2022-2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：二次函數(shù)（京改版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2022-2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編二次函數(shù)（京改版）一、單選題1．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）如圖，正方形和的周長(zhǎng)之和為，設(shè)圓的半徑為，正方形的邊長(zhǎng)為，陰影部分的面積為．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）A．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系3．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）二次函數(shù)（，a，b，c是常數(shù)）中，自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x0123y121則一元二次方程（，a，b，c是常數(shù)）的兩個(gè)根，的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023北京海淀初二下期中）如圖①，在正方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，且圖象上最低點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則正方形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．5二、填空題5．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）用長(zhǎng)的鋁合金型材做一個(gè)形狀如圖所示的矩形窗框，則做成的窗框的最大透光面積是．（透光面積指的是整個(gè)矩形面積）6．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其部分圖象如圖所示，下面四個(gè)結(jié)論中，①；②；③若點(diǎn)在此拋物線上且，則或．④若點(diǎn)在此拋物線上，則；所有正確結(jié)論的序號(hào)是．7．（2022北京海淀初二下期中）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的最小值是，此時(shí)原方程的解是．三、解答題8．（2024北京清華附中初二下期中）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形的邊AD在軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)，，若矩形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿軸正方向做勻速運(yùn)動(dòng)同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿的路線做勻速運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，矩形也隨之停止運(yùn)動(dòng)．(1)求點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需的時(shí)間；(2)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒）．①當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②若的面積為，試求出與之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量的取值范圍）．9．（2024北京十一學(xué)校初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸；(2)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C，點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點(diǎn)）．若直線與圖象G有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求點(diǎn)D縱坐標(biāo)t的取值范圍．10．（2024北京初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式，并用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象；(2)將該拋物線向上平移個(gè)單位后，所得拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．11．（2023北京海淀初二下期中）如圖1，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)P在三角形的邊上沿A→C→B的路徑運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，設(shè)，的面積為（當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B或點(diǎn)A重合時(shí)，y的值為0），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，y隨x的變化而變化．小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對(duì)y與x的變化規(guī)律進(jìn)行了探究，下面是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整并利用所得結(jié)論解決問(wèn)題．

(1)根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑可知，自變量x的取值范圍是；(2)通過(guò)取點(diǎn)，畫(huà)圖，測(cè)量，得到了x與y的幾組值，如表：0123…40mn…0請(qǐng)寫(xiě)出表中m，n的值：，；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對(duì)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，連線，畫(huà)出該函數(shù)圖象；(4)結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，請(qǐng)你描述函數(shù)y隨x的增大如何變化；(5)當(dāng)時(shí)，的面積為．12．（2022北京清華附中朝陽(yáng)學(xué)校初二下期中）某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了函數(shù)及函數(shù)圖象的知識(shí)后，想利用此知識(shí)來(lái)探究周長(zhǎng)一定的矩形其邊長(zhǎng)分別為多少時(shí)面積最大請(qǐng)將他們的探究過(guò)程補(bǔ)充完整．(1)列函數(shù)表達(dá)式：若矩形的周長(zhǎng)為8,設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x,面積為y,則有y=_________．(2)上述函數(shù)表達(dá)式中，自變量x的取值范圍是____________;(3)列表：x...0.511.522.533.5...y...1.7533.7543.753m...寫(xiě)出m=__________;(4)畫(huà)圖：在平面直角坐標(biāo)系中已描出了上表中部分各對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，請(qǐng)你畫(huà)出該函數(shù)的圖象；(5)結(jié)合圖象可得:x=_______時(shí)，矩形的面積最大：寫(xiě)出該函數(shù)的其它性質(zhì)(一條即可)：_______________________________________．

參考答案1．D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)方式了熟于心是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：．2．B【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式和正方形的周長(zhǎng)公式先得到，再根據(jù)得到，由此即可得到答案．【詳解】解：∵正方形和的周長(zhǎng)之和為，圓的半徑為，正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，∵，∴，∴y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的識(shí)別、正方形的周長(zhǎng)與面積公式，理清題中的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷方程兩個(gè)根的范圍．【詳解】解：函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)就是方程的根，函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0．由表中數(shù)據(jù)可知：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的值在與之間或與之間，∴，時(shí)，y的值最接近0，∴，的取值范圍是：，．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵所在．4．C【分析】如圖，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，則此時(shí)y取得最小值，即，即可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，，則為最小，故，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：（負(fù)值已舍去），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題，涉及到二次函數(shù)、解直角三角形，正方形的性質(zhì)，利用勾股定理求線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．5．【分析】設(shè)窗的寬為，高為，則根據(jù)矩形面積公式列出二次函數(shù)，求函數(shù)值的最大值即可．本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟記二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)窗框的寬為m，高為，，，有最大值，即：當(dāng)時(shí)，則做成寬為、長(zhǎng)為時(shí)，才能使做成的窗框的透光面積最大，最大透光面積是，故答案為：2．6．②③④【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)稱軸判斷①，開(kāi)口方向判斷②，對(duì)稱性，增減性判斷③和④．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴對(duì)稱軸為，∴；故①錯(cuò)誤；∵拋物線的開(kāi)口向下，∴；故②正確；∵，當(dāng)時(shí)，，∴圖象過(guò)，∵對(duì)稱軸為直線，∴關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為：，∵拋物線的開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，∵點(diǎn)在此拋物線上且，∴或；故③正確；∵點(diǎn)在此拋物線上，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為：，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，；故④正確；故答案為：②③④．7．/【分析】由一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得到?=0，即，整理得到，根據(jù)二次函數(shù)的最大值求出c的最小值，整理得到方程再利用直接開(kāi)平方法求解．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴?=0，即，∴，∴當(dāng)m=-1時(shí)，c有最小值，最小值為，此時(shí)的方程為，解得故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根的情況求參數(shù)，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程，正確掌握一元二次方程的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．8．(1)16秒(2)①；②【分析】根據(jù)路程，速度，時(shí)間的關(guān)系，構(gòu)建方程求解；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上，此時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)的時(shí)間秒，，，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，得出，所以得出點(diǎn)的坐標(biāo)；可分三種情況“，，”進(jìn)行討論解題即可．本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積，行程問(wèn)題等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【詳解】（1）由題意，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需的時(shí)間為秒；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上，此時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)的時(shí)間秒，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；分三種情況：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，，，；綜上所述，與之間的函數(shù)關(guān)系式是：．9．(1)，對(duì)稱軸為直線；(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而利用公式求得對(duì)稱軸解析式；（2）求得C的坐標(biāo)以及二次函數(shù)的最大值，求得與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即可確定t的范圍．【詳解】（1）把點(diǎn)，代入函數(shù)解析式，得：，解得：，∴；∴對(duì)稱軸為直線；（2）∵，∴，∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4，∵直線與圖象有公共點(diǎn)，∴的最大值為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的解析式為：，把，代入，得：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，∴．10．(1)，圖見(jiàn)解析(2)1【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，列表描點(diǎn)，連線畫(huà)出函數(shù)圖象即可；（2）拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，此時(shí)公共點(diǎn)為頂點(diǎn)坐標(biāo)，即新的拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：把2,1，代入，得：，∴，∴；列表如下：123457117描點(diǎn)，連線畫(huà)出函數(shù)圖象如圖：（2）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且平移后的拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴只需向上平移1個(gè)單位，頂點(diǎn)變?yōu)?，此時(shí)滿足題意．故答案為：111．(1)(2)，(3)見(jiàn)詳解(4)見(jiàn)詳解(5)或3【分析】（1）由點(diǎn)D在線段（點(diǎn)D可以和點(diǎn)A、點(diǎn)B重合）上運(yùn)動(dòng)可得x的取值范圍；（2）根據(jù)題意分情況討論，當(dāng)時(shí)，求出的面積與x的關(guān)系式，代入2即可求出m的值，當(dāng)時(shí)，畫(huà)圖求出的面積與x的關(guān)系式，代入3即可求出n的值；（3）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)，描點(diǎn)，連線畫(huà)圖即可；（4）結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，描述y隨x的變化是如何變化的；（5）結(jié)合（2）中求出的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)時(shí)分別求出x的值即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)P在三角形的邊上沿A→C→B的路徑運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，y的值為0，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，y的值為0，此時(shí)，所以x的取值范圍是，故答案為：；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊上時(shí)，即時(shí)，∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P邊上時(shí)，即時(shí)，

∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，當(dāng)時(shí)，，故答案為：2，；（3）把表格中所給的每一對(duì)對(duì)應(yīng)值看成一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，畫(huà)圖如下：

（4）由圖象可得：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，，y隨x的增大而減??；（5）由（2）知當(dāng)時(shí)，，令，則，解得，（不合題意，舍去），由（2）知當(dāng)時(shí)，，令，則，解得，（不合題意，舍去），所以當(dāng)或時(shí)，的面積為，故答案為：或3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)結(jié)合的綜合題，考查了函數(shù)圖象的畫(huà)法以及數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵是找到的面積與x之間的關(guān)系式．12．（1）-x2+4x；（2）0<x<4；（3）1.75；（4）見(jiàn)解析；（5）2，當(dāng)0<x<2時(shí)，y隨x增大而增大【分析】（1）根據(jù)矩形的周長(zhǎng)=2（長(zhǎng)+寬），矩形的面積=長(zhǎng)×寬，即可列出函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)y=-x2+4x，-x2+4x＞0即可得出答案；（3）把x=3.5代入解析式計(jì)算即可得；（4）根據(jù)表格中的坐標(biāo)描點(diǎn)畫(huà)圖即可；（5）結(jié)合圖象可得x=2時(shí)，y有最大值，再根據(jù)函數(shù)的解析式及圖象寫(xiě)出一條性質(zhì)即可.【詳解】（1）∵矩形的周長(zhǎng)=2（長(zhǎng)+寬），矩形的面積=長(zhǎng)×寬，又∵矩形的周長(zhǎng)為8，面積為y，矩形的一邊長(zhǎng)為x，∴由題意：y=x（4-x）=-x2+4x，故答案為：-x2+4