2025《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.2.了解函數(shù)的周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.3.會(huì)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.以理解函數(shù)的奇偶性、會(huì)用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，題型以選擇題、填空題為主，難度中檔偏上．本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合具體的實(shí)例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的概念，明確它們?cè)谘芯亢瘮?shù)中的作用和功能，重點(diǎn)是綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題．預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)以抽象函數(shù)為載體，將函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等相結(jié)合來綜合考查，以多選題的形式呈現(xiàn).必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)]1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且eq\x(\s\up1(01))f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于eq\x(\s\up1(02))y軸對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且eq\x(\s\up1(03))f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于eq\x(\s\up1(04))原點(diǎn)對(duì)稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的eq\x(\s\up1(05))最小正周期．1．函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；(2)若函數(shù)f(x)不是常數(shù)函數(shù)，當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函數(shù)周期性的常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x(a，b為常數(shù)，a≠b)：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；(3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為6a；(4)若f(x＋a)＝eq\f(1,f(x))(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；(5)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f(x))(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；(6)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a與x＝b對(duì)稱，則f(x)的一個(gè)周期為2|b－a|；(7)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則f(x)的一個(gè)周期為2|b－a|；(8)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則f(x)的一個(gè)周期為4|b－a|.3．函數(shù)圖象對(duì)稱性的四個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱；(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．特別地，當(dāng)a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時(shí)，y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱．特別地，當(dāng)b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時(shí)，y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱．1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.()(2)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．()(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(－1)＝f(1)，則f(x)一定是偶函數(shù)．()(4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a＋x)＝－f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對(duì)稱．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小題熱身(1)(多選)(人教A必修第一冊(cè)3.2.2例6改編)下列給出的函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝eq\f(x2＋1,x)C．y＝x3＋1 D．y＝sinx答案ABD(2)已知定義域是R的函數(shù)f(x)滿足：?x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)為偶函數(shù)，f(1)＝1，則f(2027)＝()A．1 B．－1C．2 D．－3答案B解析因?yàn)閒(1＋x)為偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f(2－x)＝f(x)，又由f(4＋x)＋f(－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(8＋x)＝－f(－4－x)＝－f(6＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期為4，所以f(2027)＝f(3)＝－f(1)＝－1.故選B.(3)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2x＋2，則f(1)＝________．答案－eq\f(5,2)(4)(北師大版必修第二冊(cè)習(xí)題1.1T3改編)已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(－1)＝2f(10)＋3，則f(2026)＝________．答案－1解析因?yàn)閒(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2026)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性(多考向探究)考向1函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝eq\f(lg(1－x2),|x－2|－2)；(3)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(4)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－eq\r(3)，eq\r(3)}，從而f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得f(x)的定義域?yàn)?－1，0)∪(0，1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg(1－x2),－x).又f(－x)＝eq\f(lg[1－(－x)2],x)＝－eq\f(lg(1－x2),－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)≥0，,1＋x≠0，))得－1<x≤1，∵f(x)的定義域(－1，1]不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(4)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．【通性通法】1．判斷函數(shù)奇偶性的方法2．一些重要類型的奇偶函數(shù)模型(1)函數(shù)f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,ax－1)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．(4)函數(shù)f(x)＝logaeq\f(x－b,x＋b)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．(5)函數(shù)f(x)＝loga(eq\r(1＋m2x2)±m(xù)x)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．【鞏固遷移】1．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析解法一：因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,x＋1)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，－1)中心對(duì)稱，將其圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度后關(guān)于原點(diǎn)(0，0)中心對(duì)稱，所以f(x－1)＋1為奇函數(shù)．故選B.解法二：因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq\f(1－(x－1),1＋(x－1))＝eq\f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq\f(1－(x＋1),1＋(x＋1))＝eq\f(－x,x＋2).對(duì)于A，F(xiàn)(x)＝f(x－1)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2－2x,x)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不滿足F(x)＝－F(－x)；對(duì)于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足G(x)＝－G(－x)；對(duì)于C，f(x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋2)－1＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；對(duì)于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(－x,x＋2)＋1＝eq\f(2,x＋2)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．故選B.考向2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝()A．x－1 B．x＋1C．－x－1 D．－x＋1答案A解析當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.故選A.(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·lneq\f(2x－1,2x＋1)為偶函數(shù)，則a＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1答案B解析解法一：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，即(1＋a)lneq\f(1,3)＝(－1＋a)ln3，解得a＝0.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(1,2)，則其定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f(－x)＝(－x)lneq\f(2(－x)－1,2(－x)＋1)＝(－x)lneq\f(2x＋1,2x－1)＝(－x)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))eq\s\up12(－1)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此時(shí)f(x)為偶函數(shù)．故選B.解法二：設(shè)g(x)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g(－x)＝lneq\f(－2x－1,－2x＋1)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝－lneq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)．若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)為偶函數(shù)，則y＝x＋a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a＝0.故選B.【通性通法】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問題及解題方法(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值，或得到方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．【鞏固遷移】2．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(x)，x<0，,2x－3，x>0))為奇函數(shù)，則f(g(－1))＝________．答案－1解析∵f(x)為奇函數(shù)且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.3．(2022·全國乙卷)若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函數(shù)，則a＝________，b＝________．答案－eq\f(1,2)ln2解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由a＋eq\f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq\f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq\f(1,2)，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2，即f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln2＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定義域內(nèi)滿足f(－x)＝－f(x)，符合題意．考點(diǎn)二函數(shù)的周期性例3已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，則f(2024)＝()A．1 B．eq\f(13,2)C．13 D．eq\f(1,2)答案B解析∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝eq\f(13,f(x))，∵f(x＋4)＝eq\f(13,f(x＋2))＝eq\f(13,\f(13,f(x)))＝f(x)，∴f(x)的周期為4，∴f(2024)＝f(4)＝eq\f(13,f(2))＝eq\f(13,2).故選B.【通性通法】根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能，在解決具體問題時(shí)要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期的運(yùn)用．【鞏固遷移】4．(2024·四川綿陽高三階段考試)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,f(x－1)－f(x－2)，x>0，))則f(25)＝________．答案－1解析當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，則f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期為6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.考點(diǎn)三函數(shù)圖象的對(duì)稱性例4(2024·烏魯木齊高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＋nx＋n的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，則m＋n＝()A．lneq\f(1,5)－eq\f(1,5) B．ln5－eq\f(1,5)C．lneq\f(1,3)－eq\f(1,3) D．ln3－eq\f(1,3)答案B解析由題意知x≠eq\f(3,2)，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))≠0.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＋nx＋n的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，則－eq\f(7,2)是方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＝0的根，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,5)))＝0，解得m＝－eq\f(1,5)，則f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3－2x)－\f(1,5)))＋nx＋n.又由f(0)＝f(－2)，得lneq\f(7,15)＋n＝－lneq\f(3,35)－n，解得n＝ln5.故f(x)＝(x＋1)·lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3－2x)－\f(1,5)))＋(x＋1)ln5，即f(x)＝(x＋1)·lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7＋2x,3－2x)))，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3,2)，且x≠－\f(7,2)))))，且f(－2－x)＝(－x－1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,7＋2x)))＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7＋2x,3－2x)))＝f(x)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，滿足題意．則m＋n＝ln5－eq\f(1,5).故選B.【通性通法】(1)求解與函數(shù)的對(duì)稱性有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特征和對(duì)稱性的定義，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心．(2)解決與函數(shù)對(duì)稱性有關(guān)的問題，一般結(jié)合函數(shù)圖象，利用對(duì)稱性解決求值或求解參數(shù)問題．【鞏固遷移】5．(2024·福建福州模擬)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))(xi＋yi)＝()A．0 B.m C.2m D.4m答案B解析∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，∴函數(shù)y＝f(x)與y＝eq\f(x＋1,x)的圖象都關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱，∴eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))xi＝0，eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))yi＝eq\f(m,2)×2＝m，∴eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))(xi＋yi)＝0＋m＝m.考點(diǎn)四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(多考向探究)考向1函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合例5(2023·山東鄄城第一中學(xué)高三三模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集為()A．(－2，4] B．(－3，5]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)) D．(－2，2]答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2(a－2)＝0，,2b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，))所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]．由y＝x3與y＝2x在定義域[－5，5]上單調(diào)遞增，得f(x)在定義域[－5，5]上單調(diào)遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等價(jià)于f(2x＋1)>f(－4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>－4，,－5≤2x＋1≤5，))解得－eq\f(5,2)<x≤2，即不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)).故選C.【通性通法】(1)比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．(2)對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1<x2(或x1>x2)求解．【鞏固遷移】6．(2024·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調(diào)遞增．設(shè)a＝f(log45)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))，c＝f(0.20.5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．a(chǎn)<c<b D．b<a<c答案A解析依題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．因?yàn)閎＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))＝f(－log43)＝f(log43)，0.20.5＝eq\r(\f(1,5))＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，log43>log4eq\r(4)＝eq\f(1,2)，log45>1>log43>eq\f(1,2)>0.20.5＞0，所以a<b<c.故選A.考向2函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合例6(2024·河北衡水中學(xué)高三模擬)已知y＝f(x)為R上的奇函數(shù)，y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋a)，則f(2025)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案C解析∵f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋a)，∴f(0)＝0，即log2a＝0，∴a＝1，∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋2)＝f(－x)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝log2(1＋1)＝1.故選C.【通性通法】綜合應(yīng)用奇偶性與周期性解題的技巧綜合應(yīng)用奇偶性與周期性主要是解決求值問題，一般策略如下：(1)根據(jù)已知條件及相關(guān)函數(shù)的奇偶性推得函數(shù)的周期；(2)利用函數(shù)的周期性將自變量的絕對(duì)值較大的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量的絕對(duì)值較小的函數(shù)值，直到自變量的值進(jìn)入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系，必要時(shí)可再次運(yùn)用奇偶性將自變量的符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函數(shù)值．【鞏固遷移】7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do10(k＝1))f(k)＝()A．－3 B．－2C．0 D．1答案A解析因?yàn)閒(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，從而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6.因?yàn)閒(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do10(k＝1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故選A.考向3函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性與周期性的綜合例7定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對(duì)稱，且f(x)在[0，2)上單調(diào)遞增，則()A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)答案A解析∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對(duì)稱，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期是4，則f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)為奇函數(shù)，且在[0，2)上單調(diào)遞增，則f(x)在(－2，2)上單調(diào)遞增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故選A.【通性通法】綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的解題技巧(1)根據(jù)奇偶性、對(duì)稱性推得周期性．(2)利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間．(3)利用單調(diào)性解決相關(guān)問題．【鞏固遷移】8．(多選)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上單調(diào)遞減，下列關(guān)于f(x)的判斷正確的是()A．f(0)是函數(shù)的最小值B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱C．f(x)在[2，4]上單調(diào)遞增D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱答案ABD解析對(duì)于A，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又f(x)在[－2，0]上單調(diào)遞減，在R上是偶函數(shù)，∴f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，∴f(0)是函數(shù)的最小值，A正確；對(duì)于B，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，∵f(x)在[－2，0]上單調(diào)遞減，且f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)在[2，4]上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，D正確．故選ABD.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．如果奇函數(shù)f(x)在[3，7]上單調(diào)遞增且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上()A．單調(diào)遞增且最小值為－5B．單調(diào)遞減且最小值為－5C．單調(diào)遞增且最大值為－5D．單調(diào)遞減且最大值為－5答案C解析因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在[3，7]上單調(diào)遞增且最小值為5，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)在區(qū)間[－7，－3]上單調(diào)遞增且最大值為－5.故選C.2．(2024·山東濟(jì)南一中摸底)設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上單調(diào)遞增，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2)B．f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)C．f(2)<f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2)答案B解析因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(2)＝f(－2)，又函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上單調(diào)遞增，且－2<－eq\f(3,2)<－1，所以f(－2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)，所以f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)．故選B.3．(2023·全國乙卷)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函數(shù)，則a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析因?yàn)閒(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函數(shù)，所以f(x)－f(－x)＝eq\f(xex,eax－1)－eq\f((－x)e－x,e－ax－1)＝eq\f(x[ex－e(a－1)x],eax－1)＝0，又因?yàn)閤不恒為0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，則x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故選D.4．(2024·遼寧沈陽高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)3，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．f(x)＋1 B．f(x)－1C．f(x＋1) D．f(x－1)答案C解析函數(shù)f(x)＝(x－1)3的圖象是由h(x)＝x3的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到的，因此其圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，只有把f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長度，圖象才會(huì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以只有g(shù)(x)＝f(x＋1)＝(x＋1－1)3＝x3是奇函數(shù)．故選C.5．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，則下列函數(shù)是周期函數(shù)的是()A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x答案D解析依題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期為1的周期函數(shù)．故選D.6．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A．g(x)＝sinx B．g(x)＝x2＋2xC．g(x)＝x3－x D．g(x)＝ex＋e－x答案D解析對(duì)于A，g(x)＝sinx為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，g(x)＝x2＋2x為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，g(x)＝x3－x為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，g(x)＝ex＋e－x為偶函數(shù)，故D正確．故選D.7．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2，則不等式f(x2)≥4f(x)的解集為()A．(－∞，0]∪[4，＋∞)B．[0，4]C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0，2]答案C解析根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2，所以f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)在R上為增函數(shù)，因?yàn)閤2≥0，所以f(x2)＝x4，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))＝eq\f(1,4)x4，所以eq\f(1,4)f(x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))，所以不等式f(x2)≥4f(x)可化為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))≥f(x)，所以eq\f(x2,2)≥x，解得x≤0或x≥2，所以不等式f(x2)≥4f(x)的解集為(－∞，0]∪[2，＋∞)．故選C.8．(2024·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x－1)的圖象關(guān)于(1，0)中心對(duì)稱，f(x＋1)是偶函數(shù)且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝1.則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)的周期為2B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x－2)是奇函數(shù)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝1答案C解析f(x－1)的圖象關(guān)于(1，0)中心對(duì)稱，則f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此f(x)是奇函數(shù)，f(x＋1)是偶函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，即f(x)＝f(2－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，4是f(x)的一個(gè)周期，2不是f(x)的周期，由f(x)是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，4是f(x)的一個(gè)周期，因此f(x)的圖象也關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對(duì)稱，它的圖象向右平移2個(gè)單位長度，得f(x－2)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即f(x－2)是奇函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－1，因此C正確，A，B，D錯(cuò)誤．故選C.二、多項(xiàng)選擇題9．若f(x)是奇函數(shù)，則下列說法正確的是()A．|f(x)|一定是偶函數(shù)B．f(x)f(－x)一定是偶函數(shù)C．f(x)f(－x)≥0D．f(－x)＋|f(x)|＝0答案AB解析∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．對(duì)于A，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴|f(x)|是偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，令g(x)＝f(x)f(－x)，則g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(x)f(－x)是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，f(－x)＋|f(x)|＝|f(x)|－f(x)＝0不一定成立，故D錯(cuò)誤．故選AB.10．已知f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋1)為偶函數(shù)，若f(1)＝0，則()A．f(3)＝0B．f(3)＝f(5)C．f(x＋3)＝f(x－1)D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1答案ABC解析因?yàn)閒(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，又因?yàn)閒(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正確；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，故C正確；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同時(shí)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1對(duì)于x＝0不成立，故D不正確．故選ABC.三、填空題11．(2023·全國甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))為偶函數(shù)，則a＝________．答案2解析因?yàn)閥＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)－eq\f(π,2)a＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)＋eq\f(π,2)a＋coseq\f(π,2)，則πa＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)＝2π，故a＝2，此時(shí)f(x)＝(x－1)2＋2x＋cosx＝x2＋1＋cosx，所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cosx＝f(x)，又定義域?yàn)镽，故f(x)為偶函數(shù)，所以a＝2.12．已知函數(shù)f(x)滿足?x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)＝x2＋mx，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝eq\f(1,2)，則m＝________．答案eq\f(1,2)解析由f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，f(x)的周期為4，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)m＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).13．已知函數(shù)f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，則f(－a)＝________．答案4解析令g(x)＝asinx＋btanx，則g(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.14．(2024·浙江紹興上虞區(qū)高三適應(yīng)性考試)已知函數(shù)y＝f(2x＋1)為偶函數(shù)，且f(x)＋f(－x)＝2，則f(2022)＋f(2024)＝________．答案2解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(2x＋1)為偶函數(shù)，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則f(x)＝f(2－x)，即f(－x－2)＝f(x＋4)①，又f(x)＋f(－x)＝2，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱，則f(0)＝1，且f(x＋2)＝2－f(－x－2)②，由①②可得f(x＋2)＝2－f(x＋4)③，所以f(x＋4)＝2－f(x＋6)，代入③，得f(x＋2)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋4)，即函數(shù)的周期是4，所以f(2022)＋f(2024)＝f(2)＋f(0)，因?yàn)閒(x)＝f(2－x)，所以f(2)＝f(0)＝1，故f(2022)＋f(2024)＝f(2)＋f(0)＝2.15．(2023·河北石家莊高三三模)已知函數(shù)f(x)同時(shí)滿足性質(zhì)：①f(－x)＝－f(x)；②?x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，則函數(shù)f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝ex－e－xB．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．f(x)＝sin4xD．f(x)＝x2答案A解析由函數(shù)奇偶性的定義，若函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)f(x)滿足?x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，選項(xiàng)中四個(gè)函數(shù)的定義域均為R，?x∈R，都有－x∈R.對(duì)于A，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，∵y＝ex與y＝－e－x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)均在R上單調(diào)遞增，∴f(x)＝ex－e－x在R上單調(diào)遞增，滿足性質(zhì)②；對(duì)于B，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)為非奇非偶函數(shù)，在R上單調(diào)遞減，性質(zhì)①，②均不滿足；對(duì)于C，f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤4x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)≤x≤eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，故f(x)在(0，1)上不單調(diào)，不滿足性質(zhì)②；對(duì)于D，由冪函數(shù)的性質(zhì)，f(x)＝x2為偶函數(shù)，在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，不滿足性質(zhì)①，滿足性質(zhì)②.故選A.16．(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱B．f(x)的圖象關(guān)于(2，0)對(duì)稱C．f(x)的最小正周期為4D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤；∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正確；∵T＝4且f(x)為偶函數(shù)，故y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確．故選ACD.17．(多選)(2024·九省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2C．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))是偶函數(shù)D．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是減函數(shù)答案ABD解析令x＝eq\f(1,2)，y＝0，則有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))×f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))[1＋f(0)]＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1，令x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，則有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝4×eq\f(1,2)×eq\b\l