幾類函數(shù)的對稱中心及應用-高考數(shù)學復習壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題18幾類函數(shù)的對稱中心及應用

【方法點撥】

32

1.三次函數(shù)f(x)=ax+Z?x+cx+d{aw0)的對稱中心為(x°,J(x0))，其中(玉))=0,

b

即/"(/)=6ax0+2b=0,XQ=---.

3a

b

記憶方法：類比于二次函數(shù)的對稱軸方程/o=——，分母中2—3.

2a

「丫z"/卜「

2.一次分式函數(shù)(或稱雙曲函數(shù))/(X)=---(acwO)的對稱中心為(一,一).

ax-baa

記憶方法：橫下零，縱系數(shù)(即橫坐標是使分母為0的值，而縱坐標是分母、分子中的一次

項系數(shù)分別作為分母、分子的值).

3.指數(shù)復合型函數(shù)/(%)=———(。>0且。/1,相〃片0)的對稱中心為(108°叫-^-).

ax+m2m

記憶方法：橫下對，縱半分(即橫坐標是使分母取對數(shù)的值，但真數(shù)為保證有意義，取的是

絕對值而已，而縱坐標是分母、分子中的常數(shù)分別作為分母、分子的值的一半).

【典型題示例】

例1已知函數(shù)/00=二一一2x,則滿足不等式/(a)+7(3。+2)>2的實數(shù)。的取值

3+1

范圍是.

【答案】巴―gj

【解析】y=f-的對稱中心是(0,1),其定義域為R且單減

3+1

令g(x)=/(x)-l=——-2x-l,則g(x)為R上的單調(diào)遞減的奇函數(shù)

3+1

由/⑷+7(3。+2)>2得〃3a+2)—1>1—/(a)

即g(3a+2)>-g(d)

因為g(x)為奇函數(shù)，故一g(a)=g(—a)

所以g(3a+2)>g(—a)

又g(x)在R上單減，所以3。+2<-。，解之得。<—；

所以實數(shù)a的取值范圍是(-巴

I2J

例2設/'(X)是函數(shù)y=/(x)的導數(shù)，f"(x)是/'(X)的導數(shù)，若方程f"(x)=0有實

數(shù)解天,則稱點(飛，/(%))為函數(shù)丁=/(%)的“拐點”.已知：任何三次函數(shù)都有拐點，

1Q

又有對稱中心，且拐點就是對稱中心.設/'(乃=§三—2必+§%+1,數(shù)列｛%｝的通項公

式為a”=2〃—7,則/(%)+/(2)+..?+/(/)=.

【解析】令/"(x)=2x—4=。得x=2,/(2)=1

1Q

/■(X)=§V—+耳X+1對稱中心為(2,1),

所以/(無)+/(4—%)=2對于任意xeH恒成立

因為aa=2〃-7,所以％+/=&+%=%+4=&+%=4

所以fa)+/(/)=/(a2)+/(%)=/(%)+/(?6)=/(?4)+/(%)=2

所以/([)+/&)+…+/a)=8.

x+2

例3已知函數(shù)〉=sinx+l與y=——在(aeZ,且a>2017)上有加個交點

X

(不，乂)，(三，%),……，(％,，％,)，貝1J(占+%)+(尤2+%)+?,,+(4+%)=

A.0B.rnc.2mD.2017

【答案】B

【解析】

由圖可知交點成對出現(xiàn)，每對交點關(guān)于點(0,1)對稱，橫坐標和為0,縱坐標和為2,所以

(玉+%)+(%+%)+…+(/+%)=晟義2=加,選B.

【鞏固訓練】

L對于定義在。上的函數(shù)/(X),點A(，〃M是/(X)圖像的一個對稱中心的充要條件是：對

任意無都有/(x)+/(2/"-x)=2〃，判斷函數(shù)/(力=爐+2/+3升4的對稱中心.

—x+2

2.函數(shù)y=y=----的對稱中心是______________

%-4

3.設函數(shù)/(x)=(x—3)3+x—1,數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)歹U,

f(q)+/(a,)H---Ff(%)=14,則％+a,+,—卜a?=()

A、0B、7C、14D、21

4.已知函數(shù)/?(?=—+2—9.(其中aeH)圖象關(guān)于點P(—1,3)成中心對稱，則不等式

x+1

/(x)>x-l的解集是.

5.在平面直角坐標系宜為中，已知直線、=丘+2-2左與曲線y=2(x-2)3+x依次交于A,2,C

三點，若點P使I超+記1=2,貝”前I的值為.

6.已知函數(shù)/(x)=」一+。的圖象關(guān)于坐標原點對稱，則實數(shù)a的值為.

2-1

y-i

7.已知函數(shù)/(x)=+2x,則滿足不等式/(a)+f(3a+2)>0的實數(shù)a的取值范圍

y+i

9.己知函數(shù)/'(x)=----,若對VxeN*,，(x)K，(5)恒成立，則a的取值范圍

x-a

是.

10.已知函數(shù)〃無)=wg+e=eT,若不等式［加)+〃1-2祠21對VxeR恒成立，則

實數(shù)。的取值范圍是()

A.（0,e]B.[0,e]C.（0,1]D.[0,1]

IL已知函數(shù)〃x）=x4+ln含，若血卜”普?

,「2019e12019八_,,八?1，口所4，

,不而卜一廠(z“+外，其中。＞0，則n不藤+71的V取小?值為

1/U/U，乙^iciiu

A.-B.1C.V2口.烏

442

12,函數(shù)/(x)=j^[+2sin卬尤-；)]在xe[-3,5]上的所有零點之和等于.

【答案與提示】

1.【答案】［

【分析】根據(jù)點A(，%〃)是〃力圖像的一個對稱中心的充要條件，列出式子，即可得出結(jié)果.

解：因為〃力=丁+2/+3工+4,由于

—丁+2x2+3x+4+（——x2—x+21一gx2一x1+

3，gx2—x1+4=^x2=.即加二—g,九=工.所以（一|■，^J是/（1）=%3+2f+3x+4的

一個對稱中心.

故答案為:（q堯

2.【答案】（4,-1）

_.?_—X+261

【解析】y=-----=-------1

x-4x-4

3.【答案】D

【提示】根據(jù)函數(shù)值之和/(%)+/(%)+…+/(%)=14求自變量之和/+生+…+%，很自

然會去考慮函數(shù)的性質(zhì)，而等式常?？疾閷ΨQ性，從而嘗試去尋求函數(shù)

/■(X)=(X—3)3+X—1的對稱中心.

函數(shù)/(x)=(x—3)3+X―1可以視為由y=(X—3)3與y=X-1構(gòu)成，它們的對稱中心

不一樣，可以考慮對函數(shù)的圖象進行平移，比如/(x)—2=(x—3y+(x—3),引入函數(shù)

F(x)=f(x+3)-2=x3+x,則該函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是坐標原點，由圖象變換知識

不難得出/(%)=(x—3)3+x—1的圖象關(guān)于點(3,2)中心對稱.

4.【答案】{?。家?或0＜光＜3}

【解析】函數(shù)/(x)="*+2—"的對稱中心為(一1,a),與P(—1,3)比較得a=3.此時

x+1

/（%）=33Y_—」1，不等式/（X）＞%—1,即3衛(wèi)x_—」1〉％—103士x——1—（%—1）〉。

x+1x+1X+1

oX-y-3)<0ox(x+l)(x—30<0,由序軸標根法即得解集為｛%k<—1或0<x<

X+1

5.【答案】1

【提示】丫=履+2-2人過定點(2,2),對于三次函數(shù)y=2(x-2)3+x,令

/ff(x)=12(%-2)=0得x=2,又/(2)=2,所以y=2(x-2)3+x也關(guān)于點(2,2)對稱，

所以西+定=2萬，|麗卜1.

6.【答案】一1

7.【答案】f——+coj

3'-13V+1-22

【解析】小)=0+2戶戶+2戶1-門+2彳的對稱中心是(。,。)，其定義

域為R且單增(下略).

8.【答案】500

【思路一】從所求式中自變量的特征，被動發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性.設若0<。<1,嘗試去求

/(a)+/(l-a)的值，易得f(a)+/(l-a)=l.

【思路二】主動發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性，f(x)=-4*-=l2,設g(x)=^2^,則其對稱

4+24+24+2

,則〃無)的對稱中心也為m,故〃無)+/(i-x)=i.

中心為

9.【答案】5<a<6

10.【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-;，判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式轉(zhuǎn)化為

f(ax2)-^>-/(l-2?x)-1,即g(加"g(2辦-1),再利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.

【解析】Q/W=zr-r+ex-e-\

2+1

.?.〃力+〃一力=「一

3+1-b+^^+1--------1---------

2'+12-%+1

令g(%)=/(x)—；，貝重(%)+8(一力=。，可得g(x)是奇函數(shù),

21n2In2

2"+'+2

2X

又利用基本不等式知e^+—>2當且僅當ex=—,即％=0時等號成立;

In2/n2

0、1,。一丁當且僅當2、=1,即％=0時等號成立;

2H-----1-22

Y

故g，(x)>0,可得g(x)是單調(diào)增函數(shù),

由/2)zi得/(2_9_/(1_2*+3=

ax_f(^~^ax)~~，

即g(^ax2^>-g(l-2ax)=g(2ax-l),即分？一2分+i之o對VXER恒成立.

a>0

當Q=0時顯然成立；當QWO時，需△=得。<a"

綜上可得故選：D.

11.【答案】A

【分析】通過函數(shù)/(X)解析式可推得/(x)+/(e-x)=2,再利用倒序相加法求得

e2e2Q18e2019e

，得到。+6的值，然后對。分類討論利用

2020202020202020

基本不等式求最值即可得出答案.

【解析】因為

ex/、eie{e-x)

所以小)+7.7)=犬-t+111+(e—1)-----1-In------------

e-x2e-(e-x)

1ex[e(e-x).,exe(e-x).。

=In------+In--------=ln(-----------------)=l1ne2=2,

e—xxe—xx

e2e2018￡2019￡

令S=f+f

2020202020202020

e2019e2e2018g201%

則2S=J+f+"+f+???+f+f

202020202020202020202020

=2x2019,所以S=2019

所以警

((2+Z?)=2019,所以a+Z?=2,其中〃