尺規(guī)作圖（學生版+解析）-2022-2023學年浙教版八年級數(shù)學上冊同步講義

第6課尺規(guī)作圖

號目標導航

學習目標

1.了解尺規(guī)作圖的含義和基本尺規(guī)作圖的范圍.

2.會進行以下尺規(guī)作圖,并了解作法的理由.

①作一個角等于已知角；

②作已知線段的垂直平分線；

③在給定邊角條件下，求作三角形.

撇前識精講

知識點01尺規(guī)作圖

用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖簡稱尺規(guī)作圖

知識點02基本尺規(guī)作圖

①作一個角等于已知角；

②作已知線段的垂直平分線；

③在給定邊角條件下，求作三角形.

能力拓展

考點01尺規(guī)作圖

【典例1】如圖，已知線段機，〃和/a,求作△ABC,使AC=n,ZB=Za.

n

【即學即練1】如圖所示，已知Na和(Za>Zp),求作：(1)Za+Zp；(2)Za-Zp.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個角等于已知角”的示意圖，該作法運用了“全等三角形的對應(yīng)角相等”這

一性質(zhì)，則判定圖中兩三角形全等的條件是（）

2.下列尺規(guī)作圖的語句正確的是（）

A.延長射線AB到。B.以點。為圓心，任意長為半徑畫弧

C.作直線A8=3cmD.延長線段A8至C,使AC=8C

3.在下列各題中，屬于尺規(guī)作圖的是（）

A.用直尺畫一工件邊緣的垂線B.用直尺和三角板畫平行線

C.利用三角板畫45。的角D.用圓規(guī)在已知直線上截取一條線段等于已知線段

4.如圖，已知NA08,用尺規(guī)作NPCE,使作圖痕跡中弧FG是（）

B.以點C為圓心，。。為半徑的弧

C.以點E為圓心，DM為半徑的弧D.以點C為圓心，OM為半徑的弧

5.如圖，在Rt^ABC中，觀察作圖痕跡，若BF=2,則CT的長為（）

cD

B.3C.2D-2

6.如圖,若Na=29°,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則NA08的度數(shù)為

7.如圖，已知△ABC,利用尺規(guī)在2C上找一點。，使得（保留作圖痕跡，不寫作法）

8.如圖，已知△ABC,請用尺規(guī)作圖法作出8C邊上的中線AD.（保留作圖痕跡，不寫作法）

9.如圖，利用尺規(guī)，在△ABC的邊AC上方作若AB_LBC,證明：ABLAE.（尺規(guī)作圖

10.如圖，2。為△ABC的中線，AC^2AB.

（1）請用無刻度的直尺與圓規(guī)進行基本作圖：作NA4C的角平分線，交BD于點E,交BC于點、F.（保

留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）所作的圖形中，求證：會△AEZX

A

D

題組B能力提升練

11.如圖，已知NA08與/EOF,分別以。，。，為圓心，以同樣長為半徑畫弧，分別交。4,。3于點A',

B',交O'E,。下于點E,F.以9為圓心，以E尸長為半徑畫弧，交弧A8于點以下列結(jié)論不正確的

是（）

A.NAOB=2/EO'FB.ZAOB>ZEO'FC.ZHOB=ZEO'FD.ZAOH^ZAOB-ZEO'F

12.如圖，△ABC中，AB<AC,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AM是/B4c的角平分線B.AM是BC邊上的中線

C.AM是8c邊的垂直平分線D.AM是BC邊上的高

13.如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于」UB長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N,連接

2

MN,交BC于點D,交AB于點E,連接AD若△ABC的周長等于17,△ADC的周長為9,那么線段

AE的長等于（）

C.4D.8

14.在△ABC中，ZBAC=90°,AB<AC.用尺規(guī)在8。邊上找一點。，仔細觀察、分析能使AO+0C=3C

的作法圖是（）

C.

15.

如圖，已知線段機，加求作△ABC,使NA=90。,AB=m,BC=n,

m

n

16.如圖，在△ABC中，求作8C邊上的高AD（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.）

17.如圖，在△ABC中，ZOZB,

（1）尺規(guī)作圖，作NABC的角平分線與AC相交于點。（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；

(2)若(1)中/A=60°,NC=70°,求NBOC的度數(shù).

題組C培優(yōu)拔尖練

18.如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A

C.ZDBF+ZDFB=90°D./BAF=/EBC

2

19.如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）

20.在以下圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，不能判斷射線AD平分N2AC的是（）

21.如圖，在△A8C中，分別以A、8為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于P、。兩點，直線尸。

交BC于點D,連接AD；再分別以A、C為圓心，大于L1C的長為半徑畫弧，兩弧交于N兩點，直

2

線MN交BC于點E,連接AE.若C￡?=ll,△ADE的周長為17,則8。的長為

22.如圖，RtzXABC中，ZACB=90°,CDLABD.

(1)尺規(guī)作圖：作/C48的角平分線，交CD于點、P,交8c于點。(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若NA2C=54°,求NCPQ的度數(shù).

23.如圖，平分NAOB,點P為。4上一點.

(1)尺規(guī)作圖：以P為頂點，作NAPQ=/A08,交OD于點。(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，若NAOB=60°,求/。QP的度數(shù).

OB

第6課尺規(guī)作圖

號目標導航

學習目標

1.了解尺規(guī)作圖的含義和基本尺規(guī)作圖的范圍.

2.會進行以下尺規(guī)作圖,并了解作法的理由.

①作一個角等于已知角；

②作已知線段的垂直平分線；

③在給定邊角條件下，求作三角形.

趣，口識精講

知識點01尺規(guī)作圖

用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖簡稱尺規(guī)作圖

知識點02基本尺規(guī)作圖

①作一個角等于已知角；

②作己知線段的垂直平分線；

③在給定邊角條件下，求作三角形.

能力拓展

考點01尺規(guī)作圖

【典例1］如圖，已知線段機，〃和/a,求作△ABC,使AB=m,AC=n,ZB=Za.

n

【思路點撥】根據(jù)作一角等于已知角的方法作出進而截取AC=n,

即可得出C點位置.

【解析】解：如圖所示：

(1)作

(2)在上截取"，

(3)以點A為圓心，以“長為半徑作弧交BE于點C,C；

(4)連接AC,AC,

故△ABC和△ABC'都為所求.

m

【點睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖中三角形的作法，根據(jù)已知得出C點位置是解題關(guān)鍵.

【即學即練1】如圖所示，已知Na和N0(Za>Zp),求作：(1)Za+Zp；(2)Za

-/仇

【思路點撥】(1)可先作NAOC=Na,然后以點。為頂點，射線。C為邊，在NAOC

的外部作即可；

(2)先作NEOK=/a,然后以點。為頂點，射線0E為邊，在NEOK的內(nèi)部作NE。尸

=zp即可.

【解析】解:作法：(1)作NAOC=/a,

以點。為頂點，射線0C為邊，在N40C的外部作NC08=NB，

則/AO8就是所求的角；

(2)作NEOK=Na,

以點。為頂點，射線OE為邊，在/EOK的內(nèi)部作/EOb=N0,

則NFOK就是所求的角.

【點睛】本題需靈活運用作一個角等于已知角來解決問題.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個角等于已知角”的示意圖，該作法運用了“全等三角形的

對應(yīng)角相等”這一性質(zhì),則判定圖中兩三角形全等的條件是（)

D.SSS

【思路點撥】如圖，由作圖可知，OA=OB=CE=EF,BA=CF.根據(jù)SSS證明△AOB

絲△CEF.

【解析】解：如圖，由作圖可知，OA=OB=CE=EF,BA=CF.

在△AOB和△CEF中，

A0=CE

<OB=EF，

AB=CF

A（SSS）,

故選：D.

【點睛】本題考查作圖-尺規(guī)作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象

信息，靈活運用所學知識解決問題.

2.下列尺規(guī)作圖的語句正確的是（）

A.延長射線到。B.以點。為圓心，任意長為半徑畫弧

C.作直線AB=3CMID.延長線段A8至C,使AC=3C

【思路點撥】根據(jù)線段、射線以及直線的概念，利用尺規(guī)作圖的方法進行判斷即可得出

正確的結(jié)論.

【解析】解：A.根據(jù)射線是從A向2無限延伸，故延長射線到。是錯誤的；

8根據(jù)圓心和半徑長即可確定弧線的形狀，故以點。為圓心，任意長為半徑畫弧是正

確的；

C.根據(jù)直線的長度無法測量，故作直線4B=3c機是錯誤的；

D.延長線段至C,則AOBC,故使AC=BC是錯誤的；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖的定義的運用，解題時注意：尺規(guī)作圖是指用沒有刻

度的直尺和圓規(guī)作圖，只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面

幾何作圖題.

3.在下列各題中，屬于尺規(guī)作圖的是（）

A.用直尺畫一工件邊緣的垂線B.用直尺和三角板畫平行線

C.利用三角板畫45°的角D.用圓規(guī)在已知直線上截取一條線段等于已知線段

【思路點撥】根據(jù)尺規(guī)作圖的定義判斷.

【解析】解：4用直尺畫一工件邊緣的垂線，不屬于尺規(guī)作圖；

8、用直尺和三角板畫平行線，不屬于尺規(guī)作圖；

C、利用三角板畫45°的角，不屬于尺規(guī)作圖；

D,用圓規(guī)在已知直線上截取一條線段等于已知線段，屬于尺規(guī)作圖.

故選：D.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，垂線，平行線的判定，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是理解尺規(guī)作圖的定義，屬于中考常考題型.

4.如圖，已知NA08,用尺規(guī)作/FCE,使/FCE=/AOB,作圖痕跡中弧FG是（）

A.以點E為圓心，為半徑的弧B.以點C為圓心，0。為半徑的弧

C.以點E為圓心，。加為半徑的弧D.以點C為圓心，為半徑的弧

【思路點撥】根據(jù)作一個角等于已知角的作圖方法判斷即可.

【解析】解：由作圖可知，弧PG是以點E為圓心，DM為半徑的弧.

故選：C.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，熟知作一個角等于已知角的基本作圖步驟是解答本題的關(guān)

鍵.

5.如圖，在Rt^ABC中，觀察作圖痕跡，若2尸=2,則CP的長為（）

■B

E

A.$B.3C.2D.工

22

【思路點撥】由圖可得，直線。E為線段8c的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)

可得BP=CV,即可得出答案.

【解析】解：由圖可得，直線OE為線段BC的垂直平分線，

:.BF=CF,

,:BF=2,

:.CF=2.

故選：C.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)

是解答本題的關(guān)鍵.

6.如圖，若/a=29°,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則乙4。8的度數(shù)為58°.

【思路點撥】利用基本作圖得到

【解析】解：由作法得N4OB=2/a=2X29°=58°.

故答案為：58°.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.

7.如圖，已知△ABC,利用尺規(guī)在BC上找一點。，使得（保留作圖痕

跡，不寫作法）

【思路點撥】作NBAC的平分線即可.

【解析】解：如圖，點D為所作.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.

8.如圖，己知△ABC,請用尺規(guī)作圖法作出BC邊上的中線AO.（保留作圖痕跡，不寫作

【思路點撥】作線段BC的垂直平分線交BC于點D連接AD

【解析】解：如圖，線段即為所求.

【點睛】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用

所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.如圖，利用尺規(guī)，在△A8C的邊AC上方作/CAE=/AC8,若AB_L8C,證明：AB±

AE.（尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法）

【思路點撥】利用尺規(guī)作NE4C=NACB,可得進而可以解決問題.

【解析】證明：如圖所示，

VZEAC=ZACB,

J.AD//CB,

'：AB±BC,

：.AB±AE.

【點睛】本題考查作圖-基本作圖、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學

會利用尺規(guī)作一個角等于已知角，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型.

10.如圖，2。為△ABC的中線，AC^2AB.

（1）請用無刻度的直尺與圓規(guī)進行基本作圖：作的角平分線，交BD于點E,交

BC于點、F.（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）所作的圖形中，求證：AAEB注AAED.

【思路點撥】（1）利用基本作圖作NBAC的平分線即可；

（2）根據(jù)三角形中線的定義得到AC=2AZ）,求得AB=A￡）,根據(jù)角平分線的定義得到/

BAE=ZDAE,根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解析】解：（1）如圖所示，AP即為所求；

（2）為△ABC的中線，

：.AC=2AD,

?；AC=2A2,

：.AB=AD,

尸是/B4C的角平分線,

:.NBAE=NDAE,

在AAEB與△AEZ)中，

，AB=AD

-NBAE=/DAE，

AE=AE

；.AAEB咨AAED(SAS).

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),

結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了全等三角形

的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì).

題組B能力提升練

11.如圖，已知/AOB與/EOF,分別以。，<7為圓心，以同樣長為半徑畫弧，分別交。4,

08于點4,B,,交0E。戶于點E,F.以甘為圓心，以EF1長為半徑畫弧，交弧A8,

于點”.下列結(jié)論不正確的是（）

C.ZHOB=ZEO'FD.ZAOH^ZAOB-ZEO'F

【思路點撥】根據(jù)NEO'F=ZHOB',一一判斷即可.

【解析】解：由作圖可知，ZEO'F=ZHOB',ZAOB>ZEO'F,ZAOH=ZAOB

-ZEO'F,

故選項8,C,。正確，

故選：A.

【點睛】本題考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解

決問題.

12.如圖，△ABC中，AB<AC,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AM是N3AC的角平分線B.AM是8C邊上的中線

C.AM是8c邊的垂直平分線D.AM是8c邊上的高

【思路點撥】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的定義即可解決問題.

【解析】解：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得故。選項正確，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了作圖-基本作圖，三角形的角平分線、中線和高，線段垂直平

分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

13.如圖，在△ABC中，分別以點A和點8為圓心，大于LB長為半徑畫弧，兩弧相交于

2

點M、N,連接MN,交8c于點。，交A5于點E,連接AD若AABC的周長等于17,

△AOC的周長為9,那么線段AE的長等于（）

【思路點撥】根據(jù)作圖過程可得MN是AB的垂直平分線，進而可得AD=BD,AE=1AB,

2

再由△ABC的周長等于17,△ADC的周長為9,可得AC+AO+CD=9,AC+CD+BD+AB

=17,兩式相減可得答案.

【解析】解：根據(jù)題意可得是的垂直平分線，

△ADC的周長為9,

：.AC+AD+CD=9,

「△ABC的周長等于17,

：.AC+CD+BD+AB=17,

,:MN是AB的垂直平分線，

：.AD=BD,A￡=AAB,

2

：.AC+CD+AD+AB=ll,

：.AB=ll-9=8,

：.AE=4.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了基本作圖，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直

平分線的性質(zhì).

14.在△ABC中，N8AC=90°,AB<AC.用尺規(guī)在2c邊上找一點。，仔細觀察、分析

能使的作法圖是（）

A

【思路點撥】由BC=8O+OC,AD+DC=BC,推出ZM=D4,可知點。在AB的垂直平

分線上，由此即可判斷.

【解析】解：選項C中，由作圖可知，點。在的垂直平分線上，

：.DA=DB,

：.AD+DC^DB+DC=BC,

故選項C正確，

故選：C.

【點睛】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象

信息，靈活運用所學知識解決問題.

15.尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：

如圖，已知線段％,n.求作△ABC,使/A=90°,AB=m,BC=n.

?m,

I八?

【思路點撥】先在直線/上取點4過A點作再在直線/上截取然后以

8點為圓心，〃為半徑畫弧交A。于C,則△4BC滿足條件.

【解析】解：如圖，ZVIBC為所作.

16.如圖，在△ABC中，求作8c邊上的高AD（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫

作法.）

A

【思路點撥】過A點作3C的垂線即可.

【解析】解:如圖，為所作.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也考

查了角平分線的定義.

17.如圖，在△ABC中，ZOZB,

（1）尺規(guī)作圖，作NABC的角平分線與AC相交于點。（不要求寫作法，保留作圖

痕跡）；

（2）若（1）中NA=60°,NC=70°,求NBDC的度數(shù).

【思路點撥】（1）根據(jù)角平分線的作法即可解決問題;

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題.

【解析】解：（1）如圖，8M即為所求；

AZABC=180°-60°-70°=50°,

BD是ZABC的角平分線，

/.ZABD=-L^ABC=25°,

ZBDC=ZA+ZABD=600+25°=85°.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，解決本

題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

題組C培優(yōu)拔尖練

18.如圖，在△A8C中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A

A.AF=BFB.AE=AACC./DBF+/DFB=90°D.ABAF=Z

2

【思路點撥】由圖中尺規(guī)作圖痕跡可知，BE為NABC的平分線，為線段A2的垂直

平分線，結(jié)合角平分線的定義和垂直平分線的性質(zhì)逐項分析即可.

【解析】解：由圖中尺規(guī)作圖痕跡可知，

8E為NA8C的平分線，。尸為線段AB的垂直平分線.

由垂直平分線的性質(zhì)可得AF=BF,

故A選項不符合題意；

DF為線段AB的垂直平分線，

/.ZBDF=9Q°,

:./DBF+/DFB=90°,

故C選項不符合題意；

為/ABC的平分線，

/ABF=NEBC,

:AF=BF,

：.NABF=NBAF,

：.ZBAF=ZEBC,

故D選項不符合題意；

根據(jù)已知條件不能得出AE=LC,

故3選項符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

19.如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）

A

C.EF>FHD.EF=FH

【思路點撥】利用基本作圖得到PC平分/APB,垂直平分PQ,過H點作

如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到HM=HG,然后根據(jù)垂線段最短可得到切>//G.

【解析】解：根據(jù)作圖痕跡得PC平分即垂直平分尸。，

過X點作如圖，

'：PC^-^ZAPB,HGLPB,HMLPA,

：.HM=HG,

'：HM<HF,

：.FH>HG.

故選：A.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也考

查了角平分線的性質(zhì).

20.在以下圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，不能判斷射線AD平分/BAC的是（)

B

①②③④

A.①B.②C.③D.④

【思路點撥】根據(jù)角平分線的定義以及全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可.

【解析】解：如圖①中，射線是角平分線.

如圖②中，根據(jù)SAS可以證明△ABAKZXACM,推出再根據(jù)44s證明

^BDMWACDN,推出。M=DN,再根據(jù)SSS證明NADM絲△AON,推出

NAD,推出射線A。是角平分線；

如圖④中，根據(jù)乩證明推出ND4尸=NZH￡,推出是角平分線.

如圖③中，無法證明AD是角平分線.

①②③④

故選：C.

【點睛】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀

懂圖象信息，正確尋找全等三角形解決問題.

21.如圖，在△ABC中，分別以A、B為圓心，大于二48的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q

2

兩點，直線P。交BC于點O,連接AD；再分別以A、C為圓心，大于^AC的長為半徑

畫弧，兩弧交于N兩點,直線交8C