廣東省廣州市2024-2025學年高二上學期10月月考 數(shù)學試題含答案

2024學年第一學期高二10月月考數(shù)學試題注意事項：1．答題前填寫好自已的姓名、班級、考號等信息．2．請將答案正確填寫在答題卡上．一、單項選擇題：本題共小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用補集、交集的定義求解即得.全集，由，得，又，所以.故選：C2.下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由正切函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B，由冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C，由對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D對于A，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，的定義域為，且在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當時，單調(diào)遞增，且；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D3.若，且是方程的兩實根，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角平方和的關(guān)系即可結(jié)合韋達定理求解.由于是方程的兩實根，所以，又，所以，故，由于，，所以，故，因此，所以，故選：D4.拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為（）A.23 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分別計算出事件A和事件B發(fā)生的概率，又通過列舉可得事件A和事件B為互斥事件，進而得出事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率即為事件A和事件B的概率之和．事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶數(shù)點有2和4，不小于5的點數(shù)有5和6，所以事件A和事件B為互斥事件，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故選：A．【點睛】本題主要考查古典概型計算公式，以及互斥事件概率加法公式的應(yīng)用，屬于中檔題．5.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個向量求解判斷.對于A，設(shè)，即，解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，無解，所以不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；對于C，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤.故選：B.6.向量，，且，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】求出，根據(jù)空間向量的模長公式以及數(shù)量積的坐標表示，列式計算，即可求得答案.由向量，，可得，結(jié)合，，即，得，結(jié)合，解得，則.故選：A7.如圖所示，在棱長為2的正方體中，E為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，，進而求出線線角的向量公式即可求出結(jié)果.如圖，以D為原點，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為2，則.所以，又所以.故選：C.8.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)誘導公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.二、多項遠擇題：本想共3小題，每小恩6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．則下列結(jié)論正確的是（）A.B.身高落在內(nèi)的人數(shù)為50人C.若從身高在，，三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法抽取17人．則身高在的學生選取的人數(shù)為4人D.若將學生身高由高到低排序，前的學生身高為級，則身高為142厘米的學生身高肯定不是級【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為，得到方程求出的值，即可判斷A，再根據(jù)頻率分布直方圖計算B、C，根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則判斷D.由頻率分布直方圖可得，解得，故A正確；身高落在內(nèi)的人數(shù)為人，故B正確；樣本中，，的頻率之比為，所以身高在的學生選取人，故C正確；將學生身高由高到低排序，第分位數(shù)設(shè)為，則，解得，因為，故身高為厘米的學生身高肯定是級，故D錯誤；故選：ABC10.如圖，四棱柱中，為的中點，為上靠近點的五等分點，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】運用空間向量的基底表示，結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運算規(guī)則可解.，即，故A錯誤、B正確；，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.11.如圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形E,F,G,H分別為的中點.在此幾何體中,給出下列結(jié)論,其中正確的結(jié)論是（）A.平面平面 B.直線平面C.直線平面 D.直線平面【答案】ABC【解析】【分析】由線面平行的判定定理可得平面，平面，進而得出平面平面，故A正確；由中位線可知，進而由線面平行的判定定理，可得平面，故B正確；由，可得平面，故C正確；，所以直線與平面不平行，故D錯誤.作出立體圖形如圖所示.連接四點構(gòu)成平面.對于A，因為E,F分別是的中點,所以.又平面，平面，所以平面.同理,平面.又,平面,平面，所以平面平面，故A正確；對于B，連接，設(shè)的中點為M，則M也是的中點，所以，又平面,平面，所以平面，故B正確；對于C，由A中的分析知，，所以，因為平面，平面，所以直線平面，故C正確；對于，根據(jù)C中的分析可知再結(jié)合圖形可得，，則直線與平面不平行，故D錯誤.故選：ABC【點睛】本題考查了線面平行、面面平行的判定定理，考查了邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題目.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，若，則的值為________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量平行的坐標表示即可得解.因為，，所以，則，解得，所以.故答案為：.13.已知，則與夾角的余弦值為______________________.【答案】##【解析】【分析】由空間向量的數(shù)量積公式求解即可．，.故答案：14.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為________.①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤.【答案】①④【解析】【分析】在①中，由對立事件定義得與為對立事件；有②中，與有可能同時發(fā)生；在③中，與有可能同時發(fā)生；在④中，（C）（E）；在⑤中，從而（B）（C）．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”，①，由對立事件定義得與為對立事件，故①正確；②，與有可能同時發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯誤；③，與有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故③錯誤；④，（C），（E），，從而（C）（E），故④正確；⑤，，從而（B）（C），故⑤錯誤．故答案為：①④．【點睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，考查對立互斥事件，解題時要認真審題，注意對立事件、互斥事件等基本概念的合理運用．四、解答題，本題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，事件A：“兩數(shù)之和為8”，事件B：“兩數(shù)之和是3的倍數(shù)”，事件C：“兩個數(shù)均為偶數(shù)”．（I）寫出該試驗的基本事件，并求事件A發(fā)生的概率；（II）求事件B發(fā)生的概率；（III）事件A與事件C至少有一個發(fā)生的概率．【答案】（I）||=36，P（A）=（II）（III）【解析】【分析】（I）用列舉法列舉出所有的基本事件，利用古典概型概率計算公式求得事件發(fā)生的概率.（II）根據(jù)（I）列舉的基本事件，利用古典概型概率計算公式求得事件發(fā)生的概率.（III）根據(jù)（I）列舉的基本事件，利用古典概型概率計算公式求得事件與事件至少有一個發(fā)生的概率.（I）所有可能的基本事件為：共種.其中“兩數(shù)之和為”的有共種，故.（II）由（I）得“兩數(shù)之和是的倍數(shù)”的有共種，故概率為.（III）由（I）“兩個數(shù)均為偶數(shù)”的有種，“兩數(shù)之和為”的有共種，重復的有三種，故事件與事件至少有一個發(fā)生的有種，概率為.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算公式，考查列舉法求解古典概型問題，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖所示，平行六面體中，.（1）用向量表示向量；（2）求；（3）求的長度.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運算即可得解；（2）（3）利用空間向量的線性運算，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義與運算法則即可解.小問1詳解】在平行六面體中，【小問2詳解】因為，，，所以，，，則.【小問3詳解】因為，所以，則.17.成都七中為了解班級衛(wèi)生教育系列活動的成效，對全校40個班級進行了一次突擊班級衛(wèi)生量化打分檢查（滿分100分，最低分20分）.根據(jù)檢查結(jié)果：得分在評定為“優(yōu)”，獎勵3面小紅旗；得分在評定為“良”，獎勵2面小紅旗；得分在評定為“中”，獎勵1面小紅旗；得分在評定為“差”，不獎勵小紅旗.已知統(tǒng)計結(jié)果的部分頻率分布直方圖如圖：（1）依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果的部分頻率分布直方圖，求班級衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)；（2）學校用分層抽樣的方法，從評定等級為“良”、“中”的班級中抽取6個班級，再從這6個班級中隨機抽取2個班級進行抽樣復核，求所抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3的概率.【答案】（1）分；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖，能求出班級衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)．（2）“良”、“中”的頻率分別為0.4，0.2．又班級總數(shù)為40．從而“良”、“中”的班級個數(shù)分別為16，8．分層抽樣的方法抽取的“良”、“中”的班級個數(shù)分別為4，2．由此利用對立事件概率計算公式能求出抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3的概率．（1）得分的頻率為；得分的頻率為；得分的頻率為；所以得分的頻率為設(shè)班級得分的中位數(shù)為分，于是，解得所以班級衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)為分.（2）由（1）知題意“良”、“中”頻率分別為又班級總數(shù)為于是“良”、“中”的班級個數(shù)分別為.分層抽樣的方法抽取的“良”、“中”的班級個數(shù)分別為因為評定為“良”，獎勵2面小紅旗，評定為“中”，獎勵1面小紅旗.所以抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3為兩個評定為“良”的班級或一個評定為“良”與一個評定為“中”的班級.記這個事件為則為兩個評定為“中”的班級.把4個評定為“良”的班級標記為2個評定為“中”的班級標記為從這6個班級中隨機抽取2個班級用點表示，其中.這些點恰好為方格格點上半部分（不含對角線上的點），于是有種.事件僅有一個基本事件.所以所抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3的概率為.【點睛】本題考查中位數(shù)、概率的求法，考查分層抽樣、頻率分布直方圖、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．18.如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，．求證：（1）平面；（2）平面．（3）求平面與平面的夾角大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）連接，交于，通過證明，得到平面.（2）先證，，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面.（3）證明平面平面，得兩個平面所成的角為.【小問1詳解】如圖：連接，交于，連接因為四邊形為正方形，且，所以，所以.又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】連接.因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以.又，，，所以四邊形為正方形，所以，又平面，，所以平面.【小問3詳解】因為，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.所以平面與平面所成的角為.19.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）當時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；