2025《金版教程•高考數(shù)學復習創(chuàng)新方案》第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性課標解讀考向預測1.結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義，會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.2.了解函數(shù)的周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性.3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質的綜合問題.以理解函數(shù)的奇偶性、會用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調性、周期性交匯命題，題型以選擇題、填空題為主，難度中檔偏上．本節(jié)復習時應結合具體的實例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的概念，明確它們在研究函數(shù)中的作用和功能，重點是綜合利用函數(shù)的性質解決有關問題．預計2025年高考會以抽象函數(shù)為載體，將函數(shù)的奇偶性、周期性、單調性、對稱性等相結合來綜合考查，以多選題的形式呈現(xiàn).必備知識——強基礎]1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且eq\x(\s\up1(01))f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于eq\x(\s\up1(02))y軸對稱奇函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且eq\x(\s\up1(03))f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于eq\x(\s\up1(04))原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的eq\x(\s\up1(05))最小正周期．1．函數(shù)奇偶性的常用結論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；(2)若函數(shù)f(x)不是常數(shù)函數(shù)，當f(x)是奇函數(shù)時，在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；當f(x)是偶函數(shù)時，在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性；(3)在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函數(shù)周期性的常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x(a，b為常數(shù)，a≠b)：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則f(x)的一個周期為2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則f(x)的一個周期為2a；(3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，則f(x)的一個周期為6a；(4)若f(x＋a)＝eq\f(1,f(x))(a≠0)，則f(x)的一個周期為2a；(5)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f(x))(a≠0)，則f(x)的一個周期為2a；(6)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝a與x＝b對稱，則f(x)的一個周期為2|b－a|；(7)若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a，0)對稱，又關于點(b，0)對稱，則f(x)的一個周期為2|b－a|；(8)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，又關于點(b，0)對稱，則f(x)的一個周期為4|b－a|.3．函數(shù)圖象對稱性的四個常用結論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱；(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．特別地，當a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱．特別地，當b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，y＝f(x)的圖象關于點(a，0)對稱．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.()(2)若T是函數(shù)f(x)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．()(3)函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(－1)＝f(1)，則f(x)一定是偶函數(shù)．()(4)若函數(shù)f(x)滿足關系f(a＋x)＝－f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小題熱身(1)(多選)(人教A必修第一冊3.2.2例6改編)下列給出的函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝eq\f(x2＋1,x)C．y＝x3＋1 D．y＝sinx答案ABD(2)已知定義域是R的函數(shù)f(x)滿足：?x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)為偶函數(shù)，f(1)＝1，則f(2027)＝()A．1 B．－1C．2 D．－3答案B解析因為f(1＋x)為偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(2－x)＝f(x)，又由f(4＋x)＋f(－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(8＋x)＝－f(－4－x)＝－f(6＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期為4，所以f(2027)＝f(3)＝－f(1)＝－1.故選B.(3)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝2x＋2，則f(1)＝________．答案－eq\f(5,2)(4)(北師大版必修第二冊習題1.1T3改編)已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(－1)＝2f(10)＋3，則f(2026)＝________．答案－1解析因為f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2026)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.考點探究——提素養(yǎng)考點一函數(shù)的奇偶性(多考向探究)考向1函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝eq\f(lg(1－x2),|x－2|－2)；(3)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(4)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函數(shù)f(x)的定義域為{－eq\r(3)，eq\r(3)}，從而f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得f(x)的定義域為(－1，0)∪(0，1)，關于原點對稱．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg(1－x2),－x).又f(－x)＝eq\f(lg[1－(－x)2],x)＝－eq\f(lg(1－x2),－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)≥0，,1＋x≠0，))得－1<x≤1，∵f(x)的定義域(－1，1]不關于原點對稱，∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(4)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．當x<0時，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當x>0時，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．綜上可知，對于定義域內的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．【通性通法】1．判斷函數(shù)奇偶性的方法2．一些重要類型的奇偶函數(shù)模型(1)函數(shù)f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,ax－1)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．(4)函數(shù)f(x)＝logaeq\f(x－b,x＋b)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．(5)函數(shù)f(x)＝loga(eq\r(1＋m2x2)±m(xù)x)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．【鞏固遷移】1．設函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析解法一：因為f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,x＋1)，其圖象關于點(－1，－1)中心對稱，將其圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度后關于原點(0，0)中心對稱，所以f(x－1)＋1為奇函數(shù)．故選B.解法二：因為f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq\f(1－(x－1),1＋(x－1))＝eq\f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq\f(1－(x＋1),1＋(x＋1))＝eq\f(－x,x＋2).對于A，F(xiàn)(x)＝f(x－1)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2－2x,x)，定義域關于原點對稱，但不滿足F(x)＝－F(－x)；對于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x)，定義域關于原點對稱，且滿足G(x)＝－G(－x)；對于C，f(x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋2)－1＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，定義域不關于原點對稱；對于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(－x,x＋2)＋1＝eq\f(2,x＋2)，定義域不關于原點對稱．故選B.考向2函數(shù)奇偶性的應用例2(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域為R，當x＞0時，f(x)＝x＋1，則當x＜0時，f(x)＝()A．x－1 B．x＋1C．－x－1 D．－x＋1答案A解析當x＜0時，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.故選A.(2)(2023·新課標Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·lneq\f(2x－1,2x＋1)為偶函數(shù)，則a＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1答案B解析解法一：因為f(x)為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，即(1＋a)lneq\f(1,3)＝(－1＋a)ln3，解得a＝0.當a＝0時，f(x)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(1,2)，則其定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，關于原點對稱．f(－x)＝(－x)lneq\f(2(－x)－1,2(－x)＋1)＝(－x)lneq\f(2x＋1,2x－1)＝(－x)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))eq\s\up12(－1)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此時f(x)為偶函數(shù)．故選B.解法二：設g(x)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，關于原點對稱，且g(－x)＝lneq\f(－2x－1,－2x＋1)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝－lneq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)．若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)為偶函數(shù)，則y＝x＋a也應為奇函數(shù)，所以a＝0.故選B.【通性通法】應用函數(shù)奇偶性可解決的問題及解題方法(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值，或得到方程(組)，進而得出參數(shù)的值．【鞏固遷移】2．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(x)，x<0，,2x－3，x>0))為奇函數(shù)，則f(g(－1))＝________．答案－1解析∵f(x)為奇函數(shù)且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.3．(2022·全國乙卷)若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函數(shù)，則a＝________，b＝________．答案－eq\f(1,2)ln2解析因為函數(shù)f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱．由a＋eq\f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq\f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq\f(1,2)，即函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2，即f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln2＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定義域內滿足f(－x)＝－f(x)，符合題意．考點二函數(shù)的周期性例3已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，則f(2024)＝()A．1 B．eq\f(13,2)C．13 D．eq\f(1,2)答案B解析∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝eq\f(13,f(x))，∵f(x＋4)＝eq\f(13,f(x＋2))＝eq\f(13,\f(13,f(x)))＝f(x)，∴f(x)的周期為4，∴f(2024)＝f(4)＝eq\f(13,f(2))＝eq\f(13,2).故選B.【通性通法】根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質得到函數(shù)的整體性質，函數(shù)的周期性具有將未知區(qū)間上的問題轉化到已知區(qū)間的功能，在解決具體問題時要注意結論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期的運用．【鞏固遷移】4．(2024·四川綿陽高三階段考試)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,f(x－1)－f(x－2)，x>0，))則f(25)＝________．答案－1解析當x>0時，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，則f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期為6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.考點三函數(shù)圖象的對稱性例4(2024·烏魯木齊高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＋nx＋n的圖象關于直線x＝－1對稱，則m＋n＝()A．lneq\f(1,5)－eq\f(1,5) B．ln5－eq\f(1,5)C．lneq\f(1,3)－eq\f(1,3) D．ln3－eq\f(1,3)答案B解析由題意知x≠eq\f(3,2)，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))≠0.因為函數(shù)f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＋nx＋n的圖象關于直線x＝－1對稱，則－eq\f(7,2)是方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＝0的根，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,5)))＝0，解得m＝－eq\f(1,5)，則f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3－2x)－\f(1,5)))＋nx＋n.又由f(0)＝f(－2)，得lneq\f(7,15)＋n＝－lneq\f(3,35)－n，解得n＝ln5.故f(x)＝(x＋1)·lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3－2x)－\f(1,5)))＋(x＋1)ln5，即f(x)＝(x＋1)·lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7＋2x,3－2x)))，函數(shù)f(x)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3,2)，且x≠－\f(7,2)))))，且f(－2－x)＝(－x－1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,7＋2x)))＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7＋2x,3－2x)))＝f(x)，故函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，滿足題意．則m＋n＝ln5－eq\f(1,5).故選B.【通性通法】(1)求解與函數(shù)的對稱性有關的問題時，應根據(jù)題目特征和對稱性的定義，求出函數(shù)圖象的對稱軸或對稱中心．(2)解決與函數(shù)對稱性有關的問題，一般結合函數(shù)圖象，利用對稱性解決求值或求解參數(shù)問題．【鞏固遷移】5．(2024·福建福州模擬)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))(xi＋yi)＝()A．0 B.m C.2m D.4m答案B解析∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，∴函數(shù)y＝f(x)與y＝eq\f(x＋1,x)的圖象都關于點(0，1)對稱，∴eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))xi＝0，eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))yi＝eq\f(m,2)×2＝m，∴eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))(xi＋yi)＝0＋m＝m.考點四函數(shù)性質的綜合應用(多考向探究)考向1函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合例5(2023·山東鄄城第一中學高三三模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集為()A．(－2，4] B．(－3，5]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)) D．(－2，2]答案C解析因為函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2(a－2)＝0，,2b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，))所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]．由y＝x3與y＝2x在定義域[－5，5]上單調遞增，得f(x)在定義域[－5，5]上單調遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等價于f(2x＋1)>f(－4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>－4，,－5≤2x＋1≤5，))解得－eq\f(5,2)<x≤2，即不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)).故選C.【通性通法】(1)比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉化到同一單調區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調性比較大?。?2)對于抽象函數(shù)不等式的求解，應變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結合單調性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉化為x1<x2(或x1>x2)求解．【鞏固遷移】6．(2024·福建師范大學附屬中學高三月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調遞增．設a＝f(log45)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))，c＝f(0.20.5)，則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．a(chǎn)<c<b D．b<a<c答案A解析依題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．因為b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))＝f(－log43)＝f(log43)，0.20.5＝eq\r(\f(1,5))＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，log43>log4eq\r(4)＝eq\f(1,2)，log45>1>log43>eq\f(1,2)>0.20.5＞0，所以a<b<c.故選A.考向2函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合例6(2024·河北衡水中學高三模擬)已知y＝f(x)為R上的奇函數(shù)，y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，若當x∈[0，1]時，f(x)＝log2(x＋a)，則f(2025)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案C解析∵f(x)為R上的奇函數(shù)，且當x∈[0，1]時，f(x)＝log2(x＋a)，∴f(0)＝0，即log2a＝0，∴a＝1，∴當x∈[0，1]時，f(x)＝log2(x＋1)，∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋2)＝f(－x)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝log2(1＋1)＝1.故選C.【通性通法】綜合應用奇偶性與周期性解題的技巧綜合應用奇偶性與周期性主要是解決求值問題，一般策略如下：(1)根據(jù)已知條件及相關函數(shù)的奇偶性推得函數(shù)的周期；(2)利用函數(shù)的周期性將自變量的絕對值較大的函數(shù)值轉化為自變量的絕對值較小的函數(shù)值，直到自變量的值進入已知解析式的區(qū)間內或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系，必要時可再次運用奇偶性將自變量的符號進行轉化；(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函數(shù)值．【鞏固遷移】7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do10(k＝1))f(k)＝()A．－3 B．－2C．0 D．1答案A解析因為f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，從而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函數(shù)f(x)的一個周期為6.因為f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do10(k＝1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故選A.考向3函數(shù)的奇偶性、單調性、對稱性與周期性的綜合例7定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其圖象關于點(－2，0)對稱，且f(x)在[0，2)上單調遞增，則()A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)答案A解析∵函數(shù)f(x)的圖象關于點(－2，0)對稱，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期是4，則f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)為奇函數(shù)，且在[0，2)上單調遞增，則f(x)在(－2，2)上單調遞增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故選A.【通性通法】綜合應用函數(shù)性質的解題技巧(1)根據(jù)奇偶性、對稱性推得周期性．(2)利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間．(3)利用單調性解決相關問題．【鞏固遷移】8．(多選)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上單調遞減，下列關于f(x)的判斷正確的是()A．f(0)是函數(shù)的最小值B．f(x)的圖象關于點(1，0)對稱C．f(x)在[2，4]上單調遞增D．f(x)的圖象關于直線x＝2對稱答案ABD解析對于A，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又f(x)在[－2，0]上單調遞減，在R上是偶函數(shù)，∴f(x)在[0，2]上單調遞增，∴f(0)是函數(shù)的最小值，A正確；對于B，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，得f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，B正確；對于C，∵f(x)在[－2，0]上單調遞減，且f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)在[2，4]上單調遞減，C錯誤；對于D，∵f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，D正確．故選ABD.課時作業(yè)一、單項選擇題1．如果奇函數(shù)f(x)在[3，7]上單調遞增且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上()A．單調遞增且最小值為－5B．單調遞減且最小值為－5C．單調遞增且最大值為－5D．單調遞減且最大值為－5答案C解析因為奇函數(shù)f(x)在[3，7]上單調遞增且最小值為5，而奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，所以f(x)在區(qū)間[－7，－3]上單調遞增且最大值為－5.故選C.2．(2024·山東濟南一中摸底)設偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上單調遞增，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2)B．f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)C．f(2)<f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2)答案B解析因為f(x)為偶函數(shù)，則f(2)＝f(－2)，又函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上單調遞增，且－2<－eq\f(3,2)<－1，所以f(－2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)，所以f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)．故選B.3．(2023·全國乙卷)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函數(shù)，則a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析因為f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函數(shù)，所以f(x)－f(－x)＝eq\f(xex,eax－1)－eq\f((－x)e－x,e－ax－1)＝eq\f(x[ex－e(a－1)x],eax－1)＝0，又因為x不恒為0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，則x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故選D.4．(2024·遼寧沈陽高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)3，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．f(x)＋1 B．f(x)－1C．f(x＋1) D．f(x－1)答案C解析函數(shù)f(x)＝(x－1)3的圖象是由h(x)＝x3的圖象向右平移1個單位長度得到的，因此其圖象關于點(1，0)對稱，只有把f(x)的圖象向左平移1個單位長度，圖象才會關于原點對稱，所以只有g(x)＝f(x＋1)＝(x＋1－1)3＝x3是奇函數(shù)．故選C.5．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，則下列函數(shù)是周期函數(shù)的是()A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x答案D解析依題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期為1的周期函數(shù)．故選D.6．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A．g(x)＝sinx B．g(x)＝x2＋2xC．g(x)＝x3－x D．g(x)＝ex＋e－x答案D解析對于A，g(x)＝sinx為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，g(x)＝x2＋2x為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，g(x)＝x3－x為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，g(x)＝ex＋e－x為偶函數(shù)，故D正確．故選D.7．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝x2，則不等式f(x2)≥4f(x)的解集為()A．(－∞，0]∪[4，＋∞)B．[0，4]C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0，2]答案C解析根據(jù)題意，當x≥0時，f(x)＝x2，所以f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)在R上為增函數(shù)，因為x2≥0，所以f(x2)＝x4，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))＝eq\f(1,4)x4，所以eq\f(1,4)f(x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))，所以不等式f(x2)≥4f(x)可化為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))≥f(x)，所以eq\f(x2,2)≥x，解得x≤0或x≥2，所以不等式f(x2)≥4f(x)的解集為(－∞，0]∪[2，＋∞)．故選C.8．(2024·福建師范大學附屬中學高三模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x－1)的圖象關于(1，0)中心對稱，f(x＋1)是偶函數(shù)且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝1.則下列結論中正確的是()A．f(x)的周期為2B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x－2)是奇函數(shù)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝1答案C解析f(x－1)的圖象關于(1，0)中心對稱，則f(x)的圖象關于原點對稱，因此f(x)是奇函數(shù)，f(x＋1)是偶函數(shù)，則f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，即f(x)＝f(2－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，4是f(x)的一個周期，2不是f(x)的周期，由f(x)是奇函數(shù)，且圖象關于直線x＝1對稱，得f(x)的圖象關于點(2，0)對稱，4是f(x)的一個周期，因此f(x)的圖象也關于點(－2，0)對稱，它的圖象向右平移2個單位長度，得f(x－2)的圖象關于原點對稱，即f(x－2)是奇函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－1，因此C正確，A，B，D錯誤．故選C.二、多項選擇題9．若f(x)是奇函數(shù)，則下列說法正確的是()A．|f(x)|一定是偶函數(shù)B．f(x)f(－x)一定是偶函數(shù)C．f(x)f(－x)≥0D．f(－x)＋|f(x)|＝0答案AB解析∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．對于A，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴|f(x)|是偶函數(shù)，故A正確；對于B，令g(x)＝f(x)f(－x)，則g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(x)f(－x)是偶函數(shù)，故B正確；對于C，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C錯誤；對于D，f(－x)＋|f(x)|＝|f(x)|－f(x)＝0不一定成立，故D錯誤．故選AB.10．已知f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋1)為偶函數(shù)，若f(1)＝0，則()A．f(3)＝0B．f(3)＝f(5)C．f(x＋3)＝f(x－1)D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1答案ABC解析因為f(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，又因為f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正確；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，故C正確；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同時根據(jù)奇函數(shù)的性質得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1對于x＝0不成立，故D不正確．故選ABC.三、填空題11．(2023·全國甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))為偶函數(shù)，則a＝________．答案2解析因為y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx為偶函數(shù)，定義域為R，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)－eq\f(π,2)a＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)＋eq\f(π,2)a＋coseq\f(π,2)，則πa＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)＝2π，故a＝2，此時f(x)＝(x－1)2＋2x＋cosx＝x2＋1＋cosx，所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cosx＝f(x)，又定義域為R，故f(x)為偶函數(shù)，所以a＝2.12．已知函數(shù)f(x)滿足?x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，當x∈(0，1)時，f(x)＝x2＋mx，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝eq\f(1,2)，則m＝________．答案eq\f(1,2)解析由f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，知f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，f(x)的周期為4，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)m＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).13．已知函數(shù)f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，則f(－a)＝________．答案4解析令g(x)＝asinx＋btanx，則g(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.14．(2024·浙江紹興上虞區(qū)高三適應性考試)已知函數(shù)y＝f(2x＋1)為偶函數(shù)，且f(x)＋f(－x)＝2，則f(2022)＋f(2024)＝________．答案2解析因為函數(shù)y＝f(2x＋1)為偶函數(shù)，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，則f(x)＝f(2－x)，即f(－x－2)＝f(x＋4)①，又f(x)＋f(－x)＝2，即函數(shù)f(x)的圖象關于點(0，1)對稱，則f(0)＝1，且f(x＋2)＝2－f(－x－2)②，由①②可得f(x＋2)＝2－f(x＋4)③，所以f(x＋4)＝2－f(x＋6)，代入③，得f(x＋2)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋4)，即函數(shù)的周期是4，所以f(2022)＋f(2024)＝f(2)＋f(0)，因為f(x)＝f(2－x)，所以f(2)＝f(0)＝1，故f(2022)＋f(2024)＝f(2)＋f(0)＝2.15．(2023·河北石家莊高三三模)已知函數(shù)f(x)同時滿足性質：①f(－x)＝－f(x)；②?x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，則函數(shù)f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝ex－e－xB．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．f(x)＝sin4xD．f(x)＝x2答案A解析由函數(shù)奇偶性的定義，若函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由函數(shù)單調性的定義，若函數(shù)f(x)滿足?x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上單調遞增，選項中四個函數(shù)的定義域均為R，?x∈R，都有－x∈R.對于A，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，滿足性質①，∵y＝ex與y＝－e－x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)均在R上單調遞增，∴f(x)＝ex－e－x在R上單調遞增，滿足性質②；對于B，由指數(shù)函數(shù)的性質，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)為非奇非偶函數(shù)，在R上單調遞減，性質①，②均不滿足；對于C，f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，滿足性質①，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤4x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)≤x≤eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，故f(x)在(0，1)上不單調，不滿足性質②；對于D，由冪函數(shù)的性質，f(x)＝x2為偶函數(shù)，在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，不滿足性質①，滿足性質②.故選A.16．(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結論正確的是()A．f(x)的圖象關于直線x＝2對稱B．f(x)的圖象關于(2，0)對稱C．f(x)的最小正周期為4D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，故A正確，B錯誤；∵函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正確；∵T＝4且f(x)為偶函數(shù)，故y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確．故選ACD.17．(多選)(2024·九省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2C．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))是偶函數(shù)D．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是減函數(shù)答案ABD解析令x＝eq\f(1,2)，y＝0，則有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))×f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))[1＋f(0)]＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1，令x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，則有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝4×eq\f(1,2)×eq\b\l