(shù)平方根的記法；

2.算術(shù)平方根的性質(zhì)；

3.算術(shù)平方根的計算.

布置作業(yè)

完成教材第64頁練習(xí).

板書設(shè)計

14.1平方根

第2課時算術(shù)平方根

定義：正數(shù)a有兩個平方根土石，我們把正數(shù)。的正的

平方根,叫做a的算術(shù)平方根，記作《

性質(zhì)：(1)非負數(shù)才有算術(shù)平方根，正數(shù)的算術(shù)平方根是正

算術(shù)平

數(shù),。的算術(shù)平方根是0;(2)算術(shù)平方根具有雙重

方根

非負性2,。20).

算術(shù)平方根的計算：冊=|<2

第十章實數(shù)

14.2立方根

教學(xué)目標教學(xué)反思

1.了解數(shù)的立方根的概念，會表示一個數(shù)的立方根；

2.探究立方根的性質(zhì)，并能靈活運用；

3.了解開立方和立方互為逆運算，會利用這個互逆運算求一個數(shù)的立方根.

教學(xué)重難點

重點：探究立方根的性質(zhì)，并能靈活運用；

難點：了解開立方和立方互為逆運算，會利用這個互逆運算求一個數(shù)的立方根.

教學(xué)過程

舊知回顧

L整式的立方運算；

2.平方根的性質(zhì).

導(dǎo)入新課

1.立方根

問題情境：如圖，已知小正方體的棱長為2,那么它的體積是多少？反過來，如果大

正方體的體積V=27,你能不能求出它的棱長x呢？

學(xué)生自主完成：

V=23=8；因為33=27,所以，這個大正方體的棱長為3.同樣地，我們把3叫做

27的立方根.

立方根的定義：一般地，如果一個數(shù)尤的立方等于即x3=a,那么這個數(shù)尤就叫

做a的立方根，也叫做。的三次方根.

你能舉幾個例子嗎？例：

(-1)3=-1,貝U-1是一1的立方根.

43=64,則4是64的立方根

0.23=0.008,貝1J0.2是0.008的立方本艮.

2.立方根的性質(zhì)

根據(jù)立方根的定義完成下列填空：

(1=27,()3=備()=_&()3=-0.001,()=0.

學(xué)生獨立完成，教師評價：

從立方根的個數(shù)及符號上，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

立方根的性質(zhì)：

一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；0的立方根是0.

你怎樣理解它們？(學(xué)生發(fā)表自己的觀點)

解讀：①任意數(shù)都有一個立方根；②一個非0數(shù)與其立方根的符號相同.教學(xué)反思

平方根與立方根的區(qū)別

完成下列填空(學(xué)生自主完成)

被開方數(shù)平方根立方根

正數(shù)

負數(shù)

零

歸納：只有非負數(shù)才有平方根，而任意數(shù)都有立方根.

練習(xí)：判斷下列語句是否正確：

①負數(shù)沒有立方根；

②一個數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負數(shù)；

③一個非0數(shù)的立方根和這個數(shù)同號，0的立方根是0；

④立方根等于其本身的數(shù)是1或0；

⑤-3是27的負的立方根.

學(xué)生自主完成

答案：①X②X③J@X⑤X

立方根的符號表示

。的立方根用我來表示，讀作：三次根號〃這里的根指數(shù)3不能省略.

3.求立方根

定義：求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.

開立方和立方是互逆的，借助立方運算，可以求一個數(shù)的立方根.

例1求下列各數(shù)的立方根：

Q

(1)—；(2)-8；(3)-0.064.

27

解:⑴?.?[2]=&,.?.&的立方根是2；

I3J27273

(2)\,(-2)3=-8,-8的立方根是-2；

(3)：(-OH)'=一0.064,-0.064的立方根是-0.4.

練習(xí)：求下列各數(shù)的立方根.(按要求寫步驟)

Q97

(1)—；(2)0.008；(3)-125；(4)—.

“2764

的立方根為當82

解:(1)即mN—=--

'll273V273

(2),/0.23=0.008,/.0.008的立方根為0.2,即西麗=0.2.

(3)V(-5)3=-125,125的立方根為-5,即獷而=-5.

(4)vf-T=—,二衛(wèi)的立方根為3,艮廬=3.

⑷64644V644

4.立方根的化簡

(1)完成下列問題，并說出你的發(fā)現(xiàn).

?

A/F=()；址-2>=()；^O3=()忠-0.33=()而=().

學(xué)生計算并得出結(jié)論：^=a.

(2)完成下列問題，并說出你的發(fā)現(xiàn).

耳-1=()；—=()；4-64=()；_\/64=()處-125=()；-%25=().

學(xué)生計算并得出結(jié)論：&=-指.

例2求下列各式的值：

⑴占0.027；⑵,噓教學(xué)反思

解：(1)尋-0.027=一如.027=-弧亨*=-0.3.(2)

6

拓展：

1Nx-8與#y-8互為相反數(shù)，貝k+y=.

2際77?2.872,#23700?28.72,貝用0.0237?.

3.-8的立方根與VI%的平方根之和是.

教師指導(dǎo)，學(xué)生討論分析：

(1)由題意可得x-8與廠8互為相反數(shù)，因此獷8+廠8=0,解得x+y=16.

(2)由題意可得規(guī)律：被開立方數(shù)的小數(shù)點向右移動3位，該數(shù)的立方根的小數(shù)點

向右移動一位，反之亦然；所以現(xiàn)).0237「0.2872.

(3)-8的立方根是-2,J語=4的平方根是±2,所以-2+2=0,~2+(-2)=-4,答

案為0或-4.

課堂練習(xí)

1.判斷下列說法是否正確.

(1)也的立方根是±2；(2)25的平方根是5；(3)-64沒有立方根；

273

(4)-4的平方根是±2；(5)0的平方根和立方根都是0.

2.求下列各式的值：

(1)^64；(2)尋-125；(3)J--1.

V64

參考答案：1.(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

273

2.(0^64=4；(2)V-125=-5；(3)棉一1=

644

師：注意2(3)的解法：先計算三次根號內(nèi)的算式，再求立方根.

課堂小結(jié)

1.立方根的定義；

2.立方根的性質(zhì)；

3.立方根的化簡.

布置作業(yè)

完成教材第68頁練習(xí).

板書設(shè)計

14.2立方根

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即x3=a,那么

這個數(shù)尤就叫做a的立方根，也叫做。的三次方根

立方根的性質(zhì)：■一個正數(shù)有'一個正的立方根；■一個

立方根

負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零

立方根的化簡：=a;N—a=—\[a~

第十四章實數(shù)

14.3實數(shù)

第1課時實數(shù)的定義

教學(xué)目標教學(xué)反思

i.認識數(shù)的擴充的必要性；

2.認識無理數(shù)的本質(zhì)特征，知道無理數(shù)的不同形式；

3.能將實數(shù)按要求進行分類.

教學(xué)重難點

重點：認識數(shù)的擴充的必要性；

難點：認識無理數(shù)的本質(zhì)特征，知道無理數(shù)的不同形式.

教學(xué)過程

舊知回顧

有理數(shù)的定義及分類.

導(dǎo)入新課

有理數(shù)的新分類

我們知道有理數(shù)可以分為整數(shù)和分數(shù)，還有其他分法嗎？

教師提示：都化為小數(shù)試試.學(xué)生按照教師的提示完成有理數(shù)新的分類.

整數(shù)：都可化為有限小數(shù)；分數(shù)：可化為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù).

因此有理數(shù)還可以分為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù).

總結(jié)：整數(shù)、分數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)一定是有理數(shù).

思考：生活中的數(shù)一定都是有理數(shù)嗎？你見過與剛才不一樣的數(shù)嗎？舉例說明.

探究新知

探究一無理數(shù)

問題1：如圖⑴所示，在半透明紙上畫一個兩條直角邊都是2cm的直角三角形ABC,

然后剪下這個三角形，再沿斜邊上的高CD剪開后，拼成如圖(2)所示的正方形.

(1)這個三角形的面積和拼成的正方形的面積是不是相等？面積是多少？

(2)如果設(shè)正方形的邊長為xcm,那么x與這個正方形的面積有怎樣的關(guān)系？

教師指導(dǎo)，學(xué)生觀察.

通過觀察可得：(1)相等.面積是2cm2.

(2)如果設(shè)正方形的邊長為尤cm,那么/=2.因為正方形的邊長是正數(shù)，所以x

是2的算術(shù)平方根，即無=應(yīng).

問題2：尤是有理數(shù)嗎？

教師指導(dǎo)，學(xué)生討論.

通過討論可知后既不是整數(shù)也不是分數(shù)，因此不是有理數(shù)，那么也是什么數(shù)呢？

借助計算器可以得到：夜“1.414213562-,它是一個無限不循環(huán)小數(shù).

類似地，我們早就認識的兀，也是一個無限不循環(huán)小數(shù)，

7t=3.141592653589793238—.

結(jié)：教學(xué)反思

1.無理數(shù)的定義：我們把無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

2.無理數(shù)有無數(shù)個，它可以以不同的形式存在：

（1）以小數(shù)形式出現(xiàn)：例如，1.212212221…（每兩個1之間依次多一個2）；

（2）以根號形式出現(xiàn)：例如，夜，也,石等；

（3）以兀的形式出現(xiàn)：例如，271,F等.

注意：無理數(shù)分為正無理數(shù)和負無理數(shù).

教師提問，學(xué)生思考后回答：

1.帶根號的數(shù)一定是無理數(shù)嗎？

2.帶分數(shù)線的數(shù)一定是分數(shù)嗎？

學(xué)生分析：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，例如4,后它們能開方，所以它們是有理

數(shù)；帶分數(shù)線的數(shù)不一定是分數(shù)，例如詆，雖然有分數(shù)線，但是&是無理數(shù)，乘

3

工后仍然是無理數(shù).

3

探究二實數(shù)

實數(shù)的定義：我們把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).即實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù).

例1在下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？_

0,炳,U,殳,0.01001000100001…（每兩個1之間依次多1個0）,712,3.14,-./-,1.2.

77V9

分析：牢牢抓住無理數(shù)的幾種存在形式.

解:有理數(shù)有0,。,1,3.14,-、口,12；

7Y9

無理數(shù)有2,0.01001000100001-（每兩個1之間依次多1個0）,痘.

7

練習(xí)：1.下列說法正確的有.

①無理數(shù)都是實數(shù)；②實數(shù)都是無理數(shù)；③無限小數(shù)都是有理數(shù)；

④帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；⑤不帶根號的數(shù)都是有理數(shù).

教師指導(dǎo)，學(xué)生分析：

①正確，無理數(shù)是實數(shù)；②不正確，實數(shù)包含無理數(shù)和有理數(shù)；③不正確，無限循

環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；④不正確，石,囪是有理數(shù)；⑤不正

確，兀不帶根號，但是它是無理數(shù).正確的是①.

答案：①

2.下列說法正確的有______.

⑴-3是有理數(shù)；（2）孝是分數(shù)；

（3）3.131131113-（每兩個3之間依次多一個1）是有理數(shù)；

（4）兀是無理數(shù).

教師指導(dǎo)，學(xué)生分析：（1）正確；（2）是無理數(shù)，而分數(shù)是有理數(shù)，故（2）不正確；

（3）是無理數(shù)，不正確；（4）正確.

答案：（1）（4）

3.在實數(shù)3.1415,版，-同史,0,祖4中:

7教學(xué)反思

無理數(shù)有一個；

有理數(shù)有個；

正數(shù)有一個；

分數(shù)有一個；

整數(shù)有一個.

學(xué)生分析：無理數(shù)有-同，百，共2個;

有理數(shù)有3.1415,癇，衛(wèi),0,4個；

7

正數(shù)有3.1415,版，絲,共3個；

7

分數(shù)有3.1415,烏，共2個；

7

整數(shù)有咽,0,共2個.

4.如圖，若開始輸入的尤的值為512,則最后輸出的結(jié)果為.

教師引導(dǎo)，學(xué)生分析：第一次輸入512,計算512的立方根是8,8是有理數(shù)，所以

第二次輸入8,計算8的立方根是2,2是有理數(shù)，第三次輸入2,計算2的立方根

是蚯，是無理數(shù)，所以最后輸出的結(jié)果是蚯.

答案：血

課堂練習(xí)

1.判斷：

(1)實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù).()

(2)無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù).()

(3)無理數(shù)都是無限小數(shù).()

(4)無理數(shù)一定都帶根號.()

(5)兩個無理數(shù)之積不一定是無理數(shù).()

(6)兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù).()

2.以下各正方形的邊長不是有理數(shù)的是()

A.面積為25的正方形B.面積為16的正方形

C.面積為8的正方形D.面積為1.44的正方形

3.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)：

-7,0.32」,3.4,0,而jLo.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐漸加1),

3V2

71

“

一

有?

無

蠅

正

取

實

物

學(xué)生獨立完成，教師評價

參考答案

1.(1W(2)4(3)4(4)x(5)4(6)x2.C

3.解：有理數(shù)］一7,0.32,；,3.14,O,；教學(xué)反思

無理數(shù)［返￡,0.1010010001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐漸加1）,五,-三；

正實數(shù)，0.32,g,3.俸點正,0.1010010001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐漸加1）,正］

實數(shù)17,0.32；3.如）,痣30.1010010001（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐漸加1）,將

3

課堂小結(jié)

1.無理數(shù)的定義；

2.實數(shù)的定義；

3.判別無理數(shù)和有理數(shù).

布置作業(yè)

完成教材第71頁習(xí)題.

板書設(shè)計

14.3實數(shù)

第1課時實數(shù)的定義

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)

實數(shù)

實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)

第十章實數(shù)

14.3實數(shù)

第2課時實數(shù)的性質(zhì)和分類

教學(xué)目標

1.認識無理數(shù)存在的普遍性，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的;

2.理解實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值的意義；

3.會根據(jù)不同的標準對實數(shù)進行分類.

教學(xué)重難點

重點：認識無理數(shù)存在的普遍性;知道實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.

難點：理解實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值的意義.

教學(xué)過程

舊知回顧

回憶有理數(shù)中相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的定義：

相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)，其中一個是另一個的相反數(shù).

絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)。的點到原點的距離叫做數(shù)。的絕對值，用IaI表示.

倒數(shù)：若兩個數(shù)的積是1,則這兩個數(shù)互為倒數(shù).

導(dǎo)入新課

(1)如圖，圖中每個小正方形的邊長均為1,則圖中陰影部分(正方形)的面積為

-3-2-101A2

將陰影正方形放置在數(shù)軸上，使其一個頂點與原點重合，一條邊恰好落在數(shù)軸的正

方向上，其另一頂點落在數(shù)軸上的點A處.則點A表示的數(shù)是多少？

教師指點，學(xué)生觀察：陰影正方形的面積為2,點A表示的數(shù)是0.

若將陰影正方形放置在數(shù)軸上，使其一個頂點與原點重合，一條邊恰好落在數(shù)軸的

負方向上，其另一頂點落在數(shù)軸上的點B處,則點B表示的數(shù)是多少？

-3-2-1

學(xué)生回答：點8表示的數(shù)是-0.

(2)如圖，圖中每個小正方形的邊長均為1,則圖中陰影部分(正方形)的面積為

將陰影正方形放置在數(shù)軸上，使其一個頂點與原點重合，一條邊恰好落在數(shù)軸

的正方向上，其另一頂點落在數(shù)軸上的點C處.則點C表示的數(shù)是多少？

若將陰影正方形放置在數(shù)軸上，使其一個頂點與原點重合，一條邊恰好落在數(shù)

軸的負方向上，其另一頂點落在數(shù)軸上的點D處.則點D表示的數(shù)是多少？

-3-2-1

教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察：陰影正方形的面積為5,點C表示的數(shù)是指,點。表示的

數(shù)是-君.

(3)如圖，設(shè)一枚5角硬幣的直徑為1個單位長度，將這八

枚硬幣放置在一個數(shù)軸上，使硬幣邊緣上的一點尸與原點

重合.讓這枚硬幣沿數(shù)軸的正方向無滑動滾動一周.這時點-10i―L

P轉(zhuǎn)到數(shù)軸上的點M處，則點M表示的數(shù)是多少呢？

學(xué)生觀察：點M表示的數(shù)是n,那么一口能在數(shù)軸上找到嗎？答案是肯定的.

通過幾個實例的學(xué)習(xí)，你從中感悟或發(fā)現(xiàn)了什么？說說你的看法.教學(xué)反思

探究新知

探究一實數(shù)與數(shù)軸

學(xué)生通過上面幾個實例會發(fā)現(xiàn)：無理數(shù)和有理數(shù)一樣，也可以用數(shù)軸上的點來

表示.

結(jié)論：數(shù)軸上的點表示的數(shù)是有理數(shù)或無理數(shù).

教師歸納：實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系：實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.

解讀“一一對應(yīng)”：

每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；數(shù)軸上的每一個點都表示一個實

數(shù).

探究二實數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)

(類比有理數(shù)中的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)來學(xué)習(xí))

相反數(shù)：絕對值相等，符號不同的兩個數(shù).0的相反數(shù)是。.例如：

-正的相反數(shù)是指.

一個實數(shù)a的相反數(shù)是-a；互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為0.

絕對值：在數(shù)軸上表示一個實數(shù)的點到原點的距離就是這個實數(shù)的絕對值.

一個正數(shù)的絕對值等于它本身；一個負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù).

?,J。(心0),

0\-a(a<0).

求一個實數(shù)的絕對值時，應(yīng)先判斷它的正負，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出結(jié)果.

倒數(shù)：乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù).

。的侄擻是0).

a

例1求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值.

(DJ—；(2)^6；(3)1.2.

V16

學(xué)生獨立完成，教師評價.

提示：能化簡的先化簡，小數(shù)先化為分數(shù).

解：(1)、瓦相反數(shù)是-L倒數(shù)是4；絕對值是L

V1644

(2)2的相反數(shù)是私；倒數(shù)是-靠；絕對值是通.

⑶1.2的相反數(shù)是-1.2；侄(I數(shù)是上；絕對值是12

6

練習(xí)：

1.在數(shù)軸上，到原點的距離為網(wǎng)點所表示的數(shù)是

學(xué)生分析：己知|尤|=豆，求X.

答案：土百

2.國二6_1,貝!lx=.

學(xué)生分析：此題同1.

答案：X=75-M1-A/5

3.后的倒數(shù)是,絕對值是，相反數(shù)是

學(xué)生分析：按照相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的定義來求.

答案：--^-;A/3;A/3

探究三實數(shù)的分類

(請你嘗試從不同角度對實數(shù)進行分類)

教師提示：可以按定義分類；可以按性質(zhì)符號分類，學(xué)生進行分類，教師點撥.

按定義分類：教學(xué)反思

「整數(shù)〕

、火有理數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)［分數(shù)j

.無理數(shù)一無限不循環(huán)小數(shù)

按性質(zhì)符號分類：

正有理數(shù)

正實數(shù)

正無理數(shù)

實數(shù)”

負有理數(shù)

負實數(shù)

負無理數(shù)

例2把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的括號內(nèi).

--,13,-12,46,-,0.0.8,4-,-4.2.

386

正數(shù)：｛

負數(shù)：｛

正整數(shù)：｛

正分數(shù)：｛

負整數(shù)：｛

負分數(shù)：｛

學(xué)生獨立完成，教師評價

解:正數(shù):13,+6,1,0.8,41,-

負數(shù)出，一12,一4.2,…

正整數(shù):｛13,+6,…｝;

正分數(shù)和84得一［;

負整數(shù):{-12,…};

負分數(shù):卜g,-4.2,…

課堂練習(xí)

1.下列說法正確的是（）

A.正實數(shù)和負實數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)

B.正數(shù)、零和負數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

C.帶根號的數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)

D.無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)

2.”的絕對值是（）

A.2B.-2C.-4D.4

3.—y/6是A/6的（）

A.相反數(shù)B.倒數(shù)C.負平方根D.絕對值

4.2-遙的絕對值是（）

A.2-45B.>/5-2C.2+逐D.±(2-A/5)

5.如圖，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到

點B,再爬到點C停止.已知點A表示-夜，點C表示

2,設(shè)點8所表示的數(shù)為“，則機=.

學(xué)生獨立完成，教師評價

參考答案教學(xué)反思

1.D2.A3.A4.B5.2-72

課堂小結(jié)

1.實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：

實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.

2.實數(shù)的性質(zhì)：

一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

3.實數(shù)的分類：

整數(shù)

有理數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

按定義分類：實數(shù)分數(shù)

無理數(shù)f無限不循環(huán)小數(shù)

正有理數(shù)

正實數(shù)

正無理數(shù)

按性質(zhì)符號分類：實數(shù)0

負有理數(shù)

負實數(shù)

負無理數(shù)

布置作業(yè)

完成教材第74頁練習(xí).

板書設(shè)計

14.3實數(shù)

第2課時實數(shù)的性質(zhì)和分類

實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系：一一對應(yīng)

實數(shù)一實數(shù)的性質(zhì)

實數(shù)及其分類

第十四章實數(shù)

14.3實數(shù)

第3課時實數(shù)的運算

教學(xué)目標教學(xué)反思

1.能夠?qū)崝?shù)進行大小比較；

2.掌握估算的基本方法，會用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.

教學(xué)重難點

重點：對實數(shù)進行大小比較；

難點：會用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.

教學(xué)過程

舊知回顧

回憶有理數(shù)中比較大小的方法：

1.利用數(shù)軸，在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點表示的數(shù).

2.正數(shù)大于0,負數(shù)小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)；

兩個正數(shù)作比較，絕對值大的數(shù)大；

兩個負數(shù)作比較，絕對值大的反而小.

導(dǎo)入新課

在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù).

請你根據(jù)如圖所示的數(shù)軸上點的位置,將下列各數(shù)用連接起來：

~\/3,V2,3,V3,0,V5,-\/8,-V5.

,演二?,,，厘5,一

-JT°63

教師對土有,、用的表示做適當?shù)闹笇?dǎo)，學(xué)生獨立完成.

-^<-A/5<-A/3<0<72<75<3.

思考:兩個實數(shù)的比較,除了利用數(shù)軸比較之外,還有沒有其他的方法？

探究新知

探究一與帶根號的無理數(shù)比較大小

問題：(1)面積為2和5的兩個正方形的邊長分別是多少呢？

(2)由正方形的面積=邊長2，從下圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生通過觀察并計算得到：

(點)2=2,(后=5,(&￥=a.

(3)正方形的面積越大，邊長就越大嗎？

結(jié)論：正方形的面積越大，邊長就越大.即一個正數(shù)的平方越大，這個數(shù)就越大.

(4)由止匕你能判斷我與巧的大小嗎？

教師引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

?；g2=2,(府=5,2<5,.?.在〈退.

當時，

教師解讀：一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.

應(yīng)用：可以化去根號將無理數(shù)問題轉(zhuǎn)化為有理數(shù)問題.

這樣就解決了怎樣比較帶根號的無理數(shù)的大小問題了.

師生歸納：比較帶根號的無理數(shù)大小時先比較它們的平方，正數(shù)平方大的數(shù)大，負

數(shù)平方大的反而小.

例1比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。?/p>

(1)21和J7；(2)-炳和一兀；(3)-5和一卮.教學(xué)反思

教師指點，學(xué)生分析：(1)和(3)都可以先比較它們的平方，然后比較兩數(shù)，負數(shù)

平方大的反而小；(2)由于兀是一個無限不循環(huán)小數(shù)，我們可以把它放大，再與所

比較.

2

解：(1)Vf2-Y=—,(T7)=7=—

I99

6463.r-

993

(2)兀取3.15,

(A/10)2=10,3.152=9.9225,

X10>9.9225,癡>3.15,M>n.二一業(yè)<一兀.

(3)；5?=25,(后y=23,25>23,

：.5>屑,：.-5〈-屑

練習(xí)：

1.在實數(shù)0,-2,卜占2中，最大的數(shù)是.

學(xué)生分析：正數(shù)大于一切非正數(shù)，5>4.

答案：卜石|

2比較大小:倉匚―

22

學(xué)生分析：比較若-1與1的大小，可用作差法，即君-1-1=君-2>0.

答案:>

3.將2,6,近用連起來

學(xué)生分析：如果平方的話，而不能化為有理數(shù)，因此要將它們6次方,

才能夠?qū)⑺鼈內(nèi)炕癁橛欣頂?shù)._

解:Q=64,(后=5'=125,(-^7)6=72=49,

125>64>49,.,.而<2<石.

探究二估算無理數(shù)的范圍

例2判斷下列各實數(shù)在哪兩個相鄰的整數(shù)之間：

(1)石；(2)-g.

教師指導(dǎo)，學(xué)生分析：

(1)找到5在哪兩個整數(shù)的平方之間；

(2)先確定其絕對值的范圍，再確定相反數(shù)的范圍.

解：⑴V22=4,(A/5)2=5,32=9,

Z.4<5<9,，2<百<3,

即君在2和3之間.

⑵；0』,(序=尹=1,

0<—<1,/.0<J—<1,

3V3

即一Jl在一1和0之間.

???0>-

練習(xí):教學(xué)反思

⑴比一比，看誰找得快.

判斷而而-同-后在哪兩個整數(shù)之間.

答案：分別在4和5,2和3,-5和-6,-4和-5之間.

（2）在課本76頁的數(shù)軸上標出表示*,M，-應(yīng)的數(shù).

學(xué)生分析：先估算出它們在哪兩個整數(shù)之間，然后估算更接近哪個整數(shù).

⑶_而■與卡之間的整數(shù)是.

教師指導(dǎo)，學(xué)生分析：__

在-3與-4之間，面在2和3之間，所以-疝而面之間的整數(shù)有-3,-2,-1,0,12

學(xué)生分析：_

要想求絕對值，先判斷近一1?的正負，即判斷也與工的大小，而且〈上

62

探究三拓展

1.求網(wǎng)整數(shù)部分和小數(shù)部分.

教師指導(dǎo)，學(xué)生分析：估算相勺整數(shù)范圍，找到整數(shù)部分，小數(shù)部分為原數(shù)減去整

數(shù)部分即可.

解：22<（逐）2<32,；.2<^5<3,

/.百的整數(shù)部分是2,眉勺小數(shù)部分是如-2.

練習(xí)：

6+3的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是.

10-石的整數(shù)部分是，小數(shù)部