專題09立體幾何之證明平行與垂直

專題09立體幾何之證明平行與垂直專項(xiàng)一、幾何法證明平行1．如圖，矩形和梯形，，，平面平面，且，，過(guò)的平面交平面于．(1)求證：；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：因?yàn)榫匦危裕矫?，平面，所以平面．因?yàn)檫^(guò)的平面交平面于，由線面平行性質(zhì)定理，得；2．如圖，在四棱錐中，，，，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，AP的中點(diǎn).(1)證明：平面PCD；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，.因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，，平面，平面，平面平面，平?3．如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為AC的中點(diǎn)D，且.(1)若M、N分別為棱AB、的中點(diǎn)，求證：；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：連接MD，為AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則在三棱柱中，且，且，四邊形為平行四邊形，，平面CDN，且平面CDN，；4．如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，且，．為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，且∴四邊形為平行四邊形，，又平面，平面平面，又平面，平面平面，平面∴平面平面5．如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱底面ABCD，E、F、G分別為VA、VB、BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面VCD；【答案】(1)證明見(jiàn)詳解【詳解】（1）如圖所示：因?yàn)镋、F、G分別為VA、VB、BC的中點(diǎn)，所以∥,且∥.底面ABCD是矩形,所以∥，又因?yàn)槠矫妫矫?所以∥平面，同理：∥平面，又因?yàn)?平面，平面，所以平面平面6．如圖，和都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且它們所在平面互相垂直．平面，且．(1)設(shè)P是的中點(diǎn)，證明：AP平面．【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接．是正三角形，．∵平面平面，平面平面，平面ABC平面．平面，．在中，，．又，為等腰三角形．是的中點(diǎn)，．平面，．平面平面，平面．7．如圖，在四棱錐中，，，，平面，，為線段上一點(diǎn)且．(1)證明：∥平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作交DC于點(diǎn)G，連接BG，又∵，又，又，故四邊形是平行四邊形.∴，面，面，面，同理面，∴平面平面又平面，∴平面．

8．如圖，在三棱錐中，底面.點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，∵是線段的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴MF平面.∵點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴NF平面.∵，∴平面MNF，∴平面MNF平面，∵平面MNF，∴平面.9．如圖，為三棱錐的高，，在棱上，且.(1)求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）連接OA，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接PE由平面，得，，，又則，又，則設(shè)由，可得又平面平面平面.10．如圖，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分別是，的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）解：取的中點(diǎn)，連接，，∵M(jìn)，N分別是，的中點(diǎn)，∴，，又∵平面ABC，平面ABC，∴平面．又，∴，同理可得，平面．∵平面MND，平面MND，，∴平面平面．∵平面MND，∴平面．11．如圖所示，直三棱柱中，，點(diǎn)M為線段，的交點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線段，AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，連接CD，QD，CQ．(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖，連接MQ．因?yàn)?，，故，而，故四邊形BDCP為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫妫矫?，故平面；同理可證BDQM為平行四邊形，，即，平面，平面，故平面．因?yàn)椋矫鍯DQ，平面CDQ，故平面平面；12．如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是.(1)求證：直線平面ABCD；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，則，因?yàn)椤鰾CF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD是矩形，所以，因?yàn)?，所?設(shè)E在平面ABCD內(nèi)的射影為O，連接EO，則平面ABCD，連接OA，OD，OG，則，所以，所以，所以為二面角的平面角，所以，所以.過(guò)F作，垂足為H，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.易知，連接OH，則四邊形EFHO為矩形，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.13．如圖1，在平面四邊形中，已知，，，，，于點(diǎn).將沿折起使得平面，如圖2，設(shè)（）.(1)若，求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）在平面四邊形中，，，，所以，，又，，所以，，，所以，所以.所以在中，易得.因?yàn)?，，所?在四棱錐中，連接，設(shè)，連接，因?yàn)椋?，又，所?因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?二、向量法證明平行14．在四棱錐中，，，，，且，，平面平面.(1)證明：//平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)滿足，即，結(jié)合條件，即，，即；由條件，即，可得：，顯然線段不共線，從而可得四邊形為平行四邊形，即可得：//，平面，平面，故可得：//平面15．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，PD⊥底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB上的點(diǎn)，且．(1)證明：PD//平面AEF；【答案】(1)證明見(jiàn)詳解【詳解】（1）連接，由題意可知：為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，∵，則，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，∵，且平面，∴平面.16．如圖，在四棱錐中，平而為的中點(diǎn)，在上，且(1)求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）在四棱錐中，平面，平面，則，而，則以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，又，則有，，因?yàn)?，則，，因此，即，而，于是得，而平面，平面，所以平面.17．如圖所示，四棱雉的側(cè)面為邊長(zhǎng)為的正方形，且，為棱的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn).(1)求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖所示，連接交于，連接，連接，由于側(cè)面為邊長(zhǎng)為的正方形，，所以四棱雉為正四棱錐，則平面，為正方形的中心，且，則以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，又，所以，令，所以，則，又平面，所以平面；18．在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：(1)求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：易知，，兩兩相互垂直，∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，解得.故平面的法向量為，易知，則，又平面，∴平面.19．如圖，正四棱柱中，為棱的中點(diǎn).(1)用向量法證明：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則,1,，,0,，,1,，,0,，∴，，．設(shè)是平面B1ED1的一個(gè)法向量，則，令，則，，即，∴．且平面B1ED1，∴平面B1ED1；20．如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是PA的中點(diǎn).(1)求證：平面BDE.【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以.因?yàn)锳BCD為正方形，所以.又，且平面ADP，所以平面ADP.如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，所以，，.設(shè)平面BDE的法向量為，則，即，令，則，，得.由題意得.因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面BDE.三、幾何法證明垂直21．如圖，在直四棱柱中，四邊形是菱形，，，，點(diǎn)E是棱上的一點(diǎn)（與，不重合）.(1)求證：；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）證明：如圖1，連結(jié).由已知可得，平面，平面，所以.又因?yàn)樗倪呅问橇庑危?又平面，平面，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?22．如圖，在五面體中，平面，平面是梯形，，，，E平分．(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析;【詳解】（1）由題意，，∴，，平面，平面，∴，，平面，∴平面，平面，∴平面平面；23．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面.(1)證明：；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面又∵平面，∴.又∵平面，平面,∴.又∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴.24．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點(diǎn)，在上，且．(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面?5．如圖,在三棱臺(tái)中,已知平面平面,,,(1)求證:直線平面;【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明:在等腰梯形中,過(guò)作于點(diǎn),畫圖如下:所以,且,,所以,即,即,因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,平面,,所以平面;26．如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD．(1)證明：；【答案】(1)詳見(jiàn)解析；【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，，，所以，，所以，故，，所以，又∵⊥平面，平面，∴，又∵平面，平面，∴平面，又平面，所以；27．如圖，在五面體中，，，，，P，O分別為CD，AP的中點(diǎn)，二面角的大小為．(1)證明：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）∵，，為的中點(diǎn)，為平行四邊形，∴且∵，∴，則．又∵，∴，∴為二面角的平面角，∴又∵，∴為等邊三角形，∵為的中點(diǎn)，則，又∵，，平面，，∴平面，∵平面，∴，平面，，∴平面.28．如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，，.(1)求證：平面⊥平面；【答案】(1)證明見(jiàn)詳解.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)連接，如圖所示：因?yàn)槿庵乃欣忾L(zhǎng)都為2，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕谥苯侨切沃?，，所以，在三角形中，，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫠云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?9．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面是平行四邊形，分別為線段的中點(diǎn)．(1)證明：平面；【答案】(1)詳見(jiàn)解析；【詳解】（1）因?yàn)椋瑸榫€段的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以，所以，即，由分別為線段的中點(diǎn)，可得，所以，又，平面，平面，所以平面；30．已知四邊形ABCD如圖1所示AD∥BC，AB=AD=DC=BC=2，將△ABD沿BD折起得到四面體A'BCD，如圖2所示，．(1)證明：A′B⊥CD；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵，，∴，即，所以，在中，∴，即，又∵，∴，即，又，且均含于面，∴面，∴.31．如圖，四棱錐中，平面平面，為正三角形，底面為等腰梯形，//，．(1)求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)梯形性質(zhì)和可知，//，且，于是四邊形為平行四邊形，故，則為等邊三角形，故，在中，由余弦定理，，故，注意到，由勾股定理，，即，由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，平面.32．如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，且，．沿將翻折到的位置，連接，得到如圖2所示的五棱錐．(1)在翻折過(guò)程中是否總有平面？證明你的結(jié)論；【答案】(1)在翻折過(guò)程中總有平面；證明見(jiàn)解析【詳解】（1）在翻折過(guò)程中總有平面．證明如下：∵點(diǎn)分別是邊的點(diǎn)，且,又，且是等邊三角形,∵,G是的中點(diǎn)，∴，∵菱形的對(duì)角線互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，而，∴平面.33．已知直角三角形中，，分別是邊中點(diǎn)，將和分別沿著翻折，形成三棱錐是中點(diǎn)(1)證明：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以；又因?yàn)?，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平?4．四棱錐，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，平面平面PBC.(1)證明：⊥；【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PB于點(diǎn)E，因?yàn)槠矫嫫矫鍼BC，交線為PB，且AE平面PAB，所以AE⊥平面PBC，因?yàn)槠矫鍼BC，所以AE⊥BC，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以PA⊥BC，因?yàn)?，平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因?yàn)锳B平面PAB，所以BC⊥AB；35．已知四棱錐中，，，，，，面面，.(1)求證：；【答案】(1)見(jiàn)解析【詳解】（1）由題知，，，，，，面面，.過(guò)作，過(guò)作，即，連接交于，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)樵谥校?所以,所以，因?yàn)?，，，所以所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以在中?即，又因?yàn)?，平面平面且交于，所以面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?因?yàn)槠矫?，所?36．如圖，水平面上擺放了兩個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體和．(1)求證：；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）證明：因?yàn)榕c共面，所以，連接與交于點(diǎn)，因?yàn)樗拿骟w和是相同的正四面體，所以，與均為等邊三角形，即，所以，四邊形時(shí)菱形，則為與中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作平面，平面，垂足分別為，所以，由正四面體的性質(zhì)可知，分別為、的中心，且在上，，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，同理得，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)樗倪呅螘r(shí)菱形，，所以四、向量法證明垂直37．在三棱錐中，，平面，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)當(dāng)時(shí)，求證：；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，使得點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè)，平面，平面，平面，，，則兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，；由得：，，為等腰直角三角形，；同理可得：為等腰直角三角形，當(dāng)時(shí)，，，分別是中點(diǎn)，，，，，，.38．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，分別為，的