第2章 一元二次方程（3類知識拓展）

第2章一元二次方程（知識拓展）知識拓展拓展01根的判別式與根與系數(shù)的關系的綜合應用典例1．對于一元二次方程ax①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c=0無實根；③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根為x1，x2且滿足x1≠x2≠0，則方程A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④跟蹤訓練1．下列給出的四個命題，真命題的有（

）個①若方程ax2+bx+c=0②若a2?5a+5=0，則③若b2?4ac<0，則方程④若方程x2+px+q=0的兩個實根中有且只有一個根為0，那么p≠0，A．4個 B．3個 C．2個 D．1個拓展02根與系數(shù)的關系難點分析典例2．如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0①方程是“倍根方程”；②若(x?2)(mx+n)=0是“倍根方程”，則4m③若p,q滿足pq=2，則關于x的方程px④若方程ax2+bx+c=0跟蹤訓練1．韋達是法國杰出的數(shù)學家，其貢獻之一是發(fā)現(xiàn)了多項式方程根與系數(shù)的關系，如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩實數(shù)根分別為x1,x2，則方程可寫成ax?x①x1+x2+x3=?ba，②拓展03一元二次方程的綜合應用典例3．如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(8，0)，點B的坐標是(0，6)，連接AB．若動點P從點B出發(fā)沿著線段BA以5個單位每秒的速度向終點A運動，設運動時間為t秒．(1)求線段AB的長．(2)連接OP，當△OBP為等腰三角形時，過點P作線段AB的垂線與直線OB交于點M，求點M的坐標；(3)已知N點為AB的中點，連接ON，點P關于直線ON的對稱點記為P'(如圖2)，在整個運動過程中，若P'點恰好落在△AOB內(nèi)部(不含邊界)，請直接寫出跟蹤訓練1．探索發(fā)現(xiàn)如圖（1），在正方形ABCD中，E為BC邊上不與B,C重合的點，過點三點分別作DE的垂線，垂足分別為F,H,G．

（1）求證：；（2）求證：DF+BH=FH．遷移拓展如圖（2），在正方形ABCD中，E為直線BC上一點，過B點作DE的垂線，垂足為，若AB=5,BH=1，直接寫出的長．過關訓練一、單選題1．下列是一元二次方程的是（

）A．x2?2x+3C．a(chǎn)x2+bx+c=02．關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（

）A．1 B．1或 C． D．0.53．解方程24x?3A．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法4．下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2?x+1=0 B． C．x2+x?1=05．用配方法解一元二次方程2x2?7x+6=0A．x?742=116 B．x?6．方程x2+2x?3=0的解為x1=1，x2A．x1=1，x2=3 B．x17．若關于x的一元二次方程kx2+2x?1=0A．k≥?1且k≠0 B．k≥?1 C．k>?1 D．k>?1且k≠08．新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費者喜愛，各種品牌相繼投放市場，我國新能源汽車近幾年銷量全球第一，2020年銷量為50.7萬輛，銷量逐年增加，到2022年銷量為125.6萬輛．設年平均增長率為x，可列方程為（）A． B．C． D．9．已知a，b是關于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足1A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．110．對于一元二次方程ax①若a?b+c=0，則b2②若方程ax2+c=0③若c是方程ax2+bx+c=0④若x0是一元二次方程ax其中正確的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④二、填空題11．x2+5x+7=0的二次項系數(shù)是、常數(shù)項是12．關于x的方程2?mxm2?2+5x?3=013．已知x2－6x+8＝0的兩個根分別是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的面積是．14．已知x2＝2x+15，則代數(shù)式(x+2)215．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)比賽（每兩隊之間都賽一場），計劃安排15場比賽，應邀請多少個隊參加比賽？設應邀參加比賽的球隊有x個，則可以列方程為．16．已知關于x的方程kx2+3k?1x+2k?1=017．已知：關于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均為常數(shù)，a≠0)．（1）關于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是；（2）關于x的方程a(x+3k)+2022=0的根為．18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0①若a，c異號，則方程ax②若b2＞5ac，則方程③若b=a+c，則方程ax④若a=1，b=2，c=?3，由根與系數(shù)的關系可得x其中正確的結論是：（填序號）．三、解答題19．用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?）；（2）(x+a)（3）2x（4）．20．已知關于x的方程m?3x（1）當m為何值時，方程只有一個實數(shù)根？（2）當m為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？（3）當m為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？21．已知關于x的一元二次方程kx(1)求證：不論k為何值，這個方程都有兩個實數(shù)根；(2)若此方程的兩根均整數(shù)，求整數(shù)k的值，22．已知：關于x的方程x2(1)求實數(shù)m的取值范圍，(2)若方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足23．如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12米的住房墻，另外三邊用25米長的建筑材料圍成的，為了方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一扇1米寬的門．當所圍矩形與墻垂直的一邊長為多少時，豬舍面積為80平方米？24．閱讀材料題：我們知道a2≥0，所以代數(shù)式a2的最小值為0，學習了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用例如：求x2解：∵x2又∵x+32∴x+3∴x2請應用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：x2?4x+6=(2)代數(shù)式?x2?8x有最(3)如圖，長方形花圃一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍成的棚欄的總長是20m，棚欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？25．當m，n為實數(shù)，且滿足m+nm=n時，就稱點Pm,mn為“狀元點”．已知點A（0，7）和點M都在直線y=x+b上，點B，C是“狀元點”，且B(1)求b的值及判斷點F（2，6）是否為“狀元點”；(2)請求出點B的坐標；(3)若AC≤52，求點C26．對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請直接寫出a，b，c所滿足的關系式；判斷241

“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數(shù)”；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．

第2章一元二次方程（知識拓展）知識拓展拓展01根的判別式與根與系數(shù)的關系的綜合應用典例1．對于一元二次方程ax①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c=0無實根；③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根為x1，x2且滿足x1≠x2≠0，則方程A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義以及求根公式逐個判斷排除．【解析】解：①若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0②方程ax∴Δ=0?4ac>0則方程ax2+bx+c=0∴方程ax故②錯誤；③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根為x1，∴Δ=b令x1=?b+∴方程有兩個實數(shù)根，令兩根分別為x1'，∴x1x2∴方程，必有實根1x1，1故③正確；④若x0是一元二次方程a則由求根公式可得：，∴2a∴b故④正確．故正確的有①③④，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關鍵．跟蹤訓練1．下列給出的四個命題，真命題的有（

）個①若方程ax2+bx+c=0②若a2?5a+5=0，則③若b2?4ac<0，則方程④若方程x2+px+q=0的兩個實根中有且只有一個根為0，那么p≠0，A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得c=?2a，即可判斷；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判斷；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判斷；④利用根與系數(shù)的關系進行判斷．【解析】①若方程ax則x1x2=c②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴(1?a)③∵b2∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定無解，故此選項符合題意；④若方程x2+px+q＝0的兩個實根中有且只有一個根為0，∴兩根之積為0，那么p≠0，q＝0，故此選項符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判別式，根與系數(shù)的關系等，熟記各計算方法是解題的關鍵．拓展02根與系數(shù)的關系難點分析典例2．如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0①方程是“倍根方程”；②若(x?2)(mx+n)=0是“倍根方程”，則4m③若p,q滿足pq=2，則關于x的方程px④若方程ax2+bx+c=0【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判斷是否為“倍根方程”；②根據(jù)“倍根方程”和其中一個根，可求出另一個根，進而得到m，n之間的關系；③當p,q滿足pq=2時，有px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0④用求根公式求出兩個根，當x1=2x【解析】①解方程，得x1=2，∵x∴方程不是“倍根方程”．故①不正確；②∵(x?2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x1因此x2=1或當x2=1時，當x2=4時，∴4m2+5mn+③∵pq=2∴p∴x∴x因此px2+3x+q=0④方程ax2+bx+c=0若x1=2x即?b+b∴b+3∴b+3∴3∴9∴2若2x1=x∴?b+3∴?∴b=3∴b∴2b2故答案為：②③④．【點睛】本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問題的關鍵跟蹤訓練1．韋達是法國杰出的數(shù)學家，其貢獻之一是發(fā)現(xiàn)了多項式方程根與系數(shù)的關系，如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩實數(shù)根分別為x1,x2，則方程可寫成ax?x①x1+x2+x3=?ba，②【答案】①③【分析】仿照題意所給的方法，得到原方程為ax【解析】解；∵一元三次方程ax3+b∴ax?∴ax∴ax∴ax∴x1+x2+∴①③正確，②不正確；∵1==c∴④不正確，故答案為：①③．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，分式的化簡，多項式乘法的應用，正確理解題意是解題的關鍵．拓展03一元二次方程的綜合應用典例3．如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(8，0)，點B的坐標是(0，6)，連接AB．若動點P從點B出發(fā)沿著線段BA以5個單位每秒的速度向終點A運動，設運動時間為t秒．(1)求線段AB的長．(2)連接OP，當△OBP為等腰三角形時，過點P作線段AB的垂線與直線OB交于點M，求點M的坐標；(3)已知N點為AB的中點，連接ON，點P關于直線ON的對稱點記為P'(如圖2)，在整個運動過程中，若P'點恰好落在△AOB內(nèi)部(不含邊界)，請直接寫出【答案】(1)10(2)0,?73,,(3)當1439<t<1時，P'【分析】（1）勾股定理直接求解即可；（2）分PO=PB,BO=BP,OB=BP三種情形，分別討論，即可求解；（3）當P'在OA上時，過點N作NF⊥x軸于點F，過點O作，過點P作PG⊥y軸于點G，因為N點為AB的中點，由（2）可知N4,3，OE=245，根據(jù)等面積法求得PG=4t，進而得出BG=3t,OG=6?3t,PN=5?5t，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出OP=OP'，S△PON=【解析】（1）解：∵點A的坐標為(8，0)，點B的坐標是(0，6)，∴OA=8,OB=6，∴;（2）當PB=PO時，如圖，過點P作PD⊥y軸于點D，PC⊥x軸于點C，∴BQ=OQ=1∵PB=PO，∴∠PBO=∵∠POB+∴∠POA=∴PO=PA=1設OM=x,在Rt△PDM中，P在Rt△BPM中，P∴P即4解得：x=7∴M0,?當BP=BO=6時，如圖，過點P作PD⊥y軸于點D，PC⊥x軸于點C，過點O作于點E，∴DO=PC,DP=OC，∵S△∴OE=OB×OA∵S△∴PD=OE=設PC=a，PD=4.8，在中，a2+解得：，即OD=2.4，在Rt△PDM中，P在Rt△BPM中，P∴PD即4.8解得：x=4，∴M0,?4當時，如圖，∵OP=OB，∴∠OBP=∵MP⊥∴∠BPO+又∠BMP+∴∠OMP=∴OM=OP=OB=6，∴M0,?6綜上所述，M0,?73或M（3）如圖，當P'在OA上時，過點N作NF⊥x軸于點F，過點O作，過點P作PG⊥y軸于點G，∵N點為AB的中點，由（2）可知N4,3，OE=則NF=3，∵BP=5t，BO=6,AO=8，∴S△∴PG=BP×OE∴BG=B∴OG=6?3t，∵BN=1∴PN=5?5t，∵對稱，∴OP=OP'，∴S△即12∴OP=OP在Rt△OPG中，∴4t解得t=2（舍去）或t=當點P運動到點N，此時P,P',N重合，此時5t=5∴當1439<t<1時，P'【點睛】本題考查了勾股定理，解一元二次方程，坐標與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關鍵．跟蹤訓練1．探索發(fā)現(xiàn)如圖（1），在正方形ABCD中，E為BC邊上不與B,C重合的點，過點三點分別作DE的垂線，垂足分別為F,H,G．

（1）求證：；（2）求證：DF+BH=FH．遷移拓展如圖（2），在正方形ABCD中，E為直線BC上一點，過B點作DE的垂線，垂足為，若AB=5,BH=1，直接寫出的長．【答案】探索發(fā)現(xiàn)：（1）見解析；（2）見解析；遷移拓展：54或【分析】探索發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明三角形全等即可求解；（2）如圖，連接CH，作CM⊥CH，交DH于M點，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證△CBH≌△CDM(ASA)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求解；遷移拓展：分類討論，①如圖，當E點線段BC上時，作BN⊥AF，延長交BN于M點；②如圖，當E點CB的延長線上時；圖形結合分析即可求解．【解析】解：探索發(fā)現(xiàn)（1）證明：如圖所示，在正方形ABCD中，

AD=DC,∠∴∠∵CG，∴∠1=∵AF∴∠在△AFD,∠1=∴△∴DF=CG（2）證明：如圖，連接CH，作CM⊥CH，交DH于M點，

∵DH∴∠∵四邊形ABCD為正方形，∴∠∵∠∴∠∵CM∴∠∴∠∴∠在△CBH,∠1=∴△∴BH=DM，CH=CM∵∠∴CG=GM=GH，由（1）得，，∴DF=HG=GM∴DF+BH=MG+DM=DG∵DF=GH∴DG=FH∴DF+BH=FH遷移拓展：①如圖，當E點線段BC上時，作BN⊥AF，延長交BN于M點，

依題意，由①得：△ABN≌△BCM≌△CDG≌△DAF，∠AFG=∴AF=DG,AN=DF，∴FN=FG，∴四邊形MNFG為正方形，∴DG?CG=GF=NF=BH=1∵AB=5∴4∴DG∴(DG+CG∴DG+CG=7，設DG=m,CG=7?m(DG>CG)則m2+7?m2=25∴DG=4，CG=3設，則由可得x2+3解得：x=94∴CE=∴BE=5?15②如圖，當E點CB的延長線上時，

同理可得：DG=3，CG=4，設，則由可得x2+42+∴CE=∴BE=20綜上所得：的長是54或53【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的綜合，掌握圖形的變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，構造直角三角形，圖形結合，分類討論等知識是解題的關鍵．過關訓練一、單選題1．下列是一元二次方程的是（

）A．x2?2x+3C．a(chǎn)x2+bx+c=0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解析】解：A．是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B．是一元二次方程，故本選項符合題意；C．當a=0時，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；D．有兩個未知數(shù)，是二元方程，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．2．關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（

）A．1 B．1或 C． D．0.5【答案】C【分析】根據(jù)方程是一元二次方程，可得a?1≠0，將x=0代入方程，求出a的值即可．【解析】解：∵關于x的一元二次方程a?1x∴a?1≠0，a2∴a=?1；故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解．熟練掌握一元二次方程二次項系數(shù)不為0，使等式成立的未知數(shù)的值是方程的解，是解題的關鍵．3．解方程24x?3A．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法【答案】D【分析】方程的兩邊都有因式4x?3，分析可知分解因式法最為合適．【解析】解：2可化為：24x?3故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程——直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程時選擇適當?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關鍵．4．下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2?x+1=0 B． C．x2+x?1=0【答案】C【分析】先計算四個選項中方程的根的判別式的值，確定判別式的符號，選出判別式大于0的方程滿足條件，由此即可得出結論．【解析】解：A、Δ=?1B、Δ=?2C、Δ=1D、Δ=0故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數(shù)根，掌握并會利用解決問題是解題關鍵．5．用配方法解一元二次方程2x2?7x+6=0A．x?742=116 B．x?【答案】A【分析】先化二次項系數(shù)為1，把常數(shù)項3右移，然后等式兩邊同時加上一次項系數(shù)?72【解析】解：由原方程得，x2?72配方得：x2?72x+4916=-3+49故選：A．【點睛】本題考查解一元二次方程-配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號右邊；（2）把二次項系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，6．方程x2+2x?3=0的解為x1=1，x2A．x1=1，x2=3 B．x1【答案】D【分析】利用換元法解一元二次方程即可得．【解析】解：令y=2x+3，則方程2x+32+22x+3∵方程x2+2x?3=0的解為x1∴方程y2+2y?3=0的解為即2x解得x1故選：D．【點睛】本題考查了利用換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法是解題關鍵．7．若關于x的一元二次方程kx2+2x?1=0A．k≥?1且k≠0 B．k≥?1 C．k>?1 D．k>?1且k≠0【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程有實數(shù)根的條件可得Δ=22?4k×(?1)≥0【解析】解：根據(jù)題意，可得Δ=22?4k×(?1)≥0解得k≥?1且k≠0．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的根的判別式等知識，熟練掌握一元二次方程的定義以及一元二次方程的根的判別式是解題關鍵．8．新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費者喜愛，各種品牌相繼投放市場，我國新能源汽車近幾年銷量全球第一，2020年銷量為50.7萬輛，銷量逐年增加，到2022年銷量為125.6萬輛．設年平均增長率為x，可列方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設年平均增長率為x，由題意得等量關系：2020年銷量×（【解析】解：設年平均增長率為x，可列方程為：故選：A【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，設出未知數(shù)，列出方程．9．已知a，b是關于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足1A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，計算出a+b,ab再代入分式計算，即可求得m．【解析】解：由根與系數(shù)的關系得：a+b=?(2m+3),ab=m∴1即,解得：m=3或m=?1,而當m=?1時，原方程Δ=(2m+3)∴m=3故選C．【點睛】本題考查一元二次方程中根與系數(shù)的關系應用，求得結果后需進行檢驗是順利解題的關鍵．10．對于一元二次方程ax①若a?b+c=0，則b2②若方程ax2+c=0③若c是方程ax2+bx+c=0④若x0是一元二次方程ax其中正確的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的含義、一元二次方程根的判別式等知識逐個分析即可．【解析】由a?b+c=0，表明方程ax2+bx+c=0a≠0有實數(shù)根﹣1，表明一元二次方程ax∵方程ax∴方程x2即a與c異號．∴-ac>0，∴Δ=b∴方程ax故②正確；∵c是方程ax∴ac即c(ac+b+1)=0當時，一定有成立；當c=0時，則不一定成立，例如：方程3x2+2x=0，則故③錯誤；∵x0是一元二次方程a∴ax∴c=?ax∴b2故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解等知識，熟練掌握這些知識是解答本題的關鍵．二、填空題11．x2+5x+7=0的二次項系數(shù)是、常數(shù)項是【答案】17【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式找出二次項系數(shù)和常數(shù)項即可．【解析】解：x2故答案為：1，7．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a12．關于x的方程2?mxm2?2+5x?3=0【答案】?2【分析】根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．【解析】解：依題意可得2?m≠0，m解得m=?2故答案為：?2．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，關鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．13．已知x2－6x+8＝0的兩個根分別是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的面積是．【答案】15【分析】先解一元二次方程，再利用等腰三角形的性質(zhì)進行分類討論．【解析】解：∵x2∴(x?2)(x?4)=0，∴x1=2，當2為腰，4為底時，不能構成等腰三角形；當4為腰，2為底時，能構成等腰三角形，如下圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=2,AD為底邊上的高，∴BD=1，∴AD=A∴S△故答案為：15．【點睛】本題考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握因式分解法，并運用三角形的三邊關系進行分類討論是關鍵．14．已知x2＝2x+15，則代數(shù)式(x+2)2【答案】202或【分析】直接將原式分解因式，再把x的值代入進而計算得出答案．【解析】解：(x+＝(x+＝2x×2＝42∵x2∴x2（x﹣5）（x+3）＝0，∴x＝5或x＝﹣3．當x＝5時，原式＝4；當x＝﹣3時，原式＝42【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確運用乘法公式是解題關鍵．15．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)比賽（每兩隊之間都賽一場），計劃安排15場比賽，應邀請多少個隊參加比賽？設應邀參加比賽的球隊有x個，則可以列方程為．【答案】1【分析】設邀請x個隊參加比賽，則每個隊比賽x?1場，可得方程：12【解析】解：設邀請x個隊參加比賽，則每個隊比賽x?1場，所以：12故答案為：12【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，掌握利用一元二次方程解決比賽場次問題是解題的關鍵．16．已知關于x的方程kx2+3k?1x+2k?1=0【答案】0或1或【分析】分k=0和k≠0兩種情況，再分別解一元一次方程和一元二次方程，然后根據(jù)解都是整數(shù)即可得．【解析】由題意，分以下兩種情況：（1）當k=0時，方程為?x?1=0，解得x=?1，滿足解是整數(shù)；（2）當k≠0時，方程kx因式分解，得x+1kx+2k?1解得x1∵方程的解都是整數(shù)，k也是整數(shù)，∴1∴整數(shù)k=1或k=?1；綜上，整數(shù)k的值為0或1或，故答案為：0或1或．【點睛】本題考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關鍵．17．已知：關于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均為常數(shù)，a≠0)．（1）關于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是；（2）關于x的方程a(x+3k)+2022=0的根為．【答案】x1=?4，x2=?1【分析】（1）可把方程a(x+k+2)+2022=0看作關于x+2的一元二次方程，從而得到x+2=?2或x+2=1，然后解兩個一元一次方程即可；（2）把x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，求出a和k的值，再將a和k的值代入a(x+3k)+2022=0，解一元二次方程即可．【解析】解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作關于x+2的一元二次方程，而關于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1，∴x+2=?2或x+2=1，∴x1=?4，故答案為：x1=?4，（2）將x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，得：a?2+k解得：k=12，代入a(x+3k)+2022=0得?2696即x+3∴x+32=∴，x2=?3故答案為：，x2=?3【點睛】本題考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握換元法、直接開方法解一元二次方程的方法步驟并正確計算是解題的關鍵．18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0①若a，c異號，則方程ax②若b2＞5ac，則方程③若b=a+c，則方程ax④若a=1，b=2，c=?3，由根與系數(shù)的關系可得x其中正確的結論是：（填序號）．【答案】①②③【分析】當a、c異號時，Δ＞0，則根據(jù)判別式的意義可對①進行判斷；當b2＞5ac時，Δ＞0，可判斷方程ax2+bx+c=0一定有兩異實數(shù)根，則可對②進行判斷；當b=a+c時，則Δ=(a?c)2≥0，則根據(jù)判別式的意義可對③進行判斷；若a=1，b=2，c=-3，計算出Δ=16>0，則可對【解析】解：∵Δ=b2∴當a、c異號時，ac＜0，所以Δ＞0，所以此時方程ax2+bx+c=0當時，若a、c異號，則Δ=b2?4ac＞0，此時方程ax2+bx+c=0一定有兩異實數(shù)根，若ac同號或0，則b2若b=a+c時，Δ=(a+c)2?4ac=(a?c)2若a=1，b=2，c=-3，Δ=22?4×1×(?3)=16>0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以x1故答案為：①②③．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是先通過根的判別式判斷一元二次方程根的情況，若Δ≥0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a三、解答題19．用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?）；（2）(x+a)（3）2x（4）．【答案】（1）x1=63，x2=?63；（2）x1=【分析】（1）先變形為x2（2）先變形為x2（3）運用公式法求解；（4）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程．【解析】原方程可化為0.5x∴x2用直接開平方法，得方程的根為x1=6（2）原方程可化為x2+2ax+a2=4x2+2ax+a24，∴x2=用直接開平方法，得原方程的根為x1=1（3）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=?(?4)±∴x1=2+（4）將方程整理，得(1-2)x2-(1+2)x=0用因式分解法，得x[(1-2)x-(1+2)]=0，，．【點睛】本題考查了解一元二次方程的方法，當把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的式子的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．當化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程．20．已知關于x的方程m?3x（1）當m為何值時，方程只有一個實數(shù)根？（2）當m為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？（3）當m為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？【答案】(1)m=3;(2)m=114;(3)m>【分析】（1）令二次項為0，即m?3=0時求解即可；（2）根據(jù)根的判別式令△=b2-4ac=0，然后求解即可；（3）根據(jù)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根，然后求解即可.【解析】（1）∵方程m?3x2?2m?2（2）∵方程m?3x2?2m?2x+m?5=0有兩個相等的實數(shù)根，（3）∵方程m?3x∴Δ=?2m?22?4m?3m?5>0且m?3≠0【點睛】本題考查了根的判別式．解題的關鍵是根據(jù)根的判別式計算的結果能分3種情況討論．21．已知關于x的一元二次方程kx2(1)求證：不論k為何值，這個方程都有兩個實數(shù)根；(2)若此方程的兩根均整數(shù)，求整數(shù)k的值．【答案】(1)證明見解析(2)k的值為±2或【分析】（1）先計算判別式的值得到Δ，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，則根據(jù)判別式的意義即可得到結論；（2）先利用因式分解法求得kx2+(k?2)x?2=0(k≠0)的解為x1=【解析】（1）證明：∵Δ=(k?2∴不論k為何值，該方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：原方程的兩根為x=?(k?2)±(k+2)2k，即x1∵方程的根為整數(shù)，k為整數(shù)，∴k的值為±2或．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式，解一元二次方程，Δ=b2?4ac：當22．已知：關于x的方程x2?(1)求實數(shù)m的取值范圍，(2)若方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足【答案】(1)m<1(2)m=?2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式求解即可；（2）由方程根與系數(shù)的關系得出關于m的一元二次方程求解，然后結合（1）中結果求解即可．【解析】（1）解：x2其中a=1，b=-(8-4m)，c=4m∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ=b即?解得：m<1；（2）∵方程有兩個實數(shù)根，∴x1+x∵x1∴8?4m=4解得：m1由（1）得m<1，∴m=-2．【點睛】題目主要考查一元二次方程的根的判別式與根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的基礎知識點是解題關鍵．23．如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12米的住房墻，另外三邊用25米長的建筑材料圍成的，為了方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一扇1米寬的門．當所圍矩形與墻垂直的一邊長為多少時，豬舍面積為80平方米？【答案】當所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，豬舍面積為80平方米【分析】設矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊的長為(25-2x+1)m，根據(jù)題意可列出關于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合題意的解即可．【解析】解：設矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊的長為(25-2x+1)m，由題意得：x(25-2x+1)=80，整理，得：x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，當x=5時，26-2x=16>12（舍去），當x=8時，26-2x=10<12．答：當所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，豬舍面積為80平方米．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用．讀懂題意，看懂圖形，列出一元二次方程是解題關鍵．24．閱讀材料題：我們知道a2≥0，所以代數(shù)式a2的最小值為0，學習了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用例如：求x2解：∵x2又∵x+32∴x+3∴x2請應用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：x2?4x+6=(2)代數(shù)式?x2?8x有最(3)如圖，長方形花圃一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍成的棚欄的總長是20m，棚欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)x?2(2)大，16(3)當長方形花圃垂直于墻的長度為5m，平行于墻的長度為10m時，花圃的面積最大，最大為50【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）仿照題意利用配方法求解即可；（3）設長方形花圃垂直于墻的長度為xm，則平行于墻的長度為（20-2x）m，長方形花圃面積為S，利用長方形面積公式得到S=?2x?5【解析】（1）解：x2故答案為：x?22（2）解：∵?x又∵x+42∴?x+4∴?x+4∴?x故答案為：大，16；（3）解：設長方形花圃垂直于墻的長度為xm，則平行于墻的長度為（20-2x）m，長方形花圃面積為S，∴S=x20?2x又∵x?52∴?2x?5∴?2x?5∴當x=5時，S有最大值，最大值為50，∴當長方形花圃垂直于墻的長度為5m，平行于墻的長度為10m時，花圃的面積最大，最大為50m【點睛】本題主要考查了配方法的應用，正確理解題意掌握配方法是解題的關鍵．25．當m，n為實數(shù)，且滿足m+nm=n時，就稱點Pm,mn為“狀元點”．已知點A（0，7）和點M都在直線y=x+b上，點B，C是“狀元點”，且B(1)求b的值及判斷點