專項21-用公式法求解一元二次方程-重難點題型

用公式法求解一元二次方程-重難點題型【知識點1公式法解一元二次方程】當b2?4ac≥0時，方程ax2【題型1用公式法解一元二次方程】【例1】（淮北月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．【變式1-1】（朝陽區(qū)期中）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【變式1-2】（江干區(qū)期末）解下列一元二次方程：34【變式1-3】（達川區(qū)期末）解方程：3x2﹣43x+2＝0（用公式法解）．【題型2求根公式的應(yīng)用】【例2】（和平區(qū)期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的兩個實數(shù)根中較小的一個根是m（m≠0），則b+bA．m B．﹣m C．2m D．﹣2m【變式2-1】（福州模擬）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1=?b+b2+42A．a(chǎn)＝﹣1 B．c＝1 C．a(chǎn)c＝﹣1 D．ca【變式2-2】（宜興市校級月考）已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的兩個實數(shù)根中較小的根，（1）求a2﹣4a+2013的值；（2）化簡求值：a2【變式2-3】先閱讀下列材料，然后回答問題：在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各項的系數(shù)之和為零，即a+b+c＝0，則有一根為1，另一根為ca證明：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由a+b+c＝0，知b＝﹣（a+c），∵x=∴x1＝1，x2=c（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各項系數(shù)滿足a﹣b+c＝0，則兩根的情況怎樣，試說明你的結(jié)論；（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有兩個相等的實數(shù)根，運用上述結(jié)論證明：2b【知識點2一元二次方程根的判別式】一元二次方程根的判別式：?=①當?=②當?=③當?=b2【題型3應(yīng)用根的判別式判斷方程根的情況】【例3】（河南模擬）下列關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0【變式3-1】（濱城區(qū)一模）關(guān)于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定【變式3-2】（涼山州）函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【變式3-3】（鹿城區(qū)校級期中）已知a，b，c分別是△ABC的邊長，則一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判斷【題型4已知方程根的情況求字母系數(shù)的值或范圍】【例4】（菏澤）關(guān)于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞14且k≠1 B．k≥14且k≠1 C．k＞【變式4-1】（廣安）關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤14且a≠﹣2 B．a(chǎn)≤14 C．a(chǎn)＜14且【變式4-2】（臺江區(qū)校級月考）若關(guān)于x的方程x2?mx+n＝0有兩個相等的實根，則mn=【變式4-3】（海門市模擬）關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，x取m和m+2時，代數(shù)式x2+bx+c的值都等于n，則n＝．【題型5根的判別式的綜合應(yīng)用】【例5】（海淀區(qū)二模）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根小于1，求m的取值范圍．【變式5-1】（蕭山區(qū)期中）已知：關(guān)于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求證：無論k取何值，方程都有實根；（2）若x＝﹣1是該方程的一個根，求k的值；（3）若方程的兩個實根均為正整數(shù)，求k的值（k為整數(shù)）．【變式5-2】（廣東模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是這個方程的一個根，求k的值和它的另一根；（2）求證：無論k取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根．（3）若等腰三角形的一邊長為5，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．【變式5-3】（安居區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的兩個實數(shù)根．（1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根．（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝5，另兩邊b，c的長度恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【題型6根的判別式中新定義問題】【例6】（鄭州模擬）定義新運算“a*b”：對于任意實數(shù)a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則方程的根的情況為（）A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【變式6-1】（瑤海區(qū)期末）對于實數(shù)a、b，定義運算“★”：a★b=a2?b(a≤b)b2?a(a＞b)，關(guān)于x的方程（2x+1）★（2A．t＜154 B．t＞154 C．t＜?【變式6-2】（瑤海區(qū)期中）對于實數(shù)m、n，定義一種運算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△32得值；（2）如果關(guān)于x的方程x△（a△x）=?14有兩個相等的實數(shù)根，求實數(shù)【變式6-3】（麗水期中）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的邊長，易知AE=2c，這時我們把關(guān)于x的形如ax2+2cx+（1）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0的一個根，且四邊形ACDE的周長是12，求△ABC

用公式法求解一元二次方程-重難點題型（解析版）【知識點1公式法解一元二次方程】當b2?4ac≥0時，方程ax2【題型1用公式法解一元二次方程】【例1】（淮北月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，則x=?b±即x1=5+292，x【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（朝陽區(qū)期中）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【分析】根據(jù)一元二次方程的公式法即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，∴x=?b±∴x1=1+136，x【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式1-2】（江干區(qū)期末）解下列一元二次方程：34【分析】整理后利用公式法求解可得．【解答】解：整理，得：3x2﹣8x﹣2＝0，∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2，∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0，則x=8±2226=4±223，即x【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（達川區(qū)期末）解方程：3x2﹣43x+2＝0（用公式法解）．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：3x2﹣43x+2＝0，∵a＝3，b＝﹣43，c＝2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣43）2﹣4×3×2＝24，∴x=4則x1=23+63【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟記公式x=?b±【題型2求根公式的應(yīng)用】【例2】（和平區(qū)期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的兩個實數(shù)根中較小的一個根是m（m≠0），則b+bA．m B．﹣m C．2m D．﹣2m【分析】根據(jù)公式得出?b?b2【解答】解：∵x2+bx+4＝0的兩個實數(shù)根中較小的一個根是m，∴?b?b2解得：b+b2?16故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵．【變式2-1】（福州模擬）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1=?b+b2+42A．a(chǎn)＝﹣1 B．c＝1 C．a(chǎn)c＝﹣1 D．ca【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式與根與系數(shù)的關(guān)系可得答案．【解答】解：根據(jù)一元二次方程的求根公式可得：x1=?b+b2?4ac2a∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1=?b+b2+42∴x1+x2＝﹣b=?ba，x1?x2∴當b≠0時，a＝1，c＝﹣1，則ac＝﹣1，故選：D．【點評】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，屬于基礎(chǔ)題目．【變式2-2】（宜興市校級月考）已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的兩個實數(shù)根中較小的根，（1）求a2﹣4a+2013的值；（2）化簡求值：a2【分析】（1）將a代入方程確定出a2﹣4a的值，代入原式計算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)a的范圍化簡原式即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）將x＝a代入方程得：a2﹣4a＝﹣2，則原式＝﹣2+2013＝2011；（2）方程解得：a=4?222∴a﹣1＜0，則原式=?a?1a?1?（a﹣1）＝﹣1﹣a+1＝﹣【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2-3】先閱讀下列材料，然后回答問題：在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各項的系數(shù)之和為零，即a+b+c＝0，則有一根為1，另一根為ca證明：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由a+b+c＝0，知b＝﹣（a+c），∵x=∴x1＝1，x2=c（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各項系數(shù)滿足a﹣b+c＝0，則兩根的情況怎樣，試說明你的結(jié)論；（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有兩個相等的實數(shù)根，運用上述結(jié)論證明：2b【分析】（1）由a﹣b+c＝0，可得出b＝a+c，結(jié)合給定材料可猜測方程的兩根中有一根為﹣1，另一根為?c（2）將方程系數(shù)相加即可得知“ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0”，滿足給定材料的條件，由此得出方程的兩根分別為1和ab?acac?bc，由題意可知ab?ac【解答】解：（1）有一根為﹣1，另一根為?c證明：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由a﹣b+c＝0，知b＝a+c，∵x=?b±∴x1＝﹣1，x2=?c（2）證明：∵ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0，∴方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）的兩根分別為1和ab?acac?bc∵方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有兩個相等的實數(shù)根，∴ab?acac?bc=1，即ab﹣ac＝ac﹣∴ab+bc＝2ac．∵abc≠0，∴1a【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及求根公式，解題的關(guān)鍵：（1）利用求根公式表示出x；（2）將方程系數(shù)相加得出方程的兩個分別為1和ab?acac?bc【知識點2一元二次方程根的判別式】一元二次方程根的判別式：?=①當?=②當?=③當?=【題型3應(yīng)用根的判別式判斷方程根的情況】【例3】（河南模擬）下列關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0【分析】利用根的判別式△＝b2﹣4ac逐一求出四個方程的△的值，取其為正值的選項即可得出結(jié)論．【解答】解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0沒有實數(shù)根；B、方程變形為x2﹣2x+1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有兩個相等的實數(shù)根；C、方程變形為x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有兩個不相等的實數(shù)根；D、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2+1＝0沒有實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（濱城區(qū)一模）關(guān)于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定【分析】根據(jù)根的判別式△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4＞0即可作出判斷．【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝k2﹣4k+4+16﹣4k＝k2﹣8k+20＝k2﹣8k+16+4＝（k﹣4）2+4＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【點評】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．【變式3-2】（涼山州）函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【分析】先利用一次函數(shù)的性質(zhì)得k＜0，b＜0，再計算判別式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判斷△＞0，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：根據(jù)圖象可得k＜0，b＜0，所以b2＞0，﹣4k＞0，因為△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，所以△＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了一次函數(shù)圖象．【變式3-3】（鹿城區(qū)校級期中）已知a，b，c分別是△ABC的邊長，則一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判斷【分析】由于這個方程是一個一元二次方程，所以利用根的判別式可以判斷其根的情況．而△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可判斷．【解答】解：△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．∵a，b，c分別是三角形的三邊，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，∴△＜0，∴方程沒有實數(shù)根．故選：A．【點評】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系、一元二次方程的根的判別式等知識點．重點是對（2c）2﹣4（a+b）（a+b）進行因式分解．【題型4已知方程根的情況求字母系數(shù)的值或范圍】【例4】（菏澤）關(guān)于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞14且k≠1 B．k≥14且k≠1 C．k＞【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0兩種情況，利用根的判別式求解可得．【解答】解：當k﹣1≠0，即k≠1時，此方程為一元二次方程．∵關(guān)于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數(shù)根，∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥1當k﹣1＝0，即k＝1時，方程為3x+1＝0，顯然有解；綜上，k的取值范圍是k≥1故選：D．【點評】本題主要考查根的判別式和一元二次方程的定義，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．【變式4-1】（廣安）關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤14且a≠﹣2 B．a(chǎn)≤14 C．a(chǎn)＜14且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a+2≠0且△≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有實數(shù)根，∴△≥0且a+2≠0，∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，解得：a≤14且故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．【變式4-2】（臺江區(qū)校級月考）若關(guān)于x的方程x2?mx+n＝0有兩個相等的實根，則mn=【分析】先根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根得出△＝0即可得到關(guān)于m、n的方程，進而即可求得mn【解答】解：∵關(guān)于x的方x2?mx+n∴△＝（?m）2﹣4∴m＝4n，∴mn故答案為：4．【點評】本題考查的是根的判別式，根據(jù)題意得出關(guān)于m、n的方程是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-3】（海門市模擬）關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，x取m和m+2時，代數(shù)式x2+bx+c的值都等于n，則n＝．【分析】根據(jù)題意得到△＝b2﹣4c＝0，求得c=b24，把原方程可表示為x2+bx+b24=0，根據(jù)x取m和m+2時，代數(shù)式x2+bx+c的值相等，得到m2+bm+b24=（m+2）2+b（m+2）+b24，解得b【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝b2﹣4c＝0，∴c=b∴原方程可表示為：x2+bx+b∵x取m和m+2時，代數(shù)式x2+bx+c的值相等，∴m2+bm+b24=（m+2）2+b（∴b＝﹣2m﹣2，∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x+(2m+2當x＝m時，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）m+(2m+2)24=m2﹣2m2﹣2m+故答案為：1．【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解，代數(shù)式的求值，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型5根的判別式的綜合應(yīng)用】【例5】（海淀區(qū)二模）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根小于1，求m的取值范圍．【分析】（1）計算判別式的值，利用配方法得到△＝（m﹣4）2，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論．（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根據(jù)題意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，∴x=?b±∴x1＝m﹣2，x2＝2．∵此方程有一個根小于1．∴m﹣2＜1．∴m＜3．【點評】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解的定義，在解答（2）時得到方程的兩個根是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（蕭山區(qū)期中）已知：關(guān)于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求證：無論k取何值，方程都有實根；（2）若x＝﹣1是該方程的一個根，求k的值；（3）若方程的兩個實根均為正整數(shù)，求k的值（k為整數(shù)）．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義得k≠0，再計算判別式得到△＝（2k﹣3）2，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即k的取值得到△≥0，則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；（3）求出方程的根，方程的兩個實根均為正整數(shù)，求出k的值．【解答】（1）證明：當k≠0時，∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴△＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∴△＝（2k﹣3）2≥0，當k＝0時，3x﹣3＝0，解得x＝1．∴無論k取何值，方程都有實根；（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k=3故k的值34（3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，∵運用公式法解方程可知道此方程的根為x=?b±∴此方程的兩個根分別為x1＝1，x2＝3?3∵方程的兩個實根均為正整數(shù)，∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．【點評】本題主要考查了根的判別式的知識，熟知一元二次方程的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵，此題難度不大．【變式5-2】（廣東模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是這個方程的一個根，求k的值和它的另一根；（2）求證：無論k取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根．（3）若等腰三角形的一邊長為5，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．【分析】（1）把x＝1代入已知方程，列出關(guān)于k的新方程，通過解新方程來求k的值；然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來求方程的另一根；（2）根據(jù)根的判別式的符號進行論證；（3）通過解方程求得該三角形的另兩邊的長度，然后由三角形的三邊關(guān)系和三角形的周長公式進行解答．【解答】解：（1）把x＝1代入x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣k﹣2+2k＝0，解得k＝1．設(shè)方程的另一根為t，則t＝2k＝2．即k的值為1，方程的另一根為2；（2）∵△＝（k﹣2）2≥0，∴對于任意實數(shù)k，原方程一定有實數(shù)根；（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0此方程的兩根為x1＝k，x2＝2若x1≠x2，則x1＝5，此等腰三角形的三邊分別為5，5，2，周長為12．若x1＝x2＝2，等腰三角形的三邊分別為2，2，5，不存在此三角形，所以，這個等腰三角形的周長為12．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程總有實數(shù)根應(yīng)根據(jù)判別式來做，等腰三角形的周長應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．【變式5-3】（安居區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的兩個實數(shù)根．（1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根．（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝5，另兩邊b，c的長度恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可證得結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可知b＝c或b、c中有一個為5，①當b＝c時，根據(jù)根的判別式△＝0，解之求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出該種情況不合適；②當方程的一根為5時，將x＝5代入原方程求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定△ABC的三條邊，結(jié)合三角形的周長即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根；（2）∵△ABC為等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一個為5．①當b＝c時，△＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，∴原方程為x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能構(gòu)成三角形．該三角形的周長為4+4+5＝13．②當b或c中的一個為5時，將x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，∴原方程為x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．∵4、5、5能組成三角形，∴該三角形的周長為4+5+5＝14．綜上所述，該三角形的周長是13或14．【點評】本題考查了根的判別式、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有實數(shù)根”；（2）題需要分類討論，以防漏解．【題型6根的判別式中新定義問題】【例6】（鄭州模擬）定義新運算“a*b”：對于任意實數(shù)a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則方程的根的情況為（）A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】利用新運算把方程x*k＝xk（k為實數(shù)）化為x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再計算判別式的值得到△＞0，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，∴關(guān)于x的方程x*k＝xk（k為實數(shù)）化為x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理為x2﹣3kx+k2﹣2＝0，∵△＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝k2+8＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．【變式6-1】（瑤海區(qū)期末）對于實數(shù)a、b，定義運算“★”：a★b=a2?b(a≤b)b2?a(a＞b)，關(guān)于x的方程（2x+1）★（2A．t＜154 B．t＞154 C．t＜?【分析】分兩種情況：①當2x+1≤2x﹣3成立時；②當2x+1＞2x﹣3成立時；進行討論即可求解．【解答】解：①當2x+1≤2x﹣3成立時，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b時不成立；②當2x+1＞2x﹣3成立時，即1＞﹣3，所以a＞b時成立；則（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，化簡得：4x2﹣14x