2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計數(shù)原理組合數(shù)的綜合應(yīng)用習(xí)題課教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE組合數(shù)的綜合應(yīng)用(習(xí)題課)新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求理解組合數(shù)的概念,能利用組合數(shù)公式解決簡潔的實際問題.1.進一步理解組合的定義,嫻熟駕馭組合數(shù)公式的應(yīng)用.(數(shù)學(xué)建模)2.能解決含有限制條件的組合問題,駕馭常見的類型及解決策略.(邏輯推理)3.能解決簡潔的排列、組合的綜合問題.(邏輯推理)關(guān)鍵實力·素養(yǎng)形成類型一簡潔的組合問題【典例】1.特崗老師是中心實施的一項對中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教化的特別政策.某教化行政部門為本地兩所農(nóng)村小學(xué)聘請了6名特崗老師,其中體育老師2名,數(shù)學(xué)老師4名.按每所學(xué)校1名體育老師,2名數(shù)學(xué)老師進行安排,則不同的安排方案有()A.24 B.14 C.12 D.82.男運動員6名,女運動員4名,其中男女隊長各1名,選派5人外出競賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運動員3名,女運動員2名.(2)至少有1名女運動員.(3)既要有隊長,又要有女運動員.【思維·引】1.依據(jù)題意,假設(shè)兩個學(xué)校為甲、乙,先為甲學(xué)校支配1名體育老師,2名數(shù)學(xué)老師,再將剩下的1名體育老師,2名數(shù)學(xué)老師支配給乙學(xué)校,由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案.2.(1)依據(jù)組合數(shù)公式將問題分步進行.(2)分四類求解,也可以用間接法.(3)分兩類:男隊長、女隊長,當(dāng)是男隊長時再選女隊員,最終選男隊員,當(dāng)是女隊長時,其余隊員可以隨意選.【解析】1.選C.依據(jù)題意,假設(shè)兩個學(xué)校為甲、乙,先為甲學(xué)校支配1名體育老師,2名數(shù)學(xué)老師,有QUOTE=12種選法,再將剩下的1名體育老師,2名數(shù)學(xué)老師支配給乙學(xué)校,有1種選法,則有12種不同的安排方案.2.(1)第一步:選3名男運動員,有QUOTE種選法;其次步:選2名女運動員,有QUOTE種選法,故共有QUOTE·QUOTE=120(種)選法.(2)方法一(干脆法):“至少有1名女運動員”包括以下幾種狀況,1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分類加法計數(shù)原理知共有QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=246(種)選法.方法二(間接法):不考慮條件,從10人中任選5人,有QUOTE種選法,其中全是男運動員的選法有QUOTE種,故“至少有1名女運動員”的選法有QUOTE-QUOTE=246(種).(3)當(dāng)有女隊長時,其他人選法隨意,共有QUOTE種選法;不選女隊長時,必選男隊長,共有QUOTE種選法,其中不含女運動員的選法有QUOTE種,故不選女隊長時共有QUOTE-QUOTE種選法.所以既有隊長又有女運動員的選法共有QUOTE+QUOTE-QUOTE=191(種).【內(nèi)化·悟】在選擇解題方法時,何時采納干脆法,何時采納間接法?提示:正面考慮狀況較多時通常采納間接法,在某些特定問題上,也可充分考慮“正難則反”的思維方式.【類題·通】解簡潔的組合應(yīng)用題的策略(1)解簡潔的組合應(yīng)用題時,首先要推斷它是不是組合問題,組合問題與排列問題的根本區(qū)分在于排列問題與取出元素之間的依次有關(guān),而組合問題與取出元素的依次無關(guān).(2)要留意兩個基本原理的運用,即分類與分步的敏捷運用.提示:在分類和分步時,肯定留意有無重復(fù)或遺漏.【習(xí)練·破】1.(2024·新高考全國Ⅰ卷)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只去1個場館,甲場館支配1名,乙場館支配2名,丙場館支配3名,則不同的支配方法共有()A.120種 B.90種 C.60種 D.30種【解析】選C.甲場館支配1名有QUOTE種方法,乙場館支配2名有QUOTE種方法,丙場館支配3名有QUOTE種方法,所以由分步乘法計數(shù)原理得不同的支配方法共有QUOTE=60種.2.在一次數(shù)學(xué)競賽中,某學(xué)校有12人通過了初試,學(xué)校要從中選出5人去參與市級培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法?(1)隨意選5人.(2)甲、乙、丙三人必需參與.(3)甲、乙、丙三人不能參與.(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與.(5)甲、乙、丙三人至少1人參與.(6)甲、乙、丙三人至多2人參與.【解析】(1)有QUOTE=792種不同的選法.(2)甲、乙、丙三人必需參與,只需從另外的9人中選2人,共有QUOTE=36種不同的選法.(3)甲、乙、丙三人不能參與,只需從另外的9人中選5人,共有QUOTE=126種不同的選法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與,分兩步,先從甲、乙、丙中選1人,有QUOTE=3種選法,再從另外的9人中選4人,有QUOTE種選法,共有QUOTE=378種選法.(5)方法一(干脆法):可分為三類:第一類:甲、乙、丙中有1人參與,共有QUOTE=378種;其次類:甲、乙、丙中有2人參與,共有QUOTE=252種;第三類:甲、乙、丙中有3人參與,共有QUOTE=36種;共有QUOTE+QUOTE+QUOTE=666種不同的選法.方法二(間接法):12人中隨意選5人,共有QUOTE種,甲、乙、丙三人都不能參與的有QUOTE種,所以,共有QUOTE-QUOTE=666種不同的選法.(6)方法一(干脆法):甲、乙、丙三人至多2人參與,可分為三類:第一類:甲、乙、丙都不參與,共有QUOTE種;其次類:甲、乙、丙中有1人參與,共有QUOTE種;第三類:甲、乙、丙中有2人參與,共有QUOTE種.共有QUOTE+QUOTE+QUOTE=756種不同的選法.方法二(間接法):12人中隨意選5人,共有QUOTE種,甲、乙、丙三人全參與的有QUOTE種,所以,共有QUOTE-QUOTE=756種不同的選法.【加練·固】將四個編號為1,2,3,4的小球放入四個編號為1,2,3,4的盒子中.(1)有多少種放法?(2)若每盒至多一球,則有多少種放法?(3)若恰好有一個空盒,則有多少種放法?(4)若每個盒內(nèi)放一個球,并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同,則有多少種放法?【解析】(1)每個小球都可能放入四個盒子中的任何一個,將小球一個一個放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(種)放法.(2)這是全排列問題,共有QUOTE=24(種)放法.(3)先取四個球中的兩個“捆”在一起,有QUOTE種選法,把它與其他兩個球共三個元素分別放入四個盒子中的三個盒子,有QUOTE種投放方法,所以共有QUOTE=144(種)放法.(4)一個球的編號與盒子編號相同的放法有QUOTE種,當(dāng)一個球與一個盒子的編號相同時,用局部列舉法可知其余三個球的投入方法有2種,故共有QUOTE×2=8(種)放法.類型二與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題【典例】1.空間中有10個點,其中有5個點在同一個平面內(nèi),其余點無三點共線,四點共面,則以這些點為頂點,共可構(gòu)成四面體的個數(shù)為()A.205 B.110 C.204 D.2002.平面上有9個點,其中4個點在同一條直線上(4個點之間的距離各不相等),此外任何三點不共線.(1)過每兩點連線,可得幾條直線?(2)以一點為端點,作過另一點的射線,這樣的射線可作出幾條?(3)分別以其中兩點為起點和終點,最多可作出幾個向量?【思維·引】1.從共面的五個點中取0個、1個、2個、3個分四類進行,再結(jié)合組合數(shù)公式求解.也可以用間接法.2.(1)從9個點任取2個點,除去共線的狀況即可.(2)依據(jù)射線的定義,結(jié)合題目中點是共線還是不共線進行探討.(3)向量有方向,所以干脆取出點即可.【解析】1.選A.方法一:可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類,則得到全部的取法總數(shù)為QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=205.方法二:從10個點中任取4個點的方法數(shù)中去掉4個點全部取自共面的5個點的狀況,得到全部構(gòu)成四面體的個數(shù)為QUOTE-QUOTE=205.2.(1)任取兩點共有QUOTE種取法,共線四點任取兩點有QUOTE種取法,所以共有直線QUOTE-QUOTE+1=31條.(2)不共線的五點可連得QUOTE條射線,共線的四點中,外側(cè)兩點各可發(fā)出1條射線,內(nèi)部兩點各可發(fā)出2條射線,而在不共線的五點中取一點,共線的四點中取一點而形成的射線有QUOTE條,故共有QUOTE+2×1+2×2+QUOTE=66條射線.(3)隨意兩點之間,可有方向相反的2個向量各不相等,則可有QUOTE=72個向量.【內(nèi)化·悟】常見的與幾何有關(guān)的組合問題有哪些?提示:異面直線的條數(shù)問題、四面體個數(shù)問題、三角形的個數(shù)問題、射線的條數(shù)問題等.【類題·通】解幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題的解題策略(1)圖形多少的問題通常是組合問題,要留意共點、共線、共面、異面等情形,防止多算.常用干脆法,也可采納間接法.(2)在處理幾何問題中的組合問題時,應(yīng)將幾何問題抽象成組合問題來解決.【習(xí)練·破】如圖,在以AB為直徑的半圓周上,有異于A,B的六個點C1,C2,…,C6,線段AB上有異于A,B的四個點D1,D2,D3,D4.(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形?其中含C1點的有多少個?(2)以圖中的12個點(包括A,B)中的4個點為頂點,可作出多少個四邊形?【解析】(1)方法一:可作出三角形QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=116(個).方法二:可作三角形QUOTE-QUOTE=116(個).其中以C1為頂點的三角形有QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE=36(個).(2)可作出四邊形QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=360(個).【加練·固】以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有()A.70個 B.64個 C.58個 D.52個【解析】選C.正方體的8個頂點中任取4個共有QUOTE=70個,不能組成四面體的4個頂點有6個,已有6個面,對角面有6個,所以以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有70-12=58個.類型三組合應(yīng)用中的分組安排問題角度1不同元素分組安排問題【典例】有6本不同的書,按下列安排方式安排,則共有多少種不同的安排方式?(1)分成三組,每組分別有1本,2本,3本.(2)分給甲、乙、丙三人,其中一個人1本,一個人2本,一個人3本.(3)分成三組,每組都是2本.(4)分給甲、乙、丙三人,每人2本.【思維·引】(1)先從6本書中取出一本作為一組,再從剩余的5本中任取2本作為一組,則其余3本為一組.(2)在(1)分組的基礎(chǔ)上進行排列即可.(3)先從6本書中取出2本作為一組,再從剩余的4本中任取2本作為一組,則其余2本為一組,其中有重復(fù)須除以QUOTE.(4)在(3)中分組的基礎(chǔ)上排列即可.【解析】(1)分三步:先選一本有QUOTE種選法,再從余下的5本中選兩本有QUOTE種選法,最終余下的三本全選有QUOTE種選法.由分步乘法計數(shù)原理知,安排方式共有QUOTE·QUOTE·QUOTE=60(種).(2)由于甲、乙、丙是不同的三個人,在(1)問的基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再安排問題.因此,安排方式共有QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE=360(種).(3)先分三組,有QUOTE種分法,但是這里面出現(xiàn)了重復(fù),不妨記六本書為A,B,C,D,E,F,若第一組取了A,B,其次組取了C,D,第三組取了E,F,則該種方法記為(AB,CD,EF),但QUOTE種分法中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共QUOTE種狀況,而這QUOTE種狀況只能作為一種分法,故安排方式有QUOTE=15(種).(4)在(3)的基礎(chǔ)上再安排即可,共有安排方式QUOTE·QUOTE=90(種).【素養(yǎng)·探】在解不同元素分組安排問題的過程中,常常用到核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運算,通過題中條件的分析選擇合適的排列組合公式,再結(jié)合計數(shù)原理進行計算.將本例中這6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4人,每人至少一本,則結(jié)果如何?【解析】這6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4人,每人至少一本,則有(3,1,1,1)和(2,2,1,1)兩種.當(dāng)為(3,1,1,1)時,有QUOTE種分組方法,所以有QUOTE=480種分法;當(dāng)為(2,2,1,1)時,有QUOTE種分法,所以有QUOTE=1080種分法.角度2相同元素安排問題【典例】1.假如北京高校給中山市某三所重點中學(xué)7個自主招生的舉薦名額,則每所中學(xué)至少分到一個名額的方法數(shù)為()A.30B.21C.10D.152.6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子,求下列方法的種數(shù).①每個盒子都不空;②恰有一個空盒子;③恰有兩個空盒子.【思維·引】1.由于名額之間沒有差別,只需將10個名額分成三部分即可.2.①6個小球是相同的,所以只要將6個小球分隔成4組即可.②先選出一個空盒,再將6個小球分隔成3組.③在6個小球的7個空隙中放入5個隔板,在其中各有兩個隔板放到同一個間隙中.【解析】1.選D.用“隔板法”.在7個名額中間的6個空位上選2個位置加2個隔板,有QUOTE=15(種)安排方法.2.①先把6個相同的小球排成一行,在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板,然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板,有QUOTE=10(種).②恰有一個空盒子,插板分兩步進行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板,并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板,如|0|000|00|,有QUOTE種插法,然后將剩下的一塊隔板與前面隨意一塊并放形成空盒,如|0|000||00|,有QUOTE種插法,故共有QUOTE·QUOTE=40(種).③恰有兩個空盒子,插板分兩步進行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板,并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板,有QUOTE種插法,如|00|0000|,然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒.其一:這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子,如||00||0000|,有QUOTE種插法.其二:將兩塊板與前面三塊板之一并放,如|00|||0000|,有QUOTE種插法.故共有QUOTE·(QUOTE+QUOTE)=30(種).【類題·通】1.分組、安排問題的求解策略(1)分組問題屬于“組合”問題,常見的分組問題有三種.①完全勻稱分組,每組的元素個數(shù)均相等;②部分勻稱分組,應(yīng)留意不要重復(fù),若有n組勻稱,最終必需除以n!;③完全非勻稱分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)安排問題屬于“排列”問題.安排問題可以按要求逐個安排,也可以分組后再安排.2.相同元素安排問題的建模思想(1)隔板法:假如將放有小球的盒子緊挨著成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法,此法稱之為隔板法.隔板法特地解決相同元素的安排問題.(2)將n個相同的元素分給m個不同的元素(n≥m),有QUOTE種方法.可描述為n-1個空中插入m-1塊板.【習(xí)練·破】1.有30個完全相同的蘋果,分給4個不同的小摯友,每個小摯友至少分得4個蘋果,問有多少種不同的安排方案?()A.680 B.816 C.1360 D.1456【解析】選A.先給每個小摯友分三個蘋果,剩余18個蘋果利用“隔板法”,18個蘋果有17個空,插入三個“板”,共有QUOTE=680種方法,故有30個完全相同的蘋果,分給4個不同的小摯友,每個小摯友至少分得4個蘋果,有680種不同的安排方案.2.(2024·南充高二檢測)我省5名醫(yī)學(xué)專家馳援湖北武漢抗擊新冠肺炎疫情,現(xiàn)把5名專家安排到A,B,C三個集中醫(yī)療點,每個醫(yī)療點至少要安排1人,其中甲專家不去A醫(yī)療點,則不同安排種數(shù)為()A.116 B.100 C.124 D.90【解析】選B.依據(jù)題意,分2步進行分析:①將5名醫(yī)學(xué)專家分為3組,若分為2、2、1的三組,有QUOTE=15種分組方法,若分為3、1、1的三組,有QUOTE=10種分組方法,則有15+10=25種分組方法;②將分好的三組分派到三個醫(yī)療點,甲專家所在組不去A醫(yī)療點,有2種狀況,再將剩下的2組分派到其余2個醫(yī)療點,有2種狀況,則3個組的分派方法有2×2=4種狀況,則有25×4=100種安排方法.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程,從4門課程中,甲選修2門,乙、丙各選修3門,則不同的選修方案共有()A.36種 B.48種 C.96種 D.192種【解析】選C.甲選2門有QUOTE種選法,乙選3門有QUOTE種選法,丙選3門有QUOTE種選法.所以共有QUOTE·