2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《不等式》單元提升卷（解析版）

單元提升卷02不等式

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.若。>0/>0,則下列不等式中不成立的是()

A.a1+b2>2abB.a+b>2-Jab

。。1。111

C.a2+b2>-(a+b)2D.-+-<——(a#b)

2aba-b

【答案】D

【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式化簡判斷即可.

【詳解】因?yàn)轱@然有〃+從22必，故A正確；

而。>0,6>0,所以a+故B正確；

222222

Xa+b--(a+b)=-a+-b-ab=-(a-b)>0,所以/+戶2工(4+6)2,故C正確；

22222

1131

不妨令。=2,6=1,則雪;"，々或"力，故D錯(cuò)誤.

ab2a-b

故選：D.

2.關(guān)于X的不等式％2—依-6片VO(QVO)的解集為()

A.(-00,2(7)U(-3(2,+00)

B.

C.(ro,3a)u(2〃,+8)

D.(3。,一2〃)

【答案】D

【分析】直接解一元二次不等式即可得到答案.

［詳解］不等式f一改一6a?<。(av0)可化為(x-3〃)(x+2〃)<0.

*.*a<0,/.3a<x<—2a.

二原不等式的解集為(3。,-2〃).

故選：D

3.不等式3元2-7x+2>0的解集是（）

A.B.1-2，TC.~,如（2,+⑹D.（一叫一2）U（-；,+s

【答案】C

【分析】由因式分解結(jié)合一元二次不等式的解的特征即可求解.

【詳解】由3尤Z_7X+2>0得（“2）（3X-1）>0,解得尤或X>2,

故不等式的解為，?！陓U（2,+8）,

故選：C

4.不等式"+1）"3）20的解集為（）

2x+l

A.-1,-1U[3,+?>）B.-l,-^U（3,+?）

C.-I,-ju[3,+oo）D.1,——^U（3,+=°）

【答案】C

【分析】寫出不等式的等價(jià)形式，再利用數(shù)軸標(biāo)根法求出不等式的解集.

【詳解】不等式”）（一嚏等價(jià)于月"3儂+1”。,

2x+l[2尤+1W0

利用數(shù)軸標(biāo)根法可得或X23,所以不等式解集為>L-；[U[3,+⑹.

2L）

故選：C

5.已知。，力，c為不全相等的實(shí)數(shù)，P=a2+b2+c2+3,Q=2（a+b+c）,那么尸與。的大小關(guān)系是（）

A.P>QB.P>Q

C.P<QD.P<Q

【答案】A

【分析】利用作差法判斷即可.

【詳解】因?yàn)槭?"+%2+02+3,Q=2{a+b+0

所以/一。=/+62+￡2+3-2(a+b+c)=(a-l)2+3-l)2+(c-l)220,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=l時(shí)取等號，

b,。為不全相等的實(shí)數(shù)，因此等號不成立，即尸-。>0,

.P>Q.

故選：A

6.已知4?3"'=3?2"=1,則()

A.m>n>-\B.n>m>-\

C.m<n<-lD.n<m<—l

【答案】D

【分析】利用指數(shù)式和對數(shù)式的互換得到加，“，然后利用作差法和基本不等式比較大小即可.

【詳解】由已知得加=Tog34<-l,w=-log23<-l,

22

Iog32+log348

1-I1-

2n<m<-}.

m-n=log23-log34=------------->-------------------------=--------—>U

log32log32log32

故選：D.

尤~—ax+440

7.設(shè)集合4=屏|14彳<3},集合B為關(guān)于x的不等式組，仆/“/A的解集，若人。3,貝

x~(2b+3)x+b~+3b<0

的最小值為(

D16-13

A.6C.5D.——

33

【答案】C

x2-+4<0

【分析】由已知可得42(Z在［1,3J上恒成立，由此可求的范圍，再求a+b的最小值.

x-(^2b+3)x+b~+3b<0L」

x2-ax+4<0

【詳解】因?yàn)椴坏仁浇M2cQ,2*,八的解集8，A={X|1<X<3},A^B,

X-(2/7+3)x+/?+3Z?<0

所以不等式d一6+4VO在［1,3］上恒成立，

且不等式尤2-(力+3)龍+廿+3同0的解集包含集合A,

又不等式無2—(力+3)x+/J2+3bV0可化為(x-b)(x-6—3)W0,

所以不等式寸-(％+3■+廿+36<0的解集為[6力+3],

所以[1,3]=也6+3],所以6+3N3,B.b<l,所以O(shè)VbVL

不等式x+3〈a在［1,3］上恒成立，故Ma,其中xe［l,3］,

xVX/max

設(shè)=—，%E［1,3］,

則〃x）=x+：在［1,2）上單調(diào)遞減，在（2,3］上單調(diào)遞增，

又〃1）=5,〃3）=3+g=?,

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)〃x）=x+3,xe［l,3］取最大值，最大值為5,

X

所以〃之5,

所以當(dāng)。=5,。=。時(shí)，a+人取最小值，最小值為5.

故選：C.

Q+6b+3曰［*、,,、

8.已知正數(shù)〃，/?滿足〃+人=1,則——--最小值為（）

ab

A.25B.19+2#C.26D.19

【答案】A

a+6b+349

【分析】先進(jìn)行化簡得g=：+z,再利用乘“i”法即可得到答案.

abba

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)。，。滿足Q+b=l,

〃+6/7+3〃+6b+3〃+3b_4〃+9Z?=出=[+如+6)

所以

ababab

=13+—+—>13+2)—=25,當(dāng)且僅當(dāng)歿=華，聯(lián)立a+)=l,

abNabab

39

即〃時(shí)等號成立,

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.若m,〃￡R+,rm_^n-l=T_^-2n9則（）

111

A.m>nB.0<mn<-C.—+—>4D.2m+1+2n>3

8m2n

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得相/關(guān)系，特值法判斷A,D選項(xiàng)，基本不等式求出B,C選項(xiàng).

2n-1m1-2nm2n-11-2n

［詳角牟］?.?25-2=3-32--T=2-3,

y=2一"一3'單調(diào)遞減，/.m=l-2H,m+2n=l,

當(dāng)m=；=〃時(shí)滿足機(jī)+2〃=1,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

,：m+2n=l>lyjlmn,1>8mn,/-0<mn<—,B正確；

8

「+11(11|/A、42nmi、c2幾m入c十7丘

m,〃wR...—i-----=—i-----機(jī)+2〃)=1H--------1-------F122J—x----F2=41,1C；

mIn\m2n)m2n\m2n

2〃2ni--------------

m+in

??2+2>3,...22一2〃+2〃=22一2〃+±^+±_>3寸22-2〃+〃+1-1=3,

’22

當(dāng)機(jī)=-1,〃=1時(shí)取等號，與已知加,矛盾，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.已知函數(shù)/（%）=d+g+〃（m,neR）,關(guān)于1的不等式xv/（x）的解集為（一8,1）D（1,+8）,則下列

說法正確的是（）

A.m=-l,n=l

B.設(shè)g(x)=#，則g(x)的最小值為g⑴=1

C.不等式/（"</'（〃切的解集為（一8,0）3。，1）51，+8）

31

42且〃（x）<〃（2x+2）,則X的取值范圍為，g,+s

D.若從x)=<

〃尤),x>；,

【答案】AC

【分析】由題意可得，x=l是/+（m-l）x+〃=0的唯一解，可求得加=-1,〃=1,從而求出/⑴解析式.再

逐一檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得到結(jié)論.

【詳解】對于A選項(xiàng)：f（x）=x2+mx+n（加，HGR）,關(guān)于元的不等式x</（九）,

即/+（"：—1）元+〃〉0,它的解集為（一°°，1）u（1，W），

.,.九=1是Jr?+（機(jī)一1）工+〃=0的唯一角軋

A=(m-1)2-4n=0m=-l.

所以、，故A選項(xiàng)正確;

l+(m-l)+n=O

由以上可得：f(x)=x2-x+l.

對于B選項(xiàng)：g(x)=/^,則g(%)=%+,-l(xwO),當(dāng)XV。時(shí)，g(x)<0,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

x%

對于C項(xiàng)：不等式/(%)</(/(%)),EPX2-X+1<(X2-X+1)2-(X2-X+1)+1,

即卜2+1_〉0,gpx2-(x-1)2>0,解得xvO或Ovxvl或x〉l,

所以解集為(-00,o)u(0,1)u(l,+00),故C選項(xiàng)正確；

3,113/1

對于D選項(xiàng)：若可%)=/2]即〃(司=42]

/(x),x>—,x2-x+l,x>—,

、2、2

可知/l(x)在上是增函數(shù)，在卜co,；是常數(shù)函數(shù)，且X>!■時(shí)，//(%)>=

UI

173

所以〃(％)<妝2彳+2)得：一<x<2x+2或/,解得x>-3,

22x+2>-4

[2

則x的取值范圍為故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：AC.

11.已知尤>0,y>0,且尤+y+孫-3=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.孫的取值范圍是(0,9]B.彳+，的取值范圍是[2,3)

C.x+2y的最小值是4忘-3D.x+4y的最小值是3

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式可求得?！磳OW1，判斷A,將x+y+移-3=0變形為3-(尤+了)=孫4[亨J結(jié)合

4

基本不等式，判斷B,由x+y+母-3=0整理得到％=-1+—;結(jié)合基本不等式可判斷CD.

【詳解】對于A,因?yàn)椋?gt;0,y>0,

所以元十y之2向^,當(dāng)且僅當(dāng)尤二y時(shí)取等號,

由x+y+xy-3=0^>3-xy=x+y,

即3-xy2,解得0<y[xy<1,

即?！磳OWl,A錯(cuò)誤;

2

x+y

對于B,由x>0,y>0,3—（x+j）=xy<

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號，

得(x+y)-+4(x+y)-1220,

所以x+”2,

又3-(x+y)=?>。，

所以x+y<3,即2Vx+y<3,

故B正確；

對C選項(xiàng)，因?yàn)閤>0,y>0,無+、+刈一3=0,

44I-

所以x+2y=-1+-----+2y=-+2（j+l）-3>4V2-3,

y+1y+l

當(dāng)且僅當(dāng)Q=2（y+1）,即》=忘-1時(shí)等號成立，C正確，

—y+34

對于D,C選項(xiàng)知：x=~^=-1+,

j+1y+l

44I4

貝（］x+4y=-1+——-+4y=——-+4（y+l）-5>2J-------4（v+l）-5=3,

y+lY+l\y+l7

4

當(dāng)且僅當(dāng)7y=4（y+l）,即y=o時(shí)等號成立，但y>0,

所以尤+4y>3.（等號取不到），故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

12.已知正實(shí)數(shù)。、b、c滿足Iog3a=log53,log3b=log5c,其中。>1,貝！|()

2ac6+1

A.logflb=log35B.a>b>cC.aobD.2+2>2

【答案】ACD

【分析】利用換底公式可判斷A選項(xiàng)；T^log3a=log5Z?=m>0,log5c=log3Z;=M>0,利用對數(shù)與指數(shù)的

互化，以及事函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；比較加、〃的大小，利用作商法結(jié)合幕函數(shù)的單調(diào)性可判斷C

選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)樗詌ogs?！?。，

.,ijInaIn/7InbIn5.,<,心人

由logs。=logsb,可得不二=:二，貝!]>；—=—,所cr以Kllogab7=log35,故A對;

m3In5Inam3

m

對于B選項(xiàng)，-g：log3a=log5b=m>0,貝Ua=3m,b=5,

因?yàn)榧魏瘮?shù)y=x'"在（。,+℃）上為增函數(shù)，所以3"<5"',即a<6,

設(shè)log5c=log3°=">0,則6=3",c=5".

因?yàn)槔酆瘮?shù)y=x"在(0,+e)上為增函數(shù),

所以3"<5"，即6<c,貝Ua<b<c,故B錯(cuò)；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)椤?5"，=3",且m>0,n>0,

所以〃21n5=〃ln3,所以‘^電工〉：！，貝(］根故機(jī)-〃<0,

mIn3

所以岑=12h/邛”>1,即以>凡故C對;

b25叫3〃⑸

對于D選項(xiàng)，由基本不等式，可得a+c>2疝>26,

所以，2fl+2C>>2A/2^=2h+1>故D對.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，一份印刷品的排版面積(矩形)為400cm2,它的兩邊都留有寬為acm的空白，頂部和底部都留

有寬為反m的空白，若。=1,6=4,則紙張的用紙面積最少為cm2.

1xT

【答案】576

【分析】設(shè)矩形的長和寬分別為羽兒得至IJ紙張面積為S=(x+2a)(y+26)=q+26x+2ay+4向，結(jié)合基本

不等式，即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)排版矩形的長和寬分別為x，'且孫=400,且。=11=4

貝I」紙張的面積為S=(X+2〃)(y+2b)=xy+2bx+lay+4ab

>xy+2^2bx-2ay+4ab=(y[xy+2y[ab)2=(20+2^)2=576

當(dāng)且僅當(dāng)2版=2毆時(shí)，即y=4無，即％=10,y=40時(shí)，等號成立,

所以紙張的用紙面積最少為576cm2.

1212

14.已知。>0,^>0,a>—+—,/?>—+—,貝Ua+人的最小值為

abba

【答案】2石

【分析】由已知可得。++結(jié)合基本不等式求(a+6)2的最小值，再求a+b的最小值.

ab

【詳解】因?yàn)?+m9b>^-1+-2,

abba

~33

所以a+—F—,又〃>0,b>0,

ab

所以(a+6)2寸3+百(4+6)=6+改+裝12,當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=退時(shí)取等號.

\ab)ab

所以a+b22g',當(dāng)且僅當(dāng)a=b='時(shí)取等號.

所以a+b的最小值為2A/L

故答案為：2道.

15.若不等式f一5x+6<0的解集也滿足關(guān)于尤的不等式2%2一9%+0<0,則a的取值范圍是.

【答案】(-8,9]

【分析】解得不等式f一5尤+6<0的解集，4/(x)=2x2-9x+a,根據(jù)不等式f—5x+6<0的解集也滿足

關(guān)于x的不等式2尤2—9x+a<0,列出不等式組，即可求得答案.

【詳解】解不等式/_5%+6<0可得2Vx<3,即不等式尤2一5》+6<0的解集為(2,3)

因?yàn)椴坏仁絏2-5X+6<0的解集也滿足關(guān)于x的不等式2/-9尤+a<0,

故令〃x)=2…,…,則[[f⑶(2)<.0%―[8-1827++aa<V0O,

解得a<9,

即〃的取值范圍是(-8,9],

故答案為：(-8,9]

16.若不等式/+如+根2o恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為.

【答案】-1/-0.5

【分析】構(gòu)造新函數(shù)加x)=-上，(14x42),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得以了)最大值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)機(jī)的最

小值.

【詳解】1WXW2時(shí)，不等式爐+〃優(yōu)+〃亞0恒成立，即機(jī)上一工恒成立,

（14尤42）

1VXV2時(shí)，-<-<1,則+-1<2,

2x4卜2)4

411

-------<---------------------------------<--------1

則3—fl+lY1~2,則以2—相

\x2)4-

故實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為-;

故答案為：-g

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.證明下列不等式：

(1)已知。>6，e>f,c>0,求證了-ac<e-bc

⑵已知a>6>0，c<"<0,求證：3—<J-.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)(2)利用不等式的基本性質(zhì)即可證明.

【詳解】(1)證明：,ra>b,c>0,

:.ac>bc,—ac<—be,

又因?yàn)閑>/,即/<e,

所以/-ac<e-8c.

(2)證明：Q<?<6?<0,/.-->—>0；

dcdc

「,abab

又a>b>。,/.-->—，

acac

18.求下列不等式的解集:

(1)-3X2-2X+8>0;

【答案】(1)*一24尤4：1

(2)|x|-1<x<l!

【分析】(1)利用二次不等式的解法求解即可;

(2)利用分式不等式的解法求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)?3X2-2X+8N0,

所以3尤?+2尤一840,則(3x—4)(x+2)V0,解得一

所以-3/-2%+820的解集為

3_r

(2)因?yàn)槎?V1,

2x+1

所以3--1<0,則3A21V0,即盧二《0,

2x+l2x+l2光+1

(x-l)(2x+l)<0

故解得

2%+lwO

所以4的解集為［X|一:<XV11.

2x+l12J

19.已知關(guān)于x的不等式蘇-3無+2>0的解集為｛小<1或x>耳S>1).

⑴求6的值；

db

⑵當(dāng)尤>0,y>0,且滿足一+―=1時(shí)，有2x+y2k?+左+2恒成立，求上的取值范圍.

xy

a=l

【答案】⑴

b=2

(2)[-3,2]

【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式和對應(yīng)方程的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出。、人的值;

12

(2)由題可得一+—=1,結(jié)合基本不等式，求出2x+y的最小值，得到關(guān)于看的不等式，解出即可.

xy

【詳解】(1)因?yàn)椴坏仁郊右?*+2>0的解集為｛中<1或%>耳。>1),

所以1和b是方程/-3尤+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且a>0,

所以[[a上—一3+326+=203解得[ab==l2或[ktz=1(舍)?

fa=112

(2)由(1)知7,于是有一+—=1,

[b=2xy

>2%+^=(2x+y)f-+—>1=4+—+—^4+2—=8

y)%yy

y4x121x=2

當(dāng)且僅當(dāng)上=一，一+—=1時(shí)，即,時(shí)，等號成立.

xyxy[y=4

22

依題意有(2x+y)1nhi>k+k+2,Bp8>k+k+2,

得人2+左-640=>-34左42,所以％的取值范圍為b3,2].

20.“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技術(shù)，光電芯片，信息技術(shù)，新材料，新能源，智能制造等為

代表的高精尖技術(shù)，屬于由科技創(chuàng)新構(gòu)成的物理世界，是需長期投入，持續(xù)積累才能形成的原創(chuàng)技術(shù)，具

有極高技術(shù)門檻和技術(shù)壁壘，難以被復(fù)制和模仿.最近十年，我國的一大批自主創(chuàng)新的企業(yè)都在打造自己的

科技品牌，某高科技企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產(chǎn)權(quán)的高級設(shè)備，并從2024年起全面發(fā)售，假設(shè)該

高級設(shè)備的年產(chǎn)量為尤百臺(tái)，經(jīng)測算，生產(chǎn)該高級設(shè)備每年需投入固完成本1500萬元，最多能夠生產(chǎn)80

3x2+20x,0<x<40,xeN

百臺(tái)，每生產(chǎn)一百臺(tái)臺(tái)高級設(shè)備需要另投成本G(x)萬元，且G(x)=18000,on，

205xH-----------3350,40<x<80,xeN

每臺(tái)高級設(shè)備售價(jià)為2萬元，假設(shè)每年生產(chǎn)的高級設(shè)備能夠全部售出.

(1)求企業(yè)獲得年利潤尸(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式(利潤=銷售收入一成本);

(2)當(dāng)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲年利潤最大？并求最大年利潤.

一3尤2+180x-1500,0<x<40

【答案】⑴尸(x)=

-5.x-+1850,40<x480

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為60百臺(tái)時(shí)，公司獲利最大，且最大利潤為1250萬元

【分析】（1）由條件根據(jù)利潤和銷售收入，成本之間的關(guān)系求出年利潤與年產(chǎn)量之間的關(guān)系；

（2）分區(qū)間，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求年利潤的最大值.

3x2+20.x,0<x<40,xeN

【詳解】（1）..,G（x）=<（18000，

205x+----------3350,40<xW80,尤eN

、龍

.?.當(dāng)0VxV40時(shí)，

P（x）=200尤-（3X2+20X）-1500--3尤②+180尤一1500.

當(dāng)40<xW80時(shí)，

P（無）=200犬一205_￥—^^+3350—1500=—5尤一^^+1850.

XX

'-3x2+180x-1500,0<x<40

綜上所述，P（x）=<18000

'7一5龍------+1850,40<%<80

、無

'-3X2+180X-1500,0<%<40

（2）由（1）得P（無）=，18000

-5%----------+1850,40<x<80

.?.當(dāng)0Wx440時(shí)，P（x）=-3x2+180x-1500=-3（x-30）2+1200

.,.當(dāng)x=30時(shí)，P（x）a=1200（萬元）

當(dāng)40<x<80時(shí)，

P（x）=—