平行線四大模型與動態(tài)角度問題-2021-2022學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊專項突破

專題03平行線四大模型與動態(tài)角度問題專題講練

平行線與動態(tài)角度問題在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，

該份資料就平行線的四大模型（鉛筆模型、豬蹄模型、拐彎模型、“5”字模型）和動態(tài)角度問題（翻折、

旋轉(zhuǎn)、動點）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1：豬蹄模型（M型）

【解題技巧】如圖，①已知：AB//CD,結(jié)論：ZAPC=ZA+ZC；

②已知：/APC=/A+/C,結(jié)論：AB//CD.

A________________BA

C-------------------------DcD

圖①、圖②圖③

③已知：AB//CD,結(jié)論：Z^+ZP2+ZC=ZPi+ZP3.

例1、（2022.廣東省初一月考）如圖所示，已知：AB//CD.,求證：ZAPC=ZA+ZC；

A_______________B

1,

C/-----------------D

【解析】方法一（破角）：過點尸作〃/瓦

A________B

C--------------------D

\'AB//CD,：.AB//CD//PQ：.Zl=Z2,Z3=Z4AZ^PC=Z2+Z3=Z1+Z4.

方法二（添角）：連接/C,

,JAB//CD.,.Z1+Z3+Z2+Z4=18O°,又/2+/3+NNPC=180°AZ^PC=Z1+Z4.

變式1.(2021?山東青島期末)如圖，ABHCD,點、E在AC上,ZA=110°,40=15°,則下列結(jié)論正

確的個數(shù)是()

(1)AE=EC；(2)ZAED=85°；(3)NA=NCED+ND；(4)ABED=45°

41個3.2個C.3個D4個

【答案】B.

【解析】解:過點E作E尸〃42,

(1)無法判斷；

(2)'JABIICD,ABHEF,J.EFIICD,:.NAEF=70。,ZDEF=15°,二//￡7>85°,正確;

(3)由(2)得：Z^=ZCEF=ZCED+ZDEF,ZDEF=ZD'.ZA=ZCED+ZD,正確；

(4)無法判斷；故答案為：B.

變式2.（2021.湖北七年級期中）如圖，ABUEF,ZC=90°,則Na,5,之間的關(guān)系是（）

A./夕=/&+//B.Z?+Z>5+Z/=180oc.Nfz+N，-N7=90°D,Z^+Zy-Za=90°

【答案】C.

【解析】解：分別過C、D作AB的平行線CM和DN,

那ABIICMI/DN//EF：.Za=ZBCM,ZDCM=ZCDN,ZNDE=Zy

而N￡=NCDN+ZNDE=ZDCM+Z尸90°—ZBCM+Z尸90°~Za+Zy.

即/a+N￡—/y=90。，故答案為：C.

變式3.(2021?渝中區(qū)期末)如圖，AB//CD,ZBAE=120°,ZDCE=40°,則N/￡C=()

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】D.

【解析】解：過點E作好〃可得：AB//EF//CD

：.ZAEF+ZA=ISO°,ZFEC=ZC,：.ZA+ZAEC-ZC=18Q°

：.120°+Z^C-40°=180°,ZAEC=IOQ°,故答案為：D.

例2.（2021?浙江杭州七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后

的斷口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問題，我們不妨取名叫“木尺斷口

問題（1）如圖（2）所示，已知/5//CD,請問￡）3,ND,NE有何關(guān)系并說明理由；

（2）如圖（3）所示，已知AB//CD,請問DB,NE，ND又有何關(guān)系并說明理由；

（3）如圖（4）所示，已知/B//CD,請問NE+NG與N8+N尸+N。有何關(guān)系并說明理由.

⑴

B

(2)⑶

【答案】見解析.

【解析】解：⑴NE=/B+ND,理由如下：

過點E作直線a〃AB,貝l]a〃/8〃CD,則N8=N1,ZD=Z2,：.ZBED=Zl+Z2=ZB+ZD.

ABAB

(2)Z￡+Z5+ZJD=360°,理由如下：

過點E作直線則6〃4B〃CD；.N2+/3=180°,/4+/。=180。

Z5+Z3+Z4+ZZ)=360°即NE+NB+ND=360°.

(3)ZB+ZF+ZD=ZE+ZG,理由如下：

過點￡,F,G作直線c〃N5,d//AB,e//AB,則c〃/8〃/〃e〃CD,

則N3=N5,Z6=Z7,Z8=Z9,Z10=ZD

ZB+ZEFG+ZD=Z5+Zl+Z8+Z10=Z5+Z6+Z9+Z10=ZBEF+ZFGD.

變式4.（2021?山西八年級期末）綜合與探究

問題情境：綜合實踐課上，王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動.

（1）如圖1,點48分別為直線上的一點，點尸為平行線間一點且

APAF=130°,ZPBN=120°,求N4P8度數(shù)；

問題遷移：（2）如圖2,射線（W與射線ON交于點。，直線加〃〃，直線加分別交。拉,ON于點/,￡）,

直線〃分別交。ON于點民C,點尸在射線。M上運動.①當(dāng)點2在43（不與48重合）兩點之間

運動時，設(shè)ZADP=Na,ZBCP=N/3.則4CPD/a,邛之間有何數(shù)量關(guān)系？②若點P不在線段AB上

運動時（點P與點4民。三點都不重合），請你直接寫出NCP。,Na,N尸間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)110°；(2)①NCPD=a+0；

②當(dāng)P在延長線時，ACPD=p~a-,；當(dāng)P在OB之間時，ZCPD=a-p.

【解析】解：(1)過尸作PG〃ER則尸G〃E尸〃ACV,.?./E4F+/GE4=180°,NPBN+/GPB=l80。

：.ZGB4=180°-130o=50°,NGPB=180°-ZPBN=60°：.ZAPB=ZGPA+ZGPB=50°+6Q°=U0°.

(2)①NCP￡>=/a+/A②當(dāng)尸在A4延長線時，NCPD=。一a.過P作PE〃AD交AD于E,

,JAD//BC,：.ZDPE=a,ZCPE=/3：.ZCPD=/3~a.

當(dāng)尸在。8之間時，/CPD=a—0過尸作PE〃4D交CO于E,同理，得：/CPD=a-0.

變式5.（2021?河南七年級期末）把一塊含60。角的直角三角尺ENG（NEEG=90°,ZEGF=60°）放在兩條

平行線48,CD之間.⑴如圖1,若三角形的60。角的頂點G放在CD上，且N2=2N1,求/I的度數(shù);

(2)如圖2,若把三角尺的兩個銳角的頂點E,G分別放在48和CD上，請你探索并說明//￡下與NFGC

間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3,若把三角尺的直角頂點E放在上，30。角的頂點￡落在4S上，請直接寫

出ZAEG與ZCFG的數(shù)量關(guān)系.

E

圖⑴圖⑵圖(3)

【答案】(1)40°；(2)NAEF+NFGC=9Q°；(3)ZAEG+ZCFG=300°.

【解析】解：(1)：48〃CD,：.Zl=ZEGD,

VZ2+ZFGE+ZEGD=i80°,Z2=2Z1,.,.2Z1+6O°+Z1=18O°,AZ1=40°；

(2)過點尸作尸尸〃48,

；?NAEF=/EFP,ZFGC=ZGFP.

：.ZAEF+ZFGC=ZEFP+ZGFP=ZEFGfVZEFG=90°,/.ZAEF+ZFGC=90°；

(3)ZAEG+ZCFG=300°,理由如下?.22〃CD,/.ZAEF+ZCFE=ISO°,

即N/EG-30°+/CFG-90°=180°,整理得：ZAEG+ZCFG=300°.

模型2：鉛筆頭模型

【解題技巧】如圖，①已知：AB//CD,結(jié)論：ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°；

②已知：ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°,結(jié)論:AB//CD.

AB

Pn-1

n

DCD

圖①、圖②圖③

③已知：AB//CD,結(jié)論：Zl+Z2+...+Zn=180（〃一1）.

例1、（2021.河北七年級月考）如圖，已知：AB//CD,求證：ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°；

則A8〃CD〃尸QAZBAP+ZAPQ=1SQ°,ZCPQ+ZPCD=1SO°

：.ZBAP+ZAPQ+ZCPQ+ZPCD=360°IPZPAB+ZAPB+ZPCD=360°.

方法二（添角）：連接/C,

易知，Zl+Z4=180°,Z2+Z3+ZP=180°AZl+Z4+Z2+Z3+ZP=360°

即ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°.

變式1.（2021?陜西咸陽市期末）如圖，ZABC+ZC+ZCDE=360°,直線尸G分別交48、0E于點尸、

G.若/1=110。，則/2=.

【答案】70°.

【解析】解：如圖，過C作C"〃/瓦

1B

A

'：AB//CH,：.ZB+ZBCH=1SO°,VZABC+ZBCD+ZCDE=360°,：.ZD+ZDCH=\?,O°,

J.CH//DE,J.AB//DE,AZ1=Z3=11O°,N2=180°N3=70°故答案為70°.

變式2.（2021?黑龍江?七年級期中）如圖所示，若AB〃EF,用含“、P、7的式子表示工，應(yīng)為（）

A.a+/3+yB.P+y-aC.180°-cr-7+/?D.18O°+a+?0-/

【答案】C

【分析】過C作CD〃AB,過M作MN〃EF,推出AB〃CD〃MN〃EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出a+NBCD=180。,

ZDCM=ZCMN,ZNMF=/,求出/BCD=180。。，NDCM=NCMN=〃Y,即可得出答案.

【詳解】過C作CD〃AB,過M作MN〃EF,

：AB〃EF,.?.AB〃CD〃MN〃EF,A?+ZBCD=180°,ZDCM=ZCMN,ZNMF=7,

/.ZBCD=180oa,ZDCM=ZCMN=Z?Y,x=/BCD+NDCM=180°-e-/+￡,故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力.

例2.（2021?福建泉州七年級期末）問題情境：我市某中學(xué)班級數(shù)學(xué)活動小組遇到問題：如圖1,AB//CD,

ZPAB=13G°,ZPCD=nO0,求N4PC的度數(shù).

經(jīng)過討論形成的思路是：如圖2,過尸作PE〃/瓦通過平行線性質(zhì)，可求得//PC的度數(shù).

（1）按該數(shù)學(xué)活動小組的思路，請你幫忙求出N/PC的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖3,AD〃BC,點、P在

4、8兩點之間運動時，ZADP=a,NBCP=0.請你判斷NCPD、a、尸之間有何數(shù)量關(guān)系？

并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖4,已知兩條直線AS〃3,點尸在兩平行線之間，且N3EP的平分

線與/DEP的平分線相交于點。,求/P+2/。的度數(shù).

【答案】(1)110°；(2)ZCPD=a+p,見解析；(3)360°.

VZPAB=UO0,N尸CD=120°,；.NAPE=50。,ZCPE=60°,：.ZAPC=ZAPE+ZCPE^110°.

(2)ZCPD=a+p,理由如下：過尸作PE〃/。交CD于E.

'JAD//BC,C.AD//PE//BC,：.ZDPE^a,/CPE=§,：.ZCPD=ZDPE+ZCPE^a+p.

(3)由(1)可得，ZP+ZBEP+ZDFP=360°又：QE平分/PEB,QF平分NPFQ

：.ABEP=2Z.BEQ,NDFP=2/DFQ：.ZP+2ZQ=ZP+2(NBEQ+NDFQ)=ZP+ZBEP+ZDFP=360°.

變式3.(2021?佛山順德區(qū)月考)問題情境1：如圖1,AB//CD,P是/8C。內(nèi)部一點，P在8。的右側(cè)，

探究48,ZP,ND之間的關(guān)系？

小明的思路是：如圖2,過P作尸通過平行線性質(zhì)，可得ZP,/D之間滿足關(guān)系.(直

接寫出結(jié)論)

問題情境2：如圖3,AB//CD,P是4B,CD內(nèi)部一點，P在8。的左側(cè)，可得NB,/P,之間滿足一

關(guān)系.(直接寫出結(jié)論)

問題遷移：請合理的利用上面的結(jié)論解決以下問題：已知/B〃CD,//BE與/CDE兩個角的角平分線相

交于點尸(1)如圖4,若/E=80。，求/即切的度數(shù)；

(2)如圖5中，ZABM=-ZABF,ZCDM=-ZCDF,寫出與NE之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.

33

(3)若NABM=L/ABF,NCDM=L/CDF,設(shè)/E=m。，用含有n,加。的代數(shù)式直接寫出.

nn

【答案】問題情境1：ZB+ZBPD+ZD=360°,NP=NB+/D；(1)140°；(2)-ZE+ZM=60°(3)

【解析】(1),:BF、。尸分別是N/8E和NCDE的平分線，

AZEBF=—AABE,ZEDF=—ZCDE,由問題情境1得：ZABE+ZE+ZCDE=360°,

22

VZ￡=80°,AZABE+ZCDE=2S0°,：.ZEBF+ZEDF=14O°,：.ZBFD=3,60°-80°-140°=140°；

(2)|z￡+ZAf=60°,理由是：i&ZABM=x,ZCDM=y,

則NFSW=2x,/EBF=3x,/FDM=2y,ZEDF=3y,

由問題情境1得：NABE+NE+NCDE=360°,：,6x+6y+ZE=360°,即1/E=60-x-y,

6

1

VZM+ZEBM+ZE+ZEDM=360°：.6x+6y+ZE=ZM+5x+5y+ZE：.ZM=x+y：.-ZE+ZM=60°；

fff6

(3)設(shè)乙ZCDM=y,

則/尸(n-1)x,NEBF=nx,ZFDM=Cn-1)y,ZEDF=ny,

&AC。_<

由問題情境1得：/ABE+/E+/CDE=360°,：.2nx+2ny+ZE=360°,：,x+y=....—

2n

VZM+ZEBM+ZE+ZEDM=360°f：.2nx+2ny+ZE=ZM+(2〃-1)x+(2〃一1)y+AE,

.八/3600-m°.比十%360°-m°

..ZM=---------；故答案為：ZAf=---------------.

2n2n

變式4.（2021?湖北七年級月考）如圖1,CE平分/ACD,AE平分/BAC,ZEAC+ZACE=90°.

（1）請判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2,在（1）的結(jié)論下，當(dāng)NE=90。保持不變，移動直角頂點E,使NMCE=/ECD.當(dāng)直角頂點E

點移動時，問NBAE與/MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

（3）如圖3,在（1）的結(jié)論下，P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點，當(dāng)點Q在射線CD上

運動時（點C除外），/CPQ+NCQP與/BAC有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，其數(shù)量關(guān)系

為.

圖1圖2圖3

【答案】（1）平行，理由見解析（2）ZBAE+yZMCD=90°,理由見解析（3）ZBAC=ZCPQ+ZCQP

【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出/BAC=2/EAC,/ACD=2/ACE,推出NBAC+/ACD=180。，

即可得出結(jié)論；（2）過E作EF〃AB,則EF〃AB〃CD,得出NBAE=/AEF,NFEC=NDCE,由NAEC

=90°,推出/BAE+/ECD=90。，ZECD=yZMCD,得出NBAE+g/MCD=90。；（3）由平行線的性

質(zhì)得出NBAC+NACD=180。，由三角形內(nèi)角和定理得出NCPQ+NCQP+NPCQ=180。，即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）AB〃CD；理由如下：

；CE平分/ACD,AE平分NBAC,二/BAC=2/EAC,/ACD=2/ACE,

VZEAC+ZACE=90°,AZBAC+ZACD=180°,，AB〃CD；

（2）ZBAE+yZMCD=90°；理由如下：過E作EF〃AB,如圖2所示：

B

M

：AB〃CD,；.EF〃AB〃CD,AZBAE=ZAEF,NFEC=/DCE,

：NAEC=90°,.'.ZBAE+ZECD=90°,

,/ZMCE=ZECDAZECD=yZMCDAZBAE+yZMCD=90°；

(3)ZBAC=ZCPQ+ZCQP；理由如下：；AB〃CD,AZBAC+ZACD=180°,

VZCPQ+ZCQP+ZPCQ=180°,即(ZCPQ+ZCQP)+ZACD=180°,ZBAC=ZCPQ+ZCQP.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握平行線的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例3.(2021?西安七年級月考)下列各圖中的M4i與N4"平行.

CI)圖①中的/小+//2=度，圖②中的度，

圖③中的//1+//2+/小+/，4=度，圖④中的/4+//2+/也+/4+//5=度，…，

第⑩個圖中的N4+N42+//3+…+N4o=______度(2)第〃個圖中的/Z1+NZ2+N/3+…+/4=

【答案】(1)180；360；540；720；1620；(2)180°(n-1).

【解析】解：⑴'：MAX//NA2,：.ZAI+ZA2=180°,

如圖，分別過小、4、4作A￡4i的平行線，圖②中的/小+/42+/小=360。，

圖③中的/a+/42+//3+/4=540。，圖④中的N4+N/2+/43+//4+N/5=720°,…,

第⑩個圖中的N4+NZ2+NZ3+…+N/io=162O。；

(2)第"個圖中的N41+N/2+N/3+…+N4=180°(n-1).

故答案為180,360,540,720,1620；180°(n-1).

變式5.(2021?山東七年級月考)如圖，兩直線出、CD平行，則Nl+N2+N3+N4+N5+N6=().

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【詳解】分別過E點產(chǎn)點,G點,〃點作￡1/2/314平行于AB

觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，則Nl+N2+N3+N4+N5+N6=18(yx5=900。.故選D

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵

變式6.(2021?貴州遵義市?七年級期末)［問題解決］(1)如圖1,AB〃CD,點、E、尸分別是N8、CD上的

點，連接。￡、OF,探求N1、/2、/3之間的關(guān)系，并說明理由.

［拓展延伸］(2)如圖2,上述結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請寫出它們的關(guān)系.

［拓展應(yīng)用］(3)如圖3,已知N3〃CD,/4B1E2的角平分線與的角平分線交于點。.若/￡。瓦

=m°,直接寫出/2+N3+/4+…+/(〃-2)+/-1)的度數(shù).(用含加、〃的代數(shù)式表示)

【答案】(1)Nl+N2+N3=360°；(2)N1=N2+N3；(3)(n-1)?180°-2m°.

【解析】解：澗題解決］Nl+N2+/3=360。.理由如下：

過點。作。如圖，.*.Nl+/EM=180。,

B

0H

B

*JAB//CD,：.OH//CDfAZ2+ZFOH=180°,

：.Zl+ZEOH+2+ZFOH=360°,BPZ1+Z2+Z3=36O°；

［拓展延伸］N1=N2+N3.理由如下：過點。作；?/l=NEOH,

,:AB〃CD,：.OH//CD,：?/2=/FOH,又,：/EOH=/3+/FOH,AZ1=Z2+Z3；

［拓展應(yīng)用］過及點作及H2〃45,過心作￡3%〃/以…，過點E〃一2作E*2H般一2〃4B,過點的「作后「用「

//AB,過點。作

==

NAE1E2+NEiE2H2=/H2E2E3+/H3EBE2=…=-lEn-T^^-Hn-\En-\En-i^Hn-\En-\En^Z.En-\EnC

180°,???N/EIE2+N2+N3+N4+…+N(n-2)+Z(.n-1)+ZCEnEn.\=(n-1)*180°,

???N4EIE2的角平分線與NC瓦瓦J的角平分線交于點。，ZEiOEn=m°,

：.ZAE1E2+ZCEnEn-1=2CZAEiO+ZCEnEn-0,；?NAE1O=NE1OH,

,:AB〃CD,：.OH//CD,；?NCEQ=/E〃八OH,

?**/AE、O+/CEQ=/ETOEn=m。,/AETE?+/CEnEn-\=2m°,

:?N2+N3+N4+…+N(n-2)+N(〃-1)=(〃-1)-180°-2m°.

模型3:拐彎模型

【解題技巧】類型1（鳥嘴形）：如圖，已知48〃CD,結(jié)論：Z1=Z2+Z3.

類型2（骨折形）：如圖，AB//CD,結(jié)論：Z2=Z1+Z3.

例1.（2021.廣東省七年級期中）如圖，已知NB〃CD,求證：Z1=Z2+Z3.

P

3

則/3〃C￡>〃尸。

，Z2+Z3+Z4=180°,Zl+Z4=180°.\Z1=Z2+Z3.

證法2：延長交尸。于。，則/2=/4,Z1+Z5=18O°,Z5+Z3+Z4=180°

.".Z1=Z3+Z4=Z2+Z3,

變式1.（2021?余干縣期末）如圖1,ADIIBC,234D的平分線交3c于點G,ZBCD=90°.

（1）求證:ZBAG=ZBGA；（2）如圖2,若N/8C=50。，NBC。的平分線交/。于點￡,交射線

GA于點F,ZAFC的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）20。.

【解析】解：（1）,：DA//BCZDAG=ZAGB

"：AC平分/BAD；.ZBAG=ZDAG：.NBAG=NAGB.

（2）VZ^BC=50°.\ZBGA=ZBAG=65°,：.ZAGC=115°

'：CE平分NDC3；.NECB=45°,NAFC=180°-ZAGC-ZECB=20°.

變式2.（2021?保定市期中）（1）已知：如圖1,AEHCF,易知NZPC=

(2)如圖2,AE//CF,6是直線所上的兩點，猜想，乙4,44耳鳥，Z^C,/C這四個角

之間的關(guān)系，寫出以下三種情況中這四個角之間的關(guān)系，并選擇其中之一進(jìn)行說明.

①圖中四個角的關(guān)系：②圖中四個角的關(guān)系：③圖中四個角的關(guān)系：

【答案】(1)N4+NC;(2)①NZPi尸2+NP尸2。/4/。=180。，ZA+ZAP1P2+ZPxPiCZC=180°,③//尸1尸2+

ZPIP2CZ^+ZC=180°.

【解析】解：(2)①NZ尸1尸2+NP尸2CN4NCM80。，過尸1作尸過尸2作尸2G〃CF,

?:P\B〃AE,；?NBPiA=NA,'：PiG//CF,:?/GP2c=NC,

?：PiB〃AE,P2G//CF9AE//CF,:?PiB〃PzG,，N5R尸2+NG?2A=180。，

???ZAP1P2+AP\PiC=ZAP1B+/BP\PKNPP2G+ZGPiC=180°+N4+ZC,

???ZAPIP2+ZP1P2CZAZC=180°；

②N4+N4尸1尸2+N尸1尸2CNC=180。，過尸2作G尸2〃CR貝！J/G尸2。=/。，

?：AE〃CF,：.AE//GPi,：.ZAEF+ZGP2E=\S00,

丁NAEF=/A+/APTP2,ZAEF+ZPiP2C=180°+ZGP2C,

：.ZA+ZAPXP2+ZPIP2C=180°+ZC,I.ZA+ZAP1P2+ZPiP2CZC=180°；

③N/尸1尸2+NP1尸2CN4+NC=180。，過尸1作尸IG〃CF,則NGPF+N0^1=180。，

'CAE//CF,：.AE//GP\,：.ZA=AAP\G,

NEFC=/C+/PTP2C,：.ZAPIP2+ZEFC=180°+ZAPiG,

???N/Pi尸2+NC+N尸1尸20=180。+//,J//尸i尸2+NPI尸2CN/+NCM80。.

例2.（2021?忠縣七年級月考）如圖，已知直線/i〃/2,/3、和八、A分別交于點4、B、C、。，點尸在直線

/3或上且不與點/、B、C、。重合.記NPFB=/2,ZEPF=Z3.

(1)若點尸在圖(1)位置時，求證：Z3=Z1+Z2；

(2)若點尸在圖(2)位置時，請直接寫出Nl、N2、N3之間的關(guān)系；

(3)若點P在圖(3)位置時，寫出N1、/2、N3之間的關(guān)系并給予證明；

(4)若點尸在線段DC延長線上運動時，請直接寫出/I、/2、/3之間的關(guān)系.

【答案】(1)見詳解；(2)Z3=Z2-Z1；(3)Z3=360°-Z1-Z2；(4)Z3=360°-Z1-Z2.

【解析】(1)證明：過尸作尸?！?i,則尸0〃/i〃/2，：.N1=NQPE、Z2=ZQPF

(2)Z3=Z2-Zl；過P作尸Q〃/i,則尸則：Z1=ZQPE,N2=NQPF

,：ZEPF=ZQPF-ZQPE,：.ZEPF=Z2-Zl.

(3)Z3=360°-Zl-Z2.過P作尸?！?1,則尸。〃/1〃%二/EPQ+/1=180°,NFPQ+/2=180°,

VZEPF=ZEPQ+ZFPQ；：.ZEPQ+ZFPQ+Z1+Z2=36O°,即NE尸尸=360°-N1-N2；

(4)點P在線段。。延長線上運動時，Z3=Z1-Z2.

過尸作尸Q〃/i,則尸：/=/QPE、Z2=ZQPF；

'：NQPE-ZQPF=ZEPF；：.Z3=Z1-Z2.

變式3.(2021?余干縣期末)已知直線AB〃CD,(1)如圖1,直接寫出NBME、ZE>NEND的數(shù)量關(guān)系

為；(2)如圖2,/BME與NCNE的角平分線所在的直線相交于點P,試探究/P與/E之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3,ZABM=-ZMBE,ZCDN=-ZNDE,直線MB、ND交于點F,

【答案】(1)ZE=ZEND-ZBME(2)ZE+2ZNPM=180°(3)-^―

n+\

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角定理即可解答.

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形外角定理，角平分線的性質(zhì)即可解答.

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角定理即可解答.

【詳解】(1)如圖1,:AB〃CD,.\ZEND=ZEFB,

E

圖1

VZEFB是AMEF的外角，ZE=ZEFB-ZBME=ZEND-ZBME,

(2)如圖2,：AB〃CD,AZCNP=ZNGB,

圖2

"?ZNPM是AGPM的外角，ZNPM=ZNGB+ZPMA=ZCNP+ZPMA,

：MQ平分/BME,PN平分/CNE,AZCNE=2ZCNP,ZFME=2ZBMQ=2ZPMA,

VAB/7CD,ZMFE=ZCNE=2ZCNP,「△EFM中，ZE+ZFME+ZMFE=180°,

ZE+2ZPMA+2ZCNP=180°,即NE+2(ZPMA+ZCNP)=180°,AZE+2ZNPM=180°；

（3）如圖3,延長AB交DE于G,延長CD交BF于田,

VAB//CD,.,.ZCDG=ZAGE,：/ABE是ABEG的外角,

ZE=ZABE-ZAGE=ZABE-ZCDE,①

VZABM=~ZMBE,ZCDN=-ZNDE,AZABM=^—ZABE=ZCHB,ZCDN=ZCDE=ZFDH,

nnn+\?+l

VZCHB是ADFH的外角,

AZF=ZCHB-ZFDH=^—ZABE-ZCDE=^—(ZABE-ZCDE),

②

n+\n+\n+1

即人=1

由①代入②,可得NE,

ZE〃+1

點睛：本題考查了三角形外角定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義.

變式4.（2021?湖南株洲市期末）已知直線a〃從直線跖分別與直線a,b相交于點E,F,點、4,3分別

在直線a,6上，且在直線所的左側(cè)，點P是直線跖上一動點（不與點E,斤重合），設(shè)Z

APB=Z2,ZPBF=Z3.

（2）當(dāng)點尸在線段環(huán)外運動時有兩種情況，①如圖2寫出Nl,Z2,N3之間的關(guān)系并給出證明.

②如圖3所示，猜想Nl,Z2,N3之間的關(guān)系（不要求證明）.

【答案】（1）見解析；（2）①N2=/3N1；②N2=/3/l.

【解析】解：（1）證明：作〃%則=

'：PM//a,a//b,：.PM//b,：.ZMPB^Z3,：.AAPB=ZAPM+ZMPB=Z1+Z3,即/1+/3=N2；

(2)①結(jié)論：Z2=Z3-Z1.理由：作PMUa,則=

"：PM//a,a//b,：.PM//b,：.ZMPB=Z3,：.ZAPB=ZMPB-ZMPA^Z3-Z1,即N2=N3/1；

②結(jié)論：Z2=Z3-Z1.

模型4：“5”字模型

基本模型：如圖，AB//CD,結(jié)論：Zl+Z3-Z2=180°.

例1.（2021.浙江七年級期中）如圖，AB//CD,求證：Zl+Z3-Z2=180°.

【解析】過尸作尸?！?5,則4B〃CZ）〃尸。

.*.Zl+Z4=180°,Z4+Z5=Z3,Z5=Z2AZl+Z3-Z2=180°.

變式1.（2021.北京七年級期中）如圖，已知AB〃CD,EF〃CD,則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A.NBCD=ZDCE;B.ZABC+ZBCE+ZCEF=360°;

C.ZBCE+ZDCE=ZABC+ZBCD;D.ZABC+ZBCEZCEF=180°.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，找出圖形中的同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角即可判斷.

【解析】延長DC到H。?「AB〃CD,EF/7CDAZABC+ZBCH=180°

ZABC=ZBCDZCE+ZDCE=180°ZECH=ZFECAZABC+ZBCE+ZCEF=180°+ZFEC

ZABC+ZBCEZCEF=ZABC+ZBCH+ZECHZCEF=180°.故選D.

點撥：此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互

補(bǔ)，同位角相等.

變式2.（2021?江蘇七年級期末）如圖，AB//CD,則/1+/3—N2的度數(shù)等于.

【答案】180°.

【解析】解：

；N2+NEFC=N3,/跖0=180°—/跖。；./1+/3—/2=180°故答案為：180°.

變式3.（2021?河北七年級月考）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過3、C、。三點拐彎后與原來相同，如圖，若

ZABC=nO°,ZBCD=S0°,則度.

【解析】解：過點C作C尸〃48,由題意知，AB//DE,

：.CF〃DE,：.NBCF+/ABC=180°,：.ZBCF=60°,：.ZDCF=20°,：.ZCDE=ZDCF=20°.故答案為：20.

例2.（2021?湖北洪山?七年級期中）如圖，已知尸為直線48,CD外一點，BF平分NABP,DE

平分NC￡＞尸，89的反向延長線交于點￡,若/FED=a,試用a表示/尸為.

E

D

【答案】ZP=360°-2a

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出/1=N2,Z3=Z4,平行線的性質(zhì)得出N1=N5,/6=NPDC=2/3,

進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和得出/5、/FED,再得到NP和。的關(guān)系，然后即可用。表示NP.

【詳解】解:延長交PD于點G,延長也交CD于點”，

:BF平分NABP,DE平分/CDP,：.Z1=Z2,Z3=Z4,

,JAB//CD,；./l=N5,N6=NPDC=2/3,

VZP5G=180°-2Z1,AZP5G=180°-2Z5,：.Z5=90°-ZPBG,

'：ZFED^1SO°-ZHED,Z5=180°-ZEHD,ZEHD+ZHED+Z3^180°,

.*.180°-Z5+1800-/尸￡。+/3=180°,AZFED=\S0°-Z5+Z3,

：.ZFED=\SQ0-(90°-y/PBG)+yZ6=90°+y(ZP5G+Z6)=90°+。(180°-NP)=180°-1

ZP,VZFED=a,：.a=180°-1ZP：.ZP=360°-2a.故答案為：ZP=360°-2a.

【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，有一定的綜合性，認(rèn)真找出角的關(guān)

系是關(guān)鍵.

變式4.（2021黑龍江?七年級月考）如圖，48//CD,E是C。上的點，過點E作EF〃DP,若ZPEF=ZPEH,

EG平分NDEH,Z5=152°,/PEG=65°，貝U/8尸。=.

【答案】22。

【分析】延長AB交HP于點M；根據(jù)EG平分NDE8,WAPEH=ZDEP+2ZDEG；根據(jù)跖//。尸，得

ZPDE+ZDEF=1^0°,從而推導(dǎo)得NPDE=180°-2(/。石尸+NDEG)；結(jié)合/PEG=65°,得NPDE；再根

據(jù)AB//CD以及/ABP=152°,結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)，即可完成求解.

【詳解】如圖，延長AB交HP于點M

NPEF=2PEH：.NPEF=ZDEP+2ZDEG'：EF//DP：.ZPDE+ZDEF=180°

ZPDE=180°-ZDEF=180°-(NDEP+NPEF)=180°-2(ZDEP+ZDEG)

ZPEG=65°；./PEG=ZDEP+ZDEG=65°，"DE=1800-21NDEP+NDEG)=180。-2x65。=50°

AB11CD：.ZBMD=ZPDE=50°，ZBMP=180°-ZBMD=130°

ZABP=152°NPBM=180°-ZABP=28°,NBPD=180°-NPBM-ZBMP=180°-28°-130°=22°

故答案為：22°.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、平行線、角平分線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握了三角形內(nèi)角和、

平行線、角平分線的性質(zhì)，從而完成求解.

變式5.(2021?江蘇七年級期中)如圖所示，已知AB〃CD,ZA=50°,ZC=ZE.則/C等于()

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】根據(jù)AB〃CD,ZA=50°,所以NA=/AOC.又因為NC=NE,NAOC是外角，所以可求得/C.

【詳解】解：：AB〃CD,/A=50。，.?.NA=NAOC（內(nèi)錯角相等），

XVZC=ZE,/AOC是外角，?,.ZC=50°-2=25°.故選B.

BD

例3.（2021?河南駐馬店七年級期中）如圖1,已知/B=20。，ZD=110°.

（1）若/E=50。，請直接寫出/尸的度數(shù)；（2）探索/￡與//之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

圖1圖2

【答案】（1）100°；（2）NF=/E+50°；（3）/尸=25°.

【解析】解：（1）分別過點E,F作EM〃AB,FN//AB,

J.EM//AB//FN,：.ZB=ZBEM=20°,ZMEF=ZEFN,

'：AB//CD,AB//FN,：.CD//FN,：.ZD+ZDFN=1SO°,

VZ￡>=110°,:./DFN=70。,：.ZBEF=ZMEF+200,ZEFD=ZEFN+100,

：.ZEFD=ZMEF+1Q0：.ZEFD=ZBEF+50°=W0°；故答案為：］00。；

(2)分別過點E,F作EM〃4B,FN//AB,：.EM//AB//FN,：.NB=/BEM=20。,/MEF=/EFN,

1,：AB〃CD,AB//FN,J.CD//FN,ND+NDW=180。，

又/.ZDFN=10°,AZBEF=ZMEF+200,ZEFD=ZEFN+100,

：.ZEFD=NMEF+1Q。,；.NEFD=ZBEF+500；

(3)過點F作FH〃EP,由(2)知，NEFD=NBEF+50。,設(shè)/BEF=2x°,則NEFD=(2x+50)°,

?:EP平分/BEF,GF平分NEFD,：.ZPEF=—ZBEF=x°,ZEFG=—ZEFD=(x+25)°,

22

"：FH//EP,:.NPEF=NEFH=x。,ZP=ZHFG,,:NHFG=NEFG-NEFH=25。,：.ZP=25°.

變式6.(2021?湖北咸寧市期末)(感知)如圖①，42〃CD,點E在直線48與CO之間，連結(jié)/￡、BE,

試說明/B/E+NDCE=N/EC；

（探究）當(dāng)點￡在如圖②的位置時，其他條件不變，試說明/，￡C+/A4￡+NDCE=360。；

（應(yīng)用）點E、F、G在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、EF、FG和CG,其他條件不變，如圖③，若NEFG=36°,

貝1]ZBAE+ZAEF+ZFGC+ZDCG=<

圖③

【答案】【感知】見解析；【探究】NB/￡+N/￡C+NDCE=360。；【應(yīng)用】396°.

【解析】解：【感知】過E點作跳7/43

,:ABHCD：.EF//CD'：ABHCD：,ZBAE=AAEF

,：EFIICD：./CEF=NDCE：.ZBAE+ZDCE=ZAEC.

【探究】過E點、作4B//EG.

'：ABHCD：.EG//CD'：ABUCD：.ZBAE+ZAEG=180°

■:EGIICD：.ZCEG+ZDCE=\S0°：.NBAE+/AEC+/DCE=360°.

【應(yīng)用】過點尸作EH■〃/區(qū)

".'AB//CD,：.FH//CD,：.ZBAE+ZAEF+ZEFH=360°,AHFG+ZFGC+ZGCD=360°,

ZBAE+ZAEF+ZEFH+ZHFG+ZFGC+ZGCD=720°,

ZBAE+ZAEF+ZEFH+ZHFG+ZFGC+ZGCD+/￡7七=720。+36。,

NA4E+//EF+NFGC+NZ>CG=720°360°+36°=396°故答案為396°.

動態(tài)角度1：折疊問題

例1.（2021?江蘇鎮(zhèn)江七年級期中）如圖，將一張長方形紙片按如圖所示折疊，如果/1=55。，那么N2=

【答案】110.

【解析】解：由折疊的性質(zhì)可得，Z1=Z3,VZ1=55°,??.Z1=Z3=55°,

由平行線性質(zhì)知：Z2=Z1+Z3,/.Z2=110°,故答案為：110.

變式1.（2021?宜興市北郊中學(xué)初二期中）如圖a是長方形紙帶，NDEF=26°,將紙帶沿EF折疊成圖b,

再沿