2022-2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：二次函數(shù)（京改版）

第1頁/共1頁2022-2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編二次函數(shù)（京改版）一、單選題1．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）如圖，正方形和的周長之和為，設(shè)圓的半徑為，正方形的邊長為，陰影部分的面積為．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）A．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系3．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）二次函數(shù)（，a，b，c是常數(shù)）中，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：x0123y121則一元二次方程（，a，b，c是常數(shù)）的兩個根，的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023北京海淀初二下期中）如圖①，在正方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線上一動點(diǎn)，設(shè)，，圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，且圖象上最低點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則正方形的邊長為（）A． B． C．4 D．5二、填空題5．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）用長的鋁合金型材做一個形狀如圖所示的矩形窗框，則做成的窗框的最大透光面積是．（透光面積指的是整個矩形面積）6．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)，其部分圖象如圖所示，下面四個結(jié)論中，①；②；③若點(diǎn)在此拋物線上且，則或．④若點(diǎn)在此拋物線上，則；所有正確結(jié)論的序號是．7．（2022北京海淀初二下期中）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的最小值是，此時原方程的解是．三、解答題8．（2024北京清華附中初二下期中）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形的邊AD在軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)，，若矩形以每秒個單位長度沿軸正方向做勻速運(yùn)動同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個單位長度沿的路線做勻速運(yùn)動當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時停止運(yùn)動，矩形也隨之停止運(yùn)動．(1)求點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)所需的時間；(2)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動時間為秒）．①當(dāng)時，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②若的面積為，試求出與之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量的取值范圍）．9．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求拋物線的表達(dá)式及對稱軸；(2)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為C，點(diǎn)D是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點(diǎn)）．若直線與圖象G有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求點(diǎn)D縱坐標(biāo)t的取值范圍．10．（2024北京初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象；(2)將該拋物線向上平移個單位后，所得拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn)．11．（2023北京海淀初二下期中）如圖1，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)P在三角形的邊上沿A→C→B的路徑運(yùn)動，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，設(shè)，的面積為（當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B或點(diǎn)A重合時，y的值為0），在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，y隨x的變化而變化．小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗對y與x的變化規(guī)律進(jìn)行了探究，下面是小東的探究過程，請你補(bǔ)充完整并利用所得結(jié)論解決問題．

(1)根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動路徑可知，自變量x的取值范圍是；(2)通過取點(diǎn)，畫圖，測量，得到了x與y的幾組值，如表：0123…40mn…0請寫出表中m，n的值：，；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對值為坐標(biāo)的點(diǎn)，連線，畫出該函數(shù)圖象；(4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，請你描述函數(shù)y隨x的增大如何變化；(5)當(dāng)時，的面積為．12．（2022北京清華附中朝陽學(xué)校初二下期中）某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了函數(shù)及函數(shù)圖象的知識后，想利用此知識來探究周長一定的矩形其邊長分別為多少時面積最大請將他們的探究過程補(bǔ)充完整．(1)列函數(shù)表達(dá)式：若矩形的周長為8,設(shè)矩形的一邊長為x,面積為y,則有y=_________．(2)上述函數(shù)表達(dá)式中，自變量x的取值范圍是____________;(3)列表：x...0.511.522.533.5...y...1.7533.7543.753m...寫出m=__________;(4)畫圖：在平面直角坐標(biāo)系中已描出了上表中部分各對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，請你畫出該函數(shù)的圖象；(5)結(jié)合圖象可得:x=_______時，矩形的面積最大：寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)(一條即可)：_______________________________________．

參考答案1．D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)方式了熟于心是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：．2．B【分析】根據(jù)圓的周長公式和正方形的周長公式先得到，再根據(jù)得到，由此即可得到答案．【詳解】解：∵正方形和的周長之和為，圓的半徑為，正方形的邊長為，∴，∴，∵，∴，∴y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的識別、正方形的周長與面積公式，理清題中的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷方程兩個根的范圍．【詳解】解：函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)就是方程的根，函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0．由表中數(shù)據(jù)可知：當(dāng)時，對應(yīng)的值在與之間或與之間，∴，時，y的值最接近0，∴，的取值范圍是：，．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵所在．4．C【分析】如圖，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，則此時y取得最小值，即，即可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，根據(jù)點(diǎn)的對稱性，，則為最小，故，設(shè)正方形的邊長為a，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：（負(fù)值已舍去），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是動點(diǎn)圖象問題，涉及到二次函數(shù)、解直角三角形，正方形的性質(zhì)，利用勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵．5．【分析】設(shè)窗的寬為，高為，則根據(jù)矩形面積公式列出二次函數(shù)，求函數(shù)值的最大值即可．本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟記二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)窗框的寬為m，高為，，，有最大值，即：當(dāng)時，則做成寬為、長為時，才能使做成的窗框的透光面積最大，最大透光面積是，故答案為：2．6．②③④【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，對稱軸判斷①，開口方向判斷②，對稱性，增減性判斷③和④．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴對稱軸為，∴；故①錯誤；∵拋物線的開口向下，∴；故②正確；∵，當(dāng)時，，∴圖象過，∵對稱軸為直線，∴關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為：，∵拋物線的開口向下，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，∵點(diǎn)在此拋物線上且，∴或；故③正確；∵點(diǎn)在此拋物線上，∴點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為：，由圖象可知：當(dāng)時，；故④正確；故答案為：②③④．7．/【分析】由一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根得到?=0，即，整理得到，根據(jù)二次函數(shù)的最大值求出c的最小值，整理得到方程再利用直接開平方法求解．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴?=0，即，∴，∴當(dāng)m=-1時，c有最小值，最小值為，此時的方程為，解得故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根的情況求參數(shù)，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程，正確掌握一元二次方程的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．8．(1)16秒(2)①；②【分析】根據(jù)路程，速度，時間的關(guān)系，構(gòu)建方程求解；當(dāng)時，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到上，此時點(diǎn)到點(diǎn)的時間秒，，，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，得出，所以得出點(diǎn)的坐標(biāo)；可分三種情況“，，”進(jìn)行討論解題即可．本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積，行程問題等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．【詳解】（1）由題意，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)所需的時間為秒；（2）當(dāng)時，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到上，此時點(diǎn)到點(diǎn)的時間秒，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；分三種情況：當(dāng)時，點(diǎn)在上運(yùn)動，此時，，；當(dāng)時，點(diǎn)在上運(yùn)動，此時，；當(dāng)時，點(diǎn)在上運(yùn)動，此時，，，；綜上所述，與之間的函數(shù)關(guān)系式是：．9．(1)，對稱軸為直線；(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而利用公式求得對稱軸解析式；（2）求得C的坐標(biāo)以及二次函數(shù)的最大值，求得與對稱軸的交點(diǎn)即可確定t的范圍．【詳解】（1）把點(diǎn)，代入函數(shù)解析式，得：，解得：，∴；∴對稱軸為直線；（2）∵，∴，∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4，∵直線與圖象有公共點(diǎn)，∴的最大值為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，設(shè)直線的解析式為：，把，代入，得：，解得：，∴，當(dāng)時，∴．10．(1)，圖見解析(2)1【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，列表描點(diǎn)，連線畫出函數(shù)圖象即可；（2）拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn)時，此時公共點(diǎn)為頂點(diǎn)坐標(biāo)，即新的拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：把2,1，代入，得：，∴，∴；列表如下：123457117描點(diǎn)，連線畫出函數(shù)圖象如圖：（2）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且平移后的拋物線與軸只有一個公共點(diǎn)，∴只需向上平移1個單位，頂點(diǎn)變?yōu)?，此時滿足題意．故答案為：111．(1)(2)，(3)見詳解(4)見詳解(5)或3【分析】（1）由點(diǎn)D在線段（點(diǎn)D可以和點(diǎn)A、點(diǎn)B重合）上運(yùn)動可得x的取值范圍；（2）根據(jù)題意分情況討論，當(dāng)時，求出的面積與x的關(guān)系式，代入2即可求出m的值，當(dāng)時，畫圖求出的面積與x的關(guān)系式，代入3即可求出n的值；（3）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)，描點(diǎn)，連線畫圖即可；（4）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，描述y隨x的變化是如何變化的；（5）結(jié)合（2）中求出的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)時分別求出x的值即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)P在三角形的邊上沿A→C→B的路徑運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，y的值為0，此時，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，y的值為0，此時，所以x的取值范圍是，故答案為：；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊上時，即時，∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，當(dāng)時，，當(dāng)點(diǎn)P邊上時，即時，

∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，當(dāng)時，，故答案為：2，；（3）把表格中所給的每一對對應(yīng)值看成一個點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，畫圖如下：

（4）由圖象可得：當(dāng)時，y隨x的增大而增大，，y隨x的增大而減?。唬?）由（2）知當(dāng)時，，令，則，解得，（不合題意，舍去），由（2）知當(dāng)時，，令，則，解得，（不合題意，舍去），所以當(dāng)或時，的面積為，故答案為：或3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與動點(diǎn)結(jié)合的綜合題，考查了函數(shù)圖象的畫法以及數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵是找到的面積與x之間的關(guān)系式．12．（1）-x2+4x；（2）0<x<4；（3）1.75；（4）見解析；（5）2，當(dāng)0<x<2時，y隨x增大而增大【分析】（1）根據(jù)矩形的周長=2（長+寬），矩形的面積=長×寬，即可列出函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)y=-x2+4x，-x2+4x＞0即可得出答案；（3）把x=3.5代入解析式計算即可得；（4）根據(jù)表格中的坐標(biāo)描點(diǎn)畫圖即可；（5）結(jié)合圖象可得x=2時，y有最大值，再根據(jù)函數(shù)的解析式及圖象寫出一條性質(zhì)即可.【詳解】（1）∵矩形的周長=2（長+寬），矩形的面積=長×寬，又∵矩形的周長為8，面積為y，矩形的一邊長為x，∴由題意：y=x（4-x）=-x2+4x，故答案為：-x2+4