廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知3=（—2,1,3）,1=（—1,1,1）,若方，色-花），則實(shí)數(shù)注的值為（）

,、147

A.—2B.-----C.-D.2

33

2.尸是被長(zhǎng)為1的正方體488-44GA的底面上一點(diǎn)，則力的取值范圍

是（）

3.已知向量2=（4,3,-2）,3=（2,1,1）,貝工在向量刃上的投影向量為（）

333）

2'4,4jD.（4,2,2）

4.在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-中，E,尸分別為棱44,2月的中點(diǎn)，G為棱44

上的一點(diǎn)，且4G=2（0<2<2）,則點(diǎn)G到平面尸的距離為（）

2722

B.V2

AT35

5.已知四棱錐PT2C。，底面/8CA為平行四邊形，KN分別為棱上的點(diǎn),

晉=；,PN=ND,設(shè)方=Z,AD=b，AP^c>則向量而？用｛癡,己｝為基底表示為（）

P

____1___1_____________________

6.在四面體O4BC中，空間的一點(diǎn)M滿足（W=^。/+彳。3+^C.若〃共面,

貝|J2=（）

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

7.已知向量Z=（l-,2/-1,0）1=（2,/,/）,貝川各一可的最小值為（

A.V5B.^6C.V2D.V3

8.“長(zhǎng)太息掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽(yáng)初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋

同學(xué)在當(dāng)天包了一個(gè)具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念，將粽子整體視為一個(gè)三棱錐，肉餡可近似看

作它的內(nèi)切球（與其四個(gè)面均相切的球，圖中作為球。）.如圖：已知粽子三棱錐中，

PA=PB=AB=AC=BC,H、/、J分別為所在棱中點(diǎn)，D、￡分別為所在棱靠近尸端的

三等分點(diǎn)，小瑋同學(xué)切開后發(fā)現(xiàn)，沿平面CDE或平面曲切開后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉

餡.則肉餡與整個(gè)粽子體積的比為（）.

A.-------兀

9

9.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體44GA中，E為54的中點(diǎn)，/為4A的中點(diǎn)，如

圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（）

%

A.DB}=3

____UULIL、

B.向量通與/G所成角的余弦值為半

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

C.平面/防的一個(gè)法向量是（4,-1,2）

D.點(diǎn)。到平面/跖的距離為包3

21

10.在正三棱柱ABC中，=點(diǎn)尸滿足而=2前+〃甌

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，點(diǎn)尸在棱84上

B.當(dāng)〃=1時(shí)，點(diǎn)尸到平面/3C的距離為定值

C.當(dāng)丸=；時(shí)，點(diǎn)P在以BC,4G的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上

D.當(dāng)4=1,〃=g時(shí)，48_1_平面ZBf

11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺(jué)效果的

正方體圖案，如圖1,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3

所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則（）

A.函=2萬(wàn)+2莉B.直線C0與平面44GA所成角的正弦值為

2

3

C.點(diǎn)G到直線CQ的距離是正D.異面直線C0與所成角的余弦值為亞

36

三、填空題

12.正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面邊長(zhǎng)為1,M是5C的中點(diǎn).在直線C￡上

求一點(diǎn)N,當(dāng)CN的長(zhǎng)為時(shí)，使

13.四棱錐尸一/BCD中，尸Z）_L底面/BCD,底面45CD是正方形，且尸。=1,AB=3,G

是VABC的重心，則PG與平面PAD所成角9的正弦值為.

14.坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

那，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩

個(gè)面是全等的等腰三角形.若N3=25m,5C=10m,且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在

平面與平面/BCD的夾角的正切值均為且，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為.

四、解答題

15.如圖，在長(zhǎng)方體/8CZ)-44GA中，/。=441=1,/8=2,點(diǎn)￡在棱N3上移動(dòng).

(1)當(dāng)點(diǎn)E在棱N3的中點(diǎn)時(shí)，求平面REC與平面。CR所成的夾角的余弦值;

(2)當(dāng)NE為何值時(shí)，直線4。與平面2EC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

16.如圖所示，直三棱柱A8C-4&C中，14=。3=1,/3。4=90°,44]=23/,"分別是

44，//的中點(diǎn).

⑴求8N的長(zhǎng)；

(2)求cos可，函的值.

(3)求證：3N_L平面GMV.

17.如圖，在四棱維尸一/BC。中，平面尸ND_L平面/BCD,PAVPD,PA=PD,ABLAD,

AB=\,AD=2,AC=CD=45.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

p

(1)求直線PB與平面PCD所成角的正切值；

(2)在P4上是否存在點(diǎn)使得BM//平面尸若存在，求夕的值；若不存在，說(shuō)明理

由.

18.如圖1,在邊長(zhǎng)為4的菱形/BCD中，/DAB=60。，點(diǎn)、M,N分別是邊8C,CD的中

點(diǎn)，ACnBD=Ot,ACcMN=G.沿MN將翻折到APAW的位置，連接P4,PB,

(1)在翻折過(guò)程中是否總有平面尸8。，平面PAG?證明你的結(jié)論;

⑵若平面尸平面ACVD3,線段P4上是否存在一點(diǎn)0,使得平面與平面所成

角的余弦值為『？若存在，試確定點(diǎn)。的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.如圖，四棱錐尸-/BCD中，四邊形48CD是菱形，尸/_L平面4BCD,/48c=60°,

1RFPF

刃=彳/8=1,瓦尸分別是線段5。和PC上的動(dòng)點(diǎn)，5.—=—=A(O<2<1).

2BDPC

⑴求證：斯//平面尸/8；

(2)求直線DF與平面PBC所成角的正弦值的最大值;

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

(3)若直線/E與線段BC交于M點(diǎn)，4HLPM于點(diǎn)、H,求線段CH長(zhǎng)的最小值.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CBADDDCBBCDBCD

題號(hào)11

答案BC

1.C

【分析】利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積公式即求得4的值.

【詳解】???向量)=(一2,1,3)4=(-1,1,1)

若2J,(a-Zb}，

貝?。菔?萬(wàn)一斯)=萬(wàn)2-/鼠5=(4+1+9)-4(2+1+3)=0,

3

故選：C.

2.B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x/,z),用坐標(biāo)運(yùn)算

計(jì)算出成?西，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范圍.

【詳解】如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。。,以所在直線分別為樂(lè)乃2軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

則2(1,0,0),Q(0,1,1),設(shè)尸(x,y,z),04x41,0<y<l,z=l,

PA=(1—x,—y,-1),PC】=(—x,1—y,0),

22

:,RA-JCx=-x(\-x)-y(1-j)=x-x+y-y=(-；)+}g

1—..1

當(dāng)x=y=5時(shí)，取得最小值

當(dāng)x=0或1,y=0或1時(shí)，刀?七取得最大值0,

--

——.m1

所以P4PG的取值范圍是-展0.

故選：B.

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算可得答案.

【詳解】向量a在向量B上的投影向量為

±

rr7

M^3

壬

c見(jiàn)a-bf4x2+3xl-2

OS/7-■b=——~―（2,1,1-（2,1,）

^W（也+1+1）

故選：A.

4.D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，OC所在直線為N軸，所在直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則G（2",2）,Z）,（0,0,2）,￡（2,0,1）,尸（2,2,1）,

所以西=（一2,0,1）,方=（0,2,0）,￡G=（O,A,l）.

n-ED=-2x+z=0

設(shè)平面〃￡下的法向量為河=(x),z),貝卜t

n-EF=2y=0

取x=l,得4=（1,0,2）,

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

_EG?萬(wàn)2

所以點(diǎn)G到平面DXEF的距離為d==:=巨,

\n\V55

故選：D.

5.D

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形計(jì)算即可.

【詳解】由條件易知痂=就+函+麗=/+豆+，乖=^AD+BA+P二萬(wàn)）

工一?。?昨一J+匕.

32、）62

故選：D

6.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的共面向量定理的推論列式計(jì)算即得.

_k.1_.1—..

【詳解】在四面體04SC中，不共面，ffifOAf=-OA+-OB+TOC,

____________117

則由圖,也,河。，W-+-+>t=i,所以;i=五.

故選：D

7.C

【分析】計(jì)算出q=歷照2逝，得到答案.

【詳解】因?yàn)椤?（1-2-1,0）石=（2,必，

所以B_z卜j（i+/y+（iT）2+?=后+2>&,

當(dāng)"0時(shí)，等號(hào)成立，故卜-,的最小值為VL

故選：C.

8.B

【分析】設(shè)尸尸=。尸=1,易知PA=PB=AB=AC=BC=",且FG=],設(shè)肉餡球半徑

33

為『，CG=x,根據(jù)中點(diǎn)可知尸到CF的距離4=4r,sinZPFC=—=4r,根據(jù)三角形面

PF

積公式及內(nèi)切圓半徑公式可得x=1,結(jié)合余弦定理可得cosZPFC=1,進(jìn)而可得尸C=述,

33

sin/尸尸C=逆，可得內(nèi)切球半徑且可知三棱錐為正三棱錐，再根據(jù)球的體積公式及三棱

3

錐公式分別求體積及比值.

【詳解】

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

p

如圖所示，取中點(diǎn)為尸，PFcDE=G,

為方便計(jì)算，不妨設(shè)PF=CF=1,

MA=PB=AB=AC=BC,可知PA=PB=AB=AC=BC=

3

又。、E分別為所在棱靠近P端的三等分點(diǎn),

22

貝ljFG=—尸尸二一，

33

且/8J.P尸，ABVCF,PF^CF=F,PF,CVu平面尸CF,

即/B_L平面尸CF,

又ABu平面ABC,則平面PCF_L平面ABC,

設(shè)肉餡球半徑為乙CG=x,

由于H、/、J分別為所在棱中點(diǎn)，且沿平面如切開后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡,

12,4r

則P到CF的距離d=4r,sinZPFC=—=4r,S&GFC一???一?4/=—

PF233

1++r

又S&GFC14—，解得：X=1,

1+--1

故"公生心91

2CFFG2-1--

3

PF2+CF2-PC21+1-PC21

又cosZPFC=——

2-PF-CF2-1-13

WWPC=—,sinZPFC=—,

33

所以：sinZPFC-,解得〃=乂

25

=-ro-=——71，

316381

由以上計(jì)算可知：P-43C為正三棱錐,

_2/6

故喂AB-AC-sinZBAC■4112A/32>/|W彳4

323326一、'

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

V2

所以比值為土=今兀.

2V618

故選：B.

9.BCD

【分析】先寫出需要的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量分別計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】由題可知,4(2,0,0),。(0,0,0),￡(2,2,1),尸(1,0,2),4(2,2,2),G(0,2,2),

所以。用=萬(wàn)萬(wàn)萬(wàn)=2百，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

—?/、---?/、AE，AC[6-\I~15

NE=(O,2,l),/CI=(-2,2,2),所以cos/E,"G=同力=萬(wàn)百后=三一,故選項(xiàng)B正

確；

ZE=(0,2,l),AF=(-l,0,2),記亢=(4,-1,2),

則冠?萬(wàn)=0,萬(wàn)?元=0,故荏_1_亢，方_L萬(wàn)，

因?yàn)?Ec/尸=/,/￡,/尸u平面/￡尸，

所以為=(4,-1,2)垂直于平面/EF,故選項(xiàng)C正確；

市=(2,0,0),所以點(diǎn)。到平面/防的距離”=鋁=工=學(xué)，故選項(xiàng)D正確；

\n\<2121

故選：BCD

10.BCD

【分析】對(duì)于A,由屈=麗-前=〃甌即可判斷;對(duì)于B,由率=麗-麗=4瑟

和4C"/平面即可判斷；對(duì)于C,分別取BC和4G的中點(diǎn)。和E,由麗=麗+〃甌

即加=〃甌即可判斷；對(duì)于D,先求證平面88CC,接著即可求證用尸，平面4匹，

進(jìn)而即可求證4B1平面AB.P.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)4=1時(shí)，CP=BP-BC=[0,1],

又西=函，所以麗=〃西即屈//而，又CPp|CG=C,

所以C、。、尸三點(diǎn)共線，故點(diǎn)？在。。上，故A錯(cuò)誤；

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

對(duì)于B,當(dāng)必=1時(shí)，率=加一函=2記

又跖=灰,所以帝=2而即瓦A//而，又用尸口3。1=4，

所以4、G、P三點(diǎn)共線，故點(diǎn)尸在棱3￡上，

由三棱柱性質(zhì)可得BC"/平面43C,所以點(diǎn)尸到平面43c的距離為定值，故B正確;

對(duì)于C,當(dāng)力=；時(shí)，取8C的中點(diǎn)的中點(diǎn)E,

所以DE//BB[且DE=BB[,而=麗+〃82],〃e[0,1],即。尸=〃3旦，

所以麗=〃反即而//萬(wàn)g,又DPcDE=D,

所以￡＞、E、尸三點(diǎn)共線，故P在線段0E上，故C正確；

4^==---------------

B

對(duì)于D,當(dāng)彳=1,〃=；時(shí)，點(diǎn)P為CG的中點(diǎn)，連接4旦2后，

由題△44G為正三角形，所以4石，耳G，又由正三棱柱性質(zhì)可知

因?yàn)锳81nB￡=4，BBpB￡u平面BBfifi,所以，平面BBgC,

又BXPu平面BBgC,所以&EJ_8/,

Tt

因?yàn)锳G=BQ=CG，所以與￡=。1尸，又NBBIE=/B]CF=3,

所以ABB]E冬ABCIP,所以NB]EB=NCIPB],

jr

所以NP4G+/B[EB=NPBg+ACXPBX=-,

7T

設(shè)BE與耳尸相交于點(diǎn)。，則N20E=,即

又A^ECBE=E,4￡、8Eu平面4匹，

所以男尸，平面4E8,因?yàn)?3u平面4仍，

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

所以用尸，AtB,由正方形性質(zhì)可知±AB],

又BtPAAB{=Bx,BpAB、u平面ABXP,

所以42,平面故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于求證4出1平面AB.P,可先由A.E14G和AE1BB、得/田，平

面24GC,從而得4ELB7,接著求證尸得片尸，平面4石5,進(jìn)而用尸，再

結(jié)合A,S1AB,即可得證A}B1平面AB.P.

11.BC

【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到2萬(wàn)+2五《二函；B選項(xiàng)，

求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式求出答案；C選項(xiàng)，利用空間向量點(diǎn)到直線距離

公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，利用異面直線夾角公式進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，萬(wàn)兄君所在直線分別為x，%z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

則/（O,O,O）,8（O,1,O），4（O,O,1）,G（T,T,2）,Q（O,T2）,C（T1,O）,

^（0,1,1）,^（-1,1,1）,￡＞（-1,0,0）,

否=（0,-2,2）,方=（0,1,0]麗=朝0,1）,

則2存+2福'=（（）,2,0）+（0,0,0=（0,2,3手京,A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，平面&8c2的法向量為灰=（0,0』），

CQ=（0-1,2）-（-1,1,0）=（1,-2,2）,設(shè)直線CQ與平面48c2所成角的大小為9,

_?\cQ-m\|（1,-2,2）.（0,0,1）12

則sin9=cosCQ,司=|U^=~/八B正確；

11\CQ\-\m\Vl+4+43

C選項(xiàng),cq=（0,0,1）,

點(diǎn)C1到直線C。的距離為

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

、2

-2西?西(0,0,1)?,-2,2)色，c正確;

d=cq1-

V1+4+47

7

D選項(xiàng),55=(-1,0,0)-(0,1,0)=(-1-1,0),

設(shè)異面直線C。與出）所成角大小為a,

|西?麗|_|(1,-2,2).(一1,一1,0)|_卜1+2+0|_V2

貝Ucosa二|cosC2，^^|D錯(cuò)誤.

|cg|■|s5|-Vl+4+4XVl+1+0-3V26

故選：BC

12.-/0.125

8

【分析】根據(jù)正三柱性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.

【詳解】取用G的中點(diǎn)為"i，連接跖％,由正三棱柱性質(zhì)可得

AM±MMX,BM±MMX,AM±BM,

因此以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，如下圖所示:

易知/日,（）,司；（）設(shè)的長(zhǎng)為。

0,0,,2],M0,0,0,CN且Q〉0,可得N|O,—5,4

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

易知A/N=［。，—，“，/司=

——?——?111

若W/々，則TW./與=__X_+2Q=0,解得〃=_,

228

所以當(dāng)CN的長(zhǎng)為:時(shí)，使兒W，/4.

O

故答案為：j

O

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面P/O的一個(gè)法向量碗及府，由尸G與平面P/O所

I/—Xi\m-PG\

成角0,根據(jù)sinO=cos伉,PG）=\^即可求解.

1\71\m\-\PG\

【詳解】因?yàn)槭?。，底面A8CD,底面N8C。是正方形,

所以。4QGQP兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，互i,皮，麗的方向分別為x/,z軸的正方向,

則。（0,0,0）,尸（0,0,1）,/（3,0,0）,5（3,3,0）,C（0,3,0）,則重心G（2,2,0）,

因而用=（2,2,-1）,方=（3,0,0）,麗=（0,0,1）,

設(shè)平面P4D的一個(gè)法向量為成=（x,y,z）,

m-DA=3x=0,、

則1一,令了=1則比=（0,1,0）,

市-DP=z=。

I/—-\i\m-PG\22

貝Usin^=cos（m,PG）=-——=-----=—

I\4I同.|PG|1X33

2

故答案為：—.

14.117m

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】先根據(jù)線面角的定義求得tan/EMO=tanNEGO=浮，從而依次求￡。，EG,EB,

EF,再把所有棱長(zhǎng)相加即可得解.

【詳解】如圖，過(guò)E做平面垂足為O,過(guò)￡分別做EGL3C,EM1AB,

垂足分別為G,M,

連接OG,0M,

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和NEG。,

所以tanNEMO=tanNEGO=——.

因?yàn)镋O_L平面N3CD,BCu平面/BCD,所以E0_L8C,

因?yàn)镋G_L3C,EO,EGu平面EOG,EO^EG=E,

所以8C_L平面EOG,因?yàn)镺Gu平面EOG,所以3C_L0G,

同理，OMLBM,又BMLBG,故四邊形。MSG是矩形，

所以由BC=10得（W=5,所以=所以O(shè)G=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=ylEO2+OG2=7（714）2+52=V39

在直角三角形E8G中，BG=OM=5,EB=，EG：+BG。=+52=8,

又因?yàn)镋尸=/B-5-5=25-5-5=15,

所有棱長(zhǎng)之和為2x25+2x10+15+4x8=117.

故答案為：117m

15.⑴如

6

（2）當(dāng)/E=2時(shí)，直線4。與平面REC所成角的正弦值最小，最小值為千

【分析】（1）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC,所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得

平面2EC的一個(gè)法向量，平面DCD,的一個(gè)法向量,利用向量法可求平面與平面DCD,

所成的夾角的余弦值；

（2）設(shè)/E=機(jī)，可求得平面REC的一個(gè)法向量，直線的方向向量力彳，利用向量法可得

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

4-m

M后赤，可求正弦值的最小值?

【詳解】(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，￡>4。。,即所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系,

當(dāng)點(diǎn)￡在棱的中點(diǎn)時(shí)，則2(0,0,1),即,1,0),。(0,2,0),。(0,0,0),41,0,0),

貝I」ED]EC=(-1,1,0),DA=(1,0,0),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

nED,=-x-y+z=0

則—，令x=l,則y=l,z=2,

nEC=-x+j=0

所以平面REC的一個(gè)法向量為3=(1,1,2),

又平面。C2的一個(gè)法向量為方=(1,0,0),

一\DA-n\1_V6

所以cos。/,元=|LJ|

阿同71+1+4x16

所以平面REC與平面DC2所成的夾角的余弦值為好;

6

(2)設(shè)AE=m，

則2(0,0,1),E(l,m,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A(1,0,1),

貝I西=￡C=(-l,2-m,0),(0<m<2),DA,=(1,0,1),

設(shè)平面BEC的一個(gè)法向量為］=(x,j;,z),

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

nEDy=-x-my+z=0

則《—.，令y=l,貝！|x=2_/,z=2,

nEC=-x+(2—加)y=0

所以平面DEC的一個(gè)法向量為;;=2),

設(shè)直線4。與平面DEC所成的角為e,

,八In*DA,II2-m+2I4—m

則sm6='」=J1I,=I,

'InHDAXIJ(2-加y+l+4xJl+1JZQ-mp+lO

令4一加=fe[2,4],

=,t--=1—=1

貝U,2?-2)2+10，2--8/+18L_8+18,娟2f?死，

V7ZVt~9f81

當(dāng)7=2時(shí)，sin。取得最小值，最小值為叵.

5

16.(1)73

(2)—

10

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，即得答案;

（2）根據(jù)空間向量的夾角公式，即可求得答案；

（3）求出可7,QN,麗的坐標(biāo)，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法，結(jié)合線面垂直的

判定定理，即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）如圖，建立以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA.CB、CG所在直線分別為x軸、了軸、z

軸的空間直角坐標(biāo)系.

依題意得8(0,1,0),N(l,0,1),

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

Iw|=7(l-0)2+(0-l)2+(l-0)2=V3；

（2）依題意得，4（1,0,2）,8（0,1,0）,C（0,0,0）,片（0,1,2）,

/.54=(1,-1,2),函=(0,1,2),可.西=3,|四卜灰，|西卜石,

BA-CB3_V30

所以cosB4，C51=XX

V6xV5—10

(3)證明：G(0,0,2)/(0J,0),N(l,0,l),叱。2

.??而=(；,；,0),QV=(l,0,-l),麗=(1,-1,1),

——?—.11

qAf^=-xl+-x(-l)+lx0=0,

孕?麗=lxl+0x(-1)+(-l)xl=0,

：.QM1BN,QN1BN,即GM_LBN，GN_L5N,

又GMu平面CAW,GNu平面CXM^CXN=CX,

???BN_L平面

17.（欄

（2）存在點(diǎn)M,使得9〃平面皿條;

【分析】（1）取40的中點(diǎn)為O,連接尸。,。。，由面面垂直的性質(zhì)定理證明尸。_L平面ABCD,

建立空間直角坐標(biāo)系求解直線與平面PCD所成角的正切值即可；

（2）假設(shè)在P4上存在點(diǎn)W,使得同7=彳方（04X41）,由線面平行，轉(zhuǎn)化為平面的法向

量與直線的方向向量垂直，求解參數(shù)即可.

【詳解】（1）

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

Zj

JV

nv'"77(9""vyy

取4D的中點(diǎn)為O,連接尸CO,

因?yàn)槭琙=P。，所以尸O_L/D,又平面尸/D_L平面43cD,

平面R4Dc平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以尸O_L平面N3CD,又AC=CD,所以CO_L/D,

PA1PD,AD=2,所以PO=1,AC=CD=4^,所以CO=2,

所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C,Q4,OP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

P(0,0,l),C(2,o,o),4(0,1,0),5(1,1,0),￡>(0,-1,0),

所以正=(2,0,-1),而=(0,-1,-1),P5=(I,I,-I),

設(shè)平面PCO的一個(gè)法向量為訪=Q,y,z),

PC-m=02x-z=0

則一.,令x=l,則z=2,y=_2,

PDm=0-y-z^0

所以說(shuō)=（1,一2,2）,

設(shè)直線P8與平面PCD所成角為e,

網(wǎng)叫_|1—2—2|百

sin。=|cosm,P^I

同網(wǎng)也x出

所以cos0=Jl-g=,所以tan6=Y2,

所以直線口與平面”所成角的正切值興

（2）在P4上存在點(diǎn)M,使得河厲=2評(píng)（04241）,

所以蘇=（0,1,-1）,所以麗=2莎=（0,九一町,

所以河（0,41一4）,所以兩=（-U-l,lT）,

因?yàn)槭?/平面PCD,所以麗7_L而，

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

即_1_2(2_1)+2(1_耳=0,解得力=

所以存在點(diǎn)使得3M//平面PCQ,止匕時(shí)空=；

AP4

18.(1)總有平面尸AD_L平面尸NG,證明詳見(jiàn)解析

⑵存在，。是P4的靠近尸的三等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)通過(guò)證明_L平面尸/G來(lái)證得平面尸_L平面尸4G.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面0￡W與平面尸兒W所成角的余弦值來(lái)列方程，從而求

得。點(diǎn)的位置.

【詳解】(1)折疊前，因?yàn)樗倪呅?8C。是菱形，所以/C工B。，

由于分別是邊2C,CD的中點(diǎn)，所以MNUBD,

所以〃N_L/C,

折疊過(guò)程中，MN±GP,MN1.GA,GPnGA=G,GP,GAu平面PAG,

所以MV_L平面R4G,

所以8。1平面尸/G,

由于ADu平面尸5。，所以平面尸AD_L平面尸NG.

(2)存在，理由如下：

當(dāng)平面PMN_L平面MVDB時(shí)，由于平面尸MNn平面跖=GPu平面RWN,

GP1MN,

所以G尸，平面由于/Gu平面跖VD8,所以G尸_L/G,

由此以G為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

依題意可知尸(0,0,萬(wàn))。(6,々0),8隗2,0)N?T,0)PB=估2,一/)

/(36,0,0),莎=(3若,0,-6),

設(shè)網(wǎng)=2萬(wàn)(0VXVI),貝IJ

GQ=GP+PQ=GP+APA=(0,0,班卜06,0廠折卜?⑨,0,&&

平面PAW的法向量為，=(1,0,0),

5g=(3V32-V3,2,V3_62)，麗=(-V3,l,(j,

設(shè)平面QDN的法向量為n2=(x,,y2,z2),

答案第15頁(yè)，共18頁(yè)

jn2DQ=（3百