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福建省漳州市華安縣第一中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題(A)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配,避免貧富過(guò)分懸殊,美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時(shí),表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時(shí),表示收入完全不平等.記區(qū)域?yàn)椴黄降葏^(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱(chēng)為基尼系數(shù).對(duì)于下列說(shuō)法:①越小,則國(guó)民分配越公平;②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,則對(duì),均有;③若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④2.已知曲線,動(dòng)點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則直線截圓所得弦長(zhǎng)為()A. B.2 C.4 D.3.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或4.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.5.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析.①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性,故平均成績(jī)?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.16.復(fù)數(shù),若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng),則等于()A. B. C. D.7.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為則()A. B.C. D.8.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.9.某單位去年的開(kāi)支分布的折線圖如圖1所示,在這一年中的水、電、交通開(kāi)支(單位:萬(wàn)元)如圖2所示,則該單位去年的水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為()A. B. C. D.10.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.11.函數(shù)圖像可能是()A. B. C. D.12.若,則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若,則___________.14.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為_(kāi)_________.15.設(shè)滿足約束條件,則的取值范圍為_(kāi)_________.16.在直三棱柱內(nèi)有一個(gè)與其各面都相切的球O1,同時(shí)在三棱柱外有一個(gè)外接球.若,,,則球的表面積為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,為過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值及該圓的方程;(2)設(shè)為上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的切線,切點(diǎn)為,證明:.18.(12分)已知.(1)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).19.(12分)己知點(diǎn),分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),若與圓相切于點(diǎn),且點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),且點(diǎn)在第二象限,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于,兩點(diǎn),求面積的取值范圍.20.(12分)如圖,已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率,過(guò)右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率分別為,求證:為定值.21.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的值.22.(10分)已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)于,恒成立;(3)若存在,使得當(dāng)時(shí),恒有成立,試求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
對(duì)于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國(guó)民分配越公平,所以①正確.對(duì)于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯(cuò)誤.對(duì)于③,因?yàn)椋?,所以③錯(cuò)誤.對(duì)于④,因?yàn)?,所以,所以④正確.故選A.2、C【解析】
設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進(jìn)而得到切線方程,將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程,抽象出直線方程,且過(guò)定點(diǎn)為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè),則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過(guò)點(diǎn),所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過(guò)定點(diǎn),即直線過(guò)圓心,則直線截圓所得弦長(zhǎng)為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系,拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、D【解析】
根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)?,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.4、B【解析】
由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用.5、C【解析】
利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績(jī)的比較,說(shuō)明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性,最高130分,平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分,①錯(cuò)誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步,故④不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
先通過(guò)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng),得到,再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng),且復(fù)數(shù),所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法,代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義,復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
設(shè),根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【詳解】設(shè),,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;綜上所述:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、夾角計(jì)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意的兩種情況.9、A【解析】
由折線圖找出水、電、交通開(kāi)支占總開(kāi)支的比例,再計(jì)算出水費(fèi)開(kāi)支占水、電、交通開(kāi)支的比例,相乘即可求出水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比.【詳解】水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
先分別判斷命題真假,再由復(fù)合命題的真假性,即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當(dāng),或時(shí),則不成立.則,,均為假.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假性,判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)時(shí),可分析函數(shù)值為正,即可判斷選項(xiàng).【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù),故排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)正數(shù)越來(lái)越小,趨近于0時(shí),,所以函數(shù),故排除選項(xiàng)B,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,識(shí)別函數(shù)的圖象,屬于中檔題.12、D【解析】
a,b可看成是與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo),畫(huà)出圖象,數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令,,作出圖象如圖,由,的圖象可知,,,②正確;,,有,①正確;,,有,③正確;,,有,④正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),其定義域?yàn)椋云涠x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又,所以函數(shù)為奇函數(shù),因?yàn)椋?故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.14、【解析】
將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體,體對(duì)角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法,由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知,該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上,該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為,長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,所以球半徑為,體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補(bǔ)體法,通過(guò)補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由題意畫(huà)出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,數(shù)形結(jié)合即可得到的最值,即可得解.【詳解】由題意畫(huà)出可行域,如圖:轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,通過(guò)平移直線,數(shù)形結(jié)合可知:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線截距最大,z最??;當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí),直線截距最小,z最大.由可得,由可得,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),;當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先求出球O1的半徑,再求出球的半徑,即得球的表面積.【詳解】解:,,,,設(shè)球O1的半徑為,由題得,所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為,所以外接球的半徑為,所以球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題,考查球的表面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),圓的方程為:.(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)題意,可知點(diǎn)的坐標(biāo)為,即可求出的值,即可求出該圓的方程;(2)由題易知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,與拋物線聯(lián)立方程組,根據(jù),求得,化簡(jiǎn)解得,進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,分別求出,,利用向量的數(shù)量積為0,即可證出.【詳解】解:(1)易知點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得.又圓的圓心為,所以圓的方程為.(2)證明易知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以,,.故.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,利用聯(lián)立方程組、求交點(diǎn)坐標(biāo)以及向量的數(shù)量積,考查解題能力和計(jì)算能力.18、(1)(2)三個(gè)零點(diǎn)【解析】
(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求得函數(shù)最值,進(jìn)而得到結(jié)果;(2)當(dāng)時(shí)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),再證,.【詳解】(1)由得,由題意知恒成立,即,設(shè),,時(shí),遞減,時(shí),,遞增;故,即,故的取值范圍是.(2)當(dāng)時(shí),單調(diào),無(wú)極值;當(dāng)時(shí),,一方面,,且在遞減,所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).另一方面,,設(shè),則,從而在遞增,則,即,又在遞增,所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).因此,當(dāng)時(shí)在和各有一個(gè)零點(diǎn),將這兩個(gè)零點(diǎn)記為,,當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí),即:從而在遞增,在遞減,在遞增;于是是函數(shù)的極大值點(diǎn),是函數(shù)的極小值點(diǎn).下面證明:,由得,即,由得,令,則,①當(dāng)時(shí),遞減,則,而,故;②當(dāng)時(shí),遞減,則,而,故;一方面,因?yàn)?,又,且在遞增,所以在上有一個(gè)零點(diǎn),即在上有一個(gè)零點(diǎn).另一方面,根據(jù)得,則有:,又,且在遞增,故在上有一個(gè)零點(diǎn),故在上有一個(gè)零點(diǎn).又,故有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.在研究函數(shù)零點(diǎn)時(shí),有一種方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解,再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn),特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題,這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值,從而得出函數(shù)的變化趨勢(shì),得出結(jié)論.19、;.【解析】
連接,由三角形相似得,,進(jìn)而得出,,寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;由得,,因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn),,解得,,因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限,所以,,所以,設(shè)直線與垂直交于點(diǎn),則是點(diǎn)到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,求出面積的取值范圍.【詳解】解:連接,由可得,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;由得,,因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn),所以,即,解得,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限,所以,,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)直線與垂直交于點(diǎn),則是點(diǎn)到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),有最大值,所以,即面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,利用基本不等式,屬于難題.20、(1);(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)由橢圓離心率、系數(shù)關(guān)系和已知點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建方程組,求得,代入標(biāo)準(zhǔn)方程中即可;(2)依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),,通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓方程化簡(jiǎn)整理和中點(diǎn)的坐標(biāo)表示用含k的表達(dá)式表示,,進(jìn)而表示;由韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)而表示用含k的表達(dá)式表示,最后做比即得證.【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距為,則,即,所以.依題意,,即,解得,所以,.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明:依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),.與橢圓聯(lián)立整理得,故所以,,所以.又,所以為定值,得證.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,還考查了橢圓中的定值問(wèn)題,屬于較難題.21、(1);(2)或.【解析】
(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)
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