2023年高考數(shù)學二輪復習試題匯編：平面向量

專題03平面向量

一、核心先導

二、考點再現(xiàn)

【考點a平面向量的線性運算

向量

、^r'Zr"定義法則(或幾何意義)運算律

必算

(1)交換律：

內(nèi)6a~\~b=b~\~a；

加法求兩個向量和的運算三角形法則

(2)結(jié)合律:

a

平行四邊形法則(a+A)+c=a+(》+c)

求a與辦的相反向量一辦的

減法a—b=a~\~(—b)

和的運算叫作。與力的差a

三角形法則

(l)|2a|=|A||a|；(1)結(jié)合律:2(/1。)=4〃

(2)當丸>0時，兒a與a=〃(2a)；

求實數(shù)丸與向量a的積的運a的方向相同；(2)第一分配律：

數(shù)乘

算當A<0時，4a與a(2+〃)a=2a+〃a；

的方向相反；(3)第二分配律：

當丸=0時，4a=0^(a+b)=/a+/b

【考點2】共線向量定理、平面向量基本定理及應用

1.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理

(1)判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)丸使得8=癡，則向量b與a共線.

(2)性質(zhì)定理：若向量方與非零向量。共線，則存在唯一一個實數(shù)九使得b=觴.

(3)4B,C是平面上三點，且A與3不重合，P是平面內(nèi)任意一點，若點C在直線A3

上，則存在實數(shù)九使得(如圖所示).

2.向量共線定理的應用

(1)證明點共線；(2)證明兩直線平行；(3)已知向量共線求字母的值.

3.平面向量基本定理

如果打，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只

有一對實數(shù)71,兒2,使a=7be/+/l2e2，其中以，e2是一組基底.

【考點3】平面向量坐標運算的應用

1.平面向量的坐標運算

(1)若a=(xi,yi),b=(xi,y2)(b^0),貝Ua±Z>=(xi±x2,yi±>2).

(2)若A(xi,yi),B(xi,yi),則AB=(X2—XI,yi—yi).

(3)若a=(尤，y),4GR,貝Ij7a=(%,4y).

2.向量平行的坐標表示

(1)如果a=(xi,yi),b=(x2,yi),則的充要條件為xi>2—x2>i=0.

(2)A(X1,yi),3(X2,>2),C(X3)丁3)三點共線的充要條件為(X2—Xl)(>3—yi)—(X3—Xl)(>2—yi)

=0.

a"的充要條件不能表示成交=/，因為及，戶有可能等于0.判斷三點是否共線，先求每

%2,2

兩點對應的向量，然后再按兩向量共線進行判定.

【考點4】平面向量的垂直與夾角

1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和4記為="，/=》,則乙4。3=仇0°W9W180。)

叫作向量a與〃的夾角.

(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和"它們的夾角為仇則數(shù)量⑷向cos。叫作a

與力的數(shù)量積，記作a。，即a0=|a||Z>|cos。.規(guī)定：Oa=0.

(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的模⑷與8在a的方向上的投影版|cos夕的乘積.

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b都是非零向量，e是與〃方向相同的單位向量，。是a與e的夾角，貝U

⑴e?a=a?e=|a|cos9.

(2)a_L6o??b=0.

(3)當a與力同向時，a-b=\a\\b\；當a與辦反向時，a-b=~\a\\b\.

特別地，a?a=|°F或⑷=[〃?a.

(4)c°s°=而百

(5)|a旬W|a|步

3.平面向量數(shù)量積的坐標表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,丁2),a,力的夾角為仇則

(1)〃?》=11%2+p1y2.

(2)|。|=1/+八.若A(xi,yi),B(X2,yi),則|屈|=弋(％1-0)2+(十一")2、

xix2-\-yiy2

(3)cosS

yjxi+yl?4立+5

(4)。J_b=ab=0=xi%2+y=0.

%iy2一42丁1=0與aX2+”y2=0不同，前者是兩向量a=(%i,yi),b=g,”)共線的充要條

件，后者是它們垂直的充要條件.

【考點5】平面向量的模及其應用

求平面向量的模的公式

(l)a2=a-a=\a\2^\a\=\la~^a=y[a^；

(2)\a±b\=y)(a±b)2=^a2±2a-b+b2；

(3)若a=(x,y),則⑷=^/4+'2.

三、解法解密

考向1平面向量在平面幾何中的應用

向量在幾何中的應用

(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件:a外例=7*Xi”

—X2^1=0.

(2)證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：

a.Lb<=^a?8=00%i%2+yiy2=0.

(3)求夾角問題，常用公式：

ab_________%i%2+yiy2

C°S⑷物?1一+歷

（4）求線段的長度，可以用向量的線性運算，向量的模

12

\a\=y]a,a=yjx+y^l

|A5|=|A5|=<（X2-xi）2+（p—yi）

考向2平面向量在三角函數(shù)中的應用

與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應用是高考熱點問題.解此類問題，

除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式、向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角

恒等變換的相關(guān)知識.

四、考點解密

題型一:平面向量的基礎(chǔ)應用

例L（1）、（2020?山西太原?模擬預測）已知平面向量￡=（4,-2）石=（1,-3）,若￡+肪與B垂直，則/l=（）

A.-2B.2C.-ID.1

【變式訓練1-1】、（2007?重慶?高考真題（理））與向量的夾角相等，且模為1的

向量是（）

、

(24211.1J201

C.D.

333

7

題型二:平面向量的綜合應用

例2.（1）、（2007?福建?高考真題（理））已知|次|=1,|礪|=6,則.礪=0,點C^ZAOB內(nèi),且ZAOC=30°.

設(shè)玩=加9+〃麗（相、neR）,則一等于（）

n

A.」B.3C."D.6

33

（2）、（2022?湖北?房縣第一中學模擬預測）已知平面向量％各滿足2=（1,1）,B+@=l,則W的取值范圍

為.

【變式訓練2-1】、（2022?浙江?模擬預測）已知平面向量扇瓦萬滿足：|苕|=1,B0=-1,若對滿足條件的任

意向量修-6|2曰-<?|恒成立，則cos伍+汗,萬〉的最小值是.

【變式訓練2-2】、（2022?吉林長春?模擬預測（理））已知“15C中，A=1,AC=2,AB=5,點尸為邊

AB上的動點，則麗?元的最小值為（）

A.-4B.-2C.2D.4

題型三:平面向量在平面幾何中的應用

例3.（1）、（2022?江蘇常州?模擬預測）我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了

勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方

.16.12?

形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若麗甫，BF=—BC+—BA,則實數(shù)X=（）

A.2B.3C.4D.5

（2）、（2022?全國?模擬預測）在AABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°,AM=MB,麗=2近，點

。在邊BC上，則麗.麗■的最大值為（）

511

A.3B.2C.—D.—

24

【變式訓練3-1】、（2022?北京?高考真題）在AA5c中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為AABC所在平面內(nèi)

的動點，且尸C=l,則麗.麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.M,6]

【變式訓練3-2】、（2022?安徽?馬鞍山二中模擬預測（理））已知向量靛滿足|2-3訓=|￡+3加，\a+b\=4,

若向量工=力￡+〃方（彳+〃=1,2,〃?7?）,^.a-c=b-c＞則I句的最大值為（）

A.IB.2C.3D.4

題型四:平面向量在其他知識中的應用

例4.（1）、（2022?江蘇無錫?模擬預測）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋.八

角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨

紋樣.八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴張的感覺.八角星紋延續(xù)的

時間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的感澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角

星紋星紋.圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分是

正方形且邊長為2,其中動點尸在圓。上，定點A、8所在位置如圖所示，則抵避最大值為（）

A.9B.10C.10夜D.106

（2）、（2022?浙江嘉興?模擬預測）平面向量扇反心，滿足

|町=|B|=2萬?5=1,5（2-2）5（2eR）,|1+45|=拒，貝!J7+dI的最小值為.

【變式訓練4-1】、（2022?湖南師大附中三模）藝術(shù)家們常用正多邊形來設(shè)計漂亮的圖案，我國國旗上五顆

耀眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的任意兩個不相鄰的頂點用線段連接，并去掉

正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個正五邊形的中心.如圖，設(shè)。是正五邊形A88E的中心，

則下列關(guān)系錯誤的是（）

A.AD+DB=OB-OAB.AOBE=O

c.AC+AD=3A0D.AdAD=BOBD

【變式訓練4-2】、（2022?全國?模擬預測）己知各滿足同=1,忖=0,貝+0+的最大值

為.

五、分層訓練

A組基礎(chǔ)鞏固

__.2__?

1.（2022?河南?模擬預測（理））如圖，在AABC中，的■=%而，祈=〃尼，直線AM交2N于點。=

則（）

A.X+〃=1B.4〃=：C.（X-1）（2〃-3）=1D.（2A-3）（//-l）=l

2.（2022?四川省遂寧市教育局模擬預測（文））在AABC中，AC=3,BC=5,。為線段3c的中點，

，萬卜。月4，E為線段BC垂直平分線/上任一異于。的點，則2元?。=（）

7

A.-B.4C.7D.-6

3

3.（2022?四川雅安?模擬預測（理））如圖，在等腰直角AABC中，斜邊3c=4,M,N為線段8c上的動

點，且MN=1,則麗.加的最小值為（）

1315

A.—B.—C.4D.6

44

4.（2022?四川省綿陽南山中學模擬預測（理））如圖，在“BC中，已知AB=2,AC=8,ZBAC=60°,

BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點P,則Q在而上的投影為（）

A4后2s8幣「4^/3

37213

3

5.（2022?全國?大化瑤族自治縣高級中學模擬預測（文））己知點A、B在單位圓上，ZAOB=^-n,若

4

OC=2OA+xOB（x^R）,貝！J|靈廣的最小值是（）

A.2B.3C.5-2夜D.4

6.（2022?全國?清華附中朝陽學校模擬預測）已知平面向量b，"滿足2,方，且口=1|=2,/+%+q=1,

貝|]卜+4+2卜+司的最小值為（）

A.—B.V15C.叵D.sfn

22

jr

7.（2021?江西?模擬預測（文））如圖，在AABC中，ZBAC=~,AD=2DB，P為8上一點，且滿足

-------?--------?1-------?UUIU____.

AP=mAC+-AB,若|AC|=3,IAB|=4,則Q.函的值為（）

A.-3B.--C.—D.—

121212

8.（2022?四川?模擬預測（理））八卦是中國文化的基本哲學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2

中的正八邊形ABCDE尸G”，其中|C閶=1,給出下列結(jié)論：

①幅與兩的夾角為:；

@OD+OF=OE;

@\OA-OC\=^\DH\；

④向量正在向量笳上的投影向量為-Y2工（其中"是與那同向的單位向量）.

2

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

9.（2022?河南安陽?模擬預測（理））已知圓柱。02的軸截面是邊長為2的正方形，AB為圓。1的直徑，P

為圓。2上的點，貝U（西+麗）?西=（）

A.4B.4A/2C.8D.8近

10.（2022?上海松江?二模）已知正方形ABC。的邊長為4,點M、N分別在邊AD、3c上，且AM=1,

BN=2,若點尸在正方形ABCD的邊上，則麗■.兩的取值范圍是（）

A.[-6,6]B.[-6,2]C.[-2,6]D.[-2,2]

11.（2022?江西?上饒市第一中學模擬預測（文））已知向量;=（1,2）,5=（九-1）,若￡〃B，則晨坂=（）

3355

A.——B.—C.——D.—

2222

12.（2022?浙江?樂清市知臨中學模擬預測）平面向量滿足|￡-司=3,|￡|=2出|,則2一萬與Z夾角最大值

時㈤為（）

A.V2B.乖1c.2A/2D.2A/3

13.（2022?安徽省舒城中學三檄理））已知平面向量［,《，￡,同=同=1,若R（［+刈22,向（心421,

則口的最小值是.

14.（2022?全國?模擬預測（文））在“1BC中，〃為的中點，N為線段CM上一點（異于端點），

UUULULILlUUU］］

AN=xAB+yAC＞則一+1的最小值為______.

'xy

15.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學模擬預測）如圖，已知點。，A,B,C（順時針排列）在半徑為2的圓E上，將

麗順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到赤，貝H況?次^+1阮?麗I的最大值為.

16.（2022?海南省直轄縣級單位?三模）已知平面向量力，［滿足0+楊石=2,且向=2,|昨1,則

\a+b\=.

B組能力提升

17.（2022?山東煙臺?三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓。，尸為圓。上任一點，若

AP=xAB+yACf則2x+2y的最大值為（）

84

A.—B.2C.—D.1

33

18.（2022?安徽?合肥市第六中學模擬預測（理））如圖，在"RC中，M,N分別是線段A3,AC上的點,

21__,______.___12

5.AM=-AB,AN=-AC,D,E是線段2C上的兩個動點，且也+通=了說+y麗'（x,ywR）,則—+一

33xy

的的最小值是（）

49

A.4B.—C.—D.2

34

19.（2022?廣西桂林?模擬預測（理））已知平面向量入b，［滿足問第=Z%=2,且僅_q儂_@=0,

貝1最小值為（）

A.2-V2+1B.3拒-3c.J7-1D.273-2

20.（2022?江蘇南通?模擬預測）已知向量Z，b滿足2=（61）,25=4,則目的最小值為（）

A.IB.0c.百D.2

21.（2022?湖南懷化?一模）已知平面向量。、①—5）滿足國1=3,且方與5V的夾角為30。,則一|的最

大值為（）

A.2B.4C.6D.8

__.2__.

22.（2022?吉林?東北師大附中模擬預測）在"LBC中，M,N分別是邊AB,AC上的點，^.AN=jAC,

:W通，點。是線段MN上異于端點的一點，且滿足2礪+3而+4第=。（/1W0）,則2=.

23.（2022?四川資陽?一模（理））已知平面向量入b，"滿足同第=忖+q=2,且*2日一q=J7,則，

的最大值為.

24.（2020?天津?二模）已知是單位向量，￡4=0.若向量"滿足貝的最大值是.

25.（2022?北京市第十二中學三模）AABC為等邊三角形，且邊長為2,則通與元的夾角大小為120。，

若國=1,CE=EA，則而說的最小值為.

26.（2022?四川涼山?三模（理）AABC）中，角A,B,C對邊分別為a,6,c,點尸是AABC所在平面內(nèi)

（___________,\

___,___、R]D/

的動點，滿足麗=麗+彳=+門（2>0）.射線2尸與邊AC交于點D若8=f,BD=2,則AABC

IM間3

面積的最小值為.

C組真題實戰(zhàn)練

27.（2019?天津?高考真題（文））。是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

禺+黑]'則尸的軌跡一定通過AABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

28.（2020?全國?高考真題）已知向量7。滿足|3=1，山=2,/一1|=2,則/+辦|=（）

A.IB.yf2C.y/5D.

29.（2017?全國?高考真題（理））已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面A3C內(nèi)一點，則可?（而+定）

的最小值是（）

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

30.（2018?天津?高考真題（理））如圖，在平面四邊形ABC。中，AB±BC,AD±CD,ABAD=120°,AB=AD=1,

若點E為邊CO上的動點，則衣.屁的最小值為

31.（2018?天津?高考真題（文））在如圖的平面圖形中，已知

OM=1,ON=2,AMON=120°,BM=2MA,CN=2NA,則BCOM的值為

A.-15B.-9

C.-6D.0

32.（2016?天津?高考真題（理））AABC是邊長為1的等邊三角形，點2E分別是邊AB,8c的中點，連

接DE并延長到點P，使得DE=2￡F,則赤.沅的值為（）

A.-^B.lc.ID.H

8848

33.（2015?福建?高考真題（理））已知通,前，|礪卜;，區(qū)斗=乙若尸點是44BC所在平面內(nèi)一點，

-i-5AB4AC__

且人尸=同+斥[’則PBP。的最大值等于0?

A.13B.15C.19D.21

34.（2017?浙江?高考真題）如圖，已知平面四邊形ABC。，ABYBC,A8=BC=AO=2,CD=3,AC與

BD交于點O,記/]=。5?仍，I^OBOC,I3=OCOD,貝U

A.Il<I2<I3B.Z1</3<Z2C./3</l</2D.Z2<Z1<Z3

35.（2011?全國?高考真題（理））設(shè)