二次函數(shù)（原卷版）-2023年江蘇省中考數(shù)學一輪復習

考點18二次函數(shù)

在命懣趨勢

二次函數(shù)主要包括：二次函數(shù)的概念、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二

次函數(shù)與一元二次方程以及用二次函數(shù)解決實際問題。在江蘇省各地的中考中，二次函數(shù)是必考點，考查

形式涉及選擇題、填空題和解答題。二次函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)的考查以選擇題和填空題為主，難度中

等偏難，在解答題方面二次函數(shù)常與幾何相結(jié)合進行綜合考查，一般作為壓軸題進行考查。

在知巧導圖

二次函數(shù)的定義

二次函數(shù)的概念

二次函數(shù)的形式

待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)/二次函數(shù)的隨

二次函數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系

從函數(shù)的觀點看一元二次方程

二次函數(shù)與一元二次方程/

---------------------------二^二次函數(shù)與X軸的交點問題

二次函數(shù)的圖像變換

二次函數(shù)的實際應(yīng)用

在重W考向

一、二次函數(shù)的概念；

二、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；

三、二次函數(shù)與一元二次方程;

四、二次函數(shù)的實際應(yīng)用。

考向一：二次函數(shù)的概念

一、二次函數(shù)的概念：一般地，形如廣公2+法+c(〃，'。是常數(shù)，〃邦)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

二、二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：y=ax1+bx+c(〃，b,c為常數(shù)，.

(2)頂點式：y=a(x-/z)2+k(〃，h,左為常數(shù)，。加)，頂點坐標是(h,k).

(3)交點式：y=a(x-xi)(x-X2),其中方,短是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，存0.

真例引襁

J._______I________L

1.函數(shù)y=(a-3)xM+(tz-l)%+3的圖象是拋物線，則〃的值是()

A.-1或3B.-1C.3D.aw3

2.下列函數(shù)一定是二次函數(shù)()

A.=ax2+bx+cB.y=4x+3

1

C.y=9xH—z-D.s=產(chǎn)一2,+1

X

3.下列各式中，y是關(guān)于％的二次函數(shù)的是()

A.y=2x+lB.y=爐+4C.y=ax2+bx+cD.y2=x+4-

4.已知點(-3,%)，(T%)，(1,%)在下列某個函數(shù)圖像上，且為<%<%，這個函數(shù)可能是()

22

A.y=2x9B.y=—C.y—xD.、=一

x

5.拋物線y=—Y,y=/_3,y=—共有的特征是(

A.對稱軸是y軸B.開口向上C.都有最低點D.y隨x的增大而減小

考向二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

解析式二次函數(shù)產(chǎn)QN+6X+C(a,b,c是常數(shù)，〃加)

b

對稱軸x=--

2a

b4ac-b2、

頂點(—,)

2a4。

。的符號a>0〃<0

圖象

開口方向開口向上開口向下

%6fH4ac—/“b4ac-b-

最值當％-c時，y最小值一當冗=一二一時\y最大值二--------

2a4a2a4a

最點拋物線有最低點拋物線有最高點

bb

當％<_時，y隨x的增大而減小；當X<-—時，y隨尤的增大而增大；

2a2a

增減性

bb

當x>———時，y隨x的增大而增大當％“時，y隨x的增大而減小

2a2a

2.二次函數(shù)圖象的特征與a,b,c的關(guān)系

字母的符號圖象的特征

a>0開口向上

a

a<0開口向下

b=Q對稱軸為y軸

bab>0(a與b同號)對稱軸在y軸左側(cè)

ab<0(a與Z?異號)對稱軸在y軸右側(cè)

c=0經(jīng)過原點

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負半軸相交

3.二次函數(shù)的最值

b_4ac-b2

(1)當a>0時，拋物線>=。必+加：+。有最低點，函數(shù)有最小值，當工=——時,

y最小二

2a4a

4ac-b~

(2)當a<0時，拋物線丁=。f+6%+。有最高點，函數(shù)有最大值，當工=——時,

'最大=F"

2a

4.拋物線的平移

(1)將拋物線解析式化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,頂點坐標為Ui,k).

(2)保持y=?%2的形狀不變，將其頂點平移到(九k)處，具體平移方法如下:

向上（60）【或下（ko）】平移㈤個單位r

y=ox2

向右口>0）向右（〃>0）

［或左口<0）】［或左仇<0）】

平移同個單位平移㈤個單位

U

y=a（x-h）2Ay=a（x-h）2+k

向上go）【或下（%<0）］平移冏個單位---------

【知識拓展】二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求

出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移,可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析

式.

真例引擷

1.拋物線》=-2/+1的對稱軸是（）

A.直線x=LB.直線％=

C.直線x=2D.直線x=0

22

2.已知點（%,-7）和點（%,-7）（其中玉片々）均在拋物線y=?X2上，則當x=X］+無2時，y值是（）

A.0B.-3.5C.-7D.-14

3.已知二次函數(shù)y=o%2+bx+c的圖像如圖所示，則下列選項中正確的是（）

A.c<0B.b1-4?c>0C.—<-----<2D.4a—2b+cX)

22a

4.二次函數(shù)）=改2+笈+。（。。0）的圖像如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：①。>0；②出2<0；?4（7+2/7+c>0；

④〃-4QC>0；其中正確的結(jié)論有（）

5.已知二次函數(shù)y=-（x-3y+4,當-IV尤44時，該函數(shù)（）

A.有最大值、最小值，分別是3,0

B.最大值是4,無最小值

C.最小值是-12,最大值是3

D.最小值是-12,最大值是4

考向三：二次函數(shù)與一元二次方程

1.二次函數(shù)y=ax：2+6x+c（分0）,當y=0時，就變成了一元二次方程^^+法+/。（a/））.

2.ax2+bx+c=0（a#0）的解是拋物線y=a%2+bx+c（存0）的圖象與無軸交點的橫坐標.

3.（1）爐Tac>0g方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與無軸有兩個交點；

（2）〃口團力帶方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；

（3）尻口ac<0O方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點.

翼例引微

J-■________________I

1.一元二次方程/+foc+c=3的兩個根分別為力和n（m<n）,若二次函數(shù)y=/+bx+c與x軸的交點為4,

巧（為<々）則對于了1，巧的范圍描述正確的是（）

A.m<x}<x2<nB.\<m<n<x2C.m<n<<x2D.xx<m<x2<n

2.二次函數(shù)>=——3x-4的圖像與x軸的兩個交點間的距離是（）

A.3B.4C.5D.6

3.二次函數(shù)y=^2—"+C（QW0）的圖象如圖所示，其對稱軸為1=i,下列結(jié)論中：

①Q(mào)C>0；?2a-b=0；③人2一4ac>0；?a-b+c>G.

正確的是（）

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

4.根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：判斷方程+&r+c=O一個解的取值范圍是（）

0.590.600.610.620.63

2x2+bx+c-0.061-0.04-0.0170.00440.027

A.-0.017<x<0.0044B.0.60<x<0.61

C.0.61<%<0.62D.0.62<x<0.63

5.如圖，在平面直角坐標系中，直線,二痛+〃與拋物線y=o?+—+c交于A、B兩點,已知A、8兩點的

1.下列各式中，y關(guān)于x的二次函數(shù)的是（）

12

A.y=4xB.y=3x-5C.y=一D.y=2x2+l

x

2.如圖，已知拋物線丁=爾+。與直線，=履+相交于A（-3,yJ,3。,%）兩點，則關(guān)于工的不等式

雙？+。之丘+機的解集是（)

A.x<-3x>1B.尤（-1或尤23C.-3<x<1D.-1<%<3

3.（2022春?廣東深圳?九年級期末）已知二次函數(shù)y=a/+2x-3,則該函數(shù)的圖象可能為（）

4.在平面直角坐標系中，若將拋物線y=2/+1先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，則

經(jīng)過這兩次平移后所得拋物線的解析式是（）

A.>=2（尤-3）氣3B.y=2（x+3）2+2

C.y=-2（x-3）2+2D.y=-2（x-3），3

5.設(shè)A。，％）,B（-2,%）是拋物線y=-（x+iy+a上的兩點，則%、%的大小關(guān)系為（）

A.%<%B.%>丫2C.%4%D.%2%

6.如圖，二次函數(shù)y=o?+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-3,0）,3（1,0）,與V軸交于點C.下列結(jié)論：①"c>0；

②3a-c=0；③當x＜。時，，隨尤的增大而增大；④對于任意實數(shù)機，總有o-bNa/-Zwz.其中正確的

個數(shù)為()

A.1個B.2個D.4個

7.將拋物線y=2x?+l繞原點。旋轉(zhuǎn)180。，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為()

A.y——2廠+1B.y——2x~—1C.y=—/無？+1D.y———x~—1

8.點尸在二次函數(shù)y=(x-l『+3的圖像上，且到該拋物線對稱軸的距離為3,則點P的坐標為

9.已知實數(shù)。、6滿足〃-/=4,則代數(shù)式4-3/+a-12的最小值是.

10.當xWl時，二次函數(shù)y=-(x-〃z)2+〃/+1有最大值4,則實數(shù)機的值為.

11.拋物線―江+bx+c經(jīng)過點4(-3,0),3(4,0)兩點，則關(guān)于尤的一元二次方程a(x-2)2+c=2》-fcv的

解是

12.將拋物線y=(x-2『+3繞坐標原點旋轉(zhuǎn)180。，得到的拋物線解析式為.

13.如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為(-2,1)、(1,1),拋物線^=蘇+桁+。("0)的頂

點在線段AB上，與x軸相交于C、。兩點，設(shè)點C、。的橫坐標分別為不、演，且演＜馬.若看的最小值

是-3,則巧的最大值是.

14.某加工廠加工黃花的成本為30元/千克，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，批發(fā)價定為48元/千克時，每天可銷售500

千克.為增大市場占有率，在保證盈利的情況下，工廠采取降價措施，批發(fā)價每千克降低1元，每天銷量

可增加50千克.

(1)直接寫出工廠每天的利潤y元與每千克降價x元之間的函數(shù)關(guān)系式(要求化為一般式);

(2)若工廠每天的利潤要達到9750元，并讓利于民，則降價應(yīng)為多少元？

(3)當降價為多少元時，有最大利潤，最大利潤是多少？

15.已知二次函數(shù)y=x2-2mx-l(機為常數(shù))

(1)求證：不論機取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點；

⑵當-14〃區(qū)2時，求該函數(shù)圖像的頂點縱坐標z的取值范圍.

16.如圖，拋物線y=-Y+bx+c與x軸交于A,3(-3,0)兩點，與，軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點P在拋物線上，點M在x軸上，若以5,C,P,M為頂點的四邊形是以3c為邊的平行四邊形,

求點尸的坐標.

17.某著名索拉橋，在橋頭立柱兩側(cè)拉著鋼索，以其中一根立柱為y軸，以橋面為x軸建立平面直角坐標系,

如下圖所示，左側(cè)鋼索近似于直線，底端在遠離立柱200米的橋面上的8處固定，C處離橋面100米.右

側(cè)鋼索近似于拋物線，該拋物線最低處A離立柱300米，離橋面10米.

(1)求出拋物線和直線的函數(shù)關(guān)系式；(不要求寫自變量的取值范圍)

(2)現(xiàn)要在左右兩條鋼索上各加一條豎直鋼索OE和FG進行加固，要求它們的水平距離相距200米，請問這

兩條豎直鋼索OE和尸G加在何處，使得它們的高度之和最小？高度之和最小是多少？

18.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2-2mx+m2-9.

(1)求證：無論加為何值，該拋物線與X軸總有兩個交點；

(2)該拋物線與x軸交于A,B兩點,點A在點8的左側(cè)，且304=03,求優(yōu)的值.

19.已知開口向上的拋物線解析式為y=a(x-l)2-2,回答下列問題：

(1)該拋物線的頂點坐標為.

(2)若該拋物線過(2,0),則a的值為.

(3)如圖，點A、8的坐標分別為(3,1)、(5,1),若該拋物線與線段AB有公共點，則a的取值范圍是

20.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線>=依2+法-4與x軸交于點A3,與y軸交于點C,

直線y=x-4經(jīng)過8、c兩點，03=404.

(1)如圖1,求拋物線解析式；

(2)如圖2,點尸為第一象限拋物線上一點，過點尸作PZJLx軸交8C于點。，交AB于點E,設(shè)點尸的橫坐

標為好線段尸。的長為d,求d與，的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量，的取值范圍)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當d=4時，點〃是直線PD上一點，BN//PM,連接過點A作

垂足為延長A"交BN于點F,交拋物線于點Q,當/HFN=2ZHMF,MN+NF=5時，求點。的坐

標.

t

0真題過關(guān)

1.（2022?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）已知點（-3,?）,（-1,%）,。,%）在下列某一函數(shù)圖像上，且為<%<%那

么這個函數(shù)是（）

33

A.y=3xB.y=3x2C.y=-D.y=——

xx

2.（2021?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y=Y的圖像向左平移2個單位長度,

再向上平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（）

A.y=（x-2）2+1B.y=（尤+2'+1C.y=（x+2）?-lD.y=（x-2）2-l

3.（2021.江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=（a-l）f,當尤>0時，y隨x增大而增大，則實數(shù)a的

取值范圍是（）

A.a>0B.a>lC.awlD.a<\

4.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)y=V-2》-3的圖象上有且只有三個點到無軸的距離等于m,

則m的值為.

5.（2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）若點P（m,"）在二次函數(shù)y=/+2x+2的圖象上，且點P到,軸的距離

小于2,則”的取值范圍是.

6.（2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）把二次函數(shù)y=x2+4x+機的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個

單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么機應(yīng)滿足條件：.

7.（2022.江蘇淮安.統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、3兩種品牌的粽子，兩次進

貨時，兩種品牌粽子的進價不變.第一次購進A品牌粽子100袋和8品牌粽子150袋，總費用為7000元；

第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元.

（1）求A、8兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；

（2）當3品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對5品牌粽子進行降價

銷售.經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋.當8品牌粽子每袋的銷售價

降低多少元時，每天售出8品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

8.（2017?江蘇揚州?中考真題）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量

忒千克）與銷售價格雙元/千克）之間的關(guān)系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如下表：

銷售價格尤（元/千克）3035404550

日銷售量，千克)6004503001500

(1)請直接寫出P與X之間的函數(shù)關(guān)系式：

(2)農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？

(3)若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出。元(a＞0)的相關(guān)費用，當40S爛45時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的

最大值為2430元，求a的值.

9.(2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題)定義：函數(shù)圖像上到兩坐標軸的距離都不大于的點叫做這個函

數(shù)圖像的‘為階方點例如，點(〈，口是函數(shù)圖像的";階方點“；點(2」)是函數(shù)＞=2圖像的“2階方點”.

133)2x

(1)在①1-2,-,

；②(-L-1)；③(1,1)三點中，是反比例函數(shù)產(chǎn)工圖像的“1階方點”的有(填序

X

號);

⑵若y關(guān)于尤的一次函數(shù)y=6-3。+1圖像的“2階方點”有且只有一個，求。的值;

(3)若y關(guān)于X的二次函數(shù)y=-(x-n)2-2"+1圖像的“〃階方點”一定存在，請直接寫出n的取值范圍.

10.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題)如圖(1),二次函數(shù)＞=-/+6尤+。的圖像與無軸交于A、8兩點，與，

軸交于C點，點8的坐標為(3,0),點C的坐標為(o,3),直線/經(jīng)過8、C兩點.

(1)求該二次函數(shù)的表達式及其圖像的頂點坐標;

(2)點P為直線/上的一點，過點P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點M,再過點V作y軸的垂線

與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點N,當時，求點P的橫坐標;

(3)如圖(2),點C關(guān)于x軸的對稱點為點D,點尸為線段5c上的一個動點，連接AP,點。為線段AP上一

點，且AQ=3PQ,連接。。，當3AP+4DQ的值最小時，直接寫出。。的長.

在模年檢測

1.（2022.江蘇蘇州.蘇州市振華中學校校考模擬）如圖是一副眼鏡鏡片下半部分輪廓對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于

y軸對稱.軸，AB=4cm,最低點C在x軸上，高C"=lcm,3。=2cm.則右輪廓線OFE的函數(shù)解

析式為（）

AHBDE

co\~r

Li

1111

A.y=-（x-3）92B.y=-（.x+3）293.y=--（x+3）72D.j=-（x-4）29

44

2.（2022?江蘇徐州?校考二模）二次函數(shù)y=ad+bx+c（aw0）的圖像如圖所示，則函數(shù)值y>。時，X的取

值范圍是（）

\

A.x<-lB.x>3C.—lv%<3D.x<—1或尤>3

3.（2012.江蘇淮安.統(tǒng)考一模）在同一坐標系中一次函數(shù)丁=仆+。與二次函數(shù)>=以2+。的圖象可能是（）

7W

A.B.

y-1/

C.D.

4.（2022?江蘇徐州??？级＃╆P(guān)于拋物線y=--4x+4,下列說法錯誤的是（）

A.開口向上B.與尤軸有兩個重合的交點

C.對稱軸是直線x=2D.當尤＞2時，y隨尤的增大而減小

5.（2022?江蘇徐州??？级＃┫铝袙佄锞€，頂點坐標為（1,g）的是（）

,1,1

A.y=（x+ir+-B.y=（x-I）2--

C.y=-（x-l）2+-D.y=-（x+l）2--

6.（2022?江蘇南通?校聯(lián)考一模）一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離無（單位：m）

17S

之間的關(guān)系是＞=-32+$+：.則他將鉛球推出的成績是m.

7.（2022?江蘇無錫?校考二模）若二次函數(shù)y=，砒2+2（加_1）尤+加，當加=時，與x軸有唯一的交點.

8.（2022?江蘇泰州?校聯(lián)考三模）小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：不論字母系數(shù)相取何值，函數(shù)

的圖像恒過一定點P,則尸點坐標為.

9.（2022?江蘇鹽城?校考二模）將二次函數(shù)y