2024年廣東省某中學中考三模數(shù)學試題及答案

2023-2024學年第二學期初三第三次模擬測試數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）.

1.2024年4月23日是第29個世界讀書日，習近平總書記多次強調讀書的重要性，倡導全社會都參與到閱

讀中來，形成愛讀書、讀好書、善讀書的濃厚氛圍.圖書館是開展全民閱讀的重要場所，以下是我省四個

城市的圖書館標志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）

A.

潮疝有畫■帝佛111南國M值

tpr?QMAMI■nnARv

D-東莞圖書館

DONGGUAh

江q市圖一個」官

IIRRARY

2.為了紀念著名的數(shù)學家蘇步青及其卓越貢獻，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇

步青星”，數(shù)據(jù)218000000用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.218xl09B.2.18xl09C.2.18xlO8D.218xl06

3.下列二次根式中能與后合并的是（）

A.V12B.78C.720D.V27

4.樺卯（sunmao）,是中國古代建筑、家具及其它木制器械的主要結構方式.如圖是某個部件“棒”的實

物圖，它的主視圖是（）

B.

D.---------

5.反比例函數(shù)y=-°的圖象位于（）

x

A.第一、第三象限B.第一、第四象限C.第二、第三象限D.第二、第四象限

6.函數(shù)y=萬的自變量元的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（

7.某市為解決冬季取暖問題需鋪設一條長3500米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，實際施工時

，設實際每天鋪設管道無米，則可得方程至"-型2=15,根據(jù)此情景，題中用“表示的缺

x-10x

失的條件應補為（）

A.每天比原計劃多鋪設10米，結果提前15天完成

B.每天比原計劃少鋪設10米，結果延期15天完成

C.每天比原計劃少鋪設15米，結果延期10天完成

D.每天比原計劃多鋪設15米，結果提前10天完成

8.已知x+y=6,孫=6,則％?+，的值為（）

A.9B.18C.24D.36

9.如圖，將以。為中心點的量角器與含30。角的直角三角板緊靠著放在同一平面內，此時點。，C,B在

同一條直線上，且DC=2BC.過點A作量角器圓弧所在圓的切線，切點為E,則點E在量角器上所對應

的銳角度數(shù)是（）

DOCB

A.30°B.45°c.50°D.601

10.如圖，□ABC和口ECD都是等腰三角形，且NBAC=NCED,點B,C,。在同一條直線上,

口ABC和口ECD的面積分別為16和25,則圖中陰影部分的面積為（）

A.18B.20C.20.5D.22

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）.

11.單項式-2/y的系數(shù)是.

12.廣東省大陸海岸線長居全國第一，森林、濕地資源豐富，候鳥數(shù)量龐大、種類繁多.為了解某濕地公

園大白鷺的情況，從中捕捉50只大白鷺，戴上識別卡并放回，經(jīng)過一段時間后發(fā)現(xiàn)，捕捉的大白鷺中有

記號的頻率穩(wěn)定在0.1左右，由此估計該濕地公園約有只大白鷺.

13.如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行.若4=32。，23=145°,則

Z2=.

14.如圖，一次函數(shù)>=履+》的圖像經(jīng)過43兩點，則關于x的不等式依+〃<2的解集是

15.在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可能”數(shù)學創(chuàng)新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數(shù)學探究活

動；對依次排列的兩個整式機，“按如下規(guī)律進行操作：第1次操作后得到整式中相，"，n-m.第2次

操作后得到整式中加，n-m,-m.第3次操作后……其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上

一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲.則該“回頭差”游戲

第2024次操作后得到的整式串各項之和是.

三、解答題（一）（本大題共3個小題，每16題10分，第17、18題各7分，共24分）

16.（1）計算：1-W.sin45°+|2。—亞卜

x-2y=1

（2）解方程組:

3%+4y=23

17.作為東莞的城市文化名片之一，籃球已成為不少東莞人生活的一部分.這個五一，我市舉行“繽紛運

動'莞'精彩、‘籃‘不住”的籃球邀請賽，賽制為雙循環(huán)形式(每兩隊之間都賽兩場)，計劃安排30場

比賽.

(1)應邀請多少支球隊參加比賽？

(2)若某支球隊參加2場后，因故不參與以后比賽，問實際共比賽了多少場？

18.如圖，的對角線AC,BD交于點、O,分別以點8,。為圓心，-AC,工劭長為半徑畫

22

弧，兩弧交于點尸，連接BP,CP.

(1)試判斷四邊形BPC。的形狀，并說明理由；

(2)①當平行四邊形ABCD是_________形時，四邊形8PC0是菱形；

②當平行四邊形ABC。是形時，四邊形是矩形.

四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題9分，共27分)

19.如圖1,是一電動門，當它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形ABC。，其中AB=3m,

AD=lm,此時它與出入口等寬，與地面的距離AO=0.2m；當它抬起時，變?yōu)槠叫兴倪呅?/p>

AB'C'D,如圖3所示，此時，49與水平方向的夾角為60°.

(1)求圖3中點"到地面的距離；

(2)在電動門抬起的過程中，求點C所經(jīng)過的路徑長；

(3)圖4中，一輛寬1.6m,高1.6m的汽車從該入口進入時，汽車需要與BC保持0.4m的安全距離，此

時，汽車能否安全通過？若能，請通過計算說明；若不能，請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：V3?1.732，71?3.14,所有結果精確到0.1)

20.在全國節(jié)能宣傳周期間，某校組織開展主題為“節(jié)能降碳，你我同行”的社會實踐活動.某組同學在甲、

乙兩個小區(qū)各隨機抽取50戶居民，獲得了他們1月份的用電量x(單位：kW-h),分別將兩個小區(qū)居民用

電量的數(shù)據(jù)分成5組：04x450,50<x<100,100<x<150,150<x<200,200<x<250,并

對數(shù)據(jù)進行整理和分析，下面給出部分信息：

信息一：

甲小區(qū)居民1月份用電量扇形統(tǒng)計圖乙小區(qū)居民1月份用電量頻數(shù)直方圉

106118120122123125125127128130130

131133133133134137140142143149

信息三：甲、乙兩個小區(qū)居民1月份用電量的平均數(shù)、中位數(shù)如下.

甲小乙小

區(qū)區(qū)

平均數(shù)

120130

/kW?h

中位數(shù)

118b

/kW?h

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)填空：a=,b=.

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“50<xW100”所在扇形圓心角的度數(shù)為°.

(3)若甲小區(qū)共有1000戶居民，乙小區(qū)共有800戶居民，試估計這兩個小區(qū)1月份用電量大于150

〃的總戶數(shù).

(4)請選擇一種統(tǒng)計量分析這兩個小區(qū)1月份的用電情況，并提出一條能夠節(jié)能降碳的建議.

21.綜合探究

小明同學在學習“圓”這一章內容時，發(fā)現(xiàn)如果四個點在同一個圓上(即四點共圓)時，就可以通過添加

輔助圓的方式，使得某些復雜的問題變得相對簡單，于是開始和同學一起探究四點共圓的條件.小明同學

已經(jīng)學習了圓內接四邊形的一個性質：圓內接四邊形的對角互補.因此，他想探究它的逆命題是否成立,

以下是小明同學的探究過程，請你補充完整.

（1）【猜想】“圓內接四邊形的對角互補”的逆命題為：,

如果該逆命題成立，則可以作為判定四點共圓的一個依據(jù).

（2）【驗證】如圖1,在四邊形A6CD中，ZABC+ZA￡>C=180°,請在圖1中作出過點4B、C三點

的口。，并直接判斷點。與口。的位置關系.（要求尺規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法）

（3）【證明】已知：如圖1,在四邊形中，ZABC+ZADC=180°,

求證：點AB、C、。四點共圓.

證明：過A、B、C三點作口。，假設點D不在口。上，

則它有可能在圓內（如圖2）,也有可能在圓外（如圖3）.

假設點。在口。內時，如圖2,延長CD交口。于點E,連結AE,

?/ZADC是△。胡的外角，,ZADC>ZAEC,

?.?四邊形ABCE是□。的內接四邊形，.?.NABC+NAEC=180°,

又???ZABC+ZADC=180°,:.ZADC=ZAEC.

這與NADC>NAEC相矛盾，所以假設不成立，所以點。不可能在口。內.

五、解答題（三）（本大題共2個小題，每小題12分，共24分）

22.閱讀理解

【信息提取】

新定義：在平面直角坐標系中，如果兩條拋物線關于坐標原點對稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的“友

好拋物線”.

新知識：對于直線M=幻+4（女尸0）和%=左2%+4（左2片0），若仁?左2=-1，則直線力與為互相垂

直；若直線口與火互相垂直，貝漢1?左2=-1.

【感知理解】

(1)拋物線M=—2(x+2)2-3的“友好拋物線”為%=；

(2)若拋物線yi=ax-+bx+c(aw0)與%=+nx+q{mW0)互為“友好拋物線”，則。與m的數(shù)量

關系為,6與〃的數(shù)量關系為,c與q的數(shù)量關系為；

【綜合應用】

(3)如圖，拋物線/］：%=必一4%+3的頂點為￡,乙的“友好拋物線”4的頂點為R過點。的直線4

與拋物線/1交于點48(點A在3的左側)，與拋物線4交于點C,。(點C在。的左側).若四邊形

AFDE為菱形，求A3的長.

23.如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=3,點E在折線BCD上運動,將AE繞點A順時針旋轉得到

AF，旋轉角等于/B4C,連接CT.

R口

F(備用圖)

(1)當點E在BC上時，作9LAC,垂足為M,求證4M=4B；

(2)當AE=3血時，求CE的長；

(3)連接?？?，點E從點2運動到點。的過程中，試探究。尸的最小值.

2023-2024學年第二學期初三第三次模擬測試數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）.

1.2024年4月23日是第29個世界讀書日，習近平總書記多次強調讀書的重要性，倡導全社會都參與到閱

讀中來，形成愛讀書、讀好書、善讀書的濃厚氛圍.圖書館是開展全民閱讀的重要場所，以下是我省四個

城市的圖書館標志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）

A.

潮疝有畫■帝佛111南國M值

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1IRRARY

【答案】c

【解析】

【分析】此題考查軸對稱圖形的定義：將一個圖形沿著一條直線翻折，直線兩側的部分能完全重合，則此圖

形是軸對稱圖形，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

C、是軸對稱圖形，故符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

故選：C.

2.為了紀念著名的數(shù)學家蘇步青及其卓越貢獻，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇

步青星”，數(shù)據(jù)218000000用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.218xl09B.2.18xl09C.2.18xl08D.218xl06

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中1<|a|<10,

〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值210時，〃是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，"是負整數(shù).

【詳解】解:218000000=2.18xlO8)

故選：c.

3.下列二次根式中能與0合并的是（)

A.712B.V8C.V20D.V27

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查二次根式的性質化簡，同類二次根式的定義，二次根式的加減運算法則，掌握同類

二次根式，二次根式的加減運算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：A、712=273;不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；

B、花=2后，是同類二次根式，可以合并，符合題意；

C、同=26，不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；

D、后二35不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；

故選：B.

4.樺卯（sunmao）,是中國古代建筑、家具及其它木制器械的主要結構方式.如圖是某個部件“棒”的實

物圖，它的主視圖是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了物體的三視圖，根據(jù)從正面看到的圖形即可求解，掌握物體三視圖的畫法是解題的關

鍵.

【詳解】解：如圖是某個部件“棒”的實物圖，它的主視圖是:

故選：c.

5.反比例函數(shù)y=的圖象位于（）

x

A.第一、第三象限B.第一、第四象限C.第二、第三象限D.第二、第四象限

【答案】D

【解析】

k

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質，對于反比例函數(shù)y=—（awO）,當左〉0時，圖象在一、

三象限，當左<0時，圖象在二、四象限，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：5<0,

反比例函數(shù)y=-*的圖象位于第二、第四象限，

X

故選：D.

6.函數(shù)y=萬的自變量尤的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（）

=1t

A.1rJ]*B.8____giC.-----5--1--i--*

0121^012012

'012

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，求出％-120的解集，再在數(shù)軸上表示即可.

【詳解】解：；Jx-1中,尤T20,

：.X>1,

故在數(shù)軸上表示為：

nn

02

故選：D.

【點睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1.

7.某市為解決冬季取暖問題需鋪設一條長3500米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，實際施工時

，設實際每天鋪設管道無米，則可得方程網(wǎng)獨-空叫=15,根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺

x-10x

失的條件應補為（）

A.每天比原計劃多鋪設10米，結果提前15天完成

B.每天比原計劃少鋪設10米，結果延期15天完成

C.每天比原計劃少鋪設15米，結果延期10天完成

D.每天比原計劃多鋪設15米，結果提前10天完成

【答案】A

【解析】

【分析】由給定的分式方程，可找出缺失的條件為：每天比原計劃多鋪設10米，結果提前15天完成.此題

得解.

【詳解】解：；利用工作時間列出方程：至黑—頭叫=15,

x-10x

，缺失的條件為：每天比原計劃多鋪設10米，結果提前15天完成.

故選：A.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，明確題意，由列出的分式方程找出題干缺失的條件是解

題的關鍵.

8.已知x+y=6,盯=6,則％2+）?的值為（）

A.9B.18C.24D.36

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了完全平方公式的變形計算，正確掌握完全平方公式是解題的關鍵，

根據(jù)完全平方公式變形計算即可得到答案.

【詳解】解：'：x+y=6,陰=6,

X2+y2-（x+y）'-2xy=62-2x6=24

故選：C.

9.如圖，將以。為中心點的量角器與含30。角的直角三角板緊靠著放在同一平面內，此時點。，C,8在

同一條直線上，且DC=2BC.過點A作量角器圓弧所在圓的切線，切點為E,則點E在量角器上所對應

的銳角度數(shù)是（）

A

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質以及垂直平分線的性質.此題難度適中，解題的

關鍵是掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.設半圓的圓心為。，連接。4,由題意易得AC

是線段QB的垂直平分線，即可求得NAOC=ZABC=60°,又由AE是切線，證明RtQAOEgRtDAOC,

繼而求得/AOE的度數(shù)，則可求得答案.

【詳解】解：設半圓的圓心為O,連接。4,

CD=2OC=2BC,

OC=BC,

,：ZACB=90°,即

OA=BA,

：.ZAOC=ZABC,

,：ABAC=30°,

ZAOC=ZABC=60°,

AE是切線，

ZAEO=90°,

ZAEO=ZACO=90°,

在RtAAOE和RflAOC中，

OA=OA

'OE=OC'

...RtnAOE^RtnAOC(HL),

NAOE=ZAOC=60°,

ZAOD=180°-60°-60°=60°,

即點￡在量角器上所對應的銳角度數(shù)是60。.

故選：D.

10.如圖，□ABC和口ECD都是等腰三角形，且NBAC=NCED,點8,C,。在同一條直線上,

□ABC和口ECO的面積分別為16和25,則圖中陰影部分的面積為（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可判定△ABCsAB//EC,從而得到——的比，再由口48。43邊上的高

S

和匕hCEEC邊上的高相等，得到尸1=萬的比，即可計算△ACE的面積.

3口ACEEC

【詳解】???O4BC和口ECD是等腰三角形，且NBAC=NCED

ZABC=ZACB=ZECD=ZEDC

:AABCsAECD,AB//EC

又":S^ABC=16,S口ECO=25

S"BC_16

S口ECD25

AB4

EC5

AB//EC

UABCAB邊上的高和△ACEEC邊上的高相等

S^ABCAB4

-

^OACEEC5

S口ACE=4s口說=4x16=20.

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，相似三角形的面積比等于對應邊的比的

平方，平行線之間的距離處處相等，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）.

11.單項式-2*2y的系數(shù)是.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)單項式系數(shù)的定義作答.

【詳解】解：-2/y中不含字母的項為-2,

.??單項式的系數(shù)是-2,

故答案為：-2.

【點睛】本題考查單項式系數(shù)的概念，單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)；掌握系數(shù)的定義是解題關

鍵.

12.廣東省大陸海岸線長居全國第一，森林、濕地資源豐富，候鳥數(shù)量龐大、種類繁多.為了解某濕地公

園大白鷺的情況，從中捕捉50只大白鷺，戴上識別卡并放回，經(jīng)過一段時間后發(fā)現(xiàn)，捕捉的大白鷺中有

記號的頻率穩(wěn)定在0.1左右，由此估計該濕地公園約有只大白鷺.

【答案】500

【解析】

【分析】本題主要考查的是通過樣本去估計總體.捕捉的大白鷺樣本中有記號的頻率穩(wěn)定在0.1左右，說明

50只大白鷺占總體的比也是0.1,據(jù)此即可解答.

【詳解】解：設該濕地公園約有尤只大白鷺，

貝ij50:x=0.1,

解得x=500.

答：估計該濕地約有500只大白鷺.

故答案為：500.

13.如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部A3與支撐平臺CD平行.若Nl=32。，Z3=145°,則

/2二?

AB

【答案】67°##67度

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵.過/2頂點作直線/〃支撐

平臺，直線/將N2分成兩個角即N4、N5,根據(jù)平行線的性質即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過N2頂點作直線/〃支撐平臺，直線/將N2分成兩個角/4和N5,

???工作籃底部與支撐平臺平行、直線/〃支撐平臺，

???直線I//支撐平臺I//工作籃底部，

Z1=Z4=32°,Z5+Z3=180°,

,/Z3=145°

Z5=35°,

N2=/4+N5=67°,

故答案為：67°.

14.如圖，一次函數(shù)>=履+》的圖像經(jīng)過43兩點，則關于x的不等式依+。<2的解集是

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關系及數(shù)形結合思想的應用.解決此類問題關鍵是仔細

觀察圖形，注意幾個關鍵點（交點、原點等），做到數(shù)形結合.直接根據(jù)圖象解答即可.

【詳解】解：由圖象可知，關于X的不等式依+匕<2的解集是x<0.

故答案為：x<Q.

15.在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可能”數(shù)學創(chuàng)新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數(shù)學探究活

動；對依次排列的兩個整式機，〃按如下規(guī)律進行操作：第1次操作后得到整式中加，n,n-m.第2次

操作后得到整式中相，n,n-m,-m.第3次操作后……其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上

一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲.則該“回頭差”游戲

第2024次操作后得到的整式串各項之和是.

【答案】2n-m

【解析】

【分析】本題考查的是整式的加減運算，代數(shù)式的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并總結概括規(guī)律并靈活運用

是解本題的關鍵.先逐步分析前面7次操作，可得整式串的循環(huán)規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：第1次操作后得到整式串

第2次操作后得到整式串m,n,n-m,-m.

第3次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n.

第4次操作后得到整式串m,n,n-+m；

第5次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m.

第6次操作后得到的整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n；

第7次操作后得到的整式串加,",n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m.

歸納可得：該“回頭差”游戲每六次一循環(huán)，

???2024+6=337…2,

第2024次操作后得到的整式中各項之和與第2次操作后得到整式串之和相等，

???第2次操作后得到整式串之和為加+〃+〃一加一加=2〃一加

故答案為：2n—m.

三、解答題（一）（本大題共3個小題，每16題10分，第17、18題各7分，共24分）

16.(1)計算：1—I-sin45°+|2°-

x-2y=1

（2）解方程組:

3x+4y=23

【答案】（1）0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)塞，零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值計算.

（2）利用加減消元法解答即可.

本題考查了負整數(shù)指數(shù)幕，零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值，解方程組，熟練掌握公式，熟記特殊角的三

角函數(shù)值，正確解方程組是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：原式=1—2x"+應—1

2

=1-V2+V2-1

=0

x-2y=1①

⑵〈—

13]+4y=23②

①x2得：2%-4y=2③

②+③得：5%=25,

x-5

把％=5代入①得5-2y=1,

y=2

x=5

???原方程組的解為〈c

b=2

17.作為東莞的城市文化名片之一，籃球已成為不少東莞人生活的一部分.這個五一，我市舉行“繽紛運

動'莞'精彩、‘籃‘不住”的籃球邀請賽，賽制為雙循環(huán)形式（每兩隊之間都賽兩場），計劃安排30場

比賽.

（1）應邀請多少支球隊參加比賽？

（2）若某支球隊參加2場后，因故不參與以后比賽，問實際共比賽了多少場？

【答案】（1）設應邀請6支球隊參加比賽

（2）實際共比賽22場

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

（1）設應該邀請x支球隊參加比賽，根據(jù)雙循環(huán)比賽安排30場，即可得出關于x的一元二次方程，解之取

其正值即可得出結論；

（2）利用比賽總場次數(shù)=該球隊參加的場次數(shù)+剩下5支球隊實行雙循環(huán)比賽的場次數(shù)，即可求出結論.

【小問1詳解】

解：設應邀請x支球隊參加比賽，

由題意得：x（x-1）=30

解得：石=6,x2=—5（不合題意，舍去）.

答：設應邀請6支球隊參加比賽.

【小問2詳解】

解：2+5x4=22（場）

答：實際共比賽22場.

18.如圖，的對角線AC,BD交于點O,分別以點3,。為圓心，-AC,工劭長為半徑畫

22

弧，兩弧交于點尸，連接BP,CP.

（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（2）①當平行四邊形ABC。是_________形時，四邊形8PC。是菱形;

②當平行四邊形ABC。是形時，四邊形是矩形.

【答案】（1）四邊形6PC。為平行四邊形.理由見解析

（2）①矩；②菱

【解析】

【分析】（1）由平行四邊形的性質得出OC=OA=』AC,。3=。。=,5。，證出。8=3,BP=OC,

22

則可得出結論；

（2）①由菱形的判定可得出結論.②由矩形的判定可得結論.

【小問1詳解】

解：四邊形BPC。為平行四邊形.

理由：???四邊形ABC。為平行四邊形，

0C=OA=—AC,OB=OD=一BD,

22

???以點B,。為圓心，-AC,工劭長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，

22

OB=CP,BP=OC,

四邊形8PC。為平行四邊形；

【小問2詳解】

①當DABC。是矩形時，四邊形BPC。是菱形，理由如下：

?.?□ABC。是矩形，

AC=BD,

：.OC=OB,

又?.?四邊形8PC0是平行四邊形，

.??四邊形BPC。是菱形.

②當口ABC。是菱形時，四邊形BPC。是矩形，理由如下：

???□ABCD是菱形，

AC1BD,

ZBOC=90°,

又?.?四邊形BPC。是平行四邊形，

.??四邊形BPC。是矩形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，矩形的判定與性質，熟練掌握平行四邊

形的性質是解題的關鍵.

四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

19.如圖1,是一電動門，當它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形A3CD,其中A3=3m,

AD=lm，此時它與出入口等寬，與地面的距離AO=0.2m；當它抬起時，變?yōu)槠叫兴倪呅?/p>

AB'C'D,如圖3所示，此時，與水平方向的夾角為60°.

a

(1)求圖3中點"到地面的距離；

(2)在電動門抬起的過程中，求點C所經(jīng)過的路徑長；

(3)圖4中，一輛寬1.6m,高1.6m的汽車從該入口進入時，汽車需要與保持0.4m的安全距離，此

時，汽車能否安全通過？若能，請通過計算說明；若不能，請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：百。1.732，71^3.14,所有結果精確到0.1)

【答案】(1)點B到地面的距離約為2.8m

(2)點C所經(jīng)過的路徑約為3.1m

(3)汽車能安全通過，理由見解析

【解析】

【分析】本題考查解直角三角形的應用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造直角

三角形解決問題.

(1)過點B'作B'NLOM于點N,交AB于點E,根據(jù)解直角三角形、銳角三角函數(shù)進行解答即可.

(2)根據(jù)弧長公式解答即可；

(3)根據(jù)解直角三角形、銳角三角函數(shù)進行解答即可.

【小問1詳解】

解：如圖1,過點"作“于點N,交于點E,

ABr=AB=3m,/BAB'=60°,

B'E

在Rt/\AEBf中，sinNBAB'=-----

ABf

B'E=AB'-sinZBAB'=3xsin60°=3x—=述x2,598m

22

B'N=B'E+EN=2.598+0.2?2.8m

答：點&到地面的距離約為2.8m；

【小問2詳解】

解：?.?點C，是點C繞點。旋轉60。得到的，

60,71,3

???點C經(jīng)過的路徑長為1=-------=兀土3.1m.

180

答：點C所經(jīng)過的路徑約為3.1m.

【小問3詳解】

汽車能安全通過.

解：在上取MK=0.4m,KE=L6m,作于點/，交AB于點H,交A8于點G,

即汽車與BC保持安全距離MK=0.4m,汽車的寬KF=1.6m,

OF=3—1.6—0.4=Im,

依題意得：ZAHG=90°,ZGAH=60°,四邊形是矩形，

AH=OF=lm,HF=OA=0.2m,

在RtDAGH中，tan/GAH=2

AH

GH=AH-tanZGAH=1xtan60。=百"732m

GF=GH+HF?1J32+Q.2=1,932m

"??汽車高度為1.6m,1.932>1.6,

二汽車能安全通過

20.在全國節(jié)能宣傳周期間，某校組織開展主題為“節(jié)能降碳，你我同行”的社會實踐活動.某組同學在甲、

乙兩個小區(qū)各隨機抽取50戶居民，獲得了他們1月份的用電量x（單位：kW-h）,分別將兩個小區(qū)居民用

電量的數(shù)據(jù)分成5組：0<x450,50<x<100,100<x<150,150<x<200,200<x<250,并

對數(shù)據(jù)進行整理和分析，下面給出部分信息:

信息一:

甲小區(qū)居民1月份用電量扇形統(tǒng)計圖乙小區(qū)居民1月份用電量頻數(shù)直方圉

106118120122123125125127128130130

131133133133134137140142143149

信息三：甲、乙兩個小區(qū)居民1月份用電量的平均數(shù)、中位數(shù)如下.

甲小乙小

區(qū)區(qū)

平均數(shù)

120130

/kW?h

中位數(shù)

118b

/kW?h

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a=,b=.

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“50<x<100”所在扇形圓心角的度數(shù)為

（3）若甲小區(qū)共有1000戶居民，乙小區(qū)共有800戶居民，試估計這兩個小區(qū)1月份用電量大于150

婦/i的總戶數(shù).

（4）請選擇一種統(tǒng)計量分析這兩個小區(qū)1月份的用電情況，并提出一條能夠節(jié)能降碳的建議.

【答案】（1）16；125

（2）108（3）380戶

（4）答案不唯一，合理即可，如拔掉家中一切不用的電源

【解析】

【分析】對于（1）,根據(jù)總戶數(shù)為50,分別減去4組的頻數(shù)可求出a,再確定乙小區(qū)的第25,26個數(shù)，求平

均數(shù)即可得出中位數(shù)；

對于(2),先求出50<x<100所占的百分數(shù)，再乘以360。；

對于(3),分別求出兩個小區(qū)用電量大于150Rv-/z的戶數(shù)，再求和即可；

對于(4),符合題意即可.

【小問1詳解】

0=50-3-21-6-4=16.

根據(jù)題意可知乙小區(qū)第25,26個數(shù)在100<XV150之間，這兩個數(shù)是125,125,則

故答案為：16,125；

【小問2詳解】

根據(jù)題意可知100%-40%-16%-6%-8%=30%,

所以"50<x<100”所在扇形圓心角的度數(shù)為360°x30%=108°.

故答案為：108°；

【小問3詳解】

6+4

甲小區(qū)用電量大于150hv-/z的百分比為22%,乙小區(qū)用電量大于的百分比為——=20%,所以

50

這兩個小區(qū)1月份用電量大于150標/的總戶數(shù)為1000x22%+800x20%=380(戶)；

【小問4詳解】

拔掉家中一切不用的電源.(答案不唯一，合理即可).

【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，求中位數(shù)，樣本估計總體的思想，從頻數(shù)分布直方圖中獲取信

息是解題的關鍵.

21.綜合探究

小明同學在學習“圓”這一章內容時，發(fā)現(xiàn)如果四個點在同一個圓上(即四點共圓)時，就可以通過添加

輔助圓的方式，使得某些復雜的問題變得相對簡單，于是開始和同學一起探究四點共圓的條件.小明同學

已經(jīng)學習了圓內接四邊形的一個性質：圓內接四邊形的對角互補.因此，他想探究它的逆命題是否成立，

以下是小明同學的探究過程，請你補充完整.

(1)【猜想】“圓內接四邊形的對角互補”的逆命題為：,

如果該逆命題成立，則可以作為判定四點共圓的一個依據(jù).

(2)【驗證】如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=1SO°,請在圖1中作出過點4、B、C三點

的口。，并直接判斷點。與口。的位置關系.(要求尺規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法)

(3)【證明】已知：如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,

求證：點A、B、C、。四點共圓.

證明：過A、B、C三點作口。，假設點。不在口。上，

則它有可能在圓內（如圖2）,也有可能在圓外（如圖3）.

假設點。在口。內時，如圖2,延長CD交口。于點E,連結AE,

ZADC是△OEA的外角，ZADC>ZAEC,

???四邊形ABCE是□。的內接四邊形，.?.NABC+N4EC=180°,

又-/ZABC+ZADC=180°,/.ZADC=ZAEC.

這與NADONAEC相矛盾，所以假設不成立，所以點。不可能在口。內.

【答案】（1）對角互補的四邊形能內接于圓.（或：對角互補的四邊形是圓的內接四邊形）

（2）圖見解析，點D在口。上

（3）詳見解析

【解析】

【分析】本題考查了反證法，命題與定理及線段的垂直平分線的性質及有關圓的性質是解題的關鍵.

（1）根據(jù)逆命題與原命題是條件、結論互換解答.

（2）根據(jù)作過不共線的三個點的圓作法作圖，先確定圓心再確定半徑；

（3）根據(jù)反證法的步驟進行證明.

【小問1詳解】

解：對角互補的四邊形能內接于圓.（或：對角互補的四邊形是圓的內接四邊形）.

【小問2詳解】

解：如圖1,□。為所求.

點。在口。上.

'小證、。

V^''1【小問3詳解】

I

*

圖1

證明：假設點。在口。外時，如圖3,

曲

CD交口。于點E,連結AE,

?.?/AEC是△OE4的外角，

NAEC>ZADC.

???四邊形ABCE是口。的內接四邊形，

ZABC+ZAEC=1SO°

又???ZABC+ZADC=180°,

ZAEC=ZADC.

這與ZAEC>ZADC相矛盾，所以假設不成立，

所以點。不可能在口。外.

五、解答題（三）（本大題共2個小題，每小題12分，共24分）

22.閱讀理解

【信息提取】

新定義：在平面直角坐標系中，如果兩條拋物線關于坐標原點對稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的“友

好拋物線”.

新知識:對于直線M=幻+4（左。0）和%=左2%+4（左2H0），若尢?左2=-1，則直線力與%互相垂

直；若直線X與內互相垂直，則占?左2=一1?

【感知理解】

（1）拋物線M=-2（X+2）2-3的“友好拋物線”為%=；

(2)若拋物線乃=ax-+bx+c{aw0)與乂=加^+依+q(m豐0)互為“友好拋物線”，貝U。與m的數(shù)量

關系為，人與"的數(shù)量關系為，，與〃的數(shù)量關系為

【綜合應用】

(3)如圖，拋物線/1：%=V-4x+3的頂點為E,4的“友好拋物線”(的頂點為尸，過點。的直線4

與拋物線4交于點43(點A在3的左側)，與拋物線4交于點C,。(點C在D的左側).若四邊形

AFDE為菱形，求A2的長.

【答案】(1)2(X-2)2+3

(2)a=-m,b=n,c=-q

(3)AB=2底

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“友好拋物線”定義可得頂點關于坐標原點對稱，開口方向相反，形狀相同寫出解析式即可.

(2)將拋物線％=加+bx+c(a#0)與％=陽2+nx+q(m*0)化為頂點式，根據(jù)它們互為“友好拋物線”

求解；

(3)求出拋物線/1：%=/一4》+3的頂點為E的坐標為(2,-1),根據(jù)“友好拋物線”可得2-2,1).拋物

,1

線4：%=-%-4%-3,利用待定系數(shù)法可得直線EF的解析式為y=--x-根據(jù)新知識得直線AD的解

y—%2—4%+3

析式為y=2x.由,可得A(3—逝,6-2遙)，3(3+遍,6+2遙).利用兩點的距離公

。=2%

式即可求解.

【詳解】解：(1)由已知拋物線％=-2。+2)2-3與它的“友好拋物線”的頂點關于坐標原點對稱，形狀

相同，開口方向相反.

???拋物線％=-2。+2)2—3的頂點坐標為(-2,-3),

,它的“友好拋物線”的頂點坐標為(2,3),

y2=2(x—2)2+3,

故答案為：2(X-2)2+3；

2222

(2)?「拋物線％=ax+bx+c=a(x+—)+,y2=nvc+nx+q=m(x+-^-)+__上,

2a4a2m4m

2

?二拋物線y1=ax+bx+c(a^O)的頂點坐標為(-二，.")，拋物線%二加/+幾］+式加。0)的頂點坐

2a4a

「/n4mq-n2

標為(一丁，T——x)，

2m4m

12

拋物線yi=ax^bx+c(aw0)與%=mx++q(jnW0)互為“友好拋物線”.

bn4ac-b14ma-n2

..Cl——TYl,-----