2025年高考數(shù)學好題必刷模擬卷（一）（解析版）

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學【名校地市好題必刷】全真模擬卷（新高考）

第一模擬

（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）

姓名班級考號

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選

涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求.

1.設集合4={尤|14彳43},B=-6x+8>o|,則（）

A.{x[2<x<3}B.{尤[1<尤43}C.{尤4尤<4）D.{x[2<x<4}

【答案】A

【詳解】

由題意4={X|1WXV3},8={無卜24或x42},

貝6RB={x[2<x<4},

故Ac（”）={x[2<xW3}.

故選：A.

2.“。>1"是的（）

a

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】A

【詳解】

當”>1時，，<1成立，即充分性成立，

a

當a=T時，滿足工<1,但。>1不成立，即必要性不成立，

則"a>l"是"工<1"的充分不必要條件，

a

故選：A.

3.已知數(shù)列｛q｝是遞減的等比數(shù)列，｛4｝的前〃項和為5〃，若生+4=9,4%=18,則邑?4二()

A.54B.36C.27D.18

【答案】C

【詳解】

由02a5=。3。4=18,。3+。4=9

解得。3=6,。4=3或。3=3,。4=6(舍去)，

-〃-&-1

-Q---T,

a32

2

/.a2=-=12,q=—24,a6=a應=—■,

qq4

3

=

S2-a6=(%+%)?%36x—=27

故選：C

4.已知向量ZI滿足3|￡|=2|司=3,^\a+2b\=y/14,則ZI夾角的余弦值為()

1125

A.-B.—C.—D.一

2336

【答案】c

【詳解】

33

依題意，01=1,\b\=-,由|Z+2B|=JS兩邊平方得：7+防.方+4廣=14，即F+47B+4X(])2=14,

解得75=1，于是得8式"，6〉=前面=下=耳，

2

所以夾角的余弦值為

故選：C

5.函數(shù)/Xx)=(3尤一巧疝尤的部分圖象大致為()

【答案】A

【詳解】

解：因為/'(x)=(3x-x'卜inx,/(-x)=(-3x+x，sin(-x)=(3x-x，sinx,

所以/(-x)=/(x),又/(x)定義域為R,

所以/(x)為R上的偶函數(shù)，圖象關于>軸對稱，故排除選項C；

因為/(0)=0,所以排除選項B；

又0cx<1時，/(X)=尤(3-尤2卜M%>0,故排除選項D；

故選：A.

6.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)"合稱"六藝禮"主要指德育；"樂"主要指美育；"射"和"御"就

是體育和勞動；"書"指各種歷史文化知識；"數(shù)"指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每周安排一次

講座，共講六次.講座次序要求"射"不在第一次，“數(shù)"和"樂"兩次不相鄰,貝/六藝"講座不同的次序共有()

A.408種B.240種C.192種D.120種

【答案】A

【詳解】

將六藝全排列，有A：種,

當"射"排在第一次有A；種,

"數(shù)〃和"樂〃兩次相鄰的情況有A武種,

"射"排在第一次且"數(shù)"和"樂"兩次相鄰的情況有A；A：種,

所以"射"不在第一次，“數(shù)"和"樂"兩次不相鄰的排法有A；-A”A武+A；A：=408種,

故選：A.

7.已知直線/：)=履與圓C:(x—2)2+V=4交于4B兩點，若|A3|=2g,貝！U=()

A.±@B.±1C.±73D.±2

3

【答案】A

【詳解】

將直線y=履化為日-y=0,

則圓。:(》-2)2+『=4的半徑為「=2,

\2k\

且圓心C(2,0)到直線依-y=0的距離為1=

正+i

又因為|A3|=26,

所以4”*2+（右）2=4,

k+1

即3r=1,解得左=±1.

3

故選：A.

8.己知函數(shù)y=ln尤(-<x<e)的圖象上存在點尸，函數(shù)y=-1尤2+c的圖象上存在點。，且P、。關于工

e2

軸對稱，則實數(shù)。的取值范圍為()

1+登-1一2

B.C.60，IF

【答案】C

【詳解】

2

令X=lnx,Q<x<,y2=-^x+c,

因為%,必上存在關于x軸對稱的點,

所以Inx。=-1-gx；+\,則lnXo-：x；+c=O,

令/(尤)=lnx-；x2+c,要使有對稱點，則“力在e上有零點,

XX

當xe-.1時，r(x)>0,在1,1上單調遞增，

當xe［l,e］時,/(x)<0,f(x)在［1,e］上單調遞減,

所以〃X)M=H1)=CJ，

-l-^+c?-1.07+c,/(e)=l-1e2+c?-2.7+c,

又于T

>〃e),

所以，(x)1nto"(4

要使〃x）在:，e上有零點,/(「"I"。

則Din=/⑻”

c——>0

即《2解得三"一,

1

1——e27+c<0

2

故選:c

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知2"=7"=14,則下列關于。，b可能滿足的關系有（）

11,,,

A.-I—=1B.a+b>4

ab

C.a2+b2<SD.（a-1）2+（Z?-1）2>2

【答案】ABD

【詳解】

由2"=7"=14,則4>。>3,2>6>1,所以">9,故片+k<8不正確，所以選項C不正確.

由2"=7"=14,a=log214,Z?=log714

所以！+：=logH2+l0gbi7=1,故選項A正確.

ab

由1+1=1,^a+b=ab,由均值不等式可得a+6=a6<（巴也］

abI2J

即a+b>4,故選項B正確.

由a+b=>2yfab，貝1Jab>4

(a-lf+(b-l^^cr+b2-2(a+b)+2>2ab-2(a+b)+2^2,故選項D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/(x)=2sin(0x+0)(0>O,lol<萬)的部分圖象如圖所示，典|()

C.若玉+無2=5，則/(玉)=/(彳2)D.若為+%=5，則/(%)+/(%)=。

【答案】AC

【詳解】

根據(jù)函數(shù)的圖像可知，/[-^=/[^=0,且7=21|-[一])=兀

2K?(兀1c./兀1c7兀

?-o)=-=2,且/rI--l=2sinl--+^91=0/.(p=kn+—

X'?'|^|<7t(P=-^

/(x)=2sin^2x+^,選項A正確;

/(O)=2sinM=l,選項B錯誤；

兀_2x)=2sin(2x+2)=/(x)

兀--

6

,選項C正確，選項D錯誤.

11./(%)是定義在R上的偶函數(shù),對WxsR,均有〃犬+2)=—〃犬)，當了40』時，/(x)=log2(2-x),

則下列結論正確的是（）

A.函數(shù)"%）的一個周期為4B./（2022）=1

C.當xw［2,3］時，/（x）=-log2（4-x）D.函數(shù)在［0,2021］內有1010個零點

【答案】AC

【詳解】

??"（X）是定義在R上的偶函數(shù)，對VxeE,均有〃x+2）=—〃x）,;J（x+4）=—〃x+2）=〃x）,

故函數(shù)的周期為4,故選項A正確；

/（2022）=/（4x505+2）=f（2）=-/（0）=-l,故選項B錯誤；

當xe［2,3］時，x-2e［0,l］,則〃x）=-〃x-2）=-1（^［2-（*一2）］=-104（4一%），故選項C正確;

易知/（1）=/（3）=/（5）=…=/（2019）=/（2021）=0,

于是函數(shù)/（X）在［0,2021］內有1011個零點，故選項D錯誤,

故選：AC.

12.正方體A3。-ABC，的棱長為2,E,F,G分別為3C,CG，B片的中點，則（)

A.直線與直線A廠垂直B.直線AG與平面AEF平行

92

c.平面四截正方體所得的截面面積為萬D.點C到平面A距的距離為:

【答案】BCD

【詳解】

A.若，DJ-AP,因為平面ABCD,則DXD1AE,又AEcAF=A,所以DQ_L平面AEF,則

DtD±EF,則C}C1EF,故錯誤;

B.如圖所示:

取SG的中點連接A",GH,易知AH//AE,又平面AEF,AEu平面AEF,所以〃平面

AEF,同理GH〃平面AEF,

又AHcGH=H,所以平面4//G〃平面AEF,因為^Gu平面4HG,所以^G//平面AEF,故正確；

C.如圖所示:

連接A。,。酒，因為E,F分別為BC,CG的中點，則EF//AD,,所以共面，則截面為等腰梯形

AEFD,,又EF=g,AD、=2?AE=M,

AD「EFj=呼，所以等腰梯形的面積為S=+EP>〃=|,故正確;

等腰梯形的高為h=AE--

2

D.因為S尸）=^x應x逑MO.SMCULEC-BULXIXZMI,且％.AEC=%一呼，所以點C到平面

△222222

鼻義S^AECxl2

AE尸的距離為d=、-------=-,故正確.

§xS△他尸

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.曲線y=2x+ln%-x3在x=1處的切線方程為.

【答案】y=i

【詳解】

因為y=2x+lnx-尤3,所以尸(尤)=2+1一3/,/(1)=2+In1-1=1,

所以切線的斜率左=r(l)=2+l—3=0,

所以切線方程為y=L

故答案為：y=L

14.已知=%(2x+l)'+a/2x+l)4+…+q(2x+l)+4,貝！!%=.

【答案】~

32

【詳解】

?=^[(2x+l)-l]5,則展開式通項為卻=《C；(2x+l產(chǎn)(-1)’，

回廠=1時，％=\xGx(_l)=一卷

故答案為:~

15.九連環(huán)是中國的一種古老智力游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中

國的末代皇帝溥儀(1906-1967)也曾有一個精美的由九個翡翠綴相連的銀制的九連環(huán)(如圖).現(xiàn)假設有〃

個圓環(huán)，用％表示按照某種規(guī)則解下"個圓環(huán)所需的最少移動次銀和翠玉制九連環(huán)數(shù)，且數(shù)列｛qj滿足

4=1,a2=2,an=an_2+2"^(77>3,”eN*),則%1=

根和翠玉制九連環(huán)

【答案】|(4--1)

【詳解】

由題意，a“=a“_+2"T

故為-勾=2?

=24

__n2n-2

U2n-\~a2n-3~乙

各項相加，可得

2422121

a2n_1-?1=2+2+...+2-=4+4+...+4--

日n-iA\A2An-i1—4"4"—1

即a2n_x=1+4+4+...+4

故答案為：

16.如圖所示，三棱錐A-BC。中，ZBAC=ZBCA,ZDCA=ZDAC,AB+AD=-BD^5AC^10y/2,則

4

三棱錐A-BCD體積的最大值為.

A

C

64

【答案】y

【詳解】

因為AB+AZ)=1BD=5AC=10應，所以AB+Ar>=lO0,BD=8y/2,AC=20.

因為/BAC=ZBC4,ZDCA^ZDAC,所以R4=3C,DC=DA,

又BD=BD,所以ADBA/ADBC.

過A作A用BD于F,連結CF,則C用8。.過F作EffiLAC于E.

因為△。氏4名必3。，所以AF=CF,而￡用47,所以E為AC的中點.

因為AFSBD,CFSBD,AFcCF=尸，所以8?；孛鍭CF.

所以匕-BCD=%ACF+%—ACF3S&ACF?BD.

要使三棱錐A-BCD的體積最大，只需要蜘CF的面積最大.

ffiJ^AACF=—AC?EF,只需￡F最大.

22

因為跖=VAF2-AE2=.AF2AF-(V2)=JA尸-2,

所以只需AF最大.

在MB。中，AB+AD=1042,8。=8應,所以A在以。、B為焦點的橢圓上，如圖示:

即三棱錐A-3CD體積的最大值為三.

四.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①6sin"+'=csinB,②g(ccosA—力)=-asinC,③---=----上也---這三個條件中任選一個，

2cosCcosA+cos8

補充在下面的問題中，并解答問題.在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且滿足,

(1)求C；

(2)若AABC的面積為8石，AC的中點為。，求3。的最小值.

【答案】

(1)選①bsin=csinB,

44A

由正弦7E理可得sin^sin1—=sinCsin3,

又因為0〈5v?,可得sin——=sinC,

BPsin=sinC,所以cos]=2sin￡cosg,

又因為0<：<、，所以Sin?=g,

所以5=3,解得c=g.

2o3

②也(ccosA-b)=-asinC,

由正弦定理可得石(sinCcosA-sinB)=-sinAsinC,

即^[sinCcosA-sin(A+C)]=-sinAsinC,

整理可得一GsinAcosC=-sinAsinC,

又因為0<Av?，解得tanC=5/§\

因為0<C<%,所以c=q.

c_a+b

③

cosCcosA+cosB

由正弦定理可得嗎sinA+sinB

cosCcosA+cosB

整理可得sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC,

EPsinCcosA-sinAcosC=sinBcosC-sinCcosB,

即sin(C-A)=sin(B-C),

所以C—A=5—C或C—A+5—C=%(舍),

■JT

即A+3=2C,即萬一C=2C,角窣得C=§.

(2)S：=；a〃sinC=^ab-^-=Sy/3,

解得〃Z?=32,

由余弦定理可得

222

BD=a+f——2?---cos—=a+————ab>2-a———ab=16f

y2)234222

b

所以924,當且僅當。='時，即“=4,6=8取等號，

2

所以BD的最小值為4.

18.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，4=3,%=7.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若。=2-+4,求數(shù)列出｝的前"項和T”.

【答案】

(1)設等差數(shù)列的公差為d,則4=4+21,即7=3+2〃，解得d=2,

:.an=3+(〃-l)x2=2〃+l

(2)???勿=2%+4=22向+2〃+1,

8(1-4〃)n(3+2n+l)2x4n+1

+“2+2”力

+

1-42--3-3

19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2道的菱形，NDAB=60o,PA=PB=PD=2非，E為AD的中

點.

(1)證明：平面尸3C_L平面P8E；

(2)已知點F為PC上的點，PC=4PF,求二面角A—DE—B的余弦值.

【詳解】

(1)證明：

團四邊形A3c。為菱形，且ZZMB=60°

回ARW、△BCD為等邊三角形，

^AB^AD=BD

EIE為AD的中點，SBE1.AD,

SPA=PD,SPE±AD,

?PEcBE=E,回ADJ_平面尸BE,

1aBeIIAD,E13CJ_平面尸8E,

回平面PBC_L平面PBE;

(2)解：BAB=BC=CD=AD=2y/3

由⑴WBE=^lAB2-AE2=3

PA=PB=PD=2A/5,可得。為A54￡＞外心，

因A540為等邊三角形，。也為A54￡)重心，

0OB=2OE=2,po=y/pB2-OB2=4，OC=4

以。為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，

則A(0,-1,0),8(0,2,0),D(-A/3,-1,0),P(0,0,4),C(一2石,2,0)

0PC=4PF,0F

0DA=(2A/3,O,O),DB=(y/3,3,O),DF=(I

設平面ADF的法向量為m=(x,y,z)

2氐=0

m?DA=0

63.C

m?DF=0——x+—y+3z=0

[22，

令，y=2,則X=0,z=—l,即而=(0,2,-1),

設平面BDF的法向量為3=（“,瓦c）

yfia+3b=0

n-DB^O

^a+~b+3c=0

n-DF=0

[22

令，b=l,貝Ua=—若,c=0,即力=(-若,1,0),

20.很多新手拿到駕駛證后開車上路，如果不遵守交通規(guī)則，將會面臨扣分的處罰，為讓廣大新手了解駕

駛證扣分新規(guī)定，某市交警部門結合機動車駕駛人有違法行為一次記12分、6分、3分、2分的新規(guī)定設置了

一份試卷（滿分100分），發(fā)放給新手解答，從中隨機抽取了12名新手的成績，成績以莖葉圖表示如圖所

示，并規(guī)定成績低于95分的為不合格，需要加強學習，成績不低于95分的為合格.

68

72

88

95566789

1000

（1）求這12名新手的平均成績與方差；

（2）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的思想，若從該市新手中任選4名參加座談會，用X表示成績合

格的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.

【答案】

（1）這12名新手的成績分別為68,72,88,95,95,96,96,97,98,99,100,100,則平均成績?yōu)?/p>

(68+72+88+95+95+96+96+97+98+99+100+100)+12=92,

2222

其方差為4[（92-68）2+（92_72『+^92_88^+2x（92-95）+2x（92-96）+（92-97）+

2

（92-98）2+（92-99）2+2*四_100）]

=^（24Z+202+42+2X32+2X42+5Z+62+72+2X82）

320

一亍,

（2）抽取的12名新手中，成績低于95分的有3個，成績不低于95分的有9個，故抽取的12名新手中合

格的頻率為9故3從該市新手中任選1名合格的概率為3=.

1244

X的所有可能取值為0,1,2,3,4,貝1]尸（*=0）=C[1）—上，

3Y_54_27

p(x=l)=c：前T噎ZJ-256-128

3丫108

p(X=3)=C：zjD=發(fā)

所以X的分布列為

X01234

13272781

P

2566412864256

廠,sc113c27。27yl81。

E(X)=0義-----+lx—+2x----+3x——+4x------=3

172566412864256

22

21.已知雙曲線C:三-方=1,>0,方>0）的左焦點為尸，右頂點為A（l,0）,點尸是其漸近線上的■點，且

以P尸為直徑的圓過點A,|尸。=2,點。為坐標原點.

（1）求雙曲線C的標準方程;

（2）當點p在x軸上方時，過點尸作y軸的垂線與y軸相交于點8,設直線/：丁=辰+機（加竽o）與雙曲線c

相交于不同的兩點M、N,若忸M|=忸N],求實數(shù)〃2的取值范圍.

【答案】

（1）解：?.?產(chǎn)（-c,O）,A（a,0）,雙曲線C的漸近線方程為'=±2》，

以尸尸為直徑的圓過點A,所以，PA±AF,

b上,設點P中,ApJt-a,-

不妨取點尸在y=—工■E4=(a+c,0),

a\a

因為則AP.E4=(f-a)(a+c)=0,可得f=a,則點尸(。⑼,

???|PO|=2,則02+〃=4,...々=1,則爐=3,

2

所以，雙曲線C的標準方程為f-2L=1.

3

（2）解:由題意可知8（。,@,設/%,%）、N（孫為），

y=kx+m

線段%V中點°（七,%）,聯(lián)立2y2得（3-左2）尤2-2初zx一療一3=。,

13

3—左2。0［3