22.2 圓的切線 同步練習(xí)

第二十二章圓(下)一直線和圓22.2圓的切線基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1切線的判定1.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上(不與A，B重合)，DE⊥AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)F，下列條件中能判定CE是切線的是()A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°2.定義：與圓相切的直線同圓內(nèi)與圓相交的弦相交所形成的夾角叫做弦切角.弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù).利用新定義解決下列問題：如圖，AB是☉O的直徑，DE切☉O于點(diǎn)C，若∠ACE=25°，∠D=50°，試說明BD是☉O的切線.3.(2023北京朝陽對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附中期末)下面是小石設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.已知：如圖1，☉O及☉O上一點(diǎn)P.求作：直線PN，使得PN與☉O相切.作法：如圖2，①作射線OP；②在☉O外取一點(diǎn)Q(點(diǎn)Q不在射線OP上)，以Q為圓心，QP長為半徑作圓，☉Q與射線OP交于另一點(diǎn)M；③連接MQ并延長交☉Q于點(diǎn)N；④作直線PN.所以直線PN即為所求作直線.根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的過程，完成下列問題.(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；(2)完成下面的證明.證明：∵M(jìn)N是☉Q的直徑，∴∠MPN=°()(填推理的依據(jù)).

∴OP⊥PN.又∵OP是☉O的半徑，∴PN是☉O的切線()(填推理的依據(jù)).

知識(shí)點(diǎn)2切線的性質(zhì)4.(2022廣西河池中考)如圖，AB是☉O的直徑，PA與☉O相切于點(diǎn)A，∠ABC=25°，OC的延長線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是()A.25° B.35° C.40° D.50°5.(2023北京二十七中月考)如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B是切點(diǎn)，點(diǎn)C為☉O上一點(diǎn)，若∠ACB=80°，則∠P的度數(shù)為()A.70° B.20° C.50° D.40°6.(2023北京東城月考)抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如圖，AC，BD分別與☉O相切于點(diǎn)C，D，延長AC，BD交于點(diǎn)P.若∠P=120°，☉O的半徑為6cm，則CD的長為()A.πcm B.2πcm C.3πcm D.4πcm7.(2021北京中考)如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B是切點(diǎn).若∠P=50°，則∠AOB=.

8.(2022山東濟(jì)南中考)已知：如圖，AB為☉O的直徑，CD與☉O相切于點(diǎn)C，交AB的延長線于點(diǎn)D，連接AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交☉O于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F.(1)求證：CA=CD；(2)若AB=12，求線段BF的長.知識(shí)點(diǎn)3切線長定理9.(2023北京海淀八一學(xué)校月考)如圖，直線AB，BC，CD分別與☉O相切于E，F(xiàn)，G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，則BE+CG=cm.10.(2023北京朝陽陳經(jīng)綸中學(xué)分校月考)如圖，PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線CD分別相交于D、C，已知△PCD的周長等于10cm，則PA=cm.

知識(shí)點(diǎn)4三角形的內(nèi)切圓11.(2022山東濰坊中考改編)如圖，△ABC的內(nèi)切圓(圓心為點(diǎn)O)與各邊分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接EF，DE，DF.以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交AB，BC于G，H兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)G，H為圓心，以大于12GH的長為半徑作弧，兩條弧交于點(diǎn)P；作射線BP.下列說法正確的是(①射線BP一定過點(diǎn)O；②點(diǎn)O是△DEF三條中線的交點(diǎn)；③若△ABC是等邊三角形，則DE=12BC④點(diǎn)O不是△DEF三條邊的垂直平分線的交點(diǎn).A.①③ B.①④ C.②③ D.③④12.如圖所示的網(wǎng)格由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(3，6)，(-3，3)，(7，-2)，則△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)為.

能力提升全練13.(2022重慶中考A卷)如圖，AB是☉O的切線，B為切點(diǎn)，連接AO交☉O于點(diǎn)C，延長AO交☉O于點(diǎn)D，連接BD.若∠A=∠D，且AC=3，則AB的長度是()A.3 B.4 C.33 D.4214.(2023北京二十七中調(diào)研)如圖，☉O上有三點(diǎn)A，B，C，半徑OC=2，∠ABC=30°，☉O的切線PA交OC的延長線于點(diǎn)P，則線段PA的長為.

15.(2022湖南株洲中考)中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”.“方田一段，一角圓池占之.”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切).”如圖所示.問題：此圖中，正方形一條對(duì)角線AB與☉O相交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右上方)，若AB的長度為10丈，☉O的半徑為2丈，則BN的長度為丈.

16.(2022四川宜賓中考)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為.

17.(2022北京中考)如圖，AB是☉O的直徑，CD是☉O的一條弦，AB⊥CD，連接AC，OD.(1)求證：∠BOD=2∠A；(2)連接DB，過點(diǎn)C作CE⊥DB，交DB的延長線于點(diǎn)E，延長DO，交AC于點(diǎn)F.若F為AC的中點(diǎn)，求證：直線CE為☉O的切線.18.(2020北京中考)如圖，AB為☉O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD是☉O的切線，D為切點(diǎn)，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.(1)求證：∠ADC=∠AOF；(2)若sinC=13，BD=8，求EF的長19.(2022天津中考)已知AB為☉O的直徑，AB=6，C為☉O上的一點(diǎn)，連接CA，CB.(1)如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，求∠CAB的大小和AC的長；(2)如圖2，若AC=2，OD為☉O的半徑，且OD⊥CB，垂足為E，過點(diǎn)D作☉O的切線，與AC的延長線相交于點(diǎn)F，求FD的長. 素養(yǎng)探究全練20.已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列選項(xiàng)中☉O的半徑為aba+b的是

第二十二章圓(下)一直線和圓22.2圓的切線答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C如圖，連接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵DE⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠OBC+∠DFB=90°，∵∠EFC=∠BFD，∴∠OBC+∠EFC=90°，∵∠ECF=∠EFC，∴∠OCB+∠ECF=90°，即∠OCE=90°，∵OC是☉O的半徑，∴CE是☉O的切線.故選C.2.證明如圖，連接BC，∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ACE=25°，∴∠DCB=180°-90°-25°=65°，∵∠D=50°，∴∠DBC=180°-65°-50°=65°，由弦切角性質(zhì)，得∠ABC=∠ACE=25°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=25°+65°=90°，∵OB是☉O的半徑，∴BD是☉O的切線.3.解析(1)補(bǔ)全圖形如圖：(2)∵M(jìn)N是☉Q的直徑，∴∠MPN=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角).∴OP⊥PN.又∵OP是☉O的半徑，∴PN是☉O的切線(經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線).4.C∵∠ABC=25°，∴∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是☉O的切線，∴PA⊥AB，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°-∠AOP=90°-50°=40°，故選C.5.B如圖，連接OA，OB，∵∠ACB=80°，∴∠AOB=2∠ACB=160°，∵PA，PB是☉O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=360°-90°-90°-160°=20°，故選B.6.B如圖，連接OC，OD，∵AC，BD分別與☉O相切于點(diǎn)C，D，∴∠OCP=∠ODP=90°，∴∠COD=360°-∠OCP-∠ODP-∠CPD=360°-90°-90°-120°=60°，∴CD的長=60π×6180=2π(cm).故選B7.答案130°解析∵PA，PB是☉O的切線，A，B是切點(diǎn)，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P=360°，∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.8.解析(1)證明：如圖，連接OC，∵CD與☉O相切于點(diǎn)C，∴∠OCD=90°，∵∠D=30°，∴∠COD=90°-∠D=60°，∴∠A=12∠COD=30°，∴∠A=∠D，∴CA=(2)∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，AB=12，∴BC=12AB=6∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=12∠ACB=45°∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°，∴BF=BC·sin45°=6×22=32∴線段BF的長為32.9.答案10解析∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵直線AB，BC，CD分別與☉O相切于E，F(xiàn)，G，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，BE=BF，CG=∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠BCD)=90°∴∠BOC=90°，在Rt△BOC中，BC=OB2+O∴BE+CG=BC=10cm.10.答案5解析設(shè)DC與☉O的切點(diǎn)為E(圖略)，∵PA、PB是☉O的切線，且切點(diǎn)分別為A、B，∴PA=PB.同理，DE=DA，CE=CB.則△PCD的周長=PD+DE+CE+PC=PD+DA+CB+PC=PA+PB=10(cm)，∴PA=PB=5cm.11.A∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，∴點(diǎn)O是△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，由尺規(guī)作圖可知，射線BP是∠ABC的平分線，∴射線BP一定過點(diǎn)O，故①正確；點(diǎn)O是△DEF的外心，∴點(diǎn)O是△DEF三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故②④錯(cuò)誤；∵△ABC是等邊三角形，∴D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12BC，故③正確.故選A12.答案(2，3)解析畫出平面直角坐標(biāo)系如圖，作△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線，交于點(diǎn)I，點(diǎn)I即為△ABC的內(nèi)心.所以△ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)為(2，3).能力提升全練13.C如圖，連接OB，∵AB是☉O的切線，B為切點(diǎn)，∴OB⊥AB，∴AB2=OA2-OB2，∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∵∠A=∠D，∴∠A=∠D=∠OBD，AB=BD，∴△OBD∽△BAD，∴OD∶BD=BD∶AD，∴BD2=OD·AD，即OA2-OB2=OD·AD，設(shè)OD=x，則OB=x，OA=x+3，AD=2x+3，∴(x+3)2-x2=x(2x+3)，解得x=3(負(fù)值舍去)，∴OA=6，OB=3，∴AB2=OA2-OB2=27，∴AB=33，故選C.14.答案23解析如圖，連接OA，∵PA與☉O相切于點(diǎn)A，∴PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∵∠ABC=30°，∴∠AOP=2∠ABC=2×30°=60°，∴∠P=90°-∠AOP=90°-60°=30°，∵OA=OC=2，∴OP=2OA=2×2=4，∴PA=OP2?OA∴線段PA的長為23.15.答案(8-22)解析如圖，設(shè)正方形的一邊與☉O相切的切點(diǎn)為C，連接OC，則OC⊥AC，∵四邊形是正方形，AB是對(duì)角線，∴∠OAC=45°，∴OA=2OC=22(丈)，∴BN=AB-OA-ON=10-22-2=(8-22)丈.16.答案289解析如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，直角△ABC的內(nèi)切圓與AC、BC相切于E、D，連接OE、OD，則四邊形EODC為正方形，易知OE=OD=3=AC+∴AC+BC-AB=6，∴AC+BC=AB+6，∴(AC+BC)2=(AB+6)2，∴BC2+AC2+2BC·AC=AB2+12AB+36，∵BC2+AC2=AB2，∴2BC·AC=12AB+36①，∵小正方形的面積為49，∴(BC-AC)2=49，∴BC2+AC2-2BC·AC=49，即AB2-2BC·AC=49②，把①代入②得AB2-12AB-85=0，∴(AB-17)(AB+5)=0，∴AB=17(負(fù)值舍去)，∴大正方形的面積為172=289.17.證明(1)如圖，連接AD，∵AB是☉O的直徑，AB⊥CD，∴BC=BD，∴∠CAB=∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=2∠CAB.(2)如圖，連接OC，AD，∵F為AC的中點(diǎn)，∴DF⊥AC，易知AD=CD，∠ADF=∠CDF，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠CAB=∠DAB，∴∠CDF=∠CAB，∵OC=OD，∴∠CDF=∠OCD，∴∠OCD=∠CAB，∵BC=BC，∴∠CAB=∠CDE，∴∠CDE=∠OCD，∵∠E=90°，∴∠CDE+∠DCE=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，即OC⊥CE，∵OC為☉O的半徑，∴直線CE為☉O的切線.18.解析(1)證明：如圖，連接OD，∵AB為☉O的直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF=∠B，∵CD是☉O的切線，D為切點(diǎn)，∴∠CDO=90°，∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°，∴∠ADC=∠BDO，∵OD=OB，∴∠BDO=∠B，∴∠AOF=∠ADC.(2)∵OF∥BD，AO=OB，∴AE=DE，∴OE=12BD=12∵sinC=ODOC=1∴設(shè)OD=x，OC=3x(x>0)，∴OB=x，∴CB=4x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴OCBC=OFBD，∴3x4x=OF∴EF=OF-OE=6-4=2.19.解析(1)∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB=90°.∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=BC，∴AC=BC，∠ABC=∠CAB.在Rt△ABC中，∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=45°.根據(jù)勾股定理，有AC2+BC2=AB2，∵AB=6，∴2AC2=36，∴AC=32(舍負(fù)).(2)∵FD是☉O的切線，∴OD⊥FD，即∠ODF=90°.∵OD⊥CB，垂足為E，∴∠CED=90°，CE=12∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠FCE=90°，∴∠FC