（尖子生培優(yōu)）專(zhuān)題17“數(shù)形結(jié)合”解決隊(duì)列問(wèn)題-三年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展培優(yōu)講義

（尖子生培優(yōu)）專(zhuān)題17“數(shù)形結(jié)合”解決隊(duì)列問(wèn)題三年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展培優(yōu)講義（通用版）有的放矢有的放矢在排隊(duì)問(wèn)題中，指定的這一個(gè)人既不能遺漏，也不能重復(fù)數(shù)，有些情況要加1，有些情況要減1。“數(shù)形結(jié)合”方法可以直觀(guān)表示出隊(duì)列及方陣問(wèn)題的關(guān)系，有助于問(wèn)題的解決。能力鞏固提升能力鞏固提升1．全班35名學(xué)生排成一行，從左邊數(shù)，小紅是第20位，從右邊數(shù)，小剛是第2l位．問(wèn)小紅與小剛中間隔著多少名同學(xué)?2．在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上，有一大一小兩個(gè)方陣合并變換成一個(gè)行列的方陣，求原來(lái)兩個(gè)方陣各有多少人？3．一隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成中空方陣，最外層的人數(shù)為44人，最內(nèi)層的人數(shù)為28人，這方陣共有多少人？4．學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是60人，問(wèn)這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人?5．12個(gè)小朋友站成一排，從左往右數(shù)，強(qiáng)強(qiáng)排在第8個(gè)，從右往左數(shù)，航航也排在第8個(gè)，強(qiáng)強(qiáng)和航航兩人之間有多少人？6．為了準(zhǔn)備學(xué)校的集體舞比賽，四年級(jí)的學(xué)生在排隊(duì)形。如果排成3層空心的方陣則多10人，如果在中間空心的部分接著增加一層又少6人。問(wèn)一共有多少個(gè)學(xué)生參加排練呢？7．用棋子擺成方陣，恰為每邊24粒的實(shí)心方陣，若改為3層的空心方陣，它的最外層每邊應(yīng)放多少粒？8．大慶路小學(xué)啟智樓前擺放了一個(gè)方陣花壇．這個(gè)花壇的最外層每邊各擺放8盆花，最外層共擺了多少盆花？這個(gè)方陣花壇共有多少盆花？9．同學(xué)們排成一個(gè)三層的空心方陣．已知最內(nèi)層每邊有6人，這個(gè)方陣共有多少人？10．在一次團(tuán)體操表演中，有一個(gè)空心方陣最外層有人，最內(nèi)層有人，參加團(tuán)體操表演的共多少人？11．同學(xué)們排成一個(gè)方陣做早操，每行9人，這個(gè)方陣一共有多少人？12．同學(xué)們排練團(tuán)體操，排成一個(gè)方陣，中間的實(shí)心方陣是女同學(xué)，外面三層是男同學(xué)，最外圈兩層又是女同學(xué)．已知方陣中男同學(xué)是108人，問(wèn)女同學(xué)是多少人？13．有一群學(xué)生排成三層空心方陣，多人，如空心部分增加兩層，又少人，問(wèn)有學(xué)生多少人？14．學(xué)校組織軍訓(xùn)，教官讓男生站一排，女生站一排，請(qǐng)問(wèn)：（1）小悅和同班女生站成一排，她發(fā)現(xiàn)自己的左側(cè)有7人，右側(cè)有8人，女生一共有多少人？（2）冬冬和同班男生站成一排，他發(fā)現(xiàn)自己是左起第7個(gè)，右起第9個(gè)，男生一共有多少人？（3）阿奇也在男生隊(duì)伍里，他發(fā)現(xiàn)自己是左起第4個(gè)，他的右側(cè)應(yīng)該有幾人？他應(yīng)該是右起第幾人？15．小明在一個(gè)正方形的棋盤(pán)里擺棋子，他先把最外層擺滿(mǎn)，用了個(gè)棋子，求最外層每邊有多少棋子？如果他要把整個(gè)棋盤(pán)擺滿(mǎn)，還需要多少棋子？16．育英小學(xué)四年級(jí)的同學(xué)排成一個(gè)實(shí)心方陣隊(duì)列，還剩下5人，如果橫豎各增加一排，排成一個(gè)稍大的實(shí)心方陣，則缺少26人．育英小學(xué)四年級(jí)有多少人？17．一隊(duì)學(xué)生站成20行20列方陣，如果去掉4行4列，那么要減少多少人？18．有楊樹(shù)和柳樹(shù)以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問(wèn)這個(gè)方陣最外一層有楊樹(shù)和柳樹(shù)各多少棵?方陣中共有楊樹(shù)，柳樹(shù)各多少棵?19．學(xué)校進(jìn)行課間操比賽，高年級(jí)同學(xué)恰好可以排成一個(gè)實(shí)心方陣，可學(xué)校操場(chǎng)較小，只好橫豎各減少一排，這樣就減少了23個(gè)人，問(wèn)這個(gè)學(xué)校高年級(jí)有多少個(gè)學(xué)生？20．解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？一共有多少人？綜合拔高拓展綜合拔高拓展21．某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成方陣行軍，另一支隊(duì)伍共人加入他們的方陣，正好使橫豎各增加一排，現(xiàn)共有多少戰(zhàn)士？22．曉曉愛(ài)好圍棋，他用棋子在棋盤(pán)上擺了一個(gè)二層空心方陣，外層每邊有14個(gè)棋子，你知道他一共用了多少個(gè)棋子嗎？23．校三年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為人，問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有三年級(jí)學(xué)生多少人？24．小華觀(guān)看團(tuán)體操表演，他看到表演隊(duì)伍中的一個(gè)方陣變換成一個(gè)正三角形實(shí)心隊(duì)列，他估計(jì)隊(duì)伍中人數(shù)大概在至人之間，你能告訴他到底有多少人嗎？25．節(jié)日來(lái)臨，同學(xué)們用盆花在操場(chǎng)上擺了一個(gè)空心花壇，最外層的一層每邊擺了盆花，一共層，一共用去多少盆花？26．三年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣進(jìn)行體操表演，最外一層的人數(shù)為32人，問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有三年級(jí)學(xué)生多少人？27．將一個(gè)每邊枚棋子的實(shí)心方陣變成一個(gè)四層的空心方陣，此空心方陣的最外層每邊有多少棋子？28．二年級(jí)舞蹈隊(duì)為全校做健美操表演，組成一個(gè)正方形隊(duì)列，后來(lái)由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人數(shù)正好是人，那么原來(lái)準(zhǔn)備參加健美操表演的有多少人？29．正方形操場(chǎng)四周栽了一圈樹(shù)，四個(gè)角上都栽了樹(shù)，每?jī)煽脴?shù)相隔5米。甲、乙從一個(gè)角上同時(shí)出發(fā)，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹(shù)與甲相遇（把角上的樹(shù)看作第一棵樹(shù)），操場(chǎng)四周栽了多少棵樹(shù)？30．有若干盆鮮花擺成一個(gè)中空方陣，最外層共擺48盆，最內(nèi)層共擺24盆，請(qǐng)問(wèn)：共擺了多少盆鮮花？31．一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方面各增加一層，則缺少9只棋子，問(wèn)有棋子多少只？32．儀仗隊(duì)原計(jì)劃64名少先隊(duì)員手持彩旗，在彩車(chē)周?chē)懦梢粋€(gè)每邊二層的方陣，后來(lái)決定在方陣外面再增加一層，成為三層方陣，求需要增加多少名學(xué)生？33．明明用圍棋子擺成一個(gè)三層中空方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個(gè)，明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少枚棋子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少枚棋子？34．有一隊(duì)學(xué)生排成一個(gè)空心方陣，最外層60人，最內(nèi)層28人，求總?cè)藬?shù)？35．同學(xué)們用盆花排出一個(gè)兩層空心方陣，后來(lái)又決定在外面再增加一層成為三層方陣，還需多少盆花？36．學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉13人，問(wèn)這個(gè)方陣共有多少人？37．啦啦隊(duì)排成方陣進(jìn)行表演，最外圍的一圈隊(duì)員有64人，如果在外圍再增加一圈隊(duì)員，需要增加多少人？增加一圈后方陣?yán)镆还灿卸嗌偃耍?8．學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉人，問(wèn)這個(gè)方陣共有多少人？39．四年級(jí)同學(xué)參加廣播操比賽，要排列成每行8人，共8行方陣．排列這個(gè)方陣共需要多少名同學(xué)？40．運(yùn)動(dòng)會(huì)閉幕式結(jié)束后，大家準(zhǔn)備散場(chǎng)，班長(zhǎng)小悅讓全班同學(xué)站成一行清點(diǎn)人數(shù)（她自己并不在隊(duì)伍中）．她先從左往右數(shù)，發(fā)現(xiàn)冬冬是第25個(gè)；然后她又從右往左數(shù)，發(fā)現(xiàn)阿奇正好是第29個(gè)，如果隊(duì)伍里一共有31個(gè)，那么冬冬和阿奇之間有幾個(gè)人？41．軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)行列的正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？42．小紅用棋子擺成一個(gè)正方形實(shí)心方陣用棋子100枚，最外邊的一層共多少枚棋子？參考答案參考答案1．4名【詳解】如果從右邊數(shù)，小紅是第35－20+1＝16位，而小剛是第21位，那么他們中間隔著21－16－1＝4個(gè)人．2．64人；36人【分析】10行10列的方陣由100人組成，原來(lái)的小方陣每行或每列人數(shù)都不會(huì)超過(guò)10人，大方陣人數(shù)應(yīng)該在50~100之間，可取64或81，運(yùn)用枚舉法，可求出滿(mǎn)足條件的是：大方陣有64人，小方陣有36人?！驹斀狻?0×10＝100（人）8×8＋6×6＝64＋36＝100（人）答：大方陣有64人，小方陣有36人。【點(diǎn)睛】根據(jù)數(shù)據(jù)多少和學(xué)生具體情況可考慮教給學(xué)生平方數(shù)的概念，熟記一些簡(jiǎn)單的平方數(shù)是解答此題的關(guān)鍵。3．144人【詳解】44÷4+1=12（人）12×12=144（人）28÷4+1=8（人）

（82）×（82）=36（人）14436=108（人）4．256人【分析】方陣問(wèn)題的核心是求最外層每邊人數(shù)．根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了．【詳解】方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人）整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）5．2人【分析】強(qiáng)強(qiáng)在從左往右第8個(gè)，航航在從右往左第8個(gè)，也就是航航在從左往右第5個(gè)，由此可以知道他們之間有幾個(gè)人?！驹斀狻?－5－1＝2（人）答：強(qiáng)強(qiáng)和航航兩人之間有2人?！军c(diǎn)睛】學(xué)生可以根據(jù)題目要求畫(huà)圖表示，從而直觀(guān)的看出他們之間的人數(shù)。6．人【分析】在內(nèi)部增加一層，人數(shù)由多出10人變?yōu)榉炊?人，所以這一層人數(shù)為（10＋6）人，據(jù)此即可求出每層每邊人數(shù)，再求出這個(gè)四層方陣的總?cè)藬?shù)，減去6，就是學(xué)生人數(shù)?！驹斀狻恐虚g空心部分加一層，每邊有：（10＋6）÷4＋1＝16÷4＋1＝4＋1＝5（人）四層方陣有：（4＋6＋8＋10）×4＝28×4＝112（人）；一共有學(xué)生：112－6＝106（人）答：一共有106個(gè)學(xué)生參加排練?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，找出新增加的這一層是多少人。7．51?！驹斀狻?4×24=576（粒）576÷4÷3+3=48+3=51(粒)答:最外層每邊棋子數(shù)為51粒．8．解：8×4﹣4

=32﹣4=28（盆）8×8=64（盆）答：最外層一共擺了28盆，這個(gè)方陣花壇共有64盆花

【詳解】【分析】這個(gè)方陣花壇的最外層每邊有花盆8盆，可以看做每邊點(diǎn)數(shù)為8的方陣問(wèn)題，根據(jù)最外層四周的總點(diǎn)數(shù)=每邊點(diǎn)數(shù)×4﹣4，實(shí)心方陣的總點(diǎn)數(shù)=每邊點(diǎn)數(shù)×每邊點(diǎn)數(shù)，即可解決問(wèn)題．9．84人【分析】要求出這個(gè)方陣有多少人，就要先求出這個(gè)方陣最外層每邊多少．已知最內(nèi)層每邊有6人，又知道這個(gè)空心方陣有3層，根據(jù)方陣問(wèn)題應(yīng)用題特點(diǎn)，可以求出這個(gè)方陣最外層每邊有6+（31）×2人，即10人．又根據(jù)方陣問(wèn)題應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系：空心陣總?cè)藬?shù)=（外邊人數(shù)層數(shù)）×層數(shù)×4，即可求出這個(gè)方陣共有多少人．【詳解】[6+（31）×23]×3×4=84（人）答：這個(gè)方陣共有84人．10．人【分析】根據(jù)最外層和最內(nèi)層人數(shù)，可以分別求出內(nèi)外層每邊的人數(shù)，一個(gè)空心方陣，可以看做從一個(gè)最外層有人的實(shí)心方陣中，減去了一個(gè)小方陣。外層每邊人數(shù)：（人）。內(nèi)層每邊人數(shù)：（人），空心方陣人數(shù)：（人）。【詳解】（64÷4＋1）×（64÷4－1）－（32÷4＋1－2）×（32÷4＋1－2）＝（16＋1）×（16＋1）－（8＋1－2）×（8＋1－2）＝17×17－7×7＝289－49＝240（人）答：參加團(tuán)體操表演的共240人。【點(diǎn)睛】此題考查了方陣問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，空心方陣的總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）2－（內(nèi)邊人數(shù)）2。11．81人【分析】這是一道實(shí)心方陣問(wèn)題，求這個(gè)方陣?yán)镉卸嗌偃?，就是求?shí)心方陣中布點(diǎn)的總數(shù)．【詳解】9×9=81（人）答：這個(gè)方陣一共有81人．12．148人【分析】我們可以把這個(gè)團(tuán)體分解成三個(gè)方陣：3層的男生空心方陣，里面的女生實(shí)心方陣，外面的2層女生空心方陣．女同學(xué)的人數(shù)就是兩個(gè)女生方陣的人數(shù)之和．【詳解】先由男生總?cè)藬?shù)，求出3層的男生空心方陣外層一邊的人數(shù)：108÷4÷3+3=12（人）因?yàn)槊肯蚶镆粚?每條邊上的人數(shù)就少2，所以：（1）里面女生實(shí)心方陣每行人數(shù)為：123×2=6（人），總?cè)藬?shù)為：6×6=36（人）；（2）外面2層女生空心方陣最外層每邊人數(shù)為：12+2×2=16（人），總?cè)藬?shù)為：（162）×2×4=112（人）；女同學(xué)總?cè)藬?shù)為:112+36=148(人)．13．人【分析】增加的兩層人數(shù)為：（人），這兩層人數(shù)之差是人，因此最里層有：（人），現(xiàn)在的方陣共層，那么最外層有：（人），知道最外層人數(shù)及層數(shù)就不難求出總?cè)藬?shù)是人?！驹斀狻浚?＋15－8）÷2＝16÷2＝8（人）8＋8×4＝8＋32＝40（人）40÷4＋1＝11（人）（11－5）×5×4－15＝6×5×4－15＝120－15＝105（人）答：有學(xué)生105人?！军c(diǎn)睛】找出最外層的人數(shù)是解答此題的關(guān)鍵。14．（1）16人；（2）15人；（3）右側(cè)有11人，他應(yīng)該是右起第12人．【詳解】試題分析：（1）由題意知，小悅的左側(cè)有7人，右側(cè)有8人，則這排隊(duì)伍共有7+8+1=16人，即女生一共的人數(shù)；（2）冬冬是左起第7個(gè)，右起第9個(gè)，則男生一共有：7+9﹣1=15（人）；（3）阿奇也在男生隊(duì)伍里，他發(fā)現(xiàn)自己是左起第4個(gè)，他的右側(cè)應(yīng)該有15﹣4=11人，他應(yīng)該是右起第12人；據(jù)此解答．解：（1）7+8+1=16（人），答：女生一共有16人；（2）7+9﹣1=15（人），答：男生一共有15人；（3）15﹣4=11（人），11+1=12（人），答：阿奇的右側(cè)應(yīng)該有11人，他應(yīng)該是右起第12人．點(diǎn)評(píng)：為了便于理解，在解答此題時(shí)刻畫(huà)出站隊(duì)的示意圖，以便分清何時(shí)要加1，何時(shí)要減1．15．11個(gè)；個(gè)【分析】首先根據(jù)“每邊的個(gè)數(shù)＝總數(shù)÷”求出每邊的棋子數(shù)：（個(gè)），根據(jù)“每向里一層每邊棋子數(shù)減少＂，求出從最外面數(shù)第二層中每邊各有：（個(gè)）棋子，利用求實(shí)心方陣總個(gè)數(shù)的方法就可以求出還需棋子：（個(gè)）?！驹斀狻?0÷4＋1＝10＋1＝11（個(gè)）（11－2）×（11－2）＝9×9＝81（個(gè)）答：最外層每邊有11棋子，如果他要把整個(gè)棋盤(pán)擺滿(mǎn)，還需要81棋子?！军c(diǎn)睛】此題考查了方陣問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，“每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1、實(shí)心方陣的總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)”。16．230人【分析】排成一個(gè)實(shí)心方陣隊(duì)列，還剩下5人，說(shuō)明是多出5人，如果橫豎各增加一排后，缺少26人，說(shuō)明橫豎各增加一排所需要的人數(shù)是5人與26人的和，那么（5+26）人相當(dāng)原來(lái)方陣中兩排的人數(shù)多1人，從（5+26）人中減去角上的1人，再除以2，就可求出原來(lái)方陣中一排的人數(shù)．因此，可求出原來(lái)方陣中的人數(shù)，然后加上剩下的5人，就可求出四年級(jí)的總?cè)藬?shù)是多少人．【詳解】（1）原來(lái)方陣中每排有：（5+261）÷2=15（人）（2）四年級(jí)共有：15×15+5=230（人）答：育英小學(xué)四年級(jí)有230人．17．144人【詳解】20×20－（20－4）×（20－4）＝400－256＝144（人）18．方陣最外層楊樹(shù)12棵，柳樹(shù)12棵;方陣中共有楊樹(shù)25棵，柳樹(shù)24棵或者楊樹(shù)24棵，柳樹(shù)25棵.【分析】根據(jù)已知條件柳樹(shù)和楊樹(shù)的種法有如下兩種，假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹(shù)，白點(diǎn)表示柳樹(shù).觀(guān)察圖（1）（2）,不管是柳樹(shù)種在方陣最外層的角上還是楊樹(shù)種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹(shù)和柳樹(shù)都是相同的．因而楊樹(shù)和柳樹(shù)的棵數(shù)相等．即最外層楊、柳樹(shù)分別為（71）×4÷2=12（棵）．當(dāng)柳樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí)，最內(nèi)層的一棵是柳樹(shù);當(dāng)楊樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí)，最內(nèi)層的一棵是楊樹(shù)，即在方陣中，楊樹(shù)和柳樹(shù)總數(shù)相差1棵．【詳解】（1）最外層楊柳樹(shù)的棵數(shù)分別為：（71）×4÷2=12（棵）（2）當(dāng)楊樹(shù)種在最外層角上時(shí)，楊樹(shù)比柳樹(shù)多1棵：楊樹(shù)：（7×7+1）÷2=25（棵）柳樹(shù)：7×725=24（棵）（3）當(dāng)柳樹(shù)種在最外層角上時(shí)，柳樹(shù)比楊樹(shù)多1樹(shù)柳樹(shù)（7×7+1）÷2=25（棵）楊樹(shù)7×725=24（棵）答：方陣最外層都有楊樹(shù)12棵，柳樹(shù)12棵，方陣中總共有楊樹(shù)25棵，柳樹(shù)24棵，或者有楊樹(shù)24棵，柳樹(shù)25棵．19．144人【詳解】解：（23+1）÷2=12（人）12×12=144（人）或（231）÷2+1=12（人）12×12=144(人)……高年級(jí)人數(shù)20．5層，160人【詳解】（4816）÷8+1＝5（層）（48+16）×5÷2＝160（人）答：這個(gè)方陣有5層，一共有160人．21．人【分析】根據(jù)題意，后來(lái)的戰(zhàn)士加入方陣時(shí)，是在原方陣外側(cè)橫豎方向各增加一排，那么有一個(gè)戰(zhàn)士要站在這兩排的交界處，計(jì)算橫排豎排的人數(shù)時(shí)，對(duì)他進(jìn)行了重復(fù)計(jì)算，也就是說(shuō)現(xiàn)在每一排實(shí)際人數(shù)是：（人），因此可以求出總?cè)藬?shù)：（人）?！驹斀狻浚?7＋1）÷2＝18÷2＝9（人）9×9＝81（人）答：現(xiàn)共有戰(zhàn)士81人。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，要注意行與列交匯處的重復(fù)現(xiàn)象。22．個(gè)【分析】如圖所示，方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)。知道最外面一層每邊放14個(gè)棋子，就可以求出第二層每邊的個(gè)數(shù)。知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出總數(shù)?！驹斀狻浚?4－1）×4＋（14－2－1）×4＝13×4＋11×4＝52＋44＝96（個(gè)）答：一共用了96個(gè)棋子?！军c(diǎn)睛】認(rèn)真觀(guān)察方陣圖形可知，在方陣中，方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)，即每向里一層，每層的個(gè)數(shù)就減少8個(gè)，據(jù)此解題即可。23．10人；人【分析】根據(jù)“每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1”，求出最外層每邊人數(shù)；再根據(jù)“實(shí)心方陣的總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)”，求出這個(gè)方陣共有三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)?！驹斀狻?6÷4＋1＝9＋1＝10（人）10×10＝100（人）答：方陣外層每邊有10人，這個(gè)方陣共有三年級(jí)學(xué)生100人?！军c(diǎn)睛】此題考查了方陣問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，“每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1、實(shí)心方陣的總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)”。24．人【分析】方陣總?cè)藬?shù)的特點(diǎn)：它是兩個(gè)相同自然數(shù)的積，而三角形隊(duì)列總?cè)藬?shù)的特點(diǎn)是：總數(shù)是從開(kāi)始若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，我們只要在的范圍內(nèi)找出同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的數(shù)就可以得出總?cè)藬?shù)。由于隊(duì)伍可以排成方陣，在至人的范圍內(nèi)人數(shù)可能是：6×6＝36（人），或是：（人），又因?yàn)椋?6＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8，49＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋4，所以總?cè)藬?shù)是36人?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知：6×6＝36（人），36＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8，符合題意；7×7＝49（人），49＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋4，不符合題意，舍去。答：這個(gè)體操表演隊(duì)伍有36人。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，理解方陣和正三角形實(shí)心隊(duì)列的特征。25．盆【分析】不論是空心方陣還是實(shí)心方陣，每向里一層，每邊的花盆就少個(gè)，每層的花盆就少個(gè)，因此可以依次求出每層花盆的個(gè)數(shù)。最外層有花盆：（盆），第二層有：（盆），第三層有：（盆），共有：（盆）?！驹斀狻浚?2－1）×4＝11×4＝44（盆）44＋44－2×4＋44－2×4×2＝44＋36＋28＝108（盆）答：一共用去108盆花?！军c(diǎn)睛】正確理解：不論是空心方陣還是實(shí)心方陣，每向里一層，每邊的花盆就少個(gè)；這是解答此題的關(guān)鍵。26．9人；81人【分析】根據(jù)“四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4”可得：每邊人數(shù)為：（四周人數(shù)＋4）÷4＝每邊人數(shù)，求出每邊的人數(shù)，再根據(jù)“總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)”，即可求出這個(gè)方陣的總?cè)藬?shù)?！驹斀狻浚?2＋4）÷4＝36÷4＝9（人）9×9＝81（人）答：這個(gè)方陣共有三年級(jí)學(xué)生81人。【點(diǎn)睛】熟練掌握方陣問(wèn)題的解題方法，是解答此題的關(guān)鍵。27．個(gè)【分析】棋子總數(shù)為：（枚），由于空心方陣總個(gè)數(shù)＝（每邊個(gè)數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×，所以，每邊個(gè)數(shù)＝空心方陣總個(gè)數(shù)÷層數(shù)÷＋層數(shù)，得出最外層每邊有枚棋子?！驹斀狻?6×16÷4÷4＋4＝16＋4＝20（個(gè)）答：此空心方陣的最外層每邊有20個(gè)棋子。【點(diǎn)睛】熟記：空心方陣總個(gè)數(shù)＝（每邊個(gè)數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×，是解答此題的關(guān)鍵。28．人【分析】因增加的是一行一列，而行、列人數(shù)仍應(yīng)相等，但為什么增加的卻是人，因有人是既在他所在的行，又在他所在的列。若把它減掉，剩下人數(shù)恰是原兩行或兩列的人數(shù)，據(jù)此即可求出原來(lái)一行或一列的人數(shù)和參加健美操表演的人數(shù)?！驹斀狻浚?7－1）÷2＝16÷2＝8（人）8×8＝64（人）答：原來(lái)準(zhǔn)備參加健美操表演的有64人?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，要注意行與列交匯處的重復(fù)現(xiàn)象。29．棵【分析】因?yàn)榧椎乃俣仁且业膬杀?，乙走了操?chǎng)的一條邊，甲走了兩條邊，乙拐了一個(gè)彎之后走到第5棵樹(shù)，實(shí)際走了4個(gè)間隔，那么甲應(yīng)該走了8個(gè)間隔，相遇的樹(shù)就是甲拐彎以后走的第9棵樹(shù)，所以這一邊有樹(shù)：9＋413（棵）。操場(chǎng)周?chē)臉?shù)一共有：（13－1）×448（棵）。【詳解】[（5－1）×2＋1＋（5－1）－1]×4＝[4×2＋1＋4－1]×4＝12×4＝48（棵）答：操場(chǎng)四周栽了48棵樹(shù)。【點(diǎn)睛】本題主要考查了植樹(shù)問(wèn)題、方陣問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)“棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1”、“四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4”解題即可。30．144盆【詳解】由于方陣中相鄰兩個(gè)正方形每邊相差8，因此第二層應(yīng)擺鮮花48－8＝40盆，第三層有花40－8＝32盆，第四層有花32－8＝24盆．這樣通過(guò)枚舉方法求出一共有四層花，及中間兩層花的總數(shù)．因此一共擺了48＋40＋32＋24＝144盆．答：一共擺了144盆．31．40只【分析】先由多余和不夠的棋子數(shù)求出縱橫方向都增加一層的棋子數(shù)，再求正方形每邊的棋子數(shù)．【詳解】縱橫方向各增加一層，所差棋子只數(shù)是：4＋9=13(只)若棋子增加9只后，則正方形每邊棋子只數(shù)是：(13+1)÷2=7(只)原來(lái)棋子只數(shù)是：7×79=40(只)答：有棋子40只．32．44人【詳解】（64+8）÷2=36（人）

36+8=44(人)

增加人數(shù)或

64÷4÷2+2=10(人)

(10+2)×44=44(人)33．這個(gè)方陣最里層一周有40個(gè)棋子；擺這個(gè)中空方陣共用144個(gè)棋子【分析】（1）方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)，知道最外面一層，每邊放15個(gè)，可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)．（2）根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)中空方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以4，計(jì)算出這個(gè)中空方陣共用棋子多少個(gè)．【詳解】（1）最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是：（15221）×4=40（個(gè)）（2）這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是：（153）×3×4=144（個(gè)）答：這個(gè)方陣最里層一周有40個(gè)棋子;擺這個(gè)中空方陣共用144個(gè)棋子．34．220人【詳解】60÷4+1=16（人）……最外每邊人數(shù)16×16=256（人）……實(shí)心方陣總?cè)藬?shù)28÷4+1=8（人）……最里層每邊人數(shù)（82）×（82）=36（人）……最里實(shí)心方陣25636＝220（人）……總?cè)藬?shù)35．盆【分析】對(duì)于兩層方陣，外層比內(nèi)層多盆，兩層共盆，利用和差問(wèn)題的解法，可以求出外層盆數(shù)是：（盆），從而得出需增加的盆數(shù)：（盆）。【詳解】（64＋8）÷2＋8＝72÷2＋8＝36＋8＝44（盆）答：還需44盆花?！军c(diǎn)睛】認(rèn)真觀(guān)察方陣圖形可知，在方陣中，方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)，即每向里一層，每層的個(gè)數(shù)就減少8個(gè)，這是解題關(guān)鍵。36．49人【分析】去掉一行一列時(shí)，我們需要思考去掉了幾個(gè)人，因?yàn)槭钦叫侮?duì)列，所以每行每列的人數(shù)一樣多，站在行和列的交點(diǎn)的同學(xué)既屬于這一行也屬于這一列，所以現(xiàn)在求每行（或每列）的人數(shù)時(shí)需要用13加上1得出兩行（或兩列）共有14人，再求出1行（或1列）的人數(shù)，最后求出總?cè)藬?shù)即可。【詳解】（13＋1）÷2＝14÷2＝7（人）7×7＝49（人）答：這個(gè)方陣共有49人。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，要注意行與列交匯處的重復(fù)現(xiàn)象。37．72人；361人【分析】根