河北省衡水中學(xué)2017屆高三押題II卷理數(shù)試題解析版

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題理科數(shù)學(xué)〔Ⅱ〕第一卷一、選擇題：此題共12個小題,每題5分,在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.設(shè)集合，，那么集合=〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可得：，那么集合=.此題選擇B選項(xiàng).2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，那么=〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可得：.此題選擇C選項(xiàng).3.假設(shè)，，那么的值為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可得：，結(jié)合兩角和差正余弦公式有：.此題選擇A選項(xiàng).4.直角坐標(biāo)原點(diǎn)為橢圓的中心，，為左、右焦點(diǎn)，在區(qū)間任取一個數(shù)，那么事件“以為離心率的橢圓與圓：沒有交點(diǎn)〞的概率為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】滿足題意時，橢圓上的點(diǎn)到圓心的距離：，整理可得，據(jù)此有：，題中事件的概率.學(xué),科,網(wǎng)...此題選擇A選項(xiàng).5.定義平面上兩條相交直線的夾角為：兩條相交直線交成的不超過：，當(dāng)其離心率時，對應(yīng)雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意可得：，設(shè)雙曲線的漸近線與軸的夾角為，雙曲線的漸近線為，那么，結(jié)合題意相交直線夾角的定義可得雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為.此題選擇D選項(xiàng).6.某幾何體的三視圖如下圖，假設(shè)該幾何體的體積為，那么它的外表積是〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由三視圖可知，該幾何體是由四分之三圓錐和一個三棱錐組成的組合體，其中：由題意：，據(jù)此可知：，，，它的外表積是.此題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：三視圖的長度特征：“長對正、寬相等，高平齊〞，即正視圖和側(cè)視圖一樣高、正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．假設(shè)相鄰兩物體的外表相交，外表的交線是它們的分界限，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法．正方體與球各自的三視圖一樣，但圓錐的不同．7.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意，那么且，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)C,D錯誤；當(dāng)時，，那么函數(shù)值，排除選項(xiàng)B.此題選擇A選項(xiàng).8.二項(xiàng)式的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中的第3項(xiàng)的系數(shù)是第4項(xiàng)的系數(shù)的3倍，那么的值為〔〕學(xué),科,網(wǎng)...A.4B.8C.12D.16【答案】B【解析】二項(xiàng)式的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，那么，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：，由題意有：，整理可得：.此題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：二項(xiàng)式系數(shù)與展開式項(xiàng)的系數(shù)的異同一是在Tr＋1＝an－rbr中，是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指，而后者是字母外的局部，前者只與n和r有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負(fù)．二是二項(xiàng)式系數(shù)的最值與增減性與指數(shù)n的奇偶性有關(guān)，當(dāng)n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時取得最大值．9.執(zhí)行以下圖的程序框圖，假設(shè)輸入的，，，那么輸出的的值為〔〕A.81B.C.D.【答案】C【解析】依據(jù)流程圖運(yùn)行程序，首先初始化數(shù)值，，進(jìn)入循環(huán)體：，時滿足條件，執(zhí)行，進(jìn)入第二次循環(huán)，，時滿足條件，執(zhí)行，進(jìn)入第三次循環(huán)，，時不滿足條件，輸出.此題選擇C選項(xiàng).10.數(shù)列，，且，，那么的值為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由遞推公式可得：當(dāng)為奇數(shù)時，，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列，此題選擇C選項(xiàng).11.函數(shù)的圖象如下圖，令，那么以下關(guān)于函數(shù)的說法中不正確的選項(xiàng)是〔〕A.函數(shù)圖象的對稱軸方程為學(xué),科,網(wǎng)...B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線與直線平行D.方程的兩個不同的解分別為，，那么最小值為【答案】C【解析】由函數(shù)的最值可得，函數(shù)的周期，當(dāng)時，，令可得，函數(shù)的解析式.那么：結(jié)合函數(shù)的解析式有，而，選項(xiàng)C錯誤，依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)考察其余選項(xiàng)正確.此題選擇C選項(xiàng).12.函數(shù)，假設(shè)存在三個零點(diǎn)，那么的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】很明顯，由題意可得：，那么由可得，由題意得不等式：，即：，綜上可得的取值范圍是.此題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部，第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22題和第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分13.向量，，假設(shè)向量，共線，且，那么的值為_________．【答案】-8學(xué),科,網(wǎng)...【解析】由題意可得：或，那么：或.14.設(shè)點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)、，假設(shè)為銳角三角形，那么橢圓的離心率的取值范圍為__________．【答案】【解析】試題分析：∵△PQM是銳角三角形，∴∴化為∴解得∴該橢圓離心率的取值范圍是故答案為：15.設(shè)，滿足約束條件那么的取值范圍為__________．【答案】【解析】繪制不等式組表示的可行域如下圖，目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，在點(diǎn)處取得最小值，那么的取值范圍為.點(diǎn)睛：此題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考察的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法．解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義．16.在平面五邊形中，，，，，，，當(dāng)五邊形的面積時，那么的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題意可設(shè)：，那么：，那么：當(dāng)時，面積由最大值；當(dāng)時，面積由最大值；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：的取值范圍為.三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕記求的前項(xiàng)和.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】試題分析：(1)由題意可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.學(xué),科,網(wǎng)...(2)裂項(xiàng)求和，，故.試題解析：〔1〕當(dāng)時，由與，得，即，解得.又由，①可知，②②-①得，即.且時，適合上式，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故.〔2〕由〔1〕與，可知，所以，故.18.如下圖的幾何體中，底面為菱形，，，與相交于點(diǎn)，四邊形為直角梯形，，，，平面底面.〔1〕證明：平面平面；〔2〕求二面角的余弦值.【答案】〔1〕見解析；〔2〕.【解析】試題分析：(1)利用題意證得平面.由面面垂直的判斷定理可得平面平面.(2)結(jié)合(1)的結(jié)論和題意建立空間直角坐標(biāo)系，由平面的法向量可得二面角的余弦值為.試題解析：〔1〕因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，從?又，所以平面，由，，，可知，，，，從而，故.又，所以平面.學(xué),科,網(wǎng)...又平面，所以平面平面.〔2〕取中點(diǎn)，由題可知，所以平面，又在菱形中，，所以分別以，，的方向?yàn)?，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系〔如圖示〕，那么，，，，，所以，，.由〔1〕可知平面，所以平面的法向量可取為.設(shè)平面的法向量為，那么即即令，得，所以.從而.故所求的二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)展，在一個半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應(yīng)用，表達(dá)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，表達(dá)了由“形〞轉(zhuǎn)“數(shù)〞的轉(zhuǎn)化思想．兩種思路：(1)選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運(yùn)算進(jìn)展判斷．(2)建立空間坐標(biāo)系，進(jìn)展向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問題．19.某校為緩解高三學(xué)生的高考壓力，經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后從該年級800名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)展測試，并將其成績分為、、、、五個等級，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下圖〔視頻率為概率〕，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，答復(fù)以下問題：〔1〕試估算該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)榈娜藬?shù)；〔2〕假設(shè)等級、、、、分別對應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分，學(xué)校要求平均分達(dá)90分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關(guān)〞，請問該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體〞是否過關(guān)？〔3〕為了解心理安康狀態(tài)穩(wěn)定學(xué)生的特點(diǎn)，現(xiàn)從、兩種級別中，用分層抽樣的方法抽取11個學(xué)生樣本，再從中任意選取3個學(xué)生樣本分析，求這3個樣本為級的個數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】〔1〕448；〔2〕該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體〞已過關(guān)；〔3〕見解析.【解析】試題分析：(1)由頻率分布直方圖估算該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)榈娜藬?shù)為448；(2)計算平均分可得該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體〞已過關(guān).(3)的可能值為0，1，2，3.由超幾何分布的概率寫出分布列，求得數(shù)學(xué)期望為.試題解析：〔1〕從條形圖中可知這100人中，有56名學(xué)生成績等級為，所以可以估計該校學(xué)生獲得成績等級為的概率為，那么該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)榈娜藬?shù)約有.〔2〕這100名學(xué)生成績的平均分為，因?yàn)?，所以該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體〞已過關(guān).學(xué),科,網(wǎng)...〔3〕由題可知用分層抽樣的方法抽取11個學(xué)生樣本，其中級4個，級7個，從而任意選取3個，這3個為級的個數(shù)的可能值為0，1，2，3.那么，，，.因此可得的分布列為：那么.20.橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)，動直線：交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，且〔為坐標(biāo)原點(diǎn)〕〔1〕求橢圓的方程.〔2〕討論是否為定值？假設(shè)為定值，求出該定值，假設(shè)不是請說明理由.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】試題分析：(1)由題意求得，，故所求的橢圓方程為.(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意可證得為定值.試題解析：〔1〕由題意可知，所以，即，①又點(diǎn)在橢圓上，所以有，②由①②聯(lián)立，解得，，故所求的橢圓方程為.〔2〕設(shè)，由，可知.聯(lián)立方程組消去化簡整理得，又由題知，即，整理為.將③代入上式，得.化簡整理得，從而得到.21.設(shè)函數(shù).〔1〕試討論函數(shù)的單調(diào)性；學(xué),科,網(wǎng)...〔2〕設(shè)，記，當(dāng)時，假設(shè)方程有兩個不相等的實(shí)根，，證明.【答案】〔1〕見解析；〔2〕見解析.【解析】試題分析：(1)求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類討論可得：①假設(shè)時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；②假設(shè)時，函數(shù)單調(diào)遞增；③假設(shè)時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.(2)構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的不等式.試題解析：〔1〕由，可知.因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，①假設(shè)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；②假設(shè)時，當(dāng)在內(nèi)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；③假設(shè)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.〔2〕證明：由題可知，所以.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.欲證，只需證，又，即單調(diào)遞增，故只需證明.設(shè)，是方程的兩個不相等的實(shí)根，不妨設(shè)為，那么兩式相減并整理得，從而，故只需證明，即.因?yàn)?，所以?〕式可化為，即.因?yàn)椋?，不妨令，所以得到?記，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此在單調(diào)遞增.學(xué),科,網(wǎng)...又，因此，，故，得證，從而得證.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題計分，作答時請寫清題號.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線：〔為參數(shù)，〕，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：.〔1〕試將曲線與化為直角坐標(biāo)系中的普通方程，并指出兩曲線有公共點(diǎn)時的取值范圍；〔2〕當(dāng)時，兩曲線相交于，兩點(diǎn)，求.【答案】〔1〕，，：；；〔2〕.【解析】試題分析：(1)由題意計算可得曲線與化為直角坐標(biāo)系中的普通方程為，；的取值范圍是；(2)首先求解圓心到直線的距離，然后利用圓的弦長計算公式可得.試題解析：〔1〕曲線：消去參數(shù)可得普通方程為.曲線：，兩邊同乘.可得普通方程為.把代入曲線的普通方程得：，而對有，即，所以故當(dāng)兩曲線有公共點(diǎn)時，的取值范圍為.〔2〕當(dāng)時，曲線：，兩曲線交點(diǎn)，所在直線方程為.曲線的圓心到直線的距離為，所以.23.選修