2025屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2025屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的值為（

）A．1 B． C．或 D．1或3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（

）A． B． C． D．14．已知函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．5．已知圓錐的母線長為定值R，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．若正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則數(shù)列的前4項(xiàng)的和的值是（

）A． B． C． D．8．已知小明射箭命中靶心的概率為，且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次后，恰好命中兩次的概率是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在直三棱柱中，，，，側(cè)面的對角線交點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)棱上的一個(gè)動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．直三棱柱的側(cè)面積是B．直三棱柱的外接球表面積是C．三棱錐的體積與點(diǎn)的位置無關(guān)D．的最小值為10．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則此三角形為直角三角形C．若，則解此三角形必有兩解D．若是銳角三角形，則11．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，數(shù)列，數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，且，則的最小值是．13．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．14．設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則；③當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍為；④已知點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上．若，則．其中所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和．16．如圖，在三棱錐中，，，分別是側(cè)棱，，的中點(diǎn)，，平面.(1)求證：平面平面；(2)如果，，求二面角的余弦值.17．近年來，某大學(xué)為響應(yīng)國家號召，大力推行全民健身運(yùn)動，向全校學(xué)生開放了兩個(gè)健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.(1)該校學(xué)生甲,乙,丙三人某周均從兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲,乙,丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；(2)該校學(xué)生丁每周六,日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心的其中一個(gè)，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；(3)現(xiàn)用健身指數(shù)來衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動后的健身效果，并規(guī)定值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其值低于1分的概率為0.02.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過.若抽取次數(shù)的期望值不超過23，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：.18．已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的左焦點(diǎn)為，若過三點(diǎn)的圓的圓心恰好在軸上，求直線的斜率.19．對于四個(gè)正數(shù)m、n、p、q，若滿足，則稱有序數(shù)對是的“下位序列”．(1)對于2、3、7、11，有序數(shù)對是的“下位序列”嗎？請簡單說明理由；(2)設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且是的“下位序列”，試判斷、、之間的大小關(guān)系；(3)設(shè)正整數(shù)n滿足條件：對集合內(nèi)的每個(gè)m，總存在正整數(shù)k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整數(shù)n的最小值．

參考答案1．【答案】C【詳解】由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故選：C.2．【答案】C【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，或?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：C3．【答案】D【詳解】解：由已知可得，在上的投影向量為，又在上的投影向量，所以.所以，D正確．故選：D.4．【答案】D【詳解】由，得到對稱軸為，則，而，又在上單調(diào)遞減，則，得.故選：D5．【答案】B【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，可得，則圓錐的體積，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可知當(dāng)，即時(shí)，圓錐的體積取到最大值.故選：B.6．【答案】A【詳解】由函數(shù)的圖象可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，由①或②解①得，，解②得，，綜上，不等式的解集為.故選：A．7．【答案】A【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，解得，所以，所以，所以，所以，所以?shù)列的前4項(xiàng)的和的值為.故選A8．【答案】D【分析】利用二項(xiàng)分布的概率即可得解．【詳解】由已知命中的概率為，不命中的概率為，射擊4次，命中兩次，故概率.故選D.9．【答案】ACD【分析】首先計(jì)算長，再根據(jù)直棱柱的側(cè)面積公式，即可判斷A；首先計(jì)算外接圓的半徑，再根據(jù)幾何關(guān)系求外接球的半徑，代入公式，即可判斷B；根據(jù)體積公式，結(jié)合線與平面平行的關(guān)系，即可判斷C；利用展開圖，結(jié)合幾何關(guān)系，即可判斷D.【詳解】A.中，，所以直棱柱的側(cè)面積為，故A正確；B.外接圓的半徑，所以直棱柱外接圓的半徑，則直三棱柱外接球的表面積，故B錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，點(diǎn)在上，所以點(diǎn)到平面的距離相等，為等腰三角形底邊的高為，且的面積為，則三棱錐的體積為定值，與點(diǎn)的位置無關(guān)，故C正確；D.將側(cè)面展開為如圖長方形，連結(jié),交于點(diǎn)，此時(shí)最小，最小值為，故D正確.故選ACD.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是將平面與展開到同一個(gè)面，利用兩點(diǎn)之間距離最短即可得解.10．【答案】BD【詳解】對于A：因?yàn)?，由正弦定理可得，則,又，則，，，可得，整理得，又因?yàn)?，可得或，即或，所以或，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，則，所以，所以，在三角形中，，所以，所以，則此三角形為直角三角形，故B正確；對于C：因?yàn)?，所以，所以，則解此三角形只有一解，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，所以，即，同理，則，故D正確．故選：BD.11．【答案】BCD【詳解】若數(shù)列中存在某項(xiàng)，由可推得，進(jìn)而所有項(xiàng)均為0，與矛盾，故數(shù)列均為非零項(xiàng)．由兩邊同時(shí)除以，可得，所以，故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，所以，即.對于A，因?yàn)?，可得，矛盾，所以A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以成立，所以B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以C正確；對于D，因?yàn)椋瑒t，錯(cuò)位相減得，則成立，所以D正確．故選BCD．12．【答案】【詳解】由，得，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，所以的最小值是．13．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期．因?yàn)樵趨^(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，所以，即，可得；故答案為：.14．【答案】②③④【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故在上不是單調(diào)遞減，①錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)顯然不成立，故，當(dāng)時(shí)，令，即，得，，要使有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，故，②正確，對于③,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如圖：

若，由，故，所以的取值范圍為；③正確對于④,由①③可知：時(shí)，顯然不成立,故，要使，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，則只需要的圖象與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖：

故，，由對稱可得，化簡可得，故，，化簡得所以由于均大于0，所以，，因此由于，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，此時(shí)，因此，④正確.故答案為：②③④15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，，即，解得，所以；由，得，①-②兩式相減得：，所以，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故.（2）由（1）知，，，所以，，，③-④兩式相減得：，所以.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，分別是側(cè)棱，，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，，所以平面，又平面，所以，所以兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一條法向量，故，所以二面角的余弦值.17．【答案】(1)(2)(3)30【詳解】（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率.記事件：丁周六選擇健身中心，事件：丁周日選擇健身中心，則，由全概率公式得，故丁周日選擇健身中心健身的概率為.設(shè)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽取到的學(xué)生是健身效果不佳的學(xué)生的概率為，則，設(shè)抽取次數(shù)為，則的分布列為123故，又，兩式相減得，所以，所以在時(shí)單調(diào)遞增，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若抽取次數(shù)的期望值不超過23，則的最大值為30.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】(1)利用獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式進(jìn)行計(jì)算；(2)利用全概率公式進(jìn)行求解；(3)設(shè)抽取次數(shù)為，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望，利用錯(cuò)位相減法求出，由函數(shù)單調(diào)遞增，得出在時(shí)單調(diào)遞增，結(jié)合題目給出的參考數(shù)據(jù)求得答案,18．【答案】(1)【詳解】（1）橢圓的方程為，當(dāng)軸時(shí)，，所以點(diǎn)在橢圓上，依題意，解得，，，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)圓心,A(x1