2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第四章4.5.1兩角和與差的正弦余弦和正切學(xué)案文含解析新人教版

PAGE第1課時兩角和與差的正弦、余弦和正切eq\x(考點一)三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用[自主練透型]1．[2024·山西呂梁階段檢測]sin7°cos37°－sin83°cos307°＝()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)2．[2024·湖南益陽、湘潭質(zhì)量統(tǒng)測]已知sinα＝eq\f(1,3)(角α為其次象限角)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A.eq\f(4－\r(2),6)B.eq\f(\r(2)－2,6)C.eq\f(4＋\r(2),6)D.eq\f(\r(2)－4,6)3．[2024·全國卷Ⅲ]已知2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝7，則tanθ＝()A．－2B．－1C．1D．2悟·技法三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略(1)運用兩角和、差及倍角公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號改變規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”．(2)運用公式求值，應(yīng)留意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.考點二三角函數(shù)公式的活用[互動講練型][例1](1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC的值為()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)(2)[2024·陜西漢中模擬]化簡：eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．－eq\f(\r(3),3)悟·技法三角函數(shù)公式活用技巧(1)逆用公式應(yīng)精確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)建條件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，留意公式的正用、逆用和變形運用(如本例(1)).[變式練]——(著眼于舉一反三)1．已知sin2α＝eq\f(1,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)2．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(11π,6)))＝________.3．(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝________.考點三角的變換[互動講練型][例2](1)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－2，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－3D．3(2)[2024·百校聯(lián)盟聯(lián)考]已知α、β都是銳角，cos(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(α－β)＝eq\f(3,5)，則sinα＝()A.eq\f(9\r(130),130)B.eq\f(7\r(130),130)C.eq\f(7\r(65),65)D.eq\f(4\r(65),65)悟·技法利用角的變換求三角函數(shù)值的策略(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，一般把“所求角”表示為兩個“已知角”的和或差的形式．(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．(3)常見的角變換技巧：α＝2·eq\f(α,2)；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝eq\f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]；β＝eq\f(1,2)[(α＋β)－(α－β)]；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)).(4)特別角的拆分：eq\f(7π,12)＝eq\f(π,3)＋eq\f(π,4)，eq\f(5π,12)＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,6)，eq\f(π,12)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,4).[變式練]——(著眼于舉一反三)4．已知α，β均為銳角，cosα＝eq\f(4,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，則tanβ＝________.5．若cos(75°－α)＝eq\f(1,3)，則cos(30°＋2α)＝________.第1課時兩角和與差的正弦、余弦和正切課堂考點突破考點一1．解析：sin7°cos37°－sin83°cos307°＝sin7°cos37°－cos7°sin37°＝sin(7°－37°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2)，故選A.答案：A2．解析：因為角α為其次象限角，且sinα＝eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\f(2\r(2),3).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(2),3)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)－4,6).故選D.答案：D3．解析：2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2tanθ－eq\f(tanθ＋1,1－tanθ)＝7，整理可得tan2θ－4tanθ＋4＝0，∴tanθ＝2，故選D.答案：D考點二例1解析：(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq\f(3π,4)，則C＝eq\f(π,4)，cosC＝eq\f(\r(2),2).(2)eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝eq\f(sin10°cos10°,cos10°－\r(3)sin10°)＝eq\f(2sin10°cos10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(sin20°,4sin30°－10°)＝eq\f(1,4)，故選A.答案：(1)B(2)A變式練1．解析：cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：D2．解析：由cos(α＋eq\f(π,6))－sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα－sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(3,2)sinα＝eq\r(3)(eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(4\r(3),5)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(4,5).sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(11π,6)))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(11π,6)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)3．解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2.答案：2考點三例2解析：(1)∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－2，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＋\f(π,4)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))·tan\f(π,4))＝eq\f(－2＋1,1－－2×1)＝－eq\f(1,3)，故選A.(2)∵α、β都是銳角，∴0<α＋β<π，－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又∵cos(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(α－β)＝eq\f(3,5)，∴sin(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(α－β)＝eq\f(4,5)，則cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(5,13)×eq\f(4,5)－eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＝－eq\f(16,65).∵cos2α＝1－2sin2α＝－eq\f(16,65)，∴sin2α＝eq\f(81,130)，∵sinα>0，∴sinα＝eq\f(9\r(130),130)，故選A.答案：(1)A(2)A變式練4．解析：由于α為銳角，且cosα＝eq\f(4,5)，故sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq