人教B版高中數(shù)學必修第一冊第三章函數(shù)3.4數(shù)學建模活動：決定蘋果的最佳出售時間點課件

3.4數(shù)學建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點【課程標準】1.會利用所學知識，解決一次函數(shù)型、二次函數(shù)型及分段函數(shù)型的實際問題．2．掌握求解函數(shù)應用題的基本步驟，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識．教

材

要

點知識點函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型解析式：______________．(2)二次函數(shù)模型①一般式：________________．②頂點式：__________________________，其中頂點坐標為________________．y＝kx＋b(k≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)(h，k)(3)分段函數(shù)模型有些實際問題，在事物的某個階段對應的變化規(guī)律不盡相同，此時我們可以選擇利用分段函數(shù)模型來刻畫它，由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實際問題中，或者在某一特定條件下的實際問題中具有廣泛的應用．狀元隨筆(1)在函數(shù)建模中，通常需要先畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象來確定兩個變量的關系，選擇函數(shù)類型．(2)函數(shù)模型在實際應用中，函數(shù)的自變量x往往具有實際意義，如x表示長度時，x≥0；x表示件數(shù)時，x≥0，且x∈Z等．在解答時，必須要考慮這些實際意義．基

礎

自

測1．一個等腰三角形的周長是20，則底邊長y是關于腰長x的函數(shù)，其解析式為(

)A.y＝20－2x(x≤10)

B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)答案：D2．將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，已知該商品每個漲價1元時，其銷售量就會減少20個，為了獲得最大的利潤，其售價應定為(

)A．110元/個B．105元/個C．100元/個D．95元/個答案：D解析：設每個商品漲價x元，利潤為y元，則銷售量為(400－20x)個，根據(jù)題意，有y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000＝－20(x－5)2＋4500.所以當x＝5時，y取得最大值，且為4500，即當每個漲價5元，也就是售價為95元/個時，可以獲得最大利潤為4500元．3．某生產廠家的生產總成本y(萬元)與產量x(件)之間的關系式為y＝x2－80x，若每件產品的售價為25萬元，則該廠獲得最大利潤時，生產的產品件數(shù)為(

)A．52B．52.5C．53D．52或53

答案：D4．某游樂場每天的盈利額y(單位：元)與售出的門票數(shù)x(單位：張)之間的函數(shù)關系如圖所示，試分析圖象，要使該游樂場每天的盈利額超過1000元，那么每天至少應售出________張門票．234

題型1一次函數(shù)模型的應用

[經典例題]例1.(1)某廠日生產文具盒的總成本y(元)與日產量x(套)之間的關系為y＝6x＋30000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒(

)A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套【解析】因利潤z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生產文具盒5000套．【答案】

D

(2)商店出售茶壺和茶杯，茶壺定價為每個20元，茶杯每個5元，該商店推出兩種優(yōu)惠辦法：①買一個茶壺贈一個茶杯；②按總價的92%付款．某顧客需要購買茶壺4個，茶杯若干個(不少于4個)，若購買茶杯x(個)，付款y(元)，分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式，并討論該顧客買同樣多的茶杯時，兩種辦法哪一種更優(yōu)惠？【解析】由優(yōu)惠辦法①可得函數(shù)解析式為y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．由優(yōu)惠辦法②可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)，令y1－y2＝0得x＝34.所以，當購買34個茶杯時，兩種辦法付款相同；當4≤x<34時，y1<y2，即優(yōu)惠辦法①更省錢；當x>34時，y1>y2，優(yōu)惠辦法②更省錢．方法歸納(1)一次函數(shù)模型的實際應用：一次函數(shù)模型應用時，本著“問什么，設什么，列什么”這一原則．(2)一次函數(shù)的最值求解：一次函數(shù)求最值，常轉化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數(shù)a的正負，也可以結合函數(shù)圖象或其單調性來求最值．跟蹤訓練1

若一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關系用圖象表示為圖中的(

)答案：B解析：蠟燭剩下的長度隨時間增加而縮短，根據(jù)實際意義不可能是D項，更不可能是A，C兩項．故選B項．題型2二次函數(shù)模型的應用

[經典例題]例2.某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，假設每箱售價不得低于50元且不得高于55元．市場調查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關系式；(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關系式；(3)當每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【解析】

(1)根據(jù)題意得y＝90－3(x－50)，化簡得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因為w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以當x＜60時，w隨x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以當x＝55時，w有最大值，最大值為1125.所以當每箱蘋果的售價為55元時，可以獲得最大利潤，且最大利潤為1125元．狀元隨筆本題中平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)是一個一次函數(shù)關系，雖然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把問題看成一次函數(shù)模型的應用問題；平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)是一個二次函數(shù)關系，可看成是一個二次函數(shù)模型的應用題．方法歸納二次函數(shù)的實際應用(1)在根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題．二次函數(shù)求最值最好結合二次函數(shù)的圖象來解答．(2)對于本題要清楚平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．跟蹤訓練2

有A，B兩城相距100km，在A，B兩城之間距A城xkm的D地建一核電站給這兩城供電．為保證城市安全，核電站與城市距離不得少于10km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城供電量為10億度/月．(1)把月供電總費用y表示成x的函數(shù)，并求定義域；(2)核電站建在距A城多遠時，才能使供電費用最??？

題型3分段函數(shù)模型的應用

[經典例題]例3.WAP手機上網每月使用量在500min以下(包括500min)，按30元計費；超過500min的部分按0.15元/min計費．假如上網時間過短(小于60min)使用量在1min以下不計費，在1min以上(包括1min)按0.5元/min計費．計費時間均取整數(shù)，不足1min的按1min計算．WAP手機上網不收通話費和漫游費．(1)寫出上網時間xmin與所付費用y元之間的函數(shù)關系式；(2)12月份小王WAP上網使用量為20h，要付多少錢？(3)小王10月份付了90元的WAP上網費，那么他上網的時間是多少？

(2)當x＝20×60＝1200(min)時，x>500，應付y＝30＋0.15×(1200－500)＝135(元)．(3)90元已超過30元，∴上網時間超過500min，∴30＋0.15([x]－500)＝90，解得[x]＝900，∴上網時間為900min.方法歸納分段函數(shù)的實際應用(1)在刻畫實際問題中，變量之間的關系因自變量x取值范圍的不同，對應的函數(shù)關系不能用同一個解析式表示時，常用分段函數(shù)建立函數(shù)模型解決問題．(2)分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內有著不同對應法則的函數(shù)．求解分段函數(shù)的最值問題時應注意：分段函數(shù)的最大值是各段函數(shù)最大值中較大的一個，分段函數(shù)的最小值是各段函數(shù)最小值中較小的一個．

狀元隨筆本題考查分段函數(shù)問題，生產不超過500臺時，產量等于銷售量；產量超過500臺時，銷售量為一個常數(shù)500臺．1．(5分)某種生物增長的數(shù)量y(個)與時間x(小時)的關系如下表：下面函數(shù)解析式中，能表達這種關系的是(

)A．y＝x2－1B．y＝2x＋1C.y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋2x/小時123…y/個138…答案：D

答案：B

3．(5分)國家規(guī)定個人稿費納稅辦法：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11.2%納稅，已知某人出版一本書，共納稅420元，則這個人應得稿費(扣稅前)為(

)A．2800元B．3000元C．3800元D．3818元答案：C

4．(5分)在股票買賣過程中，經常用兩種曲線來描述價格變化情況：一種是即時價格曲線y＝f(x)，另一種是平均價格曲線y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票開始買賣后2小時的即時價格為3元；g(2)＝3表示2小時內的平均價格為3元.下面給出了四個圖象，實線表示y＝f(x)，虛線表示y＝g(x)，其中可能正確的是(

)答案：C解析：根據(jù)即時價格與平均價格的相互依賴關系，可知，當即時價格升高時，對應平均價格也升高；反之，當即時價格降低時，對應平均價格也降低，故選項C中的圖象可能正確．5．(5分)經市場調查，某商品的日銷售量(單位：件)和價格(單位：元/件)均為時間t(單位：天)的函數(shù)．日銷售量為f(t)＝2t＋100，價格為g(t)＝t＋4，則該種商品的日銷售額S(單位：元)與時間t的函數(shù)解析式為S(t)＝________.解析：日銷售額＝日銷售量×價格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.答案：2t2＋108t＋400，t∈N6．(5分)在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度y隨時間t的變化情況如圖所示，給出下面四種說法：①前5分鐘溫度增加的速度越來越快；②前5分鐘溫度增加的速度越來越慢；③5