浙江省寧波市2025屆高三上學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（寧波一模）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)浙江省寧波市2025屆高三上學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（寧波一模）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合A={?2,0,1}，B={y|y=x2,x∈A}A.{?2,0,1} B.{0,1,4} C.{0,1} D.{?2,0,1,4}2.復(fù)數(shù)z滿足z=5i?2，則A.1 B.2 C.5 D.3.向量a，b滿足|a|=|b|=1，A.3 B.7 C.104.研究小組為了解高三學(xué)生自主復(fù)習(xí)情況，隨機(jī)調(diào)查了1000名學(xué)生的每周自主復(fù)習(xí)時(shí)間，按照時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))分成五組：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)的估計(jì)值是

A.7 B.7.5 C.7.8 D.85.圓臺(tái)的高為2，體積為14π，兩底面圓的半徑比為1:2，則母線和軸的夾角的正切值為A.33 B.32 C.6.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)上頂點(diǎn)A作直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.若|AB|=|FA.13 B.12 C.37.不等式(x2?ax?1)(x?b)≥0對(duì)任意x>0恒成立，則aA.22?2 B.2 C.28.設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=sin(2πx?2πa),x<a,|x?a?1|?3a+6,x≥a若f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則aA.2,72 B.(2,3] C.2,7二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知數(shù)列{an}，{A.數(shù)列{an+bn}是等比數(shù)列 B.數(shù)列{an·bn10.函數(shù)f(x)=ex?aA.f(x)的圖象過(guò)定點(diǎn)

B.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

C.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)>2恒成立

D.存在a>0，使得f(x)與x軸相切11.已知曲線C：(x2+A.曲線C過(guò)原點(diǎn)O

B.曲線C關(guān)于y=x對(duì)稱

C.曲線C上存在一點(diǎn)P，使得|OP|=1

D.若P(x,y)為曲線C上一點(diǎn)，則|x|+|y|<3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=3x，則f(log13.拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)且|PF|=3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則S△OPF=______．14.一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球．甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取兩個(gè)球，乙接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的兩個(gè)小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的兩個(gè)球中依次不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分．則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)在三棱錐P?ABC中，側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AB=3，PB=2，(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)求平面PAB與平面PAC的夾角的余弦值．16.(本小題12分)已知數(shù)列{an(1)若a1=1，求{an}(2)若數(shù)列{bn}滿足5b2?1b1=17.(本小題12分)已知3,52是雙曲線E：x2a2(1)求E的方程；(2)直線l過(guò)點(diǎn)A(1,1)，且與E的兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)．若|AP|?|AQ||PQ|=1918.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)若a=?12，求證：(3)若存在x0∈(0,π)，使得對(duì)任意x∈(0,x0)，均有19.(本小題12分)開(kāi)啟某款保險(xiǎn)柜需輸入四位密碼a1a2a3xs，其中a1a2a3為用戶個(gè)人設(shè)置的三位靜態(tài)密碼(每位數(shù)字都是0～9中的一個(gè)整數(shù))，xs是根據(jù)開(kāi)啟時(shí)收到的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙s(s為1～5中的一個(gè)隨機(jī)整數(shù))計(jì)算得到的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼．xs的具體計(jì)算方式：(1)若用戶最終得到的四位開(kāi)柜密碼為2024，求所有可能的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙s；(2)若三位靜態(tài)密碼為隨機(jī)數(shù)且等可能，動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙s=5，求動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼x5(3)若三位靜態(tài)密碼為隨機(jī)數(shù)且等可能，動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙s=i(1≤i≤5,i∈N)的概率為pi，其中pi是互不相等的正數(shù)．記得到的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼xs=k(0≤k≤9,k∈N)的概率為Qk，試比較Q參考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.B

6.C

7.A

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.2

13.214.236015.解：(1)取AC中點(diǎn)O，連OP，OB，有OP⊥AC．

因?yàn)椤螦BC=π2，所以O(shè)B=12AC=1．

又OP=3，所以PB2=OP2+OB2，所以O(shè)P⊥OB．

因?yàn)锳C∩OB=O，AC?平面ABC，OB?平面ABC，

所以O(shè)P⊥平面ABC，

又因?yàn)镺P?平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABC．

(2)法一：以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

有O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(?1,0,0)，B(?12,32,0)，P(0,0,3)，

可得AB=(?32,32,0)，AP=(?1,0,3).

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z)，則n?AB=?32x+32y=0n·AP=?x+3z=0,

可取n1=(3,3,1)，易得平面PAC的一個(gè)法向量為n=(0,1,0)，

設(shè)平面PAB與平面PAC的夾角為α，可得cosα=n1·n2n1·n2=31313，

故平面16.解：(1)由a2n=2an+1，得a1+(2n?1)d=2[a1+(n?1)d]+1，

從而d=a1+1.又a1=1，得d=2，所以Sn=na1+n(n?1)2?d=n2．17.解：(1)由題意，得9a2?254b2=1，

又由漸近線為y=±52x，得ba=52，

解得a=2，b=5，所以雙曲線E:x24?y25=1．

(2)顯然直線I的斜率存在，設(shè)直線l:y=k(x?1)+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

聯(lián)立y=k(x?1)+1x24?y25=1消去y，得(4k2?5)x2?8(k2?k)x+4k2?8k+24=0，

由韋達(dá)定理，得x1+x2=8(k2?k)4k218.解：(1)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(?x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．

(2)當(dāng)a=?12時(shí)，f(x)=1?x2+12xsinx為偶函數(shù)．

要證f(x)≤1，即證1?x2≤1?12xsinx，又當(dāng)?1≤x≤1時(shí)，1?12xsinx>0，

所以只需證當(dāng)0≤x≤1時(shí)，1?x2?(1?12xsinx)2，

即證x2?xsinx+14x2sin2x≥0，只需證x2?xsinx≥0，即證x≥sinx.

令g(x)=x?sinx，有g(shù)′(x)=1?cosx≥0，得g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，從而g(x)≥g(0)=0，

所以x?sinx≥0，因此x≥sinx.

(3)因?yàn)閍>0，f(x)<1等價(jià)于1+2ax2<axsinx+1，又當(dāng)0<x<π時(shí)，axsinx+1>0，

從而1+2ax2<axsinx+1等價(jià)于2sinx?2x+axsin2x>0．

令?(x)=2sinx?2x+axsin2x，有?′(x)=2cosx?2+asin2x+axsin2x，?(2)(x)=?2sinx+2asin2x+2axcos2x，

?(3)(x)=?2cosx+6acos2x?4axsin2x．

(注：?(k)(x)為?(x)的k階導(dǎo)數(shù))

當(dāng)?(3)(0)=?2+6a>0時(shí)，即a>19.解：(1)由題意，靜態(tài)密碼為202，動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼xs=4．

若s=1，則M=2×13+0×12+2×1=4，得x1=4，符合．

若s=2，則M=2×23+0×22+2×2=20，得x2=0，不符合題意，

若s=3.則M=2×33+0×32+2×3=60，得x3=0，不符合題意，

若s=4，則M=2×43+0×42+2×4=136，得x4=6，不符合題意，

若s=5，則M=2×53+0×52+2×5=260，得x5=0，不符合題意，

綜上可得s=1，

(2)對(duì)于三位靜態(tài)密碼a1a2a3，

由M=a1?53+a2?52+a3x05P11

(3)記事件A：得到的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼xs=0，事件B：得到的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼xs=1，事件Ci:收到動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙s=i(1≤i≤5,i∈N)，

則A=AC1∪AC2∪AC3∪AC4∪AC5，B=BC1∪BC2∪BC3∪BC4∪BC5，

從而Q0=P(A)=i=15P(ACi)=i=15P(Ci)P(A|Ci)=