專題11對(duì)數(shù)（九大題型）（原卷版）

專題11對(duì)數(shù)【題型歸納目錄】題型一：對(duì)數(shù)的定義題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡求值題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問題題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用題型七：換底公式的運(yùn)用題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式題型九：證明常見的對(duì)數(shù)恒等式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對(duì)數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即；（3）底的對(duì)數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，．以e（e是一個(gè)無理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，簡記為．4、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯(cuò)誤的：，，．知識(shí)點(diǎn)三、對(duì)數(shù)公式1、對(duì)數(shù)恒等式：2、換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：．【典例例題】題型一：對(duì)數(shù)的定義例1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）有下列說法：①以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；③以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)；④零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列說法:①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù);②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式;③以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù);④以為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2023·湖南長沙·高一長沙市明德中學(xué)?？计谥校┮阎?，則x的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8變式1．（2023·高一單元測試）已知對(duì)數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列對(duì)數(shù)式中，與指數(shù)式等價(jià)的是（

）A． B． C． D．例6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．變式2．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1);(2)；(3);(4)（且，）．變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1);(2)；(3);(4).變式4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）利用指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的互化求下列各式中x的值．（1）；（2）；（3）．題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡求值例7．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．例8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）計(jì)算(1)(2)例9．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡：＝________．變式5．（2022·貴州·遵義四中高一期末）______．題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)例10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：log43×=____．例11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：____．例12．（2023·遼寧大連·高一階段練習(xí)）計(jì)算：______．變式6．（2023·湖北十堰·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）__________．變式7．（2023·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中校考開學(xué)考試）計(jì)算結(jié)果是_．題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問題例13．（2023·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┓匠痰慕鉃開__________.例14．（2023·上海虹口·高一上外附中?？计谥校┰O(shè)、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則_______．例15．（2023·廣東惠州·高一惠州一中?？计谥校┯?，則關(guān)于的方程的解集為_________.變式8．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是方程的兩個(gè)根，則的值是__________．變式9．（2023·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）方程的解是_________．變式10．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）方程的解為__________.題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例16．（2022·全國·高一專題練習(xí)）______．（用數(shù)字作答）例17．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．例18．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）(1)；(2)．變式11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求值變式12．（2022·廣西·興安縣第二中學(xué)高一期中）計(jì)算下列各式的值：(1)(2)題型七：換底公式的運(yùn)用例19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則____．例20．（2023·河北衡水·高一?？奸_學(xué)考試）已知，則__________.例21．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）已知（a為常數(shù)，且，），則________．（用a表示）變式13．（2023·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）=______.變式14．（2023·河北唐山·高一?？茧A段練習(xí)）________．變式15．（2023·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤簦瑒t的值為___________.變式16．（2023·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）_________.題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，那么用含a、b的代數(shù)式表示為（

）A． B． C． D．例23．（2023·高一單元測試）已知，，則（用，表示）等于（

）A． B．C． D．例24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則（

）（結(jié)果用，表示）A． B． C． D．變式17．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)，則用表示（

）A． B． C． D．變式18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75等于（

）A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)－b C． D．變式19．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知，，則可以用、表示為（

）A． B． C． D．變式20．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則可表示為A． B． C． D．題型九：證明常見的對(duì)數(shù)恒等式例25．（2023·廣西崇左·高一?？茧A段練習(xí)）求滿足下列條件的各式的值(1)若，求的值；(2)設(shè)，求證：.例26．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，求證：.例27．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)a，b均為不等于1的正數(shù)，利用對(duì)數(shù)的換底公式，證明：（1）；（2）（，，）.變式21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；變式22．（2023·江蘇蘇州·高一吳縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a，b，c滿足.（1）當(dāng)時(shí)，試討論a?b?c三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；（2）當(dāng)a，b，c均為正數(shù)，求證：.變式23．（2023·高一單元測試）設(shè)，且，求證：【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·江西九江·高一?？茧A段練習(xí)）已知且，下列式子中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．2．（2023·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）燕子每年秋天都要從北方飛到南方去過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，成年燕子的飛行速度（單位：）可以表示為函數(shù)，其中表示燕子的耗氧量.當(dāng)一只成年燕子的飛行速度時(shí)，它的耗氧量為（

）A．30 B．60 C．80 D．1003．（2023·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）的值為（

）A．10 B． C．1 D．不能確定4．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┰O(shè)都是正數(shù)，且，則下列等式正確的是（

）A． B． C． D．5．（2023·天津河西·高一?？计谀┤?，則（

）A． B． C．1 D．6．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知且，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2023·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)一中?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B．2 C． D．8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，那么m等于（

）A． B．9 C．18 D．27二、多選題9．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．（2023·山東青島·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，，則（

）A． B．C． D．11．（2023·高一單元測試）若，則下列各式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．12．（2023·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則的值可以為（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、填空題13．（2023·浙江·高一校聯(lián)考期中）計(jì)算：______.14．（2023·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，用m表示為__________．15．（2023·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知，則___________.（用表示）16．（2023·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）若，是方程的兩個(gè)根，則______．四、解答題17．（2023·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，．(1)用表示；(2)計(jì)算的值．1