6431余弦定理(典例精講)-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)精講檢測(人教A版2019)

余弦定理本節(jié)課知識點(diǎn)目錄：余弦定理1；已知兩邊及一角解三角形余弦定理2；已知三邊解三角形余弦定理3；無邊長求角。余弦定理4；均值和余弦定理結(jié)合求最值范圍余弦定理5；與向量結(jié)合余弦定理6；與面積結(jié)合李用余弦定理判斷三角形形狀余弦定理與中線、角平分線等應(yīng)用綜合典例精講典例精講一、余弦定理1：已知兩邊及一角解三角【典型例題】【例1】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b=（）A． B． C．3 D．或3【答案】D【分析】根據(jù)可得，再利用余弦定理求解即可【詳解】由題，因?yàn)?，故為銳角，故，又由余弦定理可得，故，化簡得，故或3故選：D【例2】在中，角，，所對的邊分別是，，，已知，，，則（）A．3 B． C． D．3【答案】A【分析】由余弦定理列方程求解．【詳解】由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去）．故選：A．【例3】在中，若，，，則邊（）A．4 B．16 C． D．10【答案】C【分析】由余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以由余弦定理得，則邊.故選：C.【例4】．在中，的對邊分別為，已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由余弦定理可得答案.【詳解】由余弦定理可得所以故選：D【例5】在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】利用余弦定理列方程求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以由余弦定理得，即，解得或故選：D【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.在中，，則（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得答案.【詳解】由余弦定理得，故.故選：B.2.在中，如果，，，那么等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理可得，.所以.故選：B.3.在中，已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：在中，，，，設(shè)，利用余弦定理，整理得，解得或（負(fù)值舍去）．故選：C4.已知的內(nèi)角所對的邊分別為若，則=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由商數(shù)關(guān)系求得角，用余弦定理求．【詳解】，所以，又是三角形內(nèi)角，所以，由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去）．故選：B．5.在中，，，，則（）A． B． C．或 D．無解【答案】C【分析】利用余弦定理可得出關(guān)于的等式，即可求得的值.【詳解】由余弦定理可得，即，，解得或.故選：C.6.在銳角中，，，且，則______．【答案】5【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式求得，結(jié)合余弦定理即可求出b.【解析】由，得，又，所以；由余弦定理，得，即，由，解得.故答案為：5二、余弦定理2：已知三邊解三角形【典型例題】【例1】在三角形中，，則大小為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理先求解出的值，然后即可求解出的大小.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D.【例2】已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三邊關(guān)系結(jié)合余弦定理求出，進(jìn)而結(jié)合同角的平方關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以設(shè)，結(jié)合余弦定理得，因?yàn)?，所以，因此，故選：D.【例3】下列選項(xiàng)中，能構(gòu)成鈍角三角形的三邊長的選項(xiàng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由構(gòu)成三角形三邊滿足的條件可判斷A；由余弦定理的推理可求出最大的邊所對的角即可判斷選項(xiàng)BCD，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)三角形最大的內(nèi)角為，對于選項(xiàng)A：不滿足兩邊之和大于第三邊，不能夠成三角形，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B：，所以角為鈍角，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：，所以角為直角，故選項(xiàng)C不正確；對于選項(xiàng)D：，此時(shí)三角形為銳角三角形，故選項(xiàng)D不正確，故選：B.【例4】若的三邊滿足，則最小的內(nèi)角余弦值為_____.【答案】【分析】根據(jù)已知設(shè)，，，然后將用表示，再確定最小內(nèi)角，再利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以設(shè)，，，所以，，，又，所以為最小內(nèi)角，由余弦定理，得，故答案為：【例5】在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C的大?。飧鶕?jù)余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×4\r(3)×6＋2\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,6)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).∴B＝π－A－C＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,4)＝eq\f(7π,12)，∴A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(7π,12)，C＝eq\f(π,4).【例6】在鈍角中，，，，，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)條件，利用以及三角形兩邊和大于第三邊列不等式組求解即可.【解析】，解得故答案為：.【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理，求得，得到，即可求解.【詳解】由題意，在中，滿足，設(shè)，其中，由余弦定理可得，因?yàn)榻菫槿切蔚膬?nèi)角，所以，所以為鈍角三角形.故選：C.2.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大?。狻遖>c>b，∴A為最大角．由余弦定理的推論，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2).又∵0°<A<180°，∴A＝120°，∴最大角A為120°.3.如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D在邊BC上，∠BAD＝45°，則tan∠CAD＝________．【答案】【解析】在中，由余弦定理變式得，又，∴，∴，∴，故答案.4.已知三角形的三邊之比為5：7：8，則該三角形最大角的余弦值是_____________.【答案】【分析】根據(jù)大邊對大角及余弦定理直接計(jì)算即可.【解析】設(shè)三邊長分別為，則，即最大角的余弦值為.故答案為：5.在中，角所對的邊分別為，若，，，則角C的大小為__________．【答案】##【分析】在中，利用余弦定理求得，即可求解.【解析】在中，因?yàn)?，，，由余弦定理可得，又由，所?故答案為：.三、余弦定理3：無邊長求角【典型例題】【例1】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用余弦定理求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以．故選：D．【例2】在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，則角（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理求解即可【詳解】由余弦定理，，又，故故選：B【點(diǎn)睛】余弦定理：，，【例3】在中，若，則等于（）A． B．或 C． D．【答案】C【分析】由余弦定理可得，將條件代入可得，從而可得答案.【詳解】由，得在中，由余弦定理可得：又,所以故選：C【例4】在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則角的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理求解.【詳解】由題知，，，在中，由余弦定理得，，所以，又，所以.故選：C.【例5】在中，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所?故選：D【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.已知是三邊之長，若滿足等式，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將題意的等式化簡得到，結(jié)合余弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，化簡，得，由余弦定理，得，又，所以.故選：A2.在中，角，，的對邊分別為，，，若，則角的值為A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】利用余弦定理先計(jì)算出的值，然后即可求解出的值.【詳解】解：，，即，且有意義即，，在中，為或，故選：．3.在△中，三邊、、所對的角分別為、、，若，則角的大小為_________．【答案】【解析】，，則.4.已知的三邊長為，，，若滿足，則角大小為______．【答案】.【分析】先將已知條件化簡整理，再結(jié)合余弦定理求出角的余弦值，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【解析】因?yàn)?，所以，結(jié)合余弦定理得，因?yàn)?，所?故答案為：.四、余弦定理4：均值和余弦結(jié)合求最值范圍【典型例題】【例1】在鈍角中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則最大邊的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理建立不等關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，于是得，，解得，而有，即，所以最大邊的取值范圍是：.故選：D【例2】若銳角的邊長分別為、、，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得的取值范圍.【詳解】設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，則必為銳角，由于為銳角三角形，則，可得，，可得，則，，解得.故選：B.【例3】在中，角所對的邊分別為，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理結(jié)合求得的范圍，從而可得出角的范圍，利用輔助角公式將化為，，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由余弦定理得，當(dāng)時(shí)，取等號，，由已知得，，.故選：C.【例4】．已知中，角的對邊分別為為邊上的高，以下結(jié)論：其中正確的選項(xiàng)是（）A． B．為銳角三角形C． D．【答案】ACD【分析】畫出圖形，利用向量的數(shù)量積公式，三角形中余弦定理及向量的運(yùn)算法則對各命題進(jìn)行判斷，看出每一個(gè)命題的正誤【詳解】解：，所以，故A正確；若，則為銳角，無法得到其他角的關(guān)系，故無法判斷的形狀，故B錯(cuò)誤；而，故C正確由余弦定理有故有，故D正確故選：ACD．【例5】（多選）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角B可以是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】計(jì)算的范圍，由此判斷出正確結(jié)論.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以AB選項(xiàng)正確，CD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB【例6】在中，a，b，c為角A，B，C的對邊，且，則B的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求解出的取值范圍，由此可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，取等號時(shí)，所以，所以，故答案為：.【例7】在中，，則取最小值時(shí)，___________．【答案】【分析】將代入余弦公式化簡可得，再代入計(jì)算可得，利用不等式可求出的最小值，并求出此時(shí)的大小.【解析】解：，可得，即,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以,，.故答案為：．【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形為銳角三角形，滿足最大角的余弦值大于即可.【詳解】設(shè)角對應(yīng)的邊為，當(dāng)是最大邊時(shí)，，所以，當(dāng)不是最大邊時(shí)，，所以，所以的取值范圍是，故選：C.2.（多選）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值可以是A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用代入條件可得,進(jìn)而求解即可【詳解】因?yàn)樗运越獾没蛞驗(yàn)樗运?故選：ABC.3.（多選）設(shè)的內(nèi)角所對的邊為，則下列命題正確的有（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】由余弦定理和基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由，可得，可得，因?yàn)椋傻?，所以A錯(cuò)誤；由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因?yàn)?，所以，所以B正確；由且，所以，可得，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以C正確；由，可得，所以，因?yàn)椋?，所以D正確；故選：BCD.4.在中，設(shè)邊所對的角為，若，則的最大值為________．【答案】6【分析】題目考察余弦定理和基本不等式的綜合應(yīng)用，根據(jù)余弦定理寫出之間的關(guān)系式，應(yīng)用基本不等式求最大值【詳解】根據(jù)題意，在中，若，，則，即，又由，則有，即的最大值為6．故答案為：65.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，則的最大值為_________.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理及基本不等式，結(jié)合題干條件，即可求得答案.【詳解】由余弦定理得，即，由基本不等式可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，又，所以，即的最大值為.故答案為：.6.已知銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為____________．【答案】【分析】利用余弦定理將表示為關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用銳角中，，且，，結(jié)合已知等式把不等式中的換走，得到，再利用對勾函數(shù)單調(diào)性，求得的取值范圍.【詳解】，又銳角中，，且，，將代入上面三個(gè)不等式，得到且，，令，則，所以在上單減，在上單增，又當(dāng)時(shí)，的值為，當(dāng)或時(shí)，的值為，故答案為：7.若2a+1，，2a-1【答案】(2,8)【分析】由三角形的性質(zhì)知2a+1最大，設(shè)其對的角為θ，由兩邊之和大于第三邊知a>2，再利用余弦定理【詳解】∵2a+1，，2a-1是三角形的三邊長，∴2要使2a+1，，2a-1是三角形的三邊長，還需設(shè)最長邊2a+1所對的角為θ，則所以cosθ=a綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,8).五、余弦定理5：與向量結(jié)合【典型例題】【例1】已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量，，若，則角C的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可得，進(jìn)而由余弦定理可解得角.【詳解】由得，整理得，由余弦定理得，又，所以.故選：B.【例2】在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，若，則角的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，再利用余弦定理求出，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，，且所以，化簡得，所以，又，所以．故選：C．【例3】在平行四邊形中，，，，是線段的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理求即可求，根據(jù)幾何圖形中線段對應(yīng)向量的線性關(guān)系及向量數(shù)量積的運(yùn)算律，有，即可求值.【詳解】由題意，，即，∴，∴，即.故選：A【例4】在中，，則的最小角的余弦值為______.【答案】【分析】將代入已知條件，整理得，由平面向量基本定理可得，，可得邊所對角為最小的角，由余弦定理即可求解.【詳解】由可得，即，所以，而和不共線，所以，，解得：，所以邊為最小的邊，故角為最小的角，由余弦定理可得：，所以的最小角的余弦值為，故答案為：.【例5】在中，角所對的邊分別為，若，，若，的周長為，的面積為，則的值是______.【答案】.【分析】首先應(yīng)用兩個(gè)向量的數(shù)量積，求得角的大小，根據(jù)三角形的面積公式求得，結(jié)合三角形的周長，求得，之后應(yīng)用余弦定理，求得邊長a的值.【詳解】根據(jù)題意，有，整理得，因?yàn)椋?，從而求得，所以，根?jù)題意有，，即，根據(jù)余弦定理，可得，故答案為：.【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.如圖，已知為中的角平分線，若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知條件，利用余弦定理求出，即可得到為直角三角形，從而求出，然后求解向量的數(shù)量積即可．【詳解】解：為中的角平分線，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以，．故選：．2.在中，內(nèi)角A?B?C所對的邊分別是a?b?c.若，，則___________.【答案】【分析】由平面向量數(shù)量積的定義求出，即可得到，再由余弦定理求出的值，最后利用完全平方公式求出的值．【解析】解：因?yàn)椋?，即，解得，所以，由余弦定理得，即，即，所以．故答案為?.在中，已知，則________________．【答案】【分析】先利用余弦定理求出，再根據(jù)向量的數(shù)量積定義即可求出．【解析】解：，．故答案為：．六、余弦定理6：與面積結(jié)合三角形面積公式的應(yīng)用：(1)對于面積公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．【典型例題】【例1】在中，，，的面積為，則為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件，先根據(jù)三角形面積公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值，即可得的值.【詳解】解：在中，因?yàn)?，，的面積為，所以，所以，因?yàn)椋?，所?故選：B.【例2】已知的三邊上高的長度比分別為，若的最短邊與最長邊的長度和為，則面積為A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的三邊、、上對應(yīng)的高的長度分別為、、，可得出，根據(jù)題中條件求出的三邊邊長，利用余弦定理、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)的三邊、、上對應(yīng)的高的長度分別為、、，由三角形的面積公式可得，所以，所，所以為最短邊，為最長邊，所以，所以，，，所以，則為銳角，故，所以.故選：B.【例3】已知、、分別為內(nèi)角、、的對邊，，，，則的面積為__________.【答案】【分析】利用余弦定理得出，利用余弦定理結(jié)合可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理可得，因?yàn)?，即，即，即，解得，由三角形的面積公式可得.故答案為：.【例4】在中，，，，則的內(nèi)切圓面積為__________【答案】【分析】先利用余弦定理求出，再利用等面積法可求出圓半徑，即可求出面積.【解析】如圖，設(shè)，由余弦定理得，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，，解得，所以圓的面積為.故答案為：.【例5】已知的面積為，且，，則的長為________.【答案】【分析】求得的值，利用三角形的面積公式求得，結(jié)合余弦定理可求得的值，即為所求.【解析】在中，，所以，由，，由余弦定理得，因此，.故答案為：.【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.在中，若，三角形的面積，則B角為________.【答案】【分析】由三角形面積公式求得，由等腰三角形的性質(zhì)可得的值，【解析】中，，三角形的面積，，故，故答案為.2.已知銳角三角形內(nèi)接于單位圓，且，則面積的最大值是___________.【答案】【分析】由題意可知，由圓的性質(zhì)可知，在中，使用余弦定理和基本不等式，可得，再根據(jù)三角形面積公式，即可求出結(jié)果.【解析】如圖，設(shè)圓的半徑為1，因?yàn)?，所以是直角三角形，即，所以角，由余弦定理可知由基本不等式可知，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號；所以，又.所以的面積的最大值為.七、利用余弦定理判斷三角形形狀【典型例題】【例1】在中，若，則的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用數(shù)量積運(yùn)算化簡得到，再利用余弦定理化簡得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角?故選：B【例2】在中，，則此三角形必是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】利用余弦定理的變形化角為邊即可求解.【詳解】由，則，即，整理可得，所以為直角三角形.故選：B【例3】在中，已知，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】首先根據(jù)余弦定理，邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，化簡后判斷三角形的形狀.【詳解】由余弦定理得：，，代入中，得，等式兩邊同乘得：，移項(xiàng)合并得：，整理得：，即，可得或，則三角形為等腰三角形或直角三角形.故選：D．【例4】在中，角，，所對的邊分別是，，，若，則的形狀一定是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】C【分析】利用余弦定理即可得出選項(xiàng).【詳解】由題意可得，即，則，從而，故一定是鈍角三角形.故選：C【例5】在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a、b、c，已知，則是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知可得，由余弦定理可得，化簡變形可得，則有或，從而可判斷三角形的形狀【詳解】解：由，得，所以由余弦定理得，，所以，所以，，所以或，所以或，所以為等腰或直角三角形，故選：D【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.在中，，則一定是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】利用余弦定理可得，將，代入解得，進(jìn)而判斷三角形形狀.【詳解】由余弦定理知，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因此，所以，即是等邊三角形，故選：D.2.（多選）在中，，，，則角的可能取值為（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由余弦定理得，解得或，分別討論即可.【詳解】由余弦定理，得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，此時(shí)為等腰三角形，，所以；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為直角三角形，所以.故選：AD3.（多選）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，若解該三角形有且只有一解，則b的可能值為（）A．5 B． C． D．6【答案】CD【分析】直接利用三角形的解的情況①b＝csinB或②b＜csinB的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：①b＞csinB＝6．三角形有兩解②當(dāng)b＝3時(shí)，三角形有一解．③當(dāng)b＝6時(shí)，三角形為等腰直角三角形，有一解．④當(dāng)b＜3時(shí)，三角形無解，故選：CD．八、余弦定理與中線角平分線等應(yīng)用【典型例題】【例1】在中，，，，角的平分線與邊交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求得的值，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得的值，再利用余弦定理，求得的值.【詳解】由余弦定理可得，可得，所以，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，所以，所以，所以.故選：D.【例2】．的內(nèi)角，，的對邊分別是，，.已知，，邊上的中線長度為，則（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由已知條件利用余弦定理用表示，又，再次利用余弦定理化簡等式可用表示c，代入即可得解.【詳解】在中，由余弦定理，因?yàn)椋?，邊上的中線長度為，所以，化簡可得，又因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，整理可得，所?故選：C【例3】在中，若，則邊上的中線的長為___________.【答案】【分析】根據(jù)互補(bǔ)對應(yīng)余弦值互為相反數(shù)，利用余弦定理表示出余弦值，由此可求解出的長度.【解析】因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故答案為?【例4】在中，為中點(diǎn)，，且，則________．【答案】4【分析】由化簡得，根據(jù)向量關(guān)系化簡求得結(jié)果．【解析】由得所以，則，因?yàn)榈靡驗(yàn)?，則因?yàn)椋O(shè)，則所以，解得或（舍去），所以故答案為：4【例5】在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，則的最大值為___________.【答案】用余弦定理表示出，求出后利用余弦函數(shù)性質(zhì)可得最大值．【解析】記，則，在中，，同理在中可得，∴，設(shè)，，．則，其中，是銳角，顯然存在，使得，∴的最大值為．故答案為：．【例6】在中，已知，的平分線交于，且，，則的面積為_________.【答案】設(shè)，，將利用三角形面積公式表示出來，可得，在中，利用余弦定理可得，解得，即可求出，，進(jìn)而可得的值，再利用三角形面積公式即可求解.【解析】因?yàn)槠椒?，所以，設(shè)，則，，因?yàn)?，設(shè)，所以，所以，，因?yàn)?，所以，即，在中，，所以，可得，解得：，所以，所以，，所以，故答案為：【?】在中，，，D為BC中點(diǎn)，則AD最長為_________.【答案】3【分析】在和中，分別利用余弦定理，求得，再在中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.【解析】如圖所示，設(shè)，，則，在中，由余弦定理，可得，即，①在中，由余弦定理，可得，即，②由①+②，可得，在中，由余弦定理，可得，即，解得，所以，即的最大值為.故答案為：.【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.在中，為的平分線，，則等于_____________．【答案】【解析】試題分析：因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，由余弦定理得，，.所以答案應(yīng)填：．2.已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對邊，邊上的中線長記為，則___________（用表示結(jié)果）．【答案】【分析】根據(jù)余弦定理求解.【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，中，，中，，所以故答案為：3.在中，，，，則的角平分線的長為______．【答案】【分析】由已知判斷是直角三角形，求出再利用余弦定理計(jì)算可得答案.【解析】因?yàn)?且,所以,由已知得,因?yàn)槭堑钠椒志€,所以,即,所以,解得,在中，由余弦定理得所以,故答案為：.4.在中，已知，則邊上的中線長度為__________.【答案】【分析】在分別利用余弦定理，列方程，解方程組可得答案【解析