河南省新鄉(xiāng)市原陽縣2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

河南省新鄉(xiāng)市原陽縣2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則k＝（

）A．4 B．C．5 D．3．若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．4．若圓：與圓：相切，則（

）A．9 B．10 C．11 D．9或115．如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射后又經(jīng)過點(diǎn)，則光線從A到B走過的路程為（

）A． B． C． D．6．如圖，棱長為1的正方體，中M，N點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，記E是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到面的距離為（

）A． B． C． D．7．已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與圓相交的弦長等于（

）A． B． C． D．8．棱長為2的菱形中，，將沿對(duì)角線翻折，使到的位置，得到三棱錐，在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積的最大值為 B．C．存在某個(gè)位置，使得 D．存在某個(gè)位置，使得面二、多選題（本大題共3小題）9．以下四個(gè)命題正確的有（

）A．直線與直線的距離為B．直線l過定點(diǎn)，點(diǎn)和到直線l距離相等，則直線l的方程為C．點(diǎn)到直線的距離為D．已知，則“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件10．下列說法正確的是（

）A．在四面體中，若，則四點(diǎn)共面B．若是四面體的底面三角形的重心，則C．已知平行六面體的棱長均為，且，則對(duì)角線D．若向量，則稱為在基底下的坐標(biāo)，已知向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為11．離心率為的橢圓稱為“黃金橢圓”，在橢圓中，，，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)和上、下頂點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中，能使橢圓是“黃金橢圓”的有（

）A．軸且 B．C．四邊形的內(nèi)切圓過 D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓C：，則橢圓的短軸長為．13．已知，過定點(diǎn)M的動(dòng)直線與過定點(diǎn)N的動(dòng)直線相交于點(diǎn)P，則的最大值是．14．已知一張紙上面有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C，則曲線C上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最大距離為．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．16．圓C過點(diǎn)和，圓心C在直線上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)，且被圓C所截得的弦長為4，求直線l的方程17．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓C：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓的上頂點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心且過的圓恰好與直線相切．(1)求橢圓C的方程(2)斜率為1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值18．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，BD是的平分線，且，二面角的大小為60°．

(1)若E是棱PC的中點(diǎn)，求證：平面PAD(2)求平面PAB與平面PCD所成的二面角的夾角的余弦值19．已知圓O的方程為，與x軸的正半軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)作直線與圓O交于兩點(diǎn)．

(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為1，求直線的方程；(2)如圖所示，已知點(diǎn)，一條斜率為的直線交圓于兩點(diǎn)，連接試問是否存在銳角，，使得為定值?若存在，求出該定值，若不存在，說明理由．

參考答案1．【答案】D【分析】先求斜率，再利用可得傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為由得，所以，又，解得.故選：D.2．【答案】D【分析】根據(jù)兩平面垂直得到兩法向量垂直，進(jìn)而得到方程，求出答案.【詳解】∵，∴，∴，解得.故選：D3．【答案】B【分析】分析可得，再將點(diǎn)代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B4．【答案】D【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：的圓心為，半徑，所以，因?yàn)閮蓤A相切，則或，即或.故選：D5．【答案】C【詳解】一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射,與交于點(diǎn)P,由題意可得，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線上，設(shè),則,,故光線從A到B所經(jīng)過的最短路程是.故選：C.6．【答案】D【詳解】如圖，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以，又平面，所以面，故與到平面的距離相等，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故點(diǎn)E到面的距離為.故選：D7．【答案】A【分析】設(shè)，據(jù)題意可求出點(diǎn)的軌跡，聯(lián)立方程求出交點(diǎn)，進(jìn)而求出弦長.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，整理得，即，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，由得或，故點(diǎn)的軌跡與圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為或，所以點(diǎn)的軌跡與圓相交的弦長等于.故選：A8．【答案】C【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)三棱錐的體積取得最大值，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面平面，又由正三角形的邊長為，可得，所以三棱錐的體積為，所以A不正確；對(duì)于B中，在中，因?yàn)椋詾榈妊切?，所以，所以B不正確；對(duì)于C中，當(dāng)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以C正確.對(duì)于D中，若面，且平面，可得，因?yàn)榕c不垂直，所以不存在點(diǎn)，使得面，所以D不正確.故選：C.9．【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A根據(jù)平行直線的距離公式求解即可；選項(xiàng)B分類討論直線l斜率是否存在，斜率不存在時(shí)判斷是否符合題意，斜率存在時(shí)列方程即可求得直線l的方程；選項(xiàng)C根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；選項(xiàng)D根據(jù)兩直線垂直得到，求出a的值后進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以兩直線的距離為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)和到直線l距離分別為3和6，不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，因?yàn)辄c(diǎn)和到直線l距離相等，所以，解得或，所以直線l的方程為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得或，所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：ACD10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，四點(diǎn)不共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)為的重心時(shí)，，，整理可得：，B正確；對(duì)于C，，，，C正確；對(duì)于D，由題意知：，設(shè)，則，，解得：，向量在基底下的坐標(biāo)為，D正確.故選：BCD.11．【答案】CD【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，，中，令得，因?yàn)?，所以，其中，，故，所以，故，所以離心率為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，即，故，離心率，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直線的方程為，即，因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)切圓過，所以，即，因?yàn)椋?，方程兩邊同除以得，解得或，?dāng)時(shí)，（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，（舍去），負(fù)值舍去，C正確；D選項(xiàng)，，顯然兩直線斜率均存在，故，即，即，因?yàn)?，所以，方程兩邊同除以得，解得，?fù)值舍去，D正確.故選：CD12．【答案】【詳解】因?yàn)镃：，所以，所以令得，所以短軸長為.故答案為：2.13．【答案】4【詳解】直線的方程變形為，由，得，所以，動(dòng)直線過定點(diǎn)，同理可知，動(dòng)直線過定點(diǎn)，由題意可知，且為與的交點(diǎn)，所以，由勾股定理可得，由重要不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.故答案為：.14．【答案】6【分析】先用定義法求出折痕與的交點(diǎn)M的軌跡方程為：，再求出曲線C上點(diǎn)到圓心O的距離最大值，進(jìn)而求出曲線C上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最大距離.【詳解】以O(shè)A的中點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，垂直O(jiān)A為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可知，，設(shè)折痕與和分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN⊥，連接MA，所以，所以，故所有折痕與的交點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)，A為焦點(diǎn)，4為長軸的橢圓，故橢圓方程為：，設(shè)曲線C上點(diǎn)坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為2，故曲線C上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最大距離為2+4=6.故答案為：615．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）由正方體的性質(zhì)可知，面，因面，則，又，，面.∴面，又面，則.同理，又，平面.∴平面（2）解法一：以A為原點(diǎn)，AD、AB、分別為x、y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為a，則，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴，設(shè)直線與平面所成角為θ，則，故直線與平面所成角的正弦值為．解法二：設(shè)正方體的棱長為，則，，，，由余弦定理知，，∴，∴，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，∵，∴，設(shè)直線與平面所成角為θ，則．又，則直線與平面所成角的正弦值等于直線與平面所成角的正弦值故直線與平面所成角的正弦值為．16．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線斜率為.則AB中垂線方程斜率為，又過點(diǎn)，則AB中垂線方程為，聯(lián)立，知.則.∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）若直線l的斜率不存在，則直線l：，其到圓心距離為1，則相應(yīng)弦長，滿足題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，設(shè)其到圓心距離為.則，即圓心C到直線l的距離為1.由點(diǎn)到直線距離公式，，，則直線l：綜上，直線l：或17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知得，，則，∴橢圓C的方程為；（2）設(shè)，，直線l：聯(lián)立方程，得∵直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)∴，得，，∴弦長，又點(diǎn)O到直線l的距離∴當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)∴.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取CD中點(diǎn)F，連接BF，EF∵∴，則而是的平分線，則，從而，則，BF不在平面PAD內(nèi)，平面PAD，則平面PAD，E，F(xiàn)分別是PC，CD的中點(diǎn)，則，EF不在平面PAD內(nèi)，平面PAD，則平面PAD，又，平面,∴平面平面PAD，又平面,∴平面PAD；

（2）因?yàn)?，所以，又面面ABCD，面面，面ABCD，所以面PAD，又面PAD，所以，則是二面角的平面角，即，是等邊三角形，取中點(diǎn)，則,又面面ABCD，面面，面PAD，所以面ABCD，如圖以為原點(diǎn)，以過點(diǎn)與平行的直線為軸，以為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，在中，,則,所以,則，所以，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，得，令，得，則設(shè)平面的PCD一個(gè)法向量