遼寧省遼陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

高一考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定形式可直接得到結(jié)果.【詳解】由特稱命題的否定形式可知原命題的否定為：，.故選：D.2.已知集合，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合運(yùn)算法則可得到結(jié)果.【詳解】∵，，∴，∵，∴，故選：C.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由二次根式下大于等于零和分母不為零解不等式組求出即可；【詳解】由題意可得，解得且，所以定義域?yàn)?，故選：B.4.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷.【詳解】和都是增函數(shù)，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，，，，所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B5.若，，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得，，進(jìn)一步根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以，所以的取值范圍?故選：A.6.已知函數(shù)，且，則（）A.3 B. C.17 D.【答案】A【解析】【分析】代入即可求解.【詳解】在中取可得，所以，故選：A7.已知函數(shù)是減函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性，列出各段為減函數(shù)的條件，結(jié)合兩段分界處的關(guān)系，即可求解.【詳解】函數(shù)是減函數(shù)，則有，解得，則a的取值范圍為.故選：B.8.我們將集合S的子集為元素的集合稱為S的一個(gè)子集族.例如集合有3個(gè)子集族：.若集合B中有3個(gè)元素，則B的不同子集族有（）A.128個(gè) B.127個(gè) C.256個(gè) D.255個(gè)【答案】D【解析】【分析】我們定義全子集族為：子集族內(nèi)的集合加上空集本身，先得出集合的子集個(gè)數(shù)，類比可得不同全子集族、不同子集族個(gè)數(shù).【詳解】我們定義全子集族為：子集族內(nèi)的集合加上空集本身，一般地，設(shè)集合中有個(gè)元素，則它有個(gè)子集，我們對(duì)所有子集按元素個(gè)數(shù)分類為：，則集合不同的全子集族個(gè)數(shù)為個(gè)，從而集合不同的子集族個(gè)數(shù)為個(gè)，若集合B中有3個(gè)元素，從而B的不同子集族有個(gè).故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，由此即可順利得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在四邊形中，“四邊形是梯形”的一個(gè)充分不必要條件可能是（）A.平行于，且等于 B.平行于，且不等于C.平行于，且不平行于 D.平行于或平行于【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合梯形定義及其性質(zhì)，結(jié)合充分不必要條件定義逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)A：若平行于，且等于，則四邊形是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若平行于，且不等于，則四邊形是梯形，若四邊形是梯形，則可能有不平行于，但平行于，故平行于，且不等于是四邊形是梯形的一個(gè)充分不必要條件，故B正確；對(duì)C：若平行于，且不平行于，則四邊形是梯形，若四邊形是梯形，則可能有不平行于，但平行于，故平行于，且不平行于是四邊形是梯形的一個(gè)充分不必要條件，故C正確；對(duì)D：平行于或平行于時(shí)，可能平行于且平行于，此時(shí)四邊形是平行四邊形，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知集合與的關(guān)系如圖所示，則與可能是（）A.，B.，C.，D.，【答案】ABD【解析】【分析】由集合與的關(guān)系圖，可知，依此逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由集合與關(guān)系圖，知，對(duì)于A，由，，則，且，故正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?則，且，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，因?yàn)椋瑒t，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，因?yàn)?，所以集合真包含于集合，不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，?lián)立，解得或，則，且，故正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)fx為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.fx在上單調(diào)遞減D.fx的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)偶函數(shù)定義域特征求解；對(duì)B，利用偶函數(shù)性質(zhì)代入運(yùn)算得解；對(duì)C，舉反例說明判斷；對(duì)D，換元令，得，，求出在上的值域，再根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱性可得的值域.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，解得，故A正確；對(duì)于B，由，，，故B正確；對(duì)于C，，，則，所以函數(shù)在上不滿足單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，令，則，且，，，，即，由偶函數(shù)對(duì)稱性可知，的值域?yàn)?故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知下列表格表示的是函數(shù)，則＝________．x-2-102y3210【答案】0【解析】【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，直接計(jì)算得解.【詳解】依題意，有.故答案：0.13.若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，原不等式顯然恒成立，當(dāng)，一元二次不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)需要開口向上、與軸沒有交點(diǎn)才滿足題意，據(jù)此列出不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，只需，解得;綜上所述：，故答案為：.14.已知奇函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為________．【答案】或，【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，由可得，由于在上單調(diào)遞減，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，故在上單調(diào)遞減,故，則或，解得或，故解集為或，故答案為：或，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知非空集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值集合.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）代入求出集合，解一元二次不等式的到集合，再由補(bǔ)集和并集的運(yùn)算得到結(jié)果；（2）把問題轉(zhuǎn)化為是的真子集，再列不等式組求解即可；【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，.由,得,則或，所以或【小問2詳解】有題意得?,則得,所以的取值集合為16.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.（2）利用基本不等式求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，，且，所以，所以，二次函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，此時(shí).所以的最大值為.【小問2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.17.遼陽大果榛子外形美觀、果大皮薄，深受消費(fèi)者歡迎.某遼陽大果榛子網(wǎng)店為回饋新老顧客，提供兩種購買大果榛子的優(yōu)惠方案：第一種方案，每斤的售價(jià)為24元，顧客買x（）斤，每斤的售價(jià)降低x元；第二種方案，顧客買x（）斤，每斤的售價(jià)為元．已知每位顧客限購9斤大果榛子.設(shè)一名顧客按照第一種方案購買大果榛子的付款額為fx元，按照第二種方案購買大果榛子的付款額為元．（1）分別求函數(shù)fx，解析式；（2）已知顧客甲、乙在這家網(wǎng)店均選擇了更經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的方案購買大果榛子，甲、乙的付款總額為135元，且甲購買了5斤大果榛子，試問乙購買了多少斤大果榛子？【答案】（1），；，.（2）乙購買了2斤大果榛子【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，寫出函數(shù)fx（2）先求出，確定甲選擇方案二購買，花費(fèi)91元，得到乙花費(fèi)44元，再分別討論按照方案一和方案二乙可以購買的大果榛子斤數(shù)，得到答案.【小問1詳解】根據(jù)題意，，，，.【小問2詳解】由（1），，，所以，則甲選擇方案二購買，花費(fèi)91元，則乙花費(fèi)元，若乙按照方案一購買，則，解得或，又，，即乙可以購買2斤大果榛子，若乙按照方案二購買，則，解得，所以乙應(yīng)該按照方案一購買，乙購買2斤大果榛子.18.已知函數(shù)，的定義域均為．（1）請(qǐng)?jiān)谒o的圖中畫出的圖像；（2）若不等式的解集為，求a的取值范圍；（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）圖象見解析（2）（3）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.【解析】【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再畫出圖象即可；（2）利用函數(shù)圖象可以解決恒成立問題；（3）將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合函數(shù)圖像，分類討論，即可解決.【小問1詳解】由題意知，所以其函數(shù)圖象如下所示：【小問2詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以在上恒成立，函?shù)圖象的對(duì)稱軸為：，函數(shù)和的圖象如下：所以，由圖可知：，故的取值范圍為：.【小問3詳解】因?yàn)?，所以函?shù)和圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由（2）可知，①當(dāng)，或時(shí)，函數(shù)和圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，此時(shí)或，②當(dāng)，且時(shí)，函數(shù)和圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，此時(shí)，③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)和圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，綜上所述：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)任意（，），都有，則稱為的一個(gè)“n倍區(qū)間”．（1）判斷是否是函數(shù)的一個(gè)“倍區(qū)間”，并說明理由；（2）若是函數(shù)的“2倍區(qū)間”，求m的取值范圍；（3）已知函數(shù)滿足對(duì)任意，且，都有，且，證明：（）是的一個(gè)“3倍區(qū)間”．【答案】（1）不是，理由見解析；（2）（3）證明見解析；【解析】【分析】（1）由函數(shù)新定義判斷即可；（2）由函數(shù)新定義結(jié)合二次函數(shù)的值域判斷即可；（3）由函數(shù)新定義結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)，得到在上單調(diào)遞減即可；【小問1詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，